28.2.2 第2课时 方位角及坡度（坡角）问题-【木牍中考·名师教案】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）

该教案聚焦方位角及坡度（坡角）的实际应用，通过合作探究衔接解直角三角形边角关系，以海轮航行、斜坡改造等实例为支架，搭建数学知识到现实问题的转化桥梁。 特色在于强化数学建模与数形结合，如将航行问题转化为双直角三角形模型，变式训练引导学生自主作辅助线构建图形，培养几何直观与空间观念，体现数学眼光与思维。助力教师突破实际问题转化难点，提升学生用数学语言表达现实问题的能力，落实核心素养。

第2课时　方位角及坡度（坡角）问题 ◇教学目标◇ 　　1.能用方位角、坡度（坡比）、坡角解决简单的实际问题. 2.在解决实际问题的过程中，体会数学建模和数形结合的思想. 3.利用解直角三角形知识解决实际问题的过程中，尽可能培养学生用数学解决问题的意识，提高学生独立思考问题的能力. ◇教学重难点◇ 教学重点 理解方位角、坡度（坡比）、坡角等相关概念在实际问题中的含义. 教学难点 将实际问题转化成数学模型. ◇教学过程◇ 二、合作探究 探究点1　解直角三角形中的方位角问题 典例1　如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时，B处距离灯塔有多远？（结果保留整数，参考数据：sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91，sin 34°≈0.56，cos 34°≈0.83） ［解析］　在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°-65°）=80×cos 25°≈72.8. 在Rt△BPC中，∵sin B=， ∴PB=≈130（n mile）. 答：当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130 n mile. 变式训练　数学课外实践活动中，小林在某条公路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量.如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°.若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14） ［解析］　过点D作DE⊥AC，垂足为点E. 设BE=x. 在Rt△DEB中，tan ∠DBE=， ∵∠DBC=65°，∴DE=xtan 65°. 又∵∠DAC=45°，∴AE=DE， ∴132+x=xtan 65°，解得x≈115.8， ∴DE≈248米. 答：观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米. 探究点2　解直角三角形中的坡度、坡角问题 典例2　如图，某地下车库的入口处有斜坡AB，它的坡度为i=1∶2，斜坡AB的长为6 m，斜坡的高度为AH（AH⊥BC），为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14°（图中的∠ACB=14°）. （1）求车库的高度AH； （2）求点B与点C之间的距离.（结果精确到1 m，参考数据：sin 14°≈0.24，cos 14°≈0.97，tan 14°≈0.25） ［解析］（1）利用坡度为i=1∶2，得到AH∶BH=1∶2，进而利用勾股定理求出AH的长；（2）利用tan 14°=，求出BC的长即可. 解：（1）由题意可得AH∶BH=1∶2，设AH=x，得BH=2x，故x2+（2x）2=（6）2，解得x=6，故车库的高度AH为6 m. （2）∵AH=6，∴BH=2AH=12， ∴CH=BC+BH=BC+12. 在Rt△AHC中，∠AHC=90°， ∴tan ∠ACB=. 又∵∠ACB=14°，∴tan 14°=，即≈0.25，解得BC=12 m. 答：点B与点C之间的距离约是12 m. 技巧点拨解直角三角形中的坡度、坡角问题，明确坡度等于坡角的正切值是解题的关键. 三、板书设计 方位角及坡度（坡角）问题 1.方位角的意义. 2.坡度、坡角的意义. 3.应用方位角、坡度、坡角解决实际问题. ◇教学反思◇ 将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要求学生通过对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，画出适合的图形，这一方面在教学过程应由学生展开，并留给学生思考的时间，让学生充分的自主思考，促使学生积极主动地学习. 1 立足安徽 精准备考 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $