28.2.1 解直角三角形 同步练习 2025-2026学年人教版九年级数学下册

28.2.1 解直角三角形课后作业 学校:___________姓名：___________班级：__________ 一、单选题 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°， ， 则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，垂足为，如果，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，则点A到的距离为（   ） A． B． C． D． 4．如图，一块矩形木板斜靠在墙边，，点在同一平面内，，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，于D，，下列说法正确的个数是（    ） ①，②，③，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都为1，已知点A，B，C，D都在格点（网格线的交点）上，与相交于点P，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，矩形中，，，，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．如图，含角的直角三角尺的斜边与矩形直尺的边在同一直线上，此时直尺的另一边与直角三角尺的直角边的交点D恰好是的中点，若，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 9．如图，将一副三角尺按如图所示的方式摆放，组成四边，，，，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，．将沿直线平移得到，为的中点，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．是直角三角形，，，则的长为 ． 12．如图所示，在中，，，于点．若，则的长是 ．    13．如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 14．如图，的三个顶点都在边长是的小正方形的顶点上，则 ． 15．如图，，且和之间的距离是和之间的距离是的三个顶点分别在上，与交于点，如果，那么的长是 ． 16．如图，中，，，，，，则 ． 17．如图，，点在射线上，且，过点作交射线于点，在射线上截取，使得；过点作交射线于点，在射线上截取，使得；；按照此规律进行下去，则长为 ． 18．如图，在矩形中，，，是的边上的动点，沿直线将折叠．当点的落点恰好落在矩形的对称轴上时， ；恰好落在矩形的对称轴上时， ． 三、解答题 19．在三角形中，， (1)求三角形的面积． (2)求角A的对边a的长． 20．如图，与，点C在FD的延长线上，，，，，，试求CD的长． 21．图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上，图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当，时，求托板顶点A到底座CD所在平面的距离（结果精确到1mm）．（参考数据：，，，，） 22．【问题提出】 （1）如图①，在四边形中，，点B是上一点，连接，，若，求证：； 　【问题探究】 （2）如图②，在中，，点B是上一点，过点B作交于点C，若，，，求的值； 　【问题解决】 （3）如图③，四边形是某公园的一块空地，，分别沿，修两条小路，并在区域内栽种竹子，其余部分进行绿化，已知，， ，求栽种竹子的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】根据题意利用三角函数的定义，定义成三角形的边的比值，进行分析计算即可求解． 【详解】解：在△ABC中，∠C=90°， ∵ 设BC=3x，则AC=4x， 根据勾股定理可得： ， 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的定义，注意掌握求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值． 2．B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，勾股定理，解直角三角形等相关知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 由题意得，在中，由勾股定理得，再由即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义． 过点A作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到的距离． 【详解】解：过点作，垂足为D， 在中，， ， 在中，， ， ∴点A到的距离为． 故选：A． 4．D 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，解直角三角形，作于点，作于点，可得四边形是矩形，得到，又由四边形是矩形，可得，，进而可得，再分别解和求出和，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作于点，作于点， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴ ， ∴点到的距离等于， 故选：． 5．C 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形，结合直角三角形的性质求出，，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出，根据相似三角形的性质求出，即可判断①；设，则，再根据勾股定理求出，，即可判断②；再根据锐角三角函数定义判断③④． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故①正确，符合题意； 设，则， ∵， ∴（负值已舍）， ∴，， ∴， 故②正确，符合题意； ∵，， ∴， 故③正确，符合题意； ∵， ∴（负值已舍）， ∴， 故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的有①②③，共3个， 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．连接，连接，易知，由勾股定理逆定理可以证明为直角三角形，所以即可得答案． 【详解】如图，连接，连接 由图可知： ∴四边形是平行四边形 在中，有， ∴为直角三角形， 故选：A 7．A 【分析】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，解直角三角形，过点A作y轴的平行线交x轴与点E，过点B过作该平行线的垂线垂足为点I，交y轴于点F，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，解直角三角形，求出，利用矩形的性质得到，求出，进而求出，即可得到点B的坐标． 【详解】解：如图，过点A作y轴的平行线交x轴与点E，过点B作该平行线的垂线垂足为点I，交y轴于点F，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，则， ∵矩形中，，，， ∴，， ∴， ∴， 同理，， ∴在中，，， ∴在中，，， ∴在中，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵点B在第二象限， ∴点B的坐标为． 故选：A． 8．D 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形的应用，掌握直角三角形的性质，灵活运用锐角三角函数是解题关键．过点作于点，由矩形的性质可得，利用锐角三角函数求出，进而得到，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意可知，，， ， 四边形是矩形，， ， ， 在中，， ， 是的中点 ， 在中，， ， 故选：D 9．D 【分析】本题考查了用定义求三角函数，同时考查了特殊角的三角函数值，如何作辅助线，是解题的关键．过点D作垂直于的延长线于点E，在中，解得，在中，解得，设，得到，在中，根据正切的定义，解得，在中，，最后，在中，根据正切的定义解题即可． 【详解】解：如图所示，过点D作垂直于的延长线于点E， ∵在中，，在中，， ∴， ∵， ∴，， ∴设，则， 在中， ∵， ∴， ∴， 解得：， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴在中，． 故选：D． 10．D 【分析】此题考查了解直角三角形的应用以及平移的性质，勾股定理，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．过点作于点D，设，由中，，将沿直线平移得到，为的中点，可求得与的长，继而求得答案． 【详解】解：过点作于点D， 设， 中，， ， ， 为的中点， ∵将沿直线平移得到， ， ，， ， ， 故选：D 11．2或 【分析】本题考查了勾股定理和三角函数的有关知识，分类讨论，当和，再根据三角函数和勾股定理求解即可． 【详解】解：若， ， ， ， ， 解得； 若， ， ， 综上所述，的长为2或． 12． 【分析】本题考查解直角三角形，含30度角的直角三角形．由，得到，求出，，由含30度角的直角三角形的性质推出． 【详解】解：， ， 于， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13． 【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到． 【详解】解：过作，如图所示： 在中，，， ， 在中，， ，即， ， 由勾股定理得； ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键． 14． 【分析】过作于，则，求出和的长，再解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，过作于， ∴， ∵小正方形的边长为， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形．理解和掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 15．5 【分析】本题考查平行线分线段成比例，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，过点作，，交于点，根据平行线分线段成比例，得到，证明，求出的长，勾股定理求出的长，锐角三角形函数求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作，，交于点，则：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：； 故答案为：5． 16． 【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，熟练掌握解直角三角形是解题的关键，由勾股定理和解直角三角形得，，进而得，，利用面积法求得，进而即可得解． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴, ∴． 17． 【分析】本题主要考查解直角三角形，平行线分线段成比例定理、规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法．解直角三角形求出，，，，探究出规律利用规律即可解决问题． 【详解】解：在中， ，， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ， 由此规律可知， 故答案为：． 18． / 【分析】过点作，交、于点E、F，根据折叠可知：，，求出，得出，求出，再求出此时即可；当点在上时，先求出，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，最后求出正切值即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 过点作，交、于点E、F，如图所示： ∵m为矩形的对称轴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 根据折叠可知：，， 在中， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在上时， ∵n为矩形的对称轴， ∴，， 根据折叠可知：，， 根据勾股定理得：， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，折叠的性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． 19．(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形，熟练应用特殊角的三角函数值是解题关键， （1）作于点H，先求出，即可求出结论； （2）先求出，进而得出，根据勾股定理求出结论即可； 【详解】（1）解：作于点H， 在中，， ， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ， ， 在中， ． 20． 【分析】本题主要考查了平行线的性质和特殊角的三角函数，熟练掌握平行线的性质及特殊角三角函数是解题的关键； 过点B作于点M，根据题意可求出的长度，然后根据平行线的性质得，根据三角函数得出，，在中利用特殊角三角函数得出，进而可得出答案． 【详解】解：过点B作于点M， 在中，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， 在中 ∴，， 在中，，， ∴． ∴， ∴． 21．托板顶点A到底座CD所在平面的距离为248mm． 【分析】过点B作，，交CD于点G，过点A作，交BE于点F，由平行线的性质可得，得出，在与中，分别利用锐角三角函数求解得出，，托板顶点A到底座CD所在平面的距离即可得出． 【详解】解：如图所示：过点B作，，交CD于点G，过点A作，交BE于点F， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 答：托板顶点A到底座CD所在平面的距离为． 【点睛】题目主要考查平行线的性质，利用锐角三角函数解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用锐角三角函数是解题关键． 22．（1）见解析，（2），（3） 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理、三角函数、三角形面积，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形； （1）由，，得，可证， （2）过点C作于点N． ∵，，，根据（1）的方法同理可得，得，由得，再有勾股定理求出，即可解答； （3）过点A作于点E，过点D作，交的延长线于点F． 根据（1）的方法同理可得，得，求出，根据三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴． 又∵， ∴． （2）解：如图①，过点C作于点N． ∵，，， 根据（1）的方法同理可得， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴． 在中，，， ∴， ∴． （3）解：如图②，过点A作于点E，过点D作， 交的延长线于点F． ∵，，， 根据（1）的方法同理可得， ∴， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故栽种竹子的面积（即的面积）为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $