2025-2026学年苏科版数学七年级上册专题提优——绝对值

该初中数学讲义以绝对值专题为核心，通过知识梳理与典例解析相结合的方式系统构建复习体系。以“绝对值的意义-基本性质-应用题型”为逻辑主线，用层级标题清晰呈现代数意义、几何意义等基础内容，明确与相反数、有理数运算的内在联系，突出重难点分布。 讲义亮点在于“概念理解-方法应用-综合提升”的递进式设计，如例2结合几何意义分析绝对值表达式的最小值，培养几何直观；例4通过分类讨论求解取值范围，发展推理意识。同步练习涵盖选择、填空及解答题，基础题巩固概念，综合题提升应用能力，参考答案详细解析思路，助力学生自主复习，也为教师实施分层教学提供精准支持。

绝对值专题提优 绝对值是数学中的一个基本概念，也是数学中的一个重要概念，它是学习相反数、有理数运算、二次根式的基础.这一概念与其他概念结合还会生成许多新的问题，如绝对值方程、绝对值不等式、绝对值函数等.绝对值在代数式化简、解方程、解不等式等方面也有着广泛的应用. 一、绝对值的意义 1.绝对值的代数意义： 2.绝对值的几何意义： 是数轴上表示数的点到原点的距离；表示数、数的两点间的距离. 二、绝对值的基本性质 ① ；② ；③ ；④ . 三、典例选析 例1. 已知，，且，求的值. 分析：要求的值，根据绝对值的代数意义和已知条件求出、的值即可. 解：因为，，所以，. 又因为，所以即. 有两种情况： ①当，时，. ②当，时，. 综上所述，的值为或. 例2. 已知，其中，，那么的最小值是多少？ 分析：结合已知条件判断每一个绝对值符号内式子的正负性，再去掉绝对值符号. 解：因为，所以，，， 所以 。 又因为 ，所以 。 所以 。 当 时， 的最小值是50。 例3.（1）已知 ，求 。 （2）若 ，， 均为整数，且 ，求 的值。 分析：对于（1），由非负数的性质先导出 ， 的值；对于（2），1写成两个非负整数的和的形式又有几种可能？ 解：（1）因为 ，，， 所以 ，。 所以 ，，所以 。 所以原式 。 （2）因为 ，， 为整数，且 ， 所以 ， 或 ，。 当 ， 时，，，原式 。 当 ， 时，，，原式 。 例4.（1）当 取何值时， 有最小值？这个最小值是多少？ （2）当 取何值时， 有最大值？这个最大值是多少？ （3）求 的最小值。 （4）当 的值最小时，求 的最大值。 分析：对于（1）（2）可利用绝对值的基本性质 求解；对于（3）可先运用零点分段讨论法去掉绝对值符号，再求最小值；也可利用绝对值的几何意义，即在数轴上找一表示 的点，使之到 ， 的点的距离和最小；（4）先根据条件得到 的取值范围，再去掉绝对值符号可求。 解：（1）当 时， 有最小值，最小值是0。 （2）当 时， 有最大值，最大值是7。 （3）当 时， 的最小值为8。 （4）当 有最小值时，， 所以 ， 当 时， 的最大值为0。 同步练习 1. 如果 ， 一定是（     ） A．正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数 2. 如果 ，则 的取值范围是（     ） A． B. C. D. 3. 绝对值不大于5的整数有（     ） A．11个 B．12个 C．22个 D．23个 4. 若 ，则 . 5. 若 ，则 . 6. 时，. 7.观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与，3与5，与，与3.并回答下列各题： （1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？ (2)若数轴上的点A表示的数为，点B表示的数为，则A与B两点间的距离可以表示为。 （3）结合数轴求得 的最小值为 ，取得最小值时 的取值范围为 。 （4）满足 的 的取值范围为 。 8. 已知 、、 是非零有理数。 （1）求 的最小值 ； （2）若 ，，且 ，试求代数式 的值。 同步练习参考答案： 1.C. 因为 ， 所以 不可能为正数，那么必为负数或零，故C选项正确。 2.D. 因为 ，，所以 不可能为正数，那么必为负数或零，故D选项正确。 3.A.因为整数由负整数、零、正整数三个部分组成，所以绝对值不大于5的整数包括、、、、、0、1、2、3、4、5一共11个，故A选项正确。 4.26. 因为 ，所以 ，， 则 ，，，所以 。 5.2. 因为 ，所以 。 6. 。因为 ，所以 。 7. 分析：利用绝对值的几何意义和数形结合的思想是解决本题的关键。 解：（1）所得距离与这两个数的差的绝对值相等。 （2）。 （3）5；由绝对值的几何意义得 ，所以 的最小值为5。 （4） 或 ，当 时， 有最小值3，所以 或 时，，故 的取值范围为 或 。 8. 解：（1）对 、、 三个非零有理数，可按三个正数、两正一负、两负一正三个负数四种情况加以讨论，由于式子具有轮换性，不妨按下列情况讨论： ①当 ，， 时，原式 。 ②当 ，， 时（其它两种情况结果相同）， 原式 。 ③当 ，， 时（其它两种情况结果相同）， 原式 。 ④当 ，， 时，原式 。 综上，所求的最小值为 。 （2）由 ，知 、、 中，有一个负数或三个全为负数，又由 ，故 、、 不能全为负数，所以 、、 中有一个负数，两个正数，根据字母的轮换性，不妨设 ，，，则 。 因此，代数式 的值为 。 学科网（北京）股份有限公司 $