中职数学基础模块下册8.1《随机事件及其概率》同步课件

基础模块 学校： 授课教师： 数学 下册 1 随机事件及其概率 8.1 2 8.1 随机事件及其概率 掷一枚硬币，着地时可能出现正面（带币值的一面）向上，也可能出现反面向上. 从一批产品中随意抽出一件来检查，可能是合格品，也可能是次品. 小明从家里骑自行车去学校上课，所花的时间可能是20 min，也可能是22 min. 观察 3 8.1 随机事件及其概率 在基本条件相同的情况下，可能出现不同的结果，究竟出现哪一种结果，随“机遇”而定，带有偶然性，这类现象称为随机现象. 抽象 探索 如何研究随机现象？随机现象的特点是：在基本条件相同的情况下，可能出现不同的结果.自然首先要问：出现每一种结果的可能性有多大？能不能用一个数来刻画可能性的大小？ 4 8.1 随机事件及其概率 以掷硬币为例，历史上有不少人做过掷硬币的试验，下表列出了部分试验结果，其中，频率是指出现正面向上的次数与掷硬币的次数的比值. 探索 这些试验表明，虽然掷一次硬币，究竟出现正面还是反面，带有偶然性,但是在大量的试验中，却呈现出明显的规律性:出现正面的频率接近于 . 5 8.1 随机事件及其概率 从硬币的构造来看，硬币是均匀的、对称的，因此每一次掷硬币，出现正面与出现反面的可能性是一样的.很自然地，我们用 来表示出现正面的可能性的大小;同样,出现反面的可能性大小也是 .上述试验中，出现正面的频率正是接近于出现正面的可能性大小 . 探索 6 8.1 随机事件及其概率 历史上，英国生物统计学家高尔顿设计了一个试验，如图8-1所示. 探索 在一块板的上半部分有一排一排的钉子,下半部分分成许多宽度相同的格子.自上端入口放进一小球,任其自由下落,在下落过程中，当小球碰到钉子时，可能从左边落下，也可能从右边落下,其机会相等.碰到下一排钉子时又是如此，最后落入底板的某一格子里.因此任意放入一小球,它落入哪一个格子里带有偶然性,这是随机现象. 7 8.1 随机事件及其概率 探索 但是试验表明，如果放入大量小球，则这些小球落入格子里以后，堆积成的图形几乎总是一样的，如图8-1所示.中间格子里的小球明显居多，往两旁格子里的小球越来越少.这说明小球落入中间格子里的可能性大,落入两旁格子里的可能性小，小球落入每一个格子里的可能性大小是客观存在的.落入某一个格子里的小球堆积成的图形的面积，与落入所有格子里的小球堆积成的图形的面积之比，接近于小球落入这个格子的可能性大小. 8 8.1 随机事件及其概率 上述两个例子和其他大量例子表明，在随机现象中，出现的每一个结果的可能性的大小是客观存在的，它可以用一个不超过1的非负实数来刻画,这个数就叫作出现这个结果的概率. 抽象 简洁地说，在随机现象中，出现的每一个结果的可能性的大小，叫作出现这个结果的概率. 例如，掷一枚质地均匀的硬币,出现正面的概率是 ，出现反面的概率也是 . 上述两个例子表明，研究随机现象,通常要进行观察或试验,这些观察或试验统称为随机试验. 9 8.1 随机事件及其概率 掷两次硬币,可能出现的结果有哪些？ 探索 掷一次硬币，出现正面向上简记作“正”，出现反面向上简记作“反”，则掷两次硬币，可能出现的结果有下列4个: (正,正)，(正,反)， (反,正)， (反，反). 10 8.1 随机事件及其概率 在随机试验中,可能出现的每一个结果叫作一个样本点,所有样本点组成的集合叫作样本空间,通常用Ω表示. 抽象 例如，掷两次硬币，样本点有上述4个，样本空间是 Ω＝｛(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)｝.（1） 对于随机试验,除了要知道它可能出现的每一个结果外，我们还想了解与这些可能出现的结果有关的一些事情.例如，掷两次硬币，我们想了解“至少有一次出现正面”这件事.这件事可能发生，也可能不发生. 11 8.1 随机事件及其概率 在随机试验中，如果一件事情可能发生，也可能不发生,那么称这件事情是随机事件.在一定条件下，必然会发生的事情称为必然事件；一定不会发生的事情称为不可能事件.它们可看成是随机事件的两个极端情形. 抽象 例如，掷一枚硬币，“出现正面”是随机事件，“出现反面”也是随机事件，“出现正面或反面”是必然事件,“既不出现正面，也不出现反面”是不可能事件. 我们常常把随机事件简称为事件. 12 8.1 随机事件及其概率 掷两次硬币，“至少有一次出现正面”的事件有3种情况：(正,正)，(正，反)，(反，正).于是很自然地把这个事件看成是由这3个样本点组成的子集A: 抽象 A＝{(正,正),(正，反)，(反，正)｝. (2) 而样本空间Ω的一个子集，例如，B＝｛(反，正)，(反，反)｝可以看成是“掷两次硬币第一次出现反面”的事件. 13 8.1 随机事件及其概率 一般地，如果随机试验的样本点只有有限多个，那么它的每一个随机事件都可看成是样本空间Ω·的一个子集；而Ω·的每一个子集都可看成是一个随机事件.Ω的一个子集A看成一个随机事件时，我们就说事件A. 抽象 在随机试验中，若事件A含有的样本点中有一个出现，就称事件A发生；若事件A含有的样本点中没有一个出现 ，则称事件A不发生. 样本空间Ω包含了所有的样本点,因此事件Ω是必然事件.空集 ∅不包含任何样本点,因此事件∅是不可能事件.把单独一个样本点组成的子集看成事件时,称为基本事件. 14 8.1 随机事件及其概率 在随机试验中，如果一个随机事件发生的可能性的大小能够用一个确定的不超过1的非负实数来刻画，那么把这个数叫作这个随机事件的概率.随机事件A的概率记作P(A). 抽象 从历史上不少人做过的掷硬币的试验中看到，出现正面的频率在 附近徘徊，是出现正面的概率. 设A是随机试验中的一个事件，在相同的条件下把这个随机试验独立地重复做N次，我们把N次试验中事件A发生的次数与N的比值称为事件A发生的频率，记作fN.试验表明，事件A发生的频率fN在事件A的概率P（A）附近徘徊.理论上可以证明：当N趋向于无穷大时，fN收敛到一个数，这个数就是事件A的概率P(A). 15 8.1 随机事件及其概率 根据前面所述知道，随机试验中，一个样本点出现的可能性大小叫作这个样本点的概率，样本点ω的概率记作P(ω).对于每一个样本点ω，都有 抽象 0<P(ω)<1. 样本空间Ω表示的事件是必然事件，因此事件Ω发生的可能性大小应为100%，从而 P（Ω）＝1. (3) 掷两次硬币，样本空间Ω(如(1)式所示)中的4个样本点依次记作ω1，ω2 ,ω3，ω4,则“至少有一次出现正面”的事件A(如(2)式所示)为 A=｛ω1,ω2,ω3｝. 16 8.1 随机事件及其概率 试问:事件A发生的可能性有多大? 抽象 只要出现了A中的一个样本点，事件A就发生了，从而自然认为:事件A·发生的可能性大小应该是A·中各个样本点出现的可能性大小之和.于是事件A的概率为 P(A)= P(ω1)+P(ω2)+P(ω3). 从这个具体例子以及大量类似的例子表明的事实，我们可以作出下述规定: 如果随机试验的样本点只有有限多个,那么它的随机事件A的概率规定为A中各个样本点的概率之和. 由于样本空间Ω表示的事件的概率P(Ω)=1,因此事件A中各个样本点的概率之和不超过1,从而 0≤P(A)≤1. (4) 17 8.1 随机事件及其概率 掷两次硬币，可以分两步进行:第一步，掷一枚硬币，这时出现正面与出现反面的可能性大小是相等的;无论第一步出现的结果是什么，第二步，再掷一枚硬币，出现正面与出现反面的可能性大小仍然相等.因此掷两次硬币出现的4个可能结果，其可能性大小是相等的,即 抽象 P(ω1)=P(ω2)=P(ω3)=P(ω4). P(Ω)=P(ω1)+P(ω2)+P(ω3)+P(ω4)=1， 由于 P(ω1)=P(ω2)=P(ω3)＝P(ω4)＝14. 因此 P(A)=P(ω1)+P(ω2)+P(ω3)＝ + + ＝ . 于是“至少有一次出现正面”的事件A的概率为 18 数学基础模块 THANKS 学校： 授课教师： 19 $