专题03 相似三角形的性质及应用（6大基础题型+1大提升题型）-2025-2026学年人教版九年级数学下册《知识解读·题型专练》

专题03 相似三角形的性质及应用 【题型导航】 【经典基础题】 1 题型1 利用相似三角形的性质求解..................................................................................................................1 题型2 利用相似三角形的性质求面积/面积比.................................................................................................2 题型3 利用相似三角形的性质求周长周长比 3 题型4 相似三角形的判定与性质综合 4 题型5 相似三角形的实际应用 9 题型6 射影定理的有关计算 14 【优选提升题】 15 题型7 相似三角形--动点问题 15 【经典基础题】 题型1 利用相似三角形的性质求解 1．如图，中，，点与点在直线的同侧，点是线段延长线上一点，且，当时，线段的长为（   ） A．3 B．4 C． D． 2．已知的三边长分别为，，2；的两边长分别是1 和，如果，那么的第三边长应该是（    ） A． B． C． D． 3．如图，，，其中，的长为（　　） A．2 B． C． D． 4．如图，在和中，，，，若与相似，则（   ） A．3 B． C．3或 D． 5．如图，在中，，，，，则的长为（   ） A．5 B．6 C． D．9 题型2 利用相似三角形的性质求面积/面积比 1．，若，，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 2．已知与相似，且相似比为，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 3．已知，和是它们的对应高线，若，，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 4．如图所示，已知平行四边形和平行四边形相似，且平行四边形的面积是平行四边形的，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若，则的面积是（    ） A． B． C．4 D． 6．已知，若与的相似比为，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 7．如图是两面标准的国旗，则它们的面积比为（） A． B． C． D．无法确定 8．如图，四边形为平行四边形，，，相交于点．设和的面积分别为，，若，则（   ） A．6 B．9 C．18 D．27 题型3 利用相似三角形的性质求周长周长比 1．若两个相似三角形的面积比是，则这两个三角形的周长比是（   ） A． B． C． D． 2．已知，相似比为，且的周长为20，则的周长为（  ） A．14 B．8 C．9 D．28 3．如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 4．已知，相似比为，若的周长是9，则的周长为（   ）． A．1 B．3 C．6 D．9 5．将沿方向平移至，点，，的对应点分别是，，，使得，则与的周长之比为（ ） A． B． C． D． 6．在和中，已知，且的周长为6，的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 题型4 相似三角形的判定与性质综合 1．如图，已知四边形对角线，交于点E，点F是上一点，连结，且． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 2．如图，在中，，求证：，并若，，，求的长． 3．如图，在中，点，分别在边，上，，是边上的一点（不与点，重合），连接，交于点． (1)求证：； (2)求证：． 4．如图，内接于，为直径，过点O作的垂线交的延长线于点F，交于点D，点E是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求弦的长． 5．已知：如图，在中，点D、E分别在，上，，点F在边上，，与相交于点G． (1)求证：； (2)当点E为的中点时，求证：． 6．如图，在矩形中，于点，点是边上一点，已知． (1)求证：； (2)，求的长． 7．如图，已知梯形中，，对角线交于点O，，点E在线段的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 8．如图，和均为等腰直角三角形，，三点共线，连接交于点． (1)判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 9．如图，在中，是边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 10．在矩形中，点E和点F分别在边，上，连接与交于点P． (1)如图1，若， ①求证：；②若，求的值； (2)如图2，若，求的值； (3)如图3，连接AP，若，直接写出的长． 10．如图，为的直径，C为上一点，是的切线，，垂足为D，的延长线与AB的延长线交于点E． (1)求证：平分． (2)若，，求线段和的长． 11．如图，，是的高． (1)求证：； (2)若，，，求的值． 12．如图，在菱形中，点E在边上，连结并延长，交的延长线于点F，连结交于点P，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 题型5 相似三角形的实际应用 1．医圣祠位于河南省南阳市城东温凉河畔，为纪念东汉医学家张仲景而建，为了纪念医圣张仲景，某中医药文化广场有一尊张仲景雕像．数学兴趣小组的同学为测量雕像的高度（顶端到水平地面的距离），在雕像旁的水平地面C处放置一面镜子，组员小明沿直线后退到点处，此时恰好在镜子里看到雕像的顶端．已知米，米，小明的眼睛距地面的高度米，则雕像的高度（    ）米 A． B． C． D． 2．如图，物理课上张明做小孔成像试验，已知蜡烛与成像板之间的距离为，要使烛焰的像是烛焰的2倍，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛（    ）的地方． A．10 B．12 C．8 D．9 3．如图，小林身高，在路灯的照射下，影子不全落在地面上．小林离路灯的距离，落在地面上影长，留在墙上的影高，则路灯高为（    ） A． B． C． D． 4．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”测量大树的高度，如图，他通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且使边与点在同一条直线上．已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离，测得，求树高． 5．综合与实践 打卡“晋泉之声”雕塑． 【了解】如图1，原山西太原五一广场的“晋泉之声”雕塑是一组群雕，主体为一对背靠背的青年男女，一对小鹿在主雕的脚下，体现了人、动物与自然的和谐相处．站在“晋泉之声”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． 【测高】（1）如图2，小明在距离“晋泉之声”雕塑底部A处的地面上垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B处．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． 【应用】（2）如图3，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 6．元通塔位于四川崇州市元通镇，塔体高大、宏伟，高八层，耸立江中特别耀眼，特别引人注目．构造精美，独特，外观特别雄伟、壮观，且修建于1000多年以前，文井江、味江、泊江等三条河流在塔下交汇，景观美不胜收，是四川古建筑的标志性景观之一．暑假期间小张同学所在的实践小组到此进行了一次实践活动，欲测量该古塔的高度，测量过程见下表． 主题 元通古塔高度估测 测量方案 及示意图 测量步骤 步骤1：在古塔下底层地面一开阔地带把长为2米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，并测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移22米到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，此时测得米（以上数据均为近似值）． 依据小张实践小组方法所得到的相关数据，请求出元通塔的大致高度． 7．请根据以下素材，完成探究任务． 视力表中蕴含的数学知识 素材1 用硬纸板复制视力表中相应的“”，并依次编号①、②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“”沿水平桌面向右移动直至从观测点看去，对应顶点、在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“”测得的视力与在处用②号“”测得的视力相同．    素材2 为了加强视力保护意识，小明想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但书房空间过小，他想到一个方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图2，在相距的两面墙上分别悬挂视力表与平面镜，由平面镜成像原理作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿、发出的光线经平面镜MN的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长就可以计算出镜长    任务 （1）若，①号“”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“”的测量距离． （2）小明的方法中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 题型6 射影定理的有关计算 1．一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．    (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当时，这个矩形的面积是多少? 2．定义：在中，点D和点E分别在边、边上，且，点D、点E之间的距离与直线与直线间的距离之比称为关于的横纵比．已知，在中，，边上的高长为3，关于的横纵比为，求的长． 3．如图，中，，，垂足为，，，求的长. 4．如图在中，，高，它的内接矩形（点在边上，点、在边上，点在边上），与边之比为，求的长． 【优选提升题】 题型7 相似三角形--动点问题 1．如图，在矩形中，，点分别从三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点的速度为，点F的速度为，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，的面积为． (1)当秒时，S的值是多少？ (2)若点F在矩形的边上移动，当t为何值时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似？请说明理由． 2．如图，在中，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发，沿向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动． (1)问点、同时出发，几秒后可使的长为？ (2)问点、同时出发，几秒后可使与边平行？ 3．如图，在中，，，．点从点出发沿向点运动，速度为每秒，同时点从点出发沿向点运动，速度为每秒，当点到达顶点时，、同时停止运动，设点运动时间为秒． (1)当为何值时，是以为顶角的等腰三角形？ (2)当为何值时，的面积为？ (3)当为何值时，与相似？ 4．如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，设点、移动的时间为秒． (1)当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (2)的面积能否为6个平方单位？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 5．如图，已知中，．如果点P由B出发沿方向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：）解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似； (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 6．如图，在中，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发，沿向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动． (1)问点P、Q同时出发，几秒后可使的长为？ (2)问点P、Q同时出发，几秒后可使与相似？ 7．如图，在中，，，，点P在线段上以每秒1个单位的速度从点B向点A运动，同时点Q在线段上以同样的速度从点A向点C运动，运动的时间用（单位：秒）表示． (1)求线段的长； (2)求当t为何值时，与相似？ (3)在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 8．如图，在四边形中，，，，，．动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为． (1)请用含的代数式表示、； (2)请你求出为何值时，以点为顶点的三角形与相似； (3)是否存在的值使得的面积是面积的，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，设点、移动的时间为秒． (1)当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (2)用含的代数式表示点的坐标； (3)的面积能否为6个平方单位？若能，求出的值；若不能，请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 相似三角形的性质及应用 【题型导航】 【经典基础题】 1 题型1 利用相似三角形的性质求解.............................................. 1 题型2 利用相似三角形的性质求面积/面积比......................................................................................... 4 题型3 利用相似三角形的性质求周长周长比 8 题型4 相似三角形的判定与性质综合 11 题型5 相似三角形的实际应用 27 题型6 射影定理的有关计算 35 【优选提升题】 40 题型7 相似三角形--动点问题 40 【经典基础题】 题型1 利用相似三角形的性质求解 1．如图，中，，点与点在直线的同侧，点是线段延长线上一点，且，当时，线段的长为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是找出相似三角形的对应边． 因为，所以，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 2．已知的三边长分别为，，2；的两边长分别是1 和，如果，那么的第三边长应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．根据题中数据先计算出两相似三角形的相似比，则第三边长可求． 【详解】解：∵，且相似比为， ∴的第三边长应该是． 故选：A． 3．如图，，，其中，的长为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4．如图，在和中，，，，若与相似，则（   ） A．3 B． C．3或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理等知识，分和两种情况讨论即可． 【详解】解∶∵， ∴当时，， 又，， ∴， ∴； 当时， ， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 综上， 或， 故选∶C． 5．如图，在中，，，，，则的长为（   ） A．5 B．6 C． D．9 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过两角对应相等判定三角形相似，并利用相似三角形对应边成比例建立等量关系求解． 利用公共角 和已知，判定；设长为x，表达出的长度；根据相似三角形对应边成比例列出关于x的方程，求解得到的长． 【详解】解：∵（公共角） ∴（两角分别相等的两个三角形相似） （相似三角形对应边成比例） 设则 已知代入比例式得： 交叉相乘得： 化简： 解得： 故选： C． 题型2 利用相似三角形的性质求面积/面积比 1．，若，，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】∵ ， ∴ 相似比， ∴ 面积比． 故选：C． 2．已知与相似，且相似比为，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵，相似比为， ∴， 故选：D． 3．已知，和是它们的对应高线，若，，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似三角形的性质：对应高比等于相似比，面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵和是它们的对应高线，若，， ∴， ∵， ∴和的相似比是， ∴． 故选：A． 4．如图所示，已知平行四边形和平行四边形相似，且平行四边形的面积是平行四边形的，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质，根据题意得出，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，分别过点作的垂线，垂足分别为， ∴ ∵平行四边形和平行四边形相似，且平行四边形的面积是平行四边形的， ∴，即 ∵四边形，是平行四边形， ∴，，， ∴ ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若，则的面积是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由图可得，，，， ∵， ∴， 即， ∴， 故选：． 6．已知，若与的相似比为，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方计算． 【详解】解：∵，相似比为， ∴与的面积之比为，即， 故选：D． 7．如图是两面标准的国旗，则它们的面积比为（） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形的性质以及长方形面积计算知识点，解题的关键是明确两面标准国旗是相似图形，且相似图形对应边成比例，根据对应边的比例关系求出面积比． 先根据标准国旗的性质确定两面国旗相似，找到它们对应边的长度，计算出对应边的比例，再根据相似图形面积比等于相似比的平方这一性质，得出两面国旗的面积比． 【详解】因为两面都是标准的国旗，所以这两面国旗相似．从图中可知，一面国旗长，另一面国旗长，它们的对应边长度分别为和，那么对应边的比为． 根据相似图形的性质，相似图形面积比等于相似比的平方．这里相似比是，其平方为，所以两面国旗的面积比为， 故答案选C． 8．如图，四边形为平行四边形，，，相交于点．设和的面积分别为，，若，则（   ） A．6 B．9 C．18 D．27 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，利用相似三角形的面积比等于像是比的平方即可得到答案． 【详解】， 设，则，， 又四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 故选D． 题型3 利用相似三角形的性质求周长周长比 1．若两个相似三角形的面积比是，则这两个三角形的周长比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．据此解答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是， ∴相似比的平方为， ∴相似比为， ∴这两个三角形的周长比为． 故选：C． 2．已知，相似比为，且的周长为20，则的周长为（  ） A．14 B．8 C．9 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵，相似比为，且的周长为20， ∴的周长为， 故选：B． 3．如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解答本题的关键；先证得，然后根据相似三角形相似比等于周长比即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，的周长为， ∴， 解得：， 故选：A． 4．已知，相似比为，若的周长是9，则的周长为（   ）． A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形性质，根据相似三角形周长的比等于相似比求解，即可解题． 【详解】解： ，相似比为， 的周长 的周长， 的周长是9， 的周长为； 故选：C． 5．将沿方向平移至，点，，的对应点分别是，，，使得，则与的周长之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平移的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据平移的性质得到，从而可得到，利用相似三角形周长于相似比可得答案． 【详解】解：将沿方向平移至， ， ， 的周长 的周长， ， 的周长 的周长， 故选：C． 6．在和中，已知，且的周长为6，的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．根据相似三角形的判定与性质即可得． 【详解】解：∵， ， 的周长与的相似比为， 的周长等于6， 的周长为， 故选：D． 题型4 相似三角形的判定与性质综合 1．如图，已知四边形对角线，交于点E，点F是上一点，连结，且． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题考查相似三角形的判定定理、相似三角形的性质以及角的等量代换，关联多个相似三角形的比例关系是解题关键． （1）根据，则，得到，根据三角形的外角性质，则，根据，可得，进而可得结论； （2）根据，可得，即，根据相似三角形的判定法则，有，可根据，把，，代入即可． 【详解】（1）证明：已知四边形对角线，交于点E，， ∴， ∴， ∵，，且， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 答：长为18． 2．如图，在中，，求证：，并若，，，求的长． 【答案】见解析，． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题关键．根据两直线平行，同位角相等，进而判断三角形相似，再根据相似三角形的性质求解的长即可． 【详解】证明：∵， ∴，， ∴； 由相似比得， 解得：． 3．如图，在中，点，分别在边，上，，是边上的一点（不与点，重合），连接，交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，利用平行判定相似，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据，可以推得结论成立； （2）先根据，得出，再证明，可得出，从而可得出结论． 【详解】（1）解：， ； （2）， ， ， ， ， ． 4．如图，内接于，为直径，过点O作的垂线交的延长线于点F，交于点D，点E是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质得出即可； （2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接，如下图， ∵是的直径， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵ ∴，， ∴， ∴， 在中，， 在和中， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理以及相似三角形，掌握切线的判断方法，圆周角定理以及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 5．已知：如图，在中，点D、E分别在，上，，点F在边上，，与相交于点G． (1)求证：； (2)当点E为的中点时，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）由，可判断，再由可判断，所以，然后利用相似三角形的性质即可得到结论； （2）作交的延长线于，如图，易得，由点为的中点得，再利用可判定，则根据相似三角形的性质得，然后利用等线段代换即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 而， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴； （2）证明：作交的延长线于，如图， ∵， ∴， ∵点为的中点， ， ， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系． 6．如图，在矩形中，于点，点是边上一点，已知． (1)求证：； (2)，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)3． 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质， 矩形的性质是解决问题的关键． （1）先证明，再证明，然后根据相似三角形的判定即可得出结论； （2）在中，由勾股定理得，由三角形面积公式得，在中，由勾股定理得，再根据和相似得，由此得，求出，进而即可得出的长． 【详解】（1）证明：如图所示： 四边形是矩形， ， ， 于点， ， 在中，， ， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：四边形是矩形，， ， 在中，由勾股定理得：， 由三角形面积公式得：， ， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知：， ， ， ， ， ． 7．如图，已知梯形中，，对角线交于点O，，点E在线段的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】由，得，由，得，所以∽，则，即可由，，证明． 由∽，得，变形为，由，，证明∽，得，则，所以 此题重点考查平行线的性质、等角的补角相等、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ∽， ， ，， ． （2）证明：∽， ， ， ，， ∽， ， ， ． 8．如图，和均为等腰直角三角形，，三点共线，连接交于点． (1)判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得，可证，从而可证，根据相似三角形的性质可得与之间的数量关系； （2）根据等腰直角三角形的性质得，，可求出，结合可证，根据相似三角形的性质可得与之间的数量关系，从而可得与之间的数量关系，进而可求出的长． 本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ∵和为等腰直角三角形，，， ∴，， ∴. 9．如图，在中，是边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似的判定和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）证明，通过对应角相等即可证明； （2）因为已知，将，代入计算即可． 【详解】（1）证明∶ ∵ ， ， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∵ ，， ∴ ， 解得 ． 10．在矩形中，点E和点F分别在边，上，连接与交于点P． (1)如图1，若， ①求证：；②若，求的值； (2)如图2，若，求的值； (3)如图3，连接AP，若，直接写出的长． 【答案】(1)①见解析；② (2) (3) 【分析】（1）①由矩形的性质得，因为于点P，所以，则，即可证明； ②由相似三角形的性质得出，得出； （2）证明，得出，证出，，则可得出答案； （3）过点P作于点G，交于点H，作于点L，设，则，由（2）得，得出，证明，得出，证明，得出，则，得出，求出m可得出答案． 【详解】（1）①证明：如图1，∵四边形是矩形， ∴， ∵于点P， ∴， ∴， ∴； ②解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的长是； （2）解：如图2，∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的值是； （3）解：如图3，过点P作于点G，交于点H，作于点L， ∵，， ∴， 设，则， 由（2）得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴的长是． 【点睛】此题重点考查矩形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质等知识，此题综合性强． 10．如图，为的直径，C为上一点，是的切线，，垂足为D，的延长线与AB的延长线交于点E． (1)求证：平分． (2)若，，求线段和的长． 【答案】(1)证明见详解； (2)，． 【分析】本题综合考查圆的切线性质、平行线的判定与性质、相似三角形判定与性质及勾股定理，解题关键是灵活运用几何定理转化条件． （1） 通过切线与半径垂直构建平行关系，结合平行线和等腰三角形性质完成角平分线证明； （2）先利用勾股定理求直角边，再通过相似三角形建立比例关系求解半径和线段长度． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图，连接， 在中，，， 由勾股定理得：， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 11．如图，，是的高． (1)求证：； (2)若，，，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）由垂线定义得，再结合即可得证； （2）结合相似三角形的性质得，再将、、代入即可得解． 【详解】（1）证明：∵，是的高， ∴， 又∵， ； （2）解：， ， ，，， ， 解得． 12．如图，在菱形中，点E在边上，连结并延长，交的延长线于点F，连结交于点P，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与方法是解题的关键．（1）利用菱形的性质得，，得，由，即得；（2）由相似三角形性质和，得，得，由，得，由，即得． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由对称性知，， ∴， 又∵， ∴， （2）解：∵，， ∴， 由对称性知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型5 相似三角形的实际应用 1．医圣祠位于河南省南阳市城东温凉河畔，为纪念东汉医学家张仲景而建，为了纪念医圣张仲景，某中医药文化广场有一尊张仲景雕像．数学兴趣小组的同学为测量雕像的高度（顶端到水平地面的距离），在雕像旁的水平地面C处放置一面镜子，组员小明沿直线后退到点处，此时恰好在镜子里看到雕像的顶端．已知米，米，小明的眼睛距地面的高度米，则雕像的高度（    ）米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用相似三角形测高，根据已知条件证明三角形相似是解题的关键． 根据处是一面镜子可得，再根据，得到，得到，代入求值即可； 【详解】由题可得：，， ， ， 米，米，米， ， （米）； 故选． 2．如图，物理课上张明做小孔成像试验，已知蜡烛与成像板之间的距离为，要使烛焰的像是烛焰的2倍，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛（    ）的地方． A．10 B．12 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，设小孔纸板应放在离蜡烛的地方，根据烛焰的像是烛焰的2倍即可列方程求解． 【详解】设蜡烛距小孔，则小孔距成像板， 由题意可知：， ∴， ∴，解得． 即蜡烛与成像板之间的小孔相距． 故选：C． 3．如图，小林身高，在路灯的照射下，影子不全落在地面上．小林离路灯的距离，落在地面上影长，留在墙上的影高，则路灯高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质，过作于，过作交于，交于，则四边形和为矩形，因此可求出，然后证明，得，，求的值，最后根据计算求解即可． 【详解】解：如图，过作于，过作交于，交于， ∴四边形和为矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：A． 4．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”测量大树的高度，如图，他通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且使边与点在同一条直线上．已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离，测得，求树高． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是理解题意；由题意易得，，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：由题意得：，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 5．综合与实践 打卡“晋泉之声”雕塑． 【了解】如图1，原山西太原五一广场的“晋泉之声”雕塑是一组群雕，主体为一对背靠背的青年男女，一对小鹿在主雕的脚下，体现了人、动物与自然的和谐相处．站在“晋泉之声”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． 【测高】（1）如图2，小明在距离“晋泉之声”雕塑底部A处的地面上垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B处．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． 【应用】（2）如图3，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 【答案】[测高]雕塑顶部距离地面的高度为；[应用]此时相机镜头距离地面的高度约为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用． [测高]延长，交于M，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到结论； [应用]延长，交于T，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到，设，则， ，求得， ，过Q作于S交于R，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：[测高]如图，延长，交于M， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 解得， 答：雕塑顶部距离地面的高度为； [应用]延长，交于T， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， 过Q作于S交于R， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：此时相机镜头距离地面的高度约为． 6．元通塔位于四川崇州市元通镇，塔体高大、宏伟，高八层，耸立江中特别耀眼，特别引人注目．构造精美，独特，外观特别雄伟、壮观，且修建于1000多年以前，文井江、味江、泊江等三条河流在塔下交汇，景观美不胜收，是四川古建筑的标志性景观之一．暑假期间小张同学所在的实践小组到此进行了一次实践活动，欲测量该古塔的高度，测量过程见下表． 主题 元通古塔高度估测 测量方案 及示意图 测量步骤 步骤1：在古塔下底层地面一开阔地带把长为2米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，并测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移22米到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，此时测得米（以上数据均为近似值）． 依据小张实践小组方法所得到的相关数据，请求出元通塔的大致高度． 【答案】米 【分析】本题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定和性质得出边的大小解答． 证明，得到对应边成比例，列方程解决即可． 【详解】解：设米，米． 由题意得， ， ． ，，， ． ， ， ． ，，， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ， ， 经检验，是原方程的解， 答：元通塔的高度为米． 7．请根据以下素材，完成探究任务． 视力表中蕴含的数学知识 素材1 用硬纸板复制视力表中相应的“”，并依次编号①、②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“”沿水平桌面向右移动直至从观测点看去，对应顶点、在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“”测得的视力与在处用②号“”测得的视力相同．    素材2 为了加强视力保护意识，小明想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但书房空间过小，他想到一个方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图2，在相距的两面墙上分别悬挂视力表与平面镜，由平面镜成像原理作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿、发出的光线经平面镜MN的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长就可以计算出镜长    任务 （1）若，①号“”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“”的测量距离． （2）小明的方法中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了相似形的综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，理解题意，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可； （2）根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可． 【详解】解：（1）， ． ，即． ，且，， ，解得． 号“”的测量距离为； （2）如图，延长至，使，延长至，使，连接，作于F，交于E， 则， ， ． ． 由题意得，， ． ，解得 镜长至少为． 题型6 射影定理的有关计算 1．一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．    (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当时，这个矩形的面积是多少? 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查矩形和正方形的性质、矩形的性质与判定，三角形相似的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正方形的性质和三角形相似的判定即可证明； （2）利用相似三角形的性质得，代值计算即可； （3）与（1）类似，证明，则，求出，与（2）同理，证明四边形是矩形，即，再求出面积，即可作答． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴ ∴； （2）解：设正方形零件的边长为， ∵四边形为正方形，高 ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由（1）知， ， 同理，由， 得， ∴， ∵，高， 即 解得， ∴这个正方形零件的边长为； （3）解：如图：    与（1）同理得， ， ∵，，高， ， ， 与（2）同理，证明四边形是矩形， ∴， 即． ∴这个矩形的面积是 2．定义：在中，点D和点E分别在边、边上，且，点D、点E之间的距离与直线与直线间的距离之比称为关于的横纵比．已知，在中，，边上的高长为3，关于的横纵比为，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握知识点是解题的关键． 根据题意作出图形，由平行可得，列出比例式，设，，代入数值求解即可． 【详解】解：如图， ， ，， ， 相似三角形的高的比等于相似比， ， 关于的横纵比为， 设，， ， ， 解得， ． 3．如图，中，，，垂足为，，，求的长. 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键掌握相似三角形的判定与性质． 先由勾股定理求解，再证明求出即可． 【详解】解：∵，， ∴ 在中，，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴. 故答案为：． 4．如图在中，，高，它的内接矩形（点在边上，点、在边上，点在边上），与边之比为，求的长． 【答案】 【分析】设矩形的长，则宽，易证四边形是矩形，则，根据矩形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设矩形的长，则宽， 四边形是矩形， ，， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ，， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 【优选提升题】 题型7 相似三角形--动点问题 1．如图，在矩形中，，点分别从三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点的速度为，点F的速度为，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，的面积为． (1)当秒时，S的值是多少？ (2)若点F在矩形的边上移动，当t为何值时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】(1)； (2)，或． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形面积公式、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例的分类讨论是解题的关键． （1）当时，先计算各点移动的距离得到相关线段长度，再用矩形面积减去三个直角三角形的面积，求出的面积． （2）点在上时，先表示出、、、的长度，分“”和“”两种相似情况，利用相似三角形对应边成比例列方程求解． 【详解】（1）解：当时, ，，， ，， 矩形面积：， ， ， ， ； （2）解：点在上， ，即， 此时，，，， 情况1：当时， ， ， 即， 解得， 情况2：当时， ， ，即 解得， 综上，或时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似． 2．如图，在中，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发，沿向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动． (1)问点、同时出发，几秒后可使的长为？ (2)问点、同时出发，几秒后可使与边平行？ 【答案】(1)2秒或秒后可使的长为 (2)秒可使与边平行． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，勾股定理应用，依据题意列出方程求解是解题关键． （1）设秒后，可使的长为，由题意得，，，，根据勾股定理可得，易求出的值， （2）设秒后可使与边平行，得出，依据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可． 【详解】（1）解：设秒后，可使的长为，则，， ， ， 根据勾股定理得：， 解得：或， 秒或秒后可使的长为． （2）解：设秒后可使与边平行， ∴ ∴， ∵，， ∴即， 解得：． 秒可使与边平行． 3．如图，在中，，，．点从点出发沿向点运动，速度为每秒，同时点从点出发沿向点运动，速度为每秒，当点到达顶点时，、同时停止运动，设点运动时间为秒． (1)当为何值时，是以为顶角的等腰三角形？ (2)当为何值时，的面积为？ (3)当为何值时，与相似？ 【答案】(1) (2) (3)或时，与相似 【分析】（1）勾股定理求得，由题意，，，，根据是以为顶角的等腰三角形，则，列出方程，解方程，即可求解； （2）过点作于点，证明得出，根据三角形的面积公式建立方程，解方程，即可求解； （3）分类讨论，当时，，当时，，分别列出比例式，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 由题意，，， ∵是以为顶角的等腰三角形， ∴， ∴， 解得． （2）过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． （3）当时，， ∴， 解得：． 当时，， ∴， 解得：． 综上所述或时，与相似． 【点睛】本题是三角形动点问题，考查了勾股定理，等腰三角形，三角形的面积，相似三角形的性质及分类讨论的数学思想，解题关键是能用t表示相关的线段的长度． 4．如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，设点、移动的时间为秒． (1)当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (2)的面积能否为6个平方单位？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)不能，见解析 【分析】此题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理结合和求出，分为①当时，②当时，分别列方程求解即可． （2）作轴于，轴于，得出，，根据相似三角形的性质求出，，当的面积为6个平方单位时，即．整理得：，根据根判别式即可求解． 【详解】（1）解：、， ，， ， ①当时， ， ， ； ②当时， ， ， ， 当或时，以，，为顶点的三角形与相似； （2）解：不能，理由如下， 作轴于，轴于， ，， ， ， ， 当的面积为6个平方单位时，即． 整理得：， ， 此方程无实数根， 的面积不能为6个平方单位． 5．如图，已知中，．如果点P由B出发沿方向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：）解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似； (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)不存在，理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用、勾股定理，一元二次方程的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． （1）分两种情况：当时，当时，再利用相似三角形的性质解答即可； （2）根据勾股定理可得，过P作于点D，则，可得，从而得到，再由线段恰好把的面积平分，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：； 综上所述，当t或时，与相似； （2）解：不存在，理由如下： 假设存在某时刻，使线段恰好把的面积平分， 在中，， ∴， 如图，过P作于点D，则， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵线段恰好把的面积平分，， ∴，即， 此时， 此方程无解， ∴不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分． 6．如图，在中，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发，沿向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动． (1)问点P、Q同时出发，几秒后可使的长为？ (2)问点P、Q同时出发，几秒后可使与相似？ 【答案】(1)2秒或秒后可使的长为 (2)t的值为秒或秒 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，勾股定理应用，依据题意列出方程求解是解题关键． （1）设秒后，可使的长为，由题意得，，，，根据勾股定理可得，易求出的值， （2）设秒后可使使与相似，他两种情况：当时，当时，依据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可． 【详解】（1）解：设秒后，可使的长为，则，， ， ， 根据勾股定理得：， 解得：或， 秒或秒后可使的长为． （2）解：设秒后可使与相似，则，， 当时，，即， 解得：． 秒后可使． 当时，，即， 解得， 综上所述，满足条件的的值为秒或秒． 7．如图，在中，，，，点P在线段上以每秒1个单位的速度从点B向点A运动，同时点Q在线段上以同样的速度从点A向点C运动，运动的时间用（单位：秒）表示． (1)求线段的长； (2)求当t为何值时，与相似？ (3)在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)5 (2)或 (3)不能，见解析 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）根据题意，分与，两种情况求解即可． （3）过点Q作于点N，根据题意，得，，；故，根据四边形与面积相等，，得，此时，说明方程无实数根，解答即可． 本题考查了勾股定理，三角形相似的判定和性质，分类计算，一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握判定和性质，根的判别式是解题的关键． 【详解】（1）解：，，， 故． （2）解：根据题意，得，， 当时， ∴， ∴， 解得； 当时， ∴， ∴， 解得； 综上所述，运动秒或秒时，与相似． （3）解：过点Q作于点N， 根据题意，得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； 故， ∵四边形与面积相等，， ∴， 整理，得， 此时， 故原方程无实数根， 故不存在时间t使得四边形与面积相等． 8．如图，在四边形中，，，，，．动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为． (1)请用含的代数式表示、； (2)请你求出为何值时，以点为顶点的三角形与相似； (3)是否存在的值使得的面积是面积的，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，． (2)或 (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）过点作于点，先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，，再证出垂直平分，从而可得，然后根据即可得； （2）分两种情况：①和②，利用相似三角形的性质求解即可得； （3）先求出，再过点作于点，证出，根据相似三角形的性质可得，然后利用三角形的面积公式建立方程，利用一元二次方程根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，，，， 四边形是矩形， ，， ， ， 垂直平分， ， 由题意得：， ，． （2）解：①当时， 则，即， 解得； ②当时， 则，即， 解得， 综上，的值为或． （3）解：的面积为， 的面积是面积的， ， 如图，过点作于点， ， ， ，即， 解得， ，即， 这个方程根的判别式为，没有实数根， 所以不存在的值使得的面积是面积的． 9．如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，设点、移动的时间为秒． (1)当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (2)用含的代数式表示点的坐标； (3)的面积能否为6个平方单位？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)不能，见解析 【分析】此题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理结合和求出，分为①当时，②当时，分别列方程求解即可． （2）作轴于，轴于，得出，，根据相似三角形的性质求出，，即可求出点的坐标； （3）当的面积为6个平方单位时，即．整理得：，根据根判别式即可求解． 【详解】（1）解：、， ，， ， ①当时， ， ， ； ②当时， ， ， ， 当或时，以，，为顶点的三角形与相似； （2）解：作轴于，轴于， ，， ，， ，， ，， 的坐标为； （3）解：不能； 理由：当的面积为6个平方单位时，即． 整理得：， ， 此方程无实数根， 的面积不能为6个平方单位． / 学科网（北京）股份有限公司 $