2.5～2.6 实验：用单摆测量重力加速度＆受迫振动 共振（专题训练）-2025-2026学年高二上学期物理同步知识点解读与专题训练（人教版选择性必修第一册）

2.5~2.6 实验：用单摆测量重力加速度＆受迫振动 共振（专题训练） 【考点1 用单摆测量重力加速度的大小】 1 【考点2 阻尼振动】 12 【考点3 受迫振动与共振】 17 【考点1 用单摆测量重力加速度的大小】 1．在“用单摆测量重力加速度”的实验中，实验装置如图所示，细线的上端固定在铁架台上，下端系一个小钢球，做成一个单摆。实验中有个同学发现他测得重力加速度的值偏大，其原因是（　　） A．测摆线长时摆线拉得过紧 B．单摆所用摆球质量太大 C．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了 D．把n次全振动时间误当成次全振动时间 【答案】A 【详解】根据可得 单摆的周期为，摆长为 则方程联立解得 A．测摆线长时摆线拉得过紧，使摆线长度测量值偏大，由上述分析可知，则测得重力加速度偏大，故A正确； B．由上述分析得单摆的周期与摆球的质量无关，故对重力加速度的测量无影响，故B错误； C．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了（但仍按最初测量值计算），振动周期变大，则测得重力加速度偏小，故C错误； D．把n次全振动时间误当成次全振动时间，导致周期的测量值偏大，使重力加速度的测量值偏小，故D错误。 故选A。 2．在用单摆测定重力加速度”实验中：测得小球的直径为D，改变摆长，测出几组摆线长度l（悬点到摆球最顶端的距离）和对应周期T的数据作出l-T2图像。由图可知（　　） A．纵轴截距的绝对值应为D B．纵轴截距的绝对值应为 C． D． 【答案】C 【详解】AB．根据，得 其中 得 故纵轴截距的绝对值应为，故AB错误； CD．图像的斜率 解得，故C正确，D错误。 故选C。 3．（多选）“用单摆测量重力加速度”的实验装置如图甲所示，某次实验时测得摆线的长度为80.00cm，用螺旋测微器测量小球的直径如图乙所示，显示器上显示出绳的拉力随时间变化的图像如图丙所示，、及、、、均为已知量。下列说法正确的是（　　） A．该次实验时单摆的摆长为810.243mm B．该次实验时单摆的周期为 C．由测量数据可以求得摆球的质量 D．改变摆线长，重复实验，得到多组数据，画出图像丁，图像的斜率为，则 【答案】B 【详解】A．小球的直径为 该次实验时单摆的摆长为 B．由图可知t=0时刻摆球处于最大位移处，t4时刻摆球又返回到初始时刻的最大位移处，所以该次实验时单摆的周期为t4，故B正确； C．根据图丙可知，绳的拉力F随时间t变化，但仅根据绳的拉力随时间的变化关系，无法求出摆球的质量，故C错误； D．根据单摆周期公式 可得 图像的斜率为 故D错误。 故选B。 4．实验小组的同学们用如图所示的装置做用单摆测量重力加速度的实验。 (1)用表示单摆的长度，用表示单摆的周期，则重力加强度 。（用、表示） (2)同学用游标卡尺测得单摆小球的直径如图所示，小球直径为 。 (3)将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是___________（选填选项前的字母）。 A．测出摆线长作为单摆的摆长 B．把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之在竖直平面内做简谐运动 C．在摆球经过平衡位置时开始计时 D．用秒表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期 【答案】(1) (2)1.070 (3)BC 【详解】（1）根据单摆的振动周期公式 可得重力加速度为 （2）小球直径为 （3）A．测出摆线长加上摆球的半径作为单摆的摆长，A错误； B．把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之在竖直平面内做简谐运动，B正确； C．摆球在平衡位置处速度最大，测量误差小，在摆球经过平衡位置时开始计时，C正确； D．用秒表测量单摆完成至少30次全振动所用时间，求出周期的平均值作为单摆的周期，D错误。 故选BC。 5．手机phyphox软件通过内置传感器采集数据并经运算可直接测出手机的位移数据，实验小组用此来测当地重力加速度。装置如图甲，用两根竖直平行细线固定手机，线上端固定在铁架台铁杆下端，静止在平衡位置时手机表面保持水平。忽略细线的质量和伸缩，以下问题中，取，结果保留三位有效数字。 (1)手机应该在 （选填“垂直、平行”）于纸面的平面内摆动， (2)实验小组成员不能确定手机的重心在哪里，就只测了手机上表面到细线悬点的距离L，然后逐次减小这个距离,正确操作后连续两次手机显示的振动图像如图乙所示，，则可得出当地重力加速度为 m/s2。 (3)测出多组距离L和对应的振动图像（由振动图像获得周期T），画出图，正确的是 （选填“丙”或“丁”）。 【答案】(1)垂直 (2)9.65 (3)丙 【详解】（1）手机只有垂直于纸面摆动，手机才做稳定的简谐运动。 （2）设手机的重心到手机上表面的距离为，由单摆周期公式可得， 联立解得， 解得 （3）根据上述分析可知，单摆的周期 解得 因此图像为丙图。 6．如图1所示为小朋友玩的不倒翁玩具，某兴趣小组想测量该不倒翁重心的位置， 设计如图 2 所示实验，轻质细绳上端连接一力传感器，可测摆绳上的张力，力传感器连接电脑可描绘出的关系如图 3 所示，忽略空气阻力。 (1)该单摆的周期与的大小关系为___________； A． B． C． (2)该兴趣小组的同学测量了摆线长度，改变摆线长并测出对应的周期，绘制（纵轴）关于（横轴）变化的图线，图线的纵截距大小为，斜率为，则重力加速度 ，不倒翁重心到它顶端的距离 。 【答案】(1)C (2) 【详解】（1）最高点绳子拉力最小，最低点绳子拉力最大，所以，即 故选C。 （2）[1][2]设不倒翁重心到不倒翁顶部的距离为，由单摆周期 可得 图像的纵截距的大小为，可得不倒翁重心到它顶部的距离 斜率为 可得重力加速度 7．随着科技发展，智能手机不仅为我们的生活带来了便利，也可以利用它的摄像头和内部传感器协助我们完成物理实验。某同学在“用单摆测量重力加速度”的实验中，利用了智能手机磁传感器和一个磁性小球进行了如下实验： (1)将摆线上端固定在铁架台上，下端系在小球上，做成图1所示的单摆。在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长，再用游标卡尺测得摆球的直径为（读数如图2所示）。从图2可知，摆球的直径为 。 (2)将智能手机磁传感器置于磁性小球平衡位置正下方，打开智能手机的磁传感器，准备测量磁感应强度的变化。将磁性小球由平衡位置拉开一个小角度，由静止释放，手机软件记录磁感应强度的变化曲线如图3所示。由图3可知，单摆的周期为 。 (3)经测量得到6组不同的摆长和对应的周期，画出图线，然后在图线上选取、两个点，坐标如图4所示。则当地重力加速度的表达式 。图4中图像不过原点的原因是 。 A．计算摆长时用的是摆线长度而未计入小球半径 B．计算摆长时用的是摆线长度加上小球直径 C． 所选小球的密度过大 D．没有在最低点开始计时 (4)另一同学只通过一次实验测量出重力加速度，但由于操作失误，致使摆球不在同一竖直平面内运动，而是在水平面内做圆周运动，如图5所示，这时如果测出摆球做这种运动的周期，仍用单摆的周期公式求出重力加速度，则求出的重力加速度与重力加速度的实际值相比 。 A．偏大 B．偏小 C．不变 D．都有可能 【答案】(1)10.70 (2) (3) A (4)A 【详解】（1）20分度游标卡尺的精确值为，由图2可知摆球的直径为 （2）实验中，磁性小球经过最低点时测得的磁感应强度最大，由图3可知单摆的周期为 （3）[1]根据 解得 结合图像，可得 解得 [2]A．若计算摆长时用的是摆线长度而未计入小球半径，则有 可得 可知图像有负的纵轴截距，满足图4中的图像，故A正确； B．计算摆长时用的是摆线长度加上小球直径，则有 可得 可知图像有正的纵轴截距，故B错误； C．所选小球的密度过大，不会使图像不过原点，故C错误； D．没有在最低点开始计时，不会使图像不过原点，故D错误。 故选A。 （4）但由于操作失误，致使摆球不在同一竖直平面内运动，而是在一个水平面内做圆周运动，如图所示 由牛顿第二定律可得 解得 可知单摆周期测量值偏小，则求出的重力加速度与重力加速度的实际值相比偏大。 故选A。 8．在“用单摆做测量重力加速度”的实验中，采用双线摆，装置如图1所示。 (1)改单线摆为双线摆的目的是__________。 A．便于测量摆长 B．便于小球在竖直面内摆动 C．无需控制摆角大小 (2)调整悬挂点、等高，如图2所示，用刻度尺测量两悬挂点之间的距离 cm。 (3)测得小球直径为，两根摆线的长度均为，则摆长 。（用、、表示） (4)如图3所示，将小磁铁吸在小球底端，手机放置在小球摆动最低点的正下方。打开手机磁力传感器，采集到磁感应强度随时间变化的图像如图4所示，则单摆的周期 s。（结果保留3位有效数字） (5)改变两铁架台之间的距离，多次测量，作出图像。忽略手机对摆的影响，若仅考虑磁铁对摆长的影响，你认为用图像法计算的重力加速度是否有偏差？请简要说明理由 。 【答案】(1)B (2)7.20 (3) (4)1.82 (5)无偏差，理由见解析 【详解】（1）改单线摆为双线摆的目的是便于小球在竖直面内摆动，故选B。 （2）刻度尺测量两悬挂点之间的距离7.20cm。 （3）摆长 （4）由图可知单摆的周期 （5）仅考虑磁铁对摆长的影响，则摆球的重心下移，根据单摆周期公式 可得 则T2-L图像斜率无影响，即用图像法计算的重力加速度没有偏差。 9．实验小组成员准备测量重庆的重力加速度，在实验室发现有一单摆装置竖直挂于某深度h（未知）且开口向下的小筒中（单摆的下部分露出筒外），如图甲所示。将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，单摆振动过程中悬线不会碰到小筒，找到的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球上端的距离为x，并通过游标卡尺测出球的直径为d，记录筒的下端口到摆球球心的距离之后多次改变l而测出对应的周期T，再以为纵轴、l为横轴作出函数关系图像，通过此图像得出小筒的深度h和重力加速度的大小g，计算取 (1)利用游标卡尺测出的小球直径如图乙所示，直径 cm。 (2)如果实验中所得到的关系图像如图丙所示，那么实际的图像应是a、b、c中的 。 (3)由图像可知，小筒的深度h m，当地的重力加速度g= m/s2（此小问均保留到小数点后两位） 【答案】(1)1.53 (2)c (3) 0.50 9.82 【详解】（1）利用游标卡尺测出的小球直径1.5cm+0.1mm×3=1.53cm。 （2）根据单摆周期公式 可得 可知T2-l图像为c； （3）[1][2]由图像可知， 解得h=0.50m，g=9.82m/s2 10．某实验小组分别通过“自由落体运动”与“单摆运动”测量当地重力加速度。 (1)通过自由落体运动测重力加速度：某次实验中打点计时器打出的纸带如图甲所示，打点计时器供电频率为，用刻度尺测得、、、、、，根据该纸带数据可测得加速度 （结果保留3位有效数字）。通过多次实验发现，所测重力加速度的值总是存在误差，请写出一种能够提高实验精度的措施： 。 (2)通过单摆实验测重力加速度：用螺旋测微计测量小球直径，如图乙所示， mm。安装好实验装置，拨动摆球，测量并记录单摆的周期以及摆长。改变摆长并重复实验。作出摆长与周期的平方的关系图像如图丙所示，请根据图丙中的数据计算出重力加速度 （已知，结果保留3位有效数字）。某细心的同学发现实验绘制的图像并不过坐标原点，请你写出一种可能的原因 。 【答案】(1) 间隔多个点取一个记数点；更充分应用纸带中的数据；通过绘制v-t图像，根据图像斜率计算重力加速度 (2) 16.471/16.472/16.473 9.63 把小球的直径加上绳子的长度当做摆长；绳子没有系稳，出现松动 【详解】（1）[1]由题可知，相邻计数点之间的时间间隔为 根据逐差法可得，重力加速度 [2]间隔多个点取一个记数点；更充分应用纸带中的数据；通过绘制v-t图像，根据图像斜率计算重力加速度。 （2）[1]根据螺旋测微器的读法可知，小球的直径 [2]根据单摆的周期 整理可得 因此在图像中，其斜率为 结合图像解得 [3]把小球的直径加上绳子的长度当做摆长；绳子没有系稳，出现松动。 【考点2 阻尼振动】 11．下列说法正确的是（　　） A．阻尼振动的振幅越来越小，周期也越来越小 B．自由振动是受周期性外力作用下的振动 C．受迫振动稳定后的频率等于自身固有频率 D．当驱动力的频率等于振动物体的固有频率时，受迫振动的振幅最大 【答案】D 【详解】A．阻尼振动的振幅减小，但其振动周期由系统自身性质决定，保持不变，故A错误； B．自由振动是系统不受周期性外力作用的振动，周期性外力对应的是受迫振动，故B错误； C．受迫振动的稳定后的频率等于驱动力的频率，而非固有频率，故C错误； D．当驱动力频率等于固有频率时，发生共振，振幅最大，故D正确。 故选D。 12．上海中心大厦内部的“上海慧眼”阻尼器重达一千吨，有效抵御了大风对建筑的影响。该阻尼器沿水平方向做阻尼振动，振动图像如图所示。关于阻尼器的说法正确的是（　　） A．振动周期越来越小 B．t=4s时的动能为零 C．t=8s时沿x轴负方向运动 D．振动的能量越来越小 【答案】D 【详解】A．由题图可知，振动周期不变，故A错误； B．t=4s时正好经过平衡位置，速度最大，动能最大，故B错误； C．t=8s时图线切线的斜率为正，则沿x轴正方向运动，故C错误； D．由题图可知，阻尼器振动的振幅越来越小，则能量越来越小，故D正确。 故选D。 13．某鱼漂的示意图如图甲所示，、、为鱼漂上的三个点。当鱼漂静止时，水面恰好过点。用手将鱼漂向下压，使点到达水面，松手后，鱼漂会上下运动，上升到最高处时，点到达水面。鱼漂振动足够长时间后，其做阻尼振动的振动图像如图乙所示，设A、两点表示的相应位置对应的动能分别为、。则下列说法正确的是（　　） A．鱼漂的最大振幅等于、间的距离 B．鱼漂向上运动的过程中，速度先均匀增大，再均匀减小 C．鱼漂做阻尼振动的过程中，随着振幅的减小，振动频率会变小 D．比较鱼漂在A、两点的动能， 【答案】D 【详解】A．鱼漂静止时 O 点在水面为平衡位置，从最低点N到平衡位置的距离或从最高点M到平衡位置的距离为振幅，故最大振幅等于M、N间距离的一半，故A错误； B．鱼漂在运动过程中，受到重力和浮力，根据牛顿第二定律有 又 联立解得 鱼漂向上运动时，变化，故加速度a变化，不是匀变速运动，故速度不是先均匀增大，再均匀减小，故B错误； C．阻尼振动中，振动频率由系统本身决定，与振幅无关，鱼漂做阻尼振动的过程中，振动频率不变，故C错误； D．鱼漂做阻尼振动，机械能不断减小，在同一位置（A、B两点位置相同）时，重力势能相同，由于机械能减小，所以动能减小，即 故D正确。 故选D。 14．由于存在空气阻力，严格来讲，任何物体的机械振动都不是简谐运动，在振动过程中（　　） A．振幅减小，周期减小，机械能减小 B．振幅减小，周期不变，机械能减小 C．振幅不变，周期减小，机械能减小 D．振幅不变，周期不变，机械能减小 【答案】B 【详解】由于存在空气阻力，在振动过程中空气阻力做负功，振幅减小，机械能减小，但周期不变。 故选B。 15．如图所示是一单摆做阻尼振动的图像，则此单摆的摆球在图中P与N时刻的（    ） A．速度 B．加速度 C．绳的拉力 D．重力势能 【答案】D 【详解】AD．单摆做阻力振动，则单摆的机械能越来越小，单摆的振幅越来越小。由图知，摆球在P与N时刻与最低点的距离相等，则重力势能相等，所以可知动能 所以 故A错误，D正确。 B．由于摆球在P与N时刻偏离竖直方向的角度相等，则其沿运动轨迹切线方向的加速度大小均为 设摆长为，摆球沿摆线方向的加速度大小为 由于，可知 根据摆球在P与N时刻的加速度大小 可得 故B错误； C．摆球在P和N时刻，沿摆线方向根据牛顿第二定律，有 由前面分析知，则P与N时刻绳子的拉力 故C错误。 故选D。 16．琴弦的振动带给人们优美的音乐，地震则可能给人类带来巨大的灾害。关于机械振动，下列说法正确的是（　　） A．简谐运动是一种匀速直线运动 B．物体做阻尼振动时，振幅逐渐增大，周期逐渐减小 C．物体做受迫振动达到稳定状态时，振动频率等于驱动力频率 D．只要驱动力频率大于物体的固有频率，就会发生共振现象 【答案】C 【详解】A．简谐运动的速度在周期性的变化，是一种变速运动，故A错误； B．物体做阻尼振动时，振幅逐渐减小，周期不变，故B错误； C．物体做受迫振动达到稳定状态时，振动频率等于驱动力频率，故C正确； D．当驱动力频率等于物体的固有频率时，就会发生共振现象，故D错误。 故选C。 17．（多选）关于阻尼振动，以下说法中正确的是（　　） A．机械能不断减小 B．动能不断减小 C．振幅不断减小 D．一定不是简谐运动 【答案】ACD 【详解】阻尼振动是振幅不断减小的振动，故阻尼振动一定不是简谐运动，而振幅是振动能量的标志，故阻尼振动中机械能也不断减小，但动能在振动过程中是不断变化的，无法比较其大小，故ACD正确，B错误。 故选ACD。 18．（多选）将一个电动传感器接到计算机上，就可以测量快速变化的力。用这种方法测得的某单摆摆动时悬线上拉力的大小随时间变化的曲线如图所示。某同学根据提供的信息做出了下列判断，其中正确的是（　　） A．时摆球经过最低点 B．时摆球经过最低点 C．摆球做阻尼振动 D．若当地，则该摆的摆长 【答案】AC 【详解】C．根据牛顿第二定律知，在最低点有 可得 由图知，摆球通过最低点的拉力减小，则知其速度减小，振幅不断减小，所以摆球做的是阻尼振动，故C正确； AB．摆球经过最低点时，拉力最大；由图可知，在t=0.2s时，拉力最大，所以此时摆球经过最低点；在t=1.1s时，摆球的拉力不是最大，不是经过最低点，故A正确，B错误； D．由图可知，两次拉力最大的时间间隔为0.6s，故周期为1.2s，根据单摆周期公式有 代入数据可得，故D错误。 故选AC。 19．（多选）如图所示，轻弹簧上端固定，下端与手机连接，手机下方悬挂装有细沙的小桶，整个装置处于静止状态。剪断手机和小桶间的细绳，手机内的计时器测得手机从开始运动到第一次运动到最高点的时间为。已知手机、小桶（包括细沙）的重力分别为和，弹簧劲度系数为k，弹簧始终在弹性限度内，手机可视为质点，不计空气阻力。对于手机的运动，下列判断正确的是（　　） A．手机做简谐运动 B．手机起始位置到最高点的距离为 C．手机从最高点第一次下降到最低点的时间为 D．若手机运动过程中所受阻力不可忽略，则手机的振幅可能不变 【答案】AC 【详解】A．剪断手机和小桶间的细绳后，手机受弹簧的弹力和本身的重力，两个力的合力充当回复力做简谐运动，选项A正确； B．手机起始位置到平衡位置的距离 手机起始位置到最高点的距离为 选项B错误； C．因手机从开始运动到第一次运动到最高点的时间为，根据简谐振动的对称性可知，手机从最高点第一次下降到最低点的时间也为，选项C正确； D．若手机运动过程中所受阻力不可忽略，则系统的机械能将逐渐减小，则手机的振幅将逐渐减小，选项D错误。 故选AC。 【考点3 受迫振动与共振】 20．一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线振幅A与驱动力频率f的关系如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．此单摆的固有周期为 B．此单摆的固有振动下的圆频率为 C．若摆长增大，单摆的固有频率变大 D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动 【答案】B 【详解】AB．由图可知共振发生在时，则此单摆对应的固有周期 圆频率，故A错误，B正确； C．根据单摆的周期公式 可得单摆的固有频率 当摆长L增大时，f变小，故C错误； D．摆长增大会导致单摆固有频率下降，则共振曲线峰值对应频率向左（低频方向）移动，故D错误。 故选B。 21．振动送料机是工业中常用的物料输送设备，其简化模型如图所示：水平料槽通过两根轻弹簧与固定支架连接，料槽下方安装有电动偏心轮，偏心轮转动时给料槽提供水平周期性驱动力。已知料槽的固有频率与总质量m成反比（质量越大，固有频率越小）。某次调试中，料槽空载时固有频率Hz，偏心轮转速调至n=120r/min时料槽振幅较小。忽略弹簧质量及摩擦阻力，则下列说法正确的是（　　） A．当前驱动力频率为1.0Hz B．仅向料槽内添加物料（增大总质量），料槽振幅增大 C．仅降低偏心轮转速至60r/min，料槽振幅增大 D．关闭电源后，料槽振动的周期随振幅减小而增大 【答案】C 【详解】A．偏心轮转速调至时，驱动力频率为，故A错误； B．仅向料槽内添加物料（增大总质量），固有频率变小，驱动力频率和固有频率相差更大，料糟振幅减小，故B错误； C．仅降低偏心轮转速至，驱动力频率为，等于固有频率，此时达到共振，料槽振幅增大，故C正确； D．关闭电源后，驱动力消失，料槽做阻尼振动。对于一个振动系统（如弹簧振子），其振动周期（即固有周期）由系统本身的性质（质量和劲度系数）决定，与振幅无关。因此，料槽振动的周期不随振幅的减小而改变，故D错误。 故选C。 22．如图甲所示为某型号飞力士棒，用双手握住握柄振动，可以锻炼躯干肌肉。飞力士棒的固有频率为6Hz，如图乙所示，某人驱动飞力士棒振动，其振动的频率从2Hz逐渐增大到5Hz，该棒的振动的幅度是（    ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】A 【详解】飞力士棒振动的幅度与驱动力频率跟固有频率的差值有关，差值越小，幅度越大，由于人驱动力的振动频率从2Hz逐渐增大到5Hz，与飞力士棒的固有频率的差值越来越小，因此飞力士棒的振幅一直增大。 故选A。 23．下表记录了某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动系统的固有频率为f固，则（　　） 驱动力频率/Hz 30 40 50 60 70 80 受迫振动振幅/cm 10.2 16.8 27.2 28.1 16.5 8.3 A．f固=60 Hz B．60 Hz<f固<70 Hz C．50 Hz<f固≤60 Hz D．以上三个都不对 【答案】C 【详解】物体做受迫振动，其共振曲线如图所示 由图可判断出f驱与f固相差越大，受迫振动的振幅越小；f驱与f固越接近，受迫振动的振幅越大。并可以从中看出f驱越接近f固，振幅的变化越慢。比较各组数据，知f驱在50~60 Hz范围内时，振幅变化最小，因此50 Hz＜f固≤60 Hz。 故选C。 24．如图所示，两个弹簧与钩码组成固有频率为2Hz的振动系统，架子上面的电动机对该系统施加周期性的驱动力，使钩码在竖直方向做受迫振动。电动机的转速可以改变，钩码振动稳定后，下列判断正确的是（　　） A．当电动机的转速为4r/s时，钩码的振动频率为4Hz B．当电动机的转速为4r/s时，钩码的振动周期为0.5s C．当电动机的转速为1r/s时，钩码的振动频率为2Hz D．电动机的转速越大，钩码振动的振幅就越大 【答案】A 【详解】AB．钩码做受迫振动，其振动周期与驱动力的周期相同，因此当电动机的转速为4r/s时，可知钩码的振动频率为4Hz，则周期为0.25s，故A正确，B错误； C．当电动机的转速为1r/s时，钩码的振动频率为1Hz，故C错误； D．当驱动力的频率与振动系统的固有频率相等时，振幅最大。故电动机的转速越大（即驱动力频率越大），钩码振动的振幅不一定越大，故D错误。 故选A。 25．如图所示，在一条张紧的绳子上挂3个摆。当C摆振动时，通过张紧的绳子给A、B摆施加驱动力，使A、B摆也振动起来（A、B、C的摆球质量相等），以下说法正确的是（　　） A．A摆的固有周期最大 B．A、B摆振动周期不同 C．A摆比B摆振幅大 D．B摆比A摆振幅大 【答案】D 【详解】A．因C摆的摆长最长，根据可知，C摆的固有周期最大，故A错误； B．A、B摆都做受迫振动，其周期都等于驱动力的周期，即C摆的固有周期，故振动周期相同，故B错误； CD．因A摆和B摆摆长都比C摆的摆长短，且B摆摆长更接近C摆，故B摆的固有周期更接近驱动力的周期（即C摆的固有周期），故B摆比A摆振幅大，故C错误，D正确。 故选D。 26．汽车的车身是装在弹簧上的。某辆汽车在一条起伏不平的路上行驶，路面凸起之处大约都相隔。汽车以速度行驶时，车身上下颠簸得最剧烈。下列说法正确的是（　　） A．弹簧的固有频率为 B．汽车继续加速，车身颠簸将加剧 C．更换固有频率更高的弹簧，汽车在该道路上行驶颠簸最剧烈时的速度小于 D．更换固有频率更高的弹簧，汽车在该道路上行驶颠簸最剧烈时的速度等于 【答案】A 【详解】A．当汽车振动的频率等于弹簧的固有频率时，汽车颠簸得最剧烈，由题意可知，汽车振动的周期为 则弹簧的固有频率，故A正确； B．汽车继续加速，则汽车振动的频率变大，当汽车振动的频率不等于弹簧的固有频率，汽车颠簸不是最剧烈，故B错误； CD．更换固有频率更高的弹簧，则弹簧的固有频率大于，则汽车在该道路上行驶颠簸最剧烈时的速度大于v，故CD错误。 故选A。 27．（多选）如图所示，，，三个小钢球的质量分别为、、，连接，的绳长相等，球振动后，通过张紧的水平细绳给其他各摆施加驱动力，当、振动达到稳定时，下列说法正确的是（ ） A．的振动周期最大 B．的振幅比的振幅小 C．的振幅比的振幅大 D．，，的振动周期相等 【答案】CD 【详解】AD．由题意，A做自由振动，其振动周期就等于其固有周期，而B、C在A产生的驱动力作用下做受迫振动，受迫振动的周期等于驱动力的周期，即等于A的固有周期，所以三个单摆的振动周期相等，故A错误、D正确； BC．由于C、A的摆长相等，则C的固有周期与驱动力周期相等，产生共振，其振幅振幅比B摆大，故B错误、C正确。 故选CD。 28．（多选）为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置。如图甲、乙所示。则（　　） A．针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同 B．随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大 C．打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同 D．振动器稳定工作后，不同粗细树干的振动频率相同 【答案】AD 【详解】A．根据共振的条件，当振动器的频率等于树木的固有频率时产生共振，此时落果效果最好，而不同的树木的固有频率不同，针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同，故A正确； B．当振动器的振动频率等于树木的固有频率时产生共振，此时树干的振幅最大，则随着振动器频率的增加，树干振动的幅度不一定增大，故B错误； C．打击结束后，树干做阻尼振动，阻尼振动的频率小于树干的固有频率，振动过程中频率不变，粗细不同的树干，固有频率不同，则打击结束后，粗细不同的树干频率可能不同，故C错误； D．树干在振动器的振动下做受迫振动，则稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同，故D正确。 故选AD。 29．（多选）正在运转的机器，当其飞轮以角速度ω0匀速转动时，机器的振动不强烈，切断电源，飞轮的转动逐渐慢下来，在某一小段时间内机器却发生了强烈的振动，此后飞轮转速继续变慢，机器的振动也随之减弱，在机器停下来之后若重新启动机器，使飞轮转动的角速度从0较缓慢地增大到ω0，在这一过程中（　　 ） A．机器不一定还会发生强烈的振动 B．机器一定还会发生强烈的振动 C．若机器发生强烈振动，强烈振动可能发生在飞轮角速度为ω0时 D．若机器发生强烈振动，强烈振动时飞轮的角速度肯定不为ω0 【答案】BD 【详解】A．机器在重新启动时，驱动力频率会从0逐渐增加到ω₀，必然经过固有频率对应的角速度ω₁（ω₁ < ω₀），此时必然发生共振，因此机器一定还会发生强烈振动，故A错误； B．根据共振条件，驱动力频率经过固有频率时必然发生强烈振动，因此机器一定还会发生强烈振动，故B正确； C．强烈振动发生在驱动力频率等于固有频率时，此时的角速度为固有频率对应的角速度是ω₁（而非ω₀），故C错误； D．由于机器在角速度ω₀时振动不强烈，说明ω₀对应的频率不等于固有频率。强烈振动时对应的角速度是ω₁（ω₁ < ω₀），因此角速度肯定不为ω₀，故D正确。 故选BD。 30．（多选）单摆M、N、O、P自由振动时，振动图像分别如图甲、乙、丙、丁所示。现将单摆M、N、O、P悬挂在如图所示支架的细线上，并保持各自的摆长不变，使其中一个单摆振动，经过足够长的时间，其他三个都可能振动起来，不计空气阻力，下列判断正确的是（　　） A．若使M振动起来，P不会振动 B．若使N振动起来，稳定时N振动的周期仍小于O的振动周期 C．若使P振动起来，稳定时M比N的振幅大 D．若使O振动起来，稳定时M的振动周期等于3s 【答案】CD 【详解】A．若使M振动起来，其他单摆会做受迫振动，P会振动，故A错误； B．受迫振动的周期等于驱动力的周期，故B错误； C．若P振动起来，由于M的固有周期与驱动力的周期相同，M发生共振，稳定时M比N的振幅大，故C正确； D．由图丙可知，O的周期为3s，使O振动起来，M做受迫振动，则周期为3s，故D正确。 故选CD。 31．如图所示为某单摆的共振曲线，取． (1)该单摆的摆长为多少米？（保留两位有效数字） (2)增大摆长，共振曲线振幅最大值的横坐标如何变化？ 【详解】（1）由图可知，此单摆振动固有频率为，则周期为 根据单摆的周期公式 解得 （2）若将摆长增大，由单摆的周期公式 可知，单摆的固有周期增大，固有频率减小，则共振曲线的峰将向左移动。 32．一弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为，位移y的单位为m，时间t的单位为s。 (1)在时，振子的运动速度为多少？ (2)该振子在固有频率为的周期性驱动力的作用下做受迫振动时振幅最大，则为多少。 【详解】（1）由弹簧振子的振动方程可知，该振子的周期为 当时，振子从平衡位置开始，振动了四分之一周期，即此时振子在最大位移处，所以振子的运动速度为0。 （2）做受迫振动时振幅最大，发生共振，则驱动力频率等于振子的固有频率为 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5~2.6 实验：用单摆测量重力加速度＆受迫振动 共振（专题训练） 【考点1 用单摆测量重力加速度的大小】 1 【考点2 阻尼振动】 6 【考点3 受迫振动与共振】 9 【考点1 用单摆测量重力加速度的大小】 1．在“用单摆测量重力加速度”的实验中，实验装置如图所示，细线的上端固定在铁架台上，下端系一个小钢球，做成一个单摆。实验中有个同学发现他测得重力加速度的值偏大，其原因是（　　） A．测摆线长时摆线拉得过紧 B．单摆所用摆球质量太大 C．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了 D．把n次全振动时间误当成次全振动时间 2．在用单摆测定重力加速度”实验中：测得小球的直径为D，改变摆长，测出几组摆线长度l（悬点到摆球最顶端的距离）和对应周期T的数据作出l-T2图像。由图可知（　　） A．纵轴截距的绝对值应为D B．纵轴截距的绝对值应为 C． D． 3．（多选）“用单摆测量重力加速度”的实验装置如图甲所示，某次实验时测得摆线的长度为80.00cm，用螺旋测微器测量小球的直径如图乙所示，显示器上显示出绳的拉力随时间变化的图像如图丙所示，、及、、、均为已知量。下列说法正确的是（　　） A．该次实验时单摆的摆长为810.243mm B．该次实验时单摆的周期为 C．由测量数据可以求得摆球的质量 D．改变摆线长，重复实验，得到多组数据，画出图像丁，图像的斜率为，则 4．实验小组的同学们用如图所示的装置做用单摆测量重力加速度的实验。 (1)用表示单摆的长度，用表示单摆的周期，则重力加强度 。（用、表示） (2)同学用游标卡尺测得单摆小球的直径如图所示，小球直径为 。 (3)将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是___________（选填选项前的字母）。 A．测出摆线长作为单摆的摆长 B．把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之在竖直平面内做简谐运动 C．在摆球经过平衡位置时开始计时 D．用秒表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期 5．手机phyphox软件通过内置传感器采集数据并经运算可直接测出手机的位移数据，实验小组用此来测当地重力加速度。装置如图甲，用两根竖直平行细线固定手机，线上端固定在铁架台铁杆下端，静止在平衡位置时手机表面保持水平。忽略细线的质量和伸缩，以下问题中，取，结果保留三位有效数字。 (1)手机应该在 （选填“垂直、平行”）于纸面的平面内摆动， (2)实验小组成员不能确定手机的重心在哪里，就只测了手机上表面到细线悬点的距离L，然后逐次减小这个距离,正确操作后连续两次手机显示的振动图像如图乙所示，，则可得出当地重力加速度为 m/s2。 (3)测出多组距离L和对应的振动图像（由振动图像获得周期T），画出图，正确的是 （选填“丙”或“丁”）。 6．如图1所示为小朋友玩的不倒翁玩具，某兴趣小组想测量该不倒翁重心的位置， 设计如图 2 所示实验，轻质细绳上端连接一力传感器，可测摆绳上的张力，力传感器连接电脑可描绘出的关系如图 3 所示，忽略空气阻力。 (1)该单摆的周期与的大小关系为___________； A． B． C． (2)该兴趣小组的同学测量了摆线长度，改变摆线长并测出对应的周期，绘制（纵轴）关于（横轴）变化的图线，图线的纵截距大小为，斜率为，则重力加速度 ，不倒翁重心到它顶端的距离 。 7．随着科技发展，智能手机不仅为我们的生活带来了便利，也可以利用它的摄像头和内部传感器协助我们完成物理实验。某同学在“用单摆测量重力加速度”的实验中，利用了智能手机磁传感器和一个磁性小球进行了如下实验： (1)将摆线上端固定在铁架台上，下端系在小球上，做成图1所示的单摆。在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长，再用游标卡尺测得摆球的直径为（读数如图2所示）。从图2可知，摆球的直径为 。 (2)将智能手机磁传感器置于磁性小球平衡位置正下方，打开智能手机的磁传感器，准备测量磁感应强度的变化。将磁性小球由平衡位置拉开一个小角度，由静止释放，手机软件记录磁感应强度的变化曲线如图3所示。由图3可知，单摆的周期为 。 (3)经测量得到6组不同的摆长和对应的周期，画出图线，然后在图线上选取、两个点，坐标如图4所示。则当地重力加速度的表达式 。图4中图像不过原点的原因是 。 A．计算摆长时用的是摆线长度而未计入小球半径 B．计算摆长时用的是摆线长度加上小球直径 C． 所选小球的密度过大 D．没有在最低点开始计时 (4)另一同学只通过一次实验测量出重力加速度，但由于操作失误，致使摆球不在同一竖直平面内运动，而是在水平面内做圆周运动，如图5所示，这时如果测出摆球做这种运动的周期，仍用单摆的周期公式求出重力加速度，则求出的重力加速度与重力加速度的实际值相比 。 A．偏大 B．偏小 C．不变 D．都有可能 8．在“用单摆做测量重力加速度”的实验中，采用双线摆，装置如图1所示。 (1)改单线摆为双线摆的目的是__________。 A．便于测量摆长 B．便于小球在竖直面内摆动 C．无需控制摆角大小 (2)调整悬挂点、等高，如图2所示，用刻度尺测量两悬挂点之间的距离 cm。 (3)测得小球直径为，两根摆线的长度均为，则摆长 。（用、、表示） (4)如图3所示，将小磁铁吸在小球底端，手机放置在小球摆动最低点的正下方。打开手机磁力传感器，采集到磁感应强度随时间变化的图像如图4所示，则单摆的周期 s。（结果保留3位有效数字） (5)改变两铁架台之间的距离，多次测量，作出图像。忽略手机对摆的影响，若仅考虑磁铁对摆长的影响，你认为用图像法计算的重力加速度是否有偏差？请简要说明理由 。 9．实验小组成员准备测量重庆的重力加速度，在实验室发现有一单摆装置竖直挂于某深度h（未知）且开口向下的小筒中（单摆的下部分露出筒外），如图甲所示。将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，单摆振动过程中悬线不会碰到小筒，找到的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球上端的距离为x，并通过游标卡尺测出球的直径为d，记录筒的下端口到摆球球心的距离之后多次改变l而测出对应的周期T，再以为纵轴、l为横轴作出函数关系图像，通过此图像得出小筒的深度h和重力加速度的大小g，计算取 (1)利用游标卡尺测出的小球直径如图乙所示，直径 cm。 (2)如果实验中所得到的关系图像如图丙所示，那么实际的图像应是a、b、c中的 。 (3)由图像可知，小筒的深度h m，当地的重力加速度g= m/s2（此小问均保留到小数点后两位） 10．某实验小组分别通过“自由落体运动”与“单摆运动”测量当地重力加速度。 (1)通过自由落体运动测重力加速度：某次实验中打点计时器打出的纸带如图甲所示，打点计时器供电频率为，用刻度尺测得、、、、、，根据该纸带数据可测得加速度 （结果保留3位有效数字）。通过多次实验发现，所测重力加速度的值总是存在误差，请写出一种能够提高实验精度的措施： 。 (2)通过单摆实验测重力加速度：用螺旋测微计测量小球直径，如图乙所示， mm。安装好实验装置，拨动摆球，测量并记录单摆的周期以及摆长。改变摆长并重复实验。作出摆长与周期的平方的关系图像如图丙所示，请根据图丙中的数据计算出重力加速度 （已知，结果保留3位有效数字）。某细心的同学发现实验绘制的图像并不过坐标原点，请你写出一种可能的原因 。 【考点2 阻尼振动】 11．下列说法正确的是（　　） A．阻尼振动的振幅越来越小，周期也越来越小 B．自由振动是受周期性外力作用下的振动 C．受迫振动稳定后的频率等于自身固有频率 D．当驱动力的频率等于振动物体的固有频率时，受迫振动的振幅最大 12．上海中心大厦内部的“上海慧眼”阻尼器重达一千吨，有效抵御了大风对建筑的影响。该阻尼器沿水平方向做阻尼振动，振动图像如图所示。关于阻尼器的说法正确的是（　　） A．振动周期越来越小 B．t=4s时的动能为零 C．t=8s时沿x轴负方向运动 D．振动的能量越来越小 13．某鱼漂的示意图如图甲所示，、、为鱼漂上的三个点。当鱼漂静止时，水面恰好过点。用手将鱼漂向下压，使点到达水面，松手后，鱼漂会上下运动，上升到最高处时，点到达水面。鱼漂振动足够长时间后，其做阻尼振动的振动图像如图乙所示，设A、两点表示的相应位置对应的动能分别为、。则下列说法正确的是（　　） A．鱼漂的最大振幅等于、间的距离 B．鱼漂向上运动的过程中，速度先均匀增大，再均匀减小 C．鱼漂做阻尼振动的过程中，随着振幅的减小，振动频率会变小 D．比较鱼漂在A、两点的动能， 14．由于存在空气阻力，严格来讲，任何物体的机械振动都不是简谐运动，在振动过程中（　　） A．振幅减小，周期减小，机械能减小 B．振幅减小，周期不变，机械能减小 C．振幅不变，周期减小，机械能减小 D．振幅不变，周期不变，机械能减小 15．如图所示是一单摆做阻尼振动的图像，则此单摆的摆球在图中P与N时刻的（    ） A．速度 B．加速度 C．绳的拉力 D．重力势能 16．琴弦的振动带给人们优美的音乐，地震则可能给人类带来巨大的灾害。关于机械振动，下列说法正确的是（　　） A．简谐运动是一种匀速直线运动 B．物体做阻尼振动时，振幅逐渐增大，周期逐渐减小 C．物体做受迫振动达到稳定状态时，振动频率等于驱动力频率 D．只要驱动力频率大于物体的固有频率，就会发生共振现象 17．（多选）关于阻尼振动，以下说法中正确的是（　　） A．机械能不断减小 B．动能不断减小 C．振幅不断减小 D．一定不是简谐运动 18．（多选）将一个电动传感器接到计算机上，就可以测量快速变化的力。用这种方法测得的某单摆摆动时悬线上拉力的大小随时间变化的曲线如图所示。某同学根据提供的信息做出了下列判断，其中正确的是（　　） A．时摆球经过最低点 B．时摆球经过最低点 C．摆球做阻尼振动 D．若当地，则该摆的摆长 19．（多选）如图所示，轻弹簧上端固定，下端与手机连接，手机下方悬挂装有细沙的小桶，整个装置处于静止状态。剪断手机和小桶间的细绳，手机内的计时器测得手机从开始运动到第一次运动到最高点的时间为。已知手机、小桶（包括细沙）的重力分别为和，弹簧劲度系数为k，弹簧始终在弹性限度内，手机可视为质点，不计空气阻力。对于手机的运动，下列判断正确的是（　　） A．手机做简谐运动 B．手机起始位置到最高点的距离为 C．手机从最高点第一次下降到最低点的时间为 D．若手机运动过程中所受阻力不可忽略，则手机的振幅可能不变 【考点3 受迫振动与共振】 20．一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线振幅A与驱动力频率f的关系如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．此单摆的固有周期为 B．此单摆的固有振动下的圆频率为 C．若摆长增大，单摆的固有频率变大 D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动 21．振动送料机是工业中常用的物料输送设备，其简化模型如图所示：水平料槽通过两根轻弹簧与固定支架连接，料槽下方安装有电动偏心轮，偏心轮转动时给料槽提供水平周期性驱动力。已知料槽的固有频率与总质量m成反比（质量越大，固有频率越小）。某次调试中，料槽空载时固有频率Hz，偏心轮转速调至n=120r/min时料槽振幅较小。忽略弹簧质量及摩擦阻力，则下列说法正确的是（　　） A．当前驱动力频率为1.0Hz B．仅向料槽内添加物料（增大总质量），料槽振幅增大 C．仅降低偏心轮转速至60r/min，料槽振幅增大 D．关闭电源后，料槽振动的周期随振幅减小而增大 22．如图甲所示为某型号飞力士棒，用双手握住握柄振动，可以锻炼躯干肌肉。飞力士棒的固有频率为6Hz，如图乙所示，某人驱动飞力士棒振动，其振动的频率从2Hz逐渐增大到5Hz，该棒的振动的幅度是（    ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 23．下表记录了某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动系统的固有频率为f固，则（　　） 驱动力频率/Hz 30 40 50 60 70 80 受迫振动振幅/cm 10.2 16.8 27.2 28.1 16.5 8.3 A．f固=60 Hz B．60 Hz<f固<70 Hz C．50 Hz<f固≤60 Hz D．以上三个都不对 24．如图所示，两个弹簧与钩码组成固有频率为2Hz的振动系统，架子上面的电动机对该系统施加周期性的驱动力，使钩码在竖直方向做受迫振动。电动机的转速可以改变，钩码振动稳定后，下列判断正确的是（　　） A．当电动机的转速为4r/s时，钩码的振动频率为4Hz B．当电动机的转速为4r/s时，钩码的振动周期为0.5s C．当电动机的转速为1r/s时，钩码的振动频率为2Hz D．电动机的转速越大，钩码振动的振幅就越大 25．如图所示，在一条张紧的绳子上挂3个摆。当C摆振动时，通过张紧的绳子给A、B摆施加驱动力，使A、B摆也振动起来（A、B、C的摆球质量相等），以下说法正确的是（　　） A．A摆的固有周期最大 B．A、B摆振动周期不同 C．A摆比B摆振幅大 D．B摆比A摆振幅大 26．汽车的车身是装在弹簧上的。某辆汽车在一条起伏不平的路上行驶，路面凸起之处大约都相隔。汽车以速度行驶时，车身上下颠簸得最剧烈。下列说法正确的是（　　） A．弹簧的固有频率为 B．汽车继续加速，车身颠簸将加剧 C．更换固有频率更高的弹簧，汽车在该道路上行驶颠簸最剧烈时的速度小于 D．更换固有频率更高的弹簧，汽车在该道路上行驶颠簸最剧烈时的速度等于 27．（多选）如图所示，，，三个小钢球的质量分别为、、，连接，的绳长相等，球振动后，通过张紧的水平细绳给其他各摆施加驱动力，当、振动达到稳定时，下列说法正确的是（ ） A．的振动周期最大 B．的振幅比的振幅小 C．的振幅比的振幅大 D．，，的振动周期相等 28．（多选）为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置。如图甲、乙所示。则（　　） A．针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同 B．随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大 C．打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同 D．振动器稳定工作后，不同粗细树干的振动频率相同 29．（多选）正在运转的机器，当其飞轮以角速度ω0匀速转动时，机器的振动不强烈，切断电源，飞轮的转动逐渐慢下来，在某一小段时间内机器却发生了强烈的振动，此后飞轮转速继续变慢，机器的振动也随之减弱，在机器停下来之后若重新启动机器，使飞轮转动的角速度从0较缓慢地增大到ω0，在这一过程中（　　 ） A．机器不一定还会发生强烈的振动 B．机器一定还会发生强烈的振动 C．若机器发生强烈振动，强烈振动可能发生在飞轮角速度为ω0时 D．若机器发生强烈振动，强烈振动时飞轮的角速度肯定不为ω0 30．（多选）单摆M、N、O、P自由振动时，振动图像分别如图甲、乙、丙、丁所示。现将单摆M、N、O、P悬挂在如图所示支架的细线上，并保持各自的摆长不变，使其中一个单摆振动，经过足够长的时间，其他三个都可能振动起来，不计空气阻力，下列判断正确的是（　　） A．若使M振动起来，P不会振动 B．若使N振动起来，稳定时N振动的周期仍小于O的振动周期 C．若使P振动起来，稳定时M比N的振幅大 D．若使O振动起来，稳定时M的振动周期等于3s 31．如图所示为某单摆的共振曲线，取． (1)该单摆的摆长为多少米？（保留两位有效数字） (2)增大摆长，共振曲线振幅最大值的横坐标如何变化？ 32．一弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为，位移y的单位为m，时间t的单位为s。 (1)在时，振子的运动速度为多少？ (2)该振子在固有频率为的周期性驱动力的作用下做受迫振动时振幅最大，则为多少。 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $