专题09 期末必刷较难题（七大题型）（期末真题分类汇编 上海专用）高一数学上学期沪教版

【原卷版】 专题09 期末必刷较难题（七大题型） 7大高频考点概览 考点01 集合与逻辑 考点02 等式与不等式 考点03 幂、指数与对数 考点04 幂函数、指数函数与对数函数 考点05 函数的概念、性质及应用 考点06 三角 考点07 综合题 地 城 考点01 集合与逻辑 1．(24-25上海市建平中学2023-2024学年高一上学期期末数学试卷) 已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（    ） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 【答案】 【知识点】 【分析】 【详解】 【说明】 2．(24-25上海市浦东新区2024-2025学年高一上学期期末教学质量检测数学试卷) 已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是 . 3．(24-25上海市金山中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷) 已知集合，，如果存在正数，使得对任意，都满足，则实数t＝ . 地 城 考点02 等式与不等式 4．(24-25上海市金山中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为 . 5．(24-25上海市杨浦区复旦大学附属中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题) 已知，若存在实数t，使得与均不大于1.5，则实数m的取值范围为 . 地 城 考点03 幂、指数与对数 6．(24-25上海市长宁区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 已知，，则 地 城 考点04 幂函数、指数函数与对数函数 7．(24-25上海市松江区2024-2025学年高一上学期期末质量监控数学试卷) 同构式通俗讲是结构相同的表达式，如: ， 称 与 为同构式. 已知实数 满足 ， 则 . 8．(24-25上海市徐汇区2024-2025学年高一上学期学习能力诊断数学试卷) 若函数的值域为，则实数的取值范围是 . 9．(24-25上海市洋泾中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 已知函数，若，则的取值范围为 ． 10．(24-25上海市吴淞中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 已知是定义域为的偶函数，，且当时，（是常数），则不等式的解集是 ． 11．(24-25上海市晋元高级中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 记函数的定义域为D，若存在非负实数k，对任意的，总有，则称函数具有性质． ①所有偶函数都具有性质； ②具有性质； ③已知，若函数具有性质，则 其中所有正确结论的序号是 ． 12．(24-25上海市宜川中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 下列关于x的函数中，在其定义域上是增函数的是（填序号）： . ①；②；③；④；⑤. 地 城 考点05 函数的概念、性质及应用 13．(24-25上海市洋泾中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 已知函数的定义域为． 命题：若当时，都有，则函数是D上的奇函数． 命题：若当时，都有，则函数是D上的增函数． 下列说法正确的是（    ） A．p、q都是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p、q都是假命题 地 城 考点06 三角 14．(24-25上海市晋元高级中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 已知，有下列两个结论； ①存在在第一象限，在第三象限； ②存在在第二象限，在第四象限； 则（    ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对 15．(24-25上海市宝山区上海师范大学附属中学宝山分校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 设点是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置出发，沿单位圆顺时针方向旋转角后到达点，然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角到达点，若点的纵坐标是，则点的坐标是 ． 16．(24-25上海市杨浦区复旦大学附属中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题) 如图，已知长为，宽为的长方体木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方体木块底面与桌面所成的角为，求点走过的路程为 ．      地 城 考点07 综合题 17．(24-25上海市延安中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．(24-25上海市格致中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 设且，函数、的定义域都是，且满足，（其中表示最小值）．记函数的值域为，若集合中仅有四个元素，则实数的取值范围为 ． 19．(24-25上海市同济大学第一附属中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 甲、乙、丙三位同学对问题“关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围” 提出各自的解题思路: 甲说: “只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”; 乙说: “把不等式变形为左边含变量 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”; 丙说: “把不等式两边看成关于 的函数，作出函数图像”; 参考上述解题思路，借助你认为合适的思路进行分析，求 的取值范围 20．(24-25上海市吴淞中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 设是含数2的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（    ） A． B． C． D．0 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 【解析版】 专题09 期末必刷较难题（七大题型） 7大高频考点概览 考点01 集合与逻辑 考点02 等式与不等式 考点03 幂、指数与对数 考点04 幂函数、指数函数与对数函数 考点05 函数的概念、性质及应用 考点06 三角 考点07 综合题 地 城 考点01 集合与逻辑 1．(24-25上海市建平中学2023-2024学年高一上学期期末数学试卷) 已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（    ） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 【答案】A 【知识点】集合新定义、常用数集或数集关系应用 【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题. 【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且， 且集合是由某些正整数组成的集合， 所以，， 因为，满足其中且，所以， 因为，且，，所以， 因为，，，所以，故①对； 下面讨论元素与集合的关系， 当时，； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以；依次类推， 当时，，，， 所以，则，故②对. 故选：A. 【说明】本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解. 2．(24-25上海市浦东新区2024-2025学年高一上学期期末教学质量检测数学试卷) 已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是 . 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】由可得出，进而可得的取值范围，根据，可得出关于的不等式，进一步可得出关于的方程，解之即可. 【详解】因为，则只需考虑下列三种情况： 因为，，则， 又因为，则， 因为，则且， 可得， 所以，，解得， 故答案为：. 【说明】本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程求解. 3．(24-25上海市金山中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷) 3．已知集合，，如果存在正数，使得对任意，都满足，则实数t＝ . 【答案】－4或0 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据集合元素属性特征，通过解方程分类讨论求解即可. 【详解】当时，当时，则， 当时，则， 即当时，；当时，；所以， 当时，；当时，，所以， 因此有； 当时，当时，则， 当时，则， 即当时，；当时，；所以， 当时，；当时，，所以， 因此有， 当时，同理可得无解， 综上所述：实数t的值为－4或0， 故答案为：－4或0 【说明】根据区间取特殊值分类讨论进行求解是解题的关键. 地 城 考点02 等式与不等式 4．(24-25上海市金山中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为 . 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】根据绝对值不等式求解最值即可求解. 【详解】恒成立，等价于， 又，. 故答案为： 5．(24-25上海市杨浦区复旦大学附属中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题) 已知，若存在实数t，使得与均不大于1.5，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【知识点】求绝对值不等式中参数值或范围、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】利用二次函数的最值即可求得答案. 【详解】因为函数,与均不大于1.5， 得到, 先考虑，整理得, 设，因为， 所以判别式，即,解得：， 若要满足存在实数t使两个不等式成立，考虑极端情况当与有交点时， 即，即，将代入中， 得到，整理得，得到或， 结合，得到或； 再考虑，整理得， 设， 若要满足存在实数t使两个不等式成立，考虑极端情况当与有交点时， 即，即，将代入中， 得到，整理得，得到， 综上可知：， 故答案为： 【说明】关键点是：根据题干列出不等式，再根据不等式的求解设出函数，利用极端情况满足存在实数t使两个不等式成立，两个函数得需有交点. 地 城 考点03 幂、指数与对数 6．(24-25上海市长宁区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 已知，，则 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】由指对数的关系得，再有，即可求值. 【详解】由题设，， 根据换底公式，则. 故答案为： 地 城 考点04 幂函数、指数函数与对数函数 7．(24-25上海市松江区2024-2025学年高一上学期期末质量监控数学试卷) 同构式通俗讲是结构相同的表达式，如: ， 称 与 为同构式. 已知实数 满足 ， 则 . 【答案】3 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、指数式与对数式的互化 【分析】将化为，再利用同构式及函数单调性求得答案. 【详解】函数在R上单调递增，且， 由，得，则， 即，因此，则， 所以. 故答案为：3 8．(24-25上海市徐汇区2024-2025学年高一上学期学习能力诊断数学试卷) 若函数的值域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值、求指数函数在区间内的值域、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】根据分段函数解析式，及指数函数、二次函数的性质求区间值域，结合函数值域求参数范围. 【详解】由在上值域为， 由在上单调递减，则值域为， 又原函数的值域为，所以，可得. 故答案为： 9．(24-25上海市洋泾中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 已知函数，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】对数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、分段函数的单调性 【分析】判断函数的单调性，根据其单调性解不等式，可得答案. 【详解】当时，，函数单调递增， 当时，， 由复合型对数函数的单调性“同增异减”可知，函数单调递增， 作出函数大致图象如图： 所以函数是定义在R上的增函数， 因此,不等式等价于， 解得， 故答案为：. 10．(24-25上海市吴淞中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 已知是定义域为的偶函数，，且当时，（是常数），则不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】先根据以及奇偶性计算的值，然后根据奇偶性和单调性解不等式. 【详解】因为是偶函数，所以， 所以，所以； 又因为时是增函数且， 所以时是减函数且； 所以，解得，即不等式的解集为， 故答案为： 11．(24-25上海市晋元高级中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 记函数的定义域为D，若存在非负实数k，对任意的，总有，则称函数具有性质． ①所有偶函数都具有性质； ②具有性质； ③已知，若函数具有性质，则 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【知识点】函数新定义、函数不等式恒成立问题 【分析】利用性质计算可判断①；利用基本不等式结合性质可判断②；利用已知条件，可得，结合不等式恒成立可求得的取值范围判断③. 【详解】对于①，设函数是定义在D上的偶函数， 对任意的，，所以，所有偶函数都具有性质，故①正确； 对于②，对任意的，， 当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立，又因为，故对任意的，， 所以，具有性质，故②正确； 对于③，， 因为，易知，因为，则，则， 所以，， 即，所以，， 要使得恒成立，则， 又因为，则， 所以，若函数具有性质，则，故③正确． 故答案为：①②③. 【说明】本题关键是利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解； （1）； （2）； （3）； （4）. 12．(24-25上海市宜川中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 下列关于x的函数中，在其定义域上是增函数的是（填序号）： . ①；②；③；④；⑤. 【答案】③⑤ 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、判断指数函数的单调性、判断一般幂函数的单调性、对数型复合函数的单调性 【分析】根据解析式判断可得答案. 【详解】对于①，函数在和上是增函数， 但在定义域上不是增函数，故错误； 对于②，函数在定义域上不是增函数，故错误； 对于③，函数，定义域为， 且在定义域上是增函数，故正确； 对于④，如图，的图象如下， 函数在上增函数，在上是增函数， 但在定义域上不是增函数，故错误； 对于⑤，因为，定义域关于原点对称，且 ，所以为奇函数， 又函数在上是增函数，在上是增函数， 所以在上是增函数，根据对称性， 在上是增函数，且，故正确. 故答案为：③⑤. 地 城 考点05 函数的概念、性质及应用 13．(24-25上海市洋泾中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 已知函数的定义域为． 命题：若当时，都有，则函数是D上的奇函数． 命题：若当时，都有，则函数是D上的增函数． 下列说法正确的是（    ） A．p、q都是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p、q都是假命题 【答案】C 【分析】根据题意，结合函数奇偶性与单调性的定义及判定方法，即可求解. 【详解】对于命题，令函数， 则，此时，当函数不是奇函数， 所以命题为假命题， 对于命题，当时，都有，即时，不可能， 满足增函数的定义，所以命题为真命题. 故选：C. 地 城 考点06 三角 14．(24-25上海市晋元高级中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 已知，有下列两个结论； ①存在在第一象限，在第三象限； ②存在在第二象限，在第四象限； 则（    ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对 【答案】D 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】换元、结合导数证明单调性和二次函数的性质即可求解. 【详解】因为， 所以 令，，则，整理得，且方程有解 有 作函数图像 则由图像可知存在，有 所以当时，恒成立，则，, 因此一正一负 说明当在第二象限时，在四个象限均可， 当时，成立 此时， 因此皆为负 说明当在第一象限时，在只能在第二象限或第四象限 综上所述：①错②对 故选：D. 15．(24-25上海市宝山区上海师范大学附属中学宝山分校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 设点是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置出发，沿单位圆顺时针方向旋转角后到达点，然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角到达点，若点的纵坐标是，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、利用定义求某角的三角函数值 【分析】先确定初始位置所在射线对应的角，由此得到，所在射线对应的角，由三角函数的定义求解即可． 【详解】解：初始位置在的终边上， 所在射线对应的角为， 所在射线对应的角为， 由题意可知，， 又， 则，解得， 所在的射线对应的角为， 由任意角的三角函数的定义可知，点的坐标是，即． 故答案为：． 16．(24-25上海市杨浦区复旦大学附属中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题) 如图，已知长为，宽为的长方体木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方体木块底面与桌面所成的角为，求点走过的路程为 ．      【答案】 【知识点】弧长的有关计算 【分析】根据旋转的定义得到第一次是以为旋转中心，以为半径旋转，第二次是以为旋转中心，以为半径旋转，第三次是以为旋转中心，以为半径旋转，根据弧长公式计算后相加即可． 【详解】    第一次是以为旋转中心，以为半径旋转， 此次点走过的路径是， 第二次是以为旋转中心，以为半径旋转， 此次点走过的路径是， 第三次是以为旋转中心，以为半径旋转， 此次点走过的路径是， 点三次共走过的路径是， 故答案为：． 地 城 考点07 综合题 17．(24-25上海市延安中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数不等式恒成立问题、求指数型复合函数的值域 【分析】设，由换元法转化为在区间上恒成立，进而可得. 【详解】设，当时，， 故由题意可得关于的不等式在区间上恒成立， 设，由二次函数的性质可知在区间上单调递减， 故，得， 故选：D 18．(24-25上海市格致中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 设且，函数、的定义域都是，且满足，（其中表示最小值）．记函数的值域为，若集合中仅有四个元素，则实数的取值范围为 ． 【答案】. 【知识点】分段函数的性质及应用、根据分段函数的单调性求参数 【分析】通过，，三类情况，结合函数单调性讨论即可； 【详解】由题意， ，， ，， 当时，，此时， 当时，单调递增，， 此时函数的值域中仅有一个元素；不符合题意， 当时，单调递增， ，，， ， ， 由于单调递增， ， ， 此时函数的值域中最多有两个元素，不符合题意； 当时，单调递减， ，，， ， 要使集合中仅有四个元素，需满足：， 即，解得：， 所以实数的取值范围为， 故答案为： 19．(24-25上海市同济大学第一附属中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 甲、乙、丙三位同学对问题“关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围” 提出各自的解题思路: 甲说: “只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”; 乙说: “把不等式变形为左边含变量 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”; 丙说: “把不等式两边看成关于 的函数，作出函数图像”; 参考上述解题思路，借助你认为合适的思路进行分析，求 的取值范围 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的值域、函数不等式恒成立问题、对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域 【分析】通过对不等式进行变形，将问题转化为求函数的最小值，再根据函数单调性求出最小值，进而确定参数的取值范围. 【详解】首先，由， 因为，两边同时除以（）得到. 然后，设. 对于，令， 在上增大时减小，减小，单调递增，根据复合函数同增异减，在上单调递减； 在上增大时增大，增大，单调递增，所以在上单调递增. 对于，时，单调递减；时，单调递增. 所以在上单调递减，在上单调递增.   接着，求的最小值，. 最后，因为，即，变形为，根据指数函数单调性可得，解得. 故答案为：. 20．(24-25上海市吴淞中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 设是含数2的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【知识点】函数关系的判断 【分析】问题相当于圆上由12个均匀分布的点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合，利用排除法，若时，圆上有部分关于轴对称的点，即一个对应2个，不满足函数的定义，从而可得结果. 【详解】问题相当于圆上由12个均匀分布的点为一组， 每次绕原点逆时针旋转个单位后会与下一个点重合， 我们可以通过代入和赋值的方法当时， 这12 个点对应的圆心角分别为， 然而此时有5组关于轴对称的点，即一个对应2个， 因为函数的定义要求一个只能对应一个，排除选项， 因此只有当时，旋转后得到的12个点，没有任何两个点关于轴对称， 此时每个都满足一个只会对应一个. 故选：A. 【说明】关键点是：解答本题的关键是将问题转化为“问题相当于圆上均匀分布12个点,且都不关于轴对称”. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $