第01讲 图形的相似（知识解读+题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年人教版九年级数学下册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦图形的相似核心内容，构建从比例线段（含线段比、成比例线段、比例性质）到黄金分割比，再到平行线分线段成比例，最终延伸至相似图形与相似多边形的递进式知识支架。 资料融合各地期中、模考真题设计典例与变式，通过雕像设计、建筑艺术等实例渗透黄金分割，培养几何直观与模型意识，分层题型助力课中教学实施，课后可帮助学生查漏补缺，提升推理能力与应用意识。

第01讲 图形的相似 【知识1 比例线段】 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 【题型1 比例性质】 【典例1】（2025·上海崇明·一模）如果，那么的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：2 【变式1】（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查比的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；由已知比例，可设参数表示a和b，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：由可设，（其中），则 ； 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·山西晋中·期中）若，且，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，解题的关键是掌握该性质． 根据比例的性质，由已知条件可直接得出选项A正确；其他选项通过代入比例关系验证均错误． 【详解】解：∵ ，且， ∴ ，故选项A正确。 对于选项B：由得，即（∵ ），故B错误。 对于选项C：由得，则， ∴ ，故C错误。 对于选项D：由，设，（），则， ∴ ，故D错误。 故选：A． 【变式3】（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质、代数式求值等知识点，掌握比例的性质是解题的关键． 设比例常数为，用表示、、，然后代入所求分式计算即可． 【详解】解：设（），则，，． 代入得：． 故答案为：． 【题型2 比例线段】 【典例2】（25-26九年级上·福建泉州·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（  ） A．1，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1，2，3，5 D．2，3，4，6 【答案】D 【分析】本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； C、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； D、，故此选项中四条线段成比例，故本选项符合题意， 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·北京昌平·期中）在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部的高度比，等于下部与全身的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为，设它的下部的高度应设计为，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出比例方程，设它的下部的高度应设计为，则上部高为，根据题意得，解题的关键是根据比例关系正确列出等式． 【详解】解：设它的下部的高度应设计为，则上部高为， 根据题意得， 故选：． 【变式2】（25-26九年级上·上海崇明·期中）在比例尺为的地图上，相距的两地实际距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查比例尺的相关计算，较为简单．根据比例尺的定义，地图上的距离与实际距离的比是，由此计算实际距离，并换算单位． 【详解】解：地图上距离为，比例尺为， 故实际距离为， 由于 ， 因此实际距离为， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，点在边上，连接，已知，若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段的应用，解题的关键是根据已知比例关系建立方程求解． 先根据线段的和差关系表示出，再结合已知的比例关系建立方程． 【详解】解：由图可知，， ，，， ， 解得， 经检验，是原方程的根，即． 【题型3 成比例线段】 【典例3】（25-26九年级上·广西贵港·期中）下列各组线段中，能成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查成比例线段，熟记成比例线段定义是解决问题的关键． 判断四条线段是否成比例，需检查是否有两条线段的比值等于另外两条线段的比值，对于选项A，按给定顺序计算前两条线段和后两条线段的比值相等，故线段成比例，即可得到答案． 【详解】解：A、由可知，四条线段成比例，符合题意； B、由可知，四条线段不能成比例，不符合题意； C、由可知，四条线段不能成比例，不符合题意； D、由可知，四条线段不能成比例，不符合题意； 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·河南周口·月考）现有四条线段，长度按从短到长的顺序分别为．若这四条线段是成比例线段，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，四条线段成比例，那么一定满足最短的线段的长与第二短的线段的长的比值等于第三短的线段的长与最长的线段的长的比值，据此列式求解即可． 【详解】解：∵有四条线段，长度按从短到长的顺序分别为．且这四条线段是成比例线段， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知线段是线段a，b的比例中项，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例中项的定义，正确理解比例中的定义是解题的关键．根据比例中项的定义，线段 是线段 和 的比例中项时，满足 ，代入已知数值计算即可． 【详解】解：因为线段 是线段 和 的比例中项， 所以 ， 当 ，时， ， 因此 ． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知线段，，满足． (1)求的值； (2)当线段是，的比例中项且时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了比例线段，能根据题中所给等式，用表示出进而代入计算是解题的关键． （1）根据题意，用表示出，再进行计算，即可求解； （2）根据比例中项的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 故， ∴． （2）解：∵，， 故， ∵线段是，的比例中项， ∴， 故（负值舍去）． 知识点2 黄金分割比 1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 注意：一条线段的黄金分割点有两个. 【题型4 黄金分割比】 【典例4】（25-26九年级上·湖南永州·期中）大自然巧夺天工，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割点．掌握黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键． 根据黄金分割点的定义即得出，代入数据，求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知线段，点P是它的黄金分割点，，则的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：∵点P是它的黄金分割点，， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·山东青岛·期中）黄金分割（比值约为）具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感．如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处点恰好是横画的黄金分割点（），若横画的长为，则的长为（    ）（结果保留到） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割的定义，把，代入求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴． 故选B． 【变式3】（25-26九年级上·广东深圳·期中）黄金分割率被视为最美丽的几何学比率，广泛地应用于建筑和艺术中．如图，已知点是笛子的黄金分割点（），若笛子长，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割． 根据黄金分割点的定义，计算即可． 【详解】解：∵点是笛子的黄金分割点，， ∴， ∵笛子长， ∴， ∴长为． 故选：A． 知识点3 平行线分线段成比例 类型1 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 几何语言： 拓展： （1）如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等； （2）经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边； （3）经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。 类型2 平行线分线段成比例定理 （1） 定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例. （2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例 【题型5 由平行线判断成比例的线段】 【典例5】（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，若，则下列各式错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由平行判断成比例的线段，解题关键是正确列出比例式． 根据由平行判断成比例的线段，正确列出比例式，再对四个式子逐一作出判断． 【详解】解：∵， ∴，，， 不能推得，故A、B、C正确，D错误， 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图是佳佳的作业，其中一部分被墨水污染了，则污染的部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平行线分线段成比例，根据一组平行线分线段得到对应线段成比例，据此解答 【详解】解：∵， ∴， 故选：C 【变式2】（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，点，分别在边，上，，，，且，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是分式方程的实际应用，解题关键是将、、代入求解． 将、、代入，其中，解分式方程即可得到答案． 【详解】解：，，，， 又， ， 解得， 经检验是原方程的解． 的长为． 【变式3】（24-25九年级上·河南鹤壁·月考）如图， 在中， ， ， 则下列式子一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选项A错误，不符合题意； ∵，， ∴，四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 故选项B正确，符合题意； ∵， ∴， 故选项C错误，不符合题意； ∵ ∴， 故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 【题型6 由平行截线求相关相关线段的长或比值】 【典例6】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，直线，，，那么的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查平行线分线段成比例，先根据已知得到 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：4． 【变式1】（25-26九年级上·广西贵港·期中）如图，在中，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答． 【详解】解： ， ， 设，则， ， 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，，与交于点E，若，，，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由，得，则，由，得． 【详解】解：， ． ， ． ， ， ． 故选：B． 【变式3】（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，根据平行线等分线段成比例列出比例式是解题的关键． 根据平行线分线段成比例可知，然后代入数值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 故答案为：6． 知识点5 相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 注意： 　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形是全等； 【题型7 相似图形的定义】 【典例7】（25-26九年级上·山西运城·期中）下列四组图形中，不是相似图形的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，正确理解相似图形的定义是解题的关键，根据相似图形的定义逐一判断选项即可． 【详解】A、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； B、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； C、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； D、形状不相同，不符合相似图形的定义，符合题意． 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·福建三明·期中）下列两个图形一定相似的是（   ） A．两个正方形 B．两个菱形 C．两个矩形 D．两个三角形 【答案】A 【分析】本题考查相似图形的判断．根据相似图形的定义，对应角相等且对应边成比例的两个图形相似．分析各选项，只有两个正方形满足一定相似的条件． 【详解】解：A∵ 两个正方形的所有内角均为，对应角相等，对应边成比例． ∴ 两个正方形一定相似，符合题意． B. 两个菱形对应角不一定相等，不一定相似，不符合题意； C. 两个矩形对应边不一定成比例，不一定相似，不符合题意； D. 两个三角形对应角和边不一定满足条件，不一定相似，不符合题意． 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·广西桂林·期中）下面几对图形中，相似的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的识别，形状相同的两个图形叫做相似图形，据此可得答案． 【详解】解：由相似图形的定义可知，四个选项中只有D选项中的两个图形相似， 故选：D． 【变式3】（23-24九年级上·浙江杭州·月考）下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形，根据相似图形的定义逐项判断即可． 【详解】因为两个矩形的对应角相等，对应边不一定成比例，可知两个矩形不一定相似，所以A不符合题意； 因为两个菱形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，可知两个菱形不一定相似，所以B不符合题意； 因为两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，可知两个等腰三角形不一定相似，所以C不符合题意； 因为两个等腰直角三角形的对应角相等，对应边成比例，可知两个等腰直角三角形相似，所以D符合题意． 故选：D． 知识点6 相似多边形 1.相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2） 相似多边形对应边的比称为相似比． 2.相似多边形的性质 ① 相似三角形对应高的比、对应 角平分线 的比和对应中线的比都等于 相似比。 ② 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方（或相似比等于面积比的 算术平方根）。 ③相似多边形的 对应角 相等，对应边的比相等。 【题型8 相似多边形的性质】 【典例8】（2025九年级上·山西晋中·专题练习）两相似五边形的相似比为，它们面积之差为，那么较小的五边形的面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似多边形的性质，相似多边形的面积比等于相似比的平方，由相似比得面积比，再根据面积差列方程求解． 【详解】解：∵两相似五边形的相似比为， ∴两相似五边形的面积比为， 设较大的五边形面积为，较小的五边形面积为． ∵它们面积之差为， ∴， 解得， ∴较小的五边形面积为． 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，这两个四边形相似，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似图形的性质，多边形内角和．根据相似图形的性质可知左图第四个角的度数，根据多边形内角和求出四边形内角和，进而可求的度数． 【详解】解：∵两个四边形相似， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·山西太原·期中）如图，某公司设计了两款正六边形的地砖，用于拼接艺术地板．已知大号地砖与小号地砖的相似比为．若小号地砖的边长为，则大号地砖的边长为 ． 【答案】50 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．根据相似多边形的边长之比等于相似比，列方程求解即可． 【详解】解：设大号地砖的边长为， 则， 解得， 大号地砖的边长为． 故答案为：50． 【变式3】（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知矩形矩形，点D，C分别在线段上，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，相似多边形的性质，由矩形的性质可得，由矩形矩形，可得，代数求解即可． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为： 1．（25-26九年级上·吉林长春·期中）在下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（   ） A．1，3，6，9 B．2，3，4，5 C．1，，2， D．3，6，4，8 【答案】D 【分析】本题考查了成比例线段的定义．熟练掌握成比例线段的定义是解题的关键． 如果四条线段中，其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，那么这四条线段叫做成比例线段． 判断四条线段是否成比例，可通过计算第一条与第四条线段的乘积，以及第二条与第三条线段的乘积，若相等则成比例． 【详解】A．，，，∴ 不成比例； B．，，，∴ 不成比例； C．，，，∴ 不成比例； D．，，，∴ 成比例． 故选：D． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）下列各组图形中，不是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似图形的识别，我们把形状相同的图形称为相似形．关键要联系实际，根据相似图形的定义得出． 根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，依据定义即可解决． 【详解】解：A、两个图形相似，故不符合题意； B、两个图形相似，故不符合题意； C、两个三角形不相似，故符合题意； D、两个图形相似，故不符合题意， 故选：C． 3．（25-26九年级上·河北张家口·期中）嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，她想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：设该化石的实际长度为，依题意， ， 解得：． 故选：D． 4．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）若，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了比例的性质， 设，则，代入求值即可． 【详解】解：设，则， ∴， 故选：B 5.（25-26九年级上·山东济南·期中）如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比时，可以发出“”的音符．若，则水面高度为（   ） A．4.6cm B．6.4cm C．7.2cm D．7.4cm 【答案】D 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， 与之比为黄金比， ， ， ． 故选：D． 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点，，分别是边，，上的点，，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 先由得到，那么，再由即可得到． 【详解】解： ． 故选：D． 7．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，已知直线，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ， ， 故选：D． 8.（24-25九年级上·江苏无锡·期末）若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了比例的性质，由已知比例可得，再把代入所求表达式中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图是某花架及其侧面示意图，已知，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握定理， 根据，列出，求出的长即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·山东青岛·期中）纸是日常办公与学习中广泛应用的标准打印用纸．沿一张纸较长两边的中点将纸一分为二，所得的两张纸的边缘形状仍然与原来的纸相似，那么纸的长、宽之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似的性质，二次根式的化简，理解题意，正确列式求解是关键． 设纸的长为，宽为，原的宽为，长为，由相似的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：设纸的长为，宽为， ∴原的宽为，长为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴原纸的长与宽的比为：， 故答案为： ． 11．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知线段a，b的长满足． (1)求的值； (2)当线段m是a，b的比例中项，且时，求m的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例中项的定义．熟练掌握比例的性质是解题的关键． （1）根据比例的性质求解即可； （2）根据比例中项的定义，得到，再根据，可得即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵线段m是a，b的比例中项， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．（2025九年级上·山西晋中·专题练习）如图，在中，D，E分别是和上的点，且， (1)若，求的长 (2)若，求的长 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，正确得到比例式是解题的关键． (1)根据平行线分线段成比例，可以求得的长； (2)根据平行线分线段成比例，可以求得的长，从而可以求得的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 图形的相似 【知识1 比例线段】 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 【题型1 比例性质】 【典例1】（2025·上海崇明·一模）如果，那么的值为 ． 【变式1】（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）如果，那么 ． 【变式2】（25-26九年级上·山西晋中·期中）若，且，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知，则的值为 ． 【题型2 比例线段】 【典例2】（25-26九年级上·福建泉州·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（  ） A．1，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1，2，3，5 D．2，3，4，6 【变式1】（25-26九年级上·北京昌平·期中）在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部的高度比，等于下部与全身的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为，设它的下部的高度应设计为，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·上海崇明·期中）在比例尺为的地图上，相距的两地实际距离是 ． 【变式3】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，点在边上，连接，已知，若，，，求的长． 【题型3 成比例线段】 【典例3】（25-26九年级上·广西贵港·期中）下列各组线段中，能成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·河南周口·月考）现有四条线段，长度按从短到长的顺序分别为．若这四条线段是成比例线段，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知线段是线段a，b的比例中项，若，，则线段的长为 ． 【变式3】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知线段，，满足． (1)求的值； (2)当线段是，的比例中项且时，求的值． 知识点2 黄金分割比 1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 注意：一条线段的黄金分割点有两个. 【题型4 黄金分割比】 【典例4】（25-26九年级上·湖南永州·期中）大自然巧夺天工，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知线段，点P是它的黄金分割点，，则的长度为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·山东青岛·期中）黄金分割（比值约为）具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感．如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处点恰好是横画的黄金分割点（），若横画的长为，则的长为（    ）（结果保留到） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·广东深圳·期中）黄金分割率被视为最美丽的几何学比率，广泛地应用于建筑和艺术中．如图，已知点是笛子的黄金分割点（），若笛子长，则长为（    ） A． B． C． D． 知识点3 平行线分线段成比例 类型1 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 几何语言： 拓展： （1）如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等； （2）经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边； （3）经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。 类型2 平行线分线段成比例定理 （1） 定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例. （2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例 【题型5 由平行线判断成比例的线段】 【典例5】（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，若，则下列各式错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图是佳佳的作业，其中一部分被墨水污染了，则污染的部分是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，点，分别在边，上，，，，且，求的长． 【变式3】（24-25九年级上·河南鹤壁·月考）如图， 在中， ， ， 则下列式子一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型6 由平行截线求相关相关线段的长或比值】 【典例6】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，直线，，，那么的值是 ． 【变式1】（25-26九年级上·广西贵港·期中）如图，在中，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，，与交于点E，若，，，则（   ） A． B． C．2 D．3 【变式3】（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为 ． 知识点5 相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 注意： 　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形是全等； 【题型7 相似图形的定义】 【典例7】（25-26九年级上·山西运城·期中）下列四组图形中，不是相似图形的是（    ） A．B．C．D． 【变式1】（25-26九年级上·福建三明·期中）下列两个图形一定相似的是（   ） A．两个正方形 B．两个菱形 C．两个矩形 D．两个三角形 【变式2】（25-26九年级上·广西桂林·期中）下面几对图形中，相似的是（    ） A．B．C．D． 【变式3】（23-24九年级上·浙江杭州·月考）下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形 知识点6 相似多边形 1.相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2） 相似多边形对应边的比称为相似比． 2.相似多边形的性质 ① 相似三角形对应高的比、对应 角平分线 的比和对应中线的比都等于 相似比。 ② 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方（或相似比等于面积比的 算术平方根）。 ③相似多边形的 对应角 相等，对应边的比相等。 【题型8 相似多边形的性质】 【典例8】（2025九年级上·山西晋中·专题练习）两相似五边形的相似比为，它们面积之差为，那么较小的五边形的面积是 ． 【变式1】（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，这两个四边形相似，则的度数是 ． 【变式2】（25-26九年级上·山西太原·期中）如图，某公司设计了两款正六边形的地砖，用于拼接艺术地板．已知大号地砖与小号地砖的相似比为．若小号地砖的边长为，则大号地砖的边长为 ． 【变式3】（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知矩形矩形，点D，C分别在线段上，若，则线段的长为 ． 1．（25-26九年级上·吉林长春·期中）在下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（   ） A．1，3，6，9 B．2，3，4，5 C．1，，2， D．3，6，4，8 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）下列各组图形中，不是相似图形的是（   ） A．B．C． D． 3．（25-26九年级上·河北张家口·期中）嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，她想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）若，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 5.（25-26九年级上·山东济南·期中）如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比时，可以发出“”的音符．若，则水面高度为（   ） A．4.6cm B．6.4cm C．7.2cm D．7.4cm 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点，，分别是边，，上的点，，，且，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，已知直线，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 8.（24-25九年级上·江苏无锡·期末）若，则的值为 ． 9．（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图是某花架及其侧面示意图，已知，，，则的长为 ． 10．（25-26九年级上·山东青岛·期中）纸是日常办公与学习中广泛应用的标准打印用纸．沿一张纸较长两边的中点将纸一分为二，所得的两张纸的边缘形状仍然与原来的纸相似，那么纸的长、宽之比是 ． 11．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知线段a，b的长满足． (1)求的值； (2)当线段m是a，b的比例中项，且时，求m的值． 12．（2025九年级上·山西晋中·专题练习）如图，在中，D，E分别是和上的点，且， (1)若，求的长 (2)若，求的长 学科网（北京）股份有限公司 $