精品解析：广东省湛江市雷州市第二中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

雷州市第二中学2025-2026年度高一上学期期中考试 数学试题 考试时间：120分钟满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集即可求解. 【详解】由图知阴影部分为的元素去掉的元素组成的集合，因为， 所以阴影部分表示的集合为. 故选:A. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由被开方数大于等于零和分母不为零求解即可； 【详解】由题知，解得， 所以定义域为. 故选：A. 3. 下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】对A，是偶函数，当，， 所以在上单调递减，故A错误； 对B，，所以为非偶函数，故B错误； 对C，，所以为偶函数，当， 为减函数，其在上单调递增，故C正确； 对D，，所以为奇函数，故D错误. 故选：C 4. 方程有两个不相等的正实数根的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二次方程根的分布列不等式求出充要条件，再根据充分不必要条件的性质求解即可. 【详解】方程有两个不相等的正实数根，当且仅当， 且两根之和时取得，解得. 故其一个充分不必要条件是. 故选：B 5. 若，，，则、、的大小关系是（     ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数、指数函数的单调性比较大小即得. 【详解】函数在上单调递增，，因此， 函数在R上单调递减，，因此， 所以、、的大小关系是. 故选：D 6. 已知幂函数在内单调递增，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出关于的等式和不等式，解出即可. 【详解】由于幂函数在内单调递增， 则，解得. 故选：B. 【点睛】易错点睛：本题考查利用幂函数的解析式与单调性求参数，同时要注意幂函数的系数为这个条件的限制，考查运算求解能力，属于基础题. 7. 若函数是上的单调递增函数.则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】要求分段函数的两段均递增，且左侧函数值不大于右侧函数值，列出不等式，计算即可. 【详解】因为函数在上单调递增，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 8. 心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶性和最值排除错误答案即可. 【详解】A选项：，故A错误； B选项：记，则，故为奇函数， 不符合题意，故B错误； C选项：记，则， 故为偶函数， 当时，， 此函数在上单调递增，在上单调递减， 且，故C正确； D选项：记，则， 故既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分(在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 设，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】赋值即可排除选项A，利用不等式的性质以及作差法即可判断选项BC，利用指数函数的单调性即可判断选项D. 【详解】由题知，， 假设，则，A错； 又，所以，则，B正确； 又，，， 所以，即，C正确； 因为单调递增， 所以，D正确. 故选：BCD 10. 下列说法正确是（ ） A. 和表示同一个函数 B. 函数的值域为 C. 定义在上的函数满足，则 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】CD 【解析】 【分析】A选项，两函数定义域不同，A错误；B选项，变形得到，求出值域；C选项，方程思想得到，与条件中的方程联立求出答案；D选项，由抽象函数定义域求解方法得到答案. 【详解】A选项，的定义域为， 的定义域为R，故两函数定义域不同，不表示同一函数，A错误； B选项，，解得，B错误； C选项，定义在上的函数满足①， 则②， 式子①②联立，解得，C正确； D选项，由题意得，故，则的定义域为，D正确. 故选：CD 11. 已知函数为定义在上的奇函数，当时，当时，，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，根据函数为定义在上的奇函数判断即可；对B，令代入判断即可；对C，代入与，结合奇函数性质判断即可；对D，继续代入判断即可. 【详解】对A，因为为定义在上的奇函数，故，故A正确； 对B，由题意，即，故B正确； 对C，由题意，， 由奇函数性质可得即，故，故C正确； 对D，同理，， ，故D错误. 故选：ABC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______. 【答案】6.4 【解析】 【分析】根据指数运算即可得到答案. 【详解】原式. 故答案为：6.4. 13. 已知，若，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 分析】结合分段函数性质与指数幂运算即可得. 【详解】因为， 所以， 故. 故答案为：. 14. 已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件可得：，因不等式恒成立，则需恒成立，则需要，利用“1的妙用”，求出的最小值，即可得到的取值范围. 【详解】将化为：， 即：，不等式化为：， 上述不等式要恒成立，则小于的最小值. 因为，则 ， 当且仅当，即且时，取“”， 所以，即. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）代入值，根据交集和并集含义即可； （2）分析得，分和讨论即可. 【小问1详解】 时，， 则，. 【小问2详解】 若，则以， 当时，则； 当时，则，则. 综上，的取值范围为. 16. 已知函数（，且）. （1）若函数的图象过和两点，求在上的值域； （2）若，且函数在区间上的最大值比最小值大，求的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入解析式，列出方程组求出，再根据函数单调性求出值域； （2）根据函数单调性求出最大值和最小值，列出方程，求解的值. 【小问1详解】 由题意，，， 又，解得，，所以. 因为在上单调递增，所以， 所以在上的值域为. 【小问2详解】 当时，在区间上单调递减， 所以，， 因此，解得或（舍去）， 所以. 17. 某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为80元，出厂单价为120元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.04元.根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件． （1）设一次订购为件服装的实际出厂单价为元，写出函数的表达式； （2）当销售商一次订购多少件服装时，该服装厂获得的利润最大？ 【答案】（1） （2）当销售商一次订购550件服装时，该服装厂获得的利润最大. 【解析】 【分析】（1）根据自变量x不同的范围，写出对应的函数解析式； （2）求出分段函数各部分最大值，比较大小后就能确定函数的最大值. 【详解】（1） 即 （2）设该厂获得的利润为元，则 ①当时，； ②当时，. 综上①，②，可知当时，有最大值12100. 所以当销售商一次订购550件服装时，该服装厂获得的利润最大. 【点睛】本题主要考查分段函数在实际问题中的应用. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）判断的单调性，并用定义法证明你的结论； （3）求使成立的实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质利用以及可得结果； （2）利用函数单调性定义按步骤即可证得在上单调递增； （3）由函数奇偶性及其单调性解不等式即可得a的取值范围. 【小问1详解】 由题意可知，故， 又由可得，解得； 所以， 此时定义域关于原点对称，且， 故是定义在上的奇函数，满足题意， 所以. 【小问2详解】 在上单调递增，证明如下： 取任意，且， 则； 因为，且， 所以，，即， 所以，即， 因此在上单调递增. 【小问3详解】 由（1）（2）知，是在上单调递增的奇函数， 所以由，得， 因此需满足，解得，即， 故实数a取值范围为. 19. 已知函数的定义域为，对任意，都有，且． （1）求证：； （2）求证：函数为偶函数； （3）若，且在上单调递增，解关于x的不等式． 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法可证； （2）利用定义法证明函数的奇偶性； （3）根据函数的单调性与奇偶性解不等式. 【小问1详解】 由已知，且， 令， 则； 【小问2详解】 令， 则， 所以函数为偶函数； 【小问3详解】 由， 令 得， 由（2）得函数为偶函数， 且在上单调递增， ， 所以， 解得， 所以不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $