中职数学基础模块下册7.5《柱、锥、球的体积》同步课件

基础模块 学校： 授课教师： 数学 下册 1 柱、锥、球的体积 7.5 2 7.5 柱、锥、球的体积 一个几何体占有空间部分的大小叫作它的体积.长方体的体积等于长、宽、高的乘积，也就是底面积S与高h的乘积，即 V长方体=Sh. 探索 如何求棱柱的体积呢？ 棱柱的两个底面是互相平行的，上底面的任意两点到下底面的距离都相等，把它称为两个底面的距离，并且把它称为棱柱的高.直棱柱的高就是侧棱长. 3 7.5 柱、锥、球的体积 探索 若一个棱柱的底面是平行四边形，则称它是平行六面体.图7-35中的棱柱ABCD-A′B′C′D′是一个平行六面体，设它的高为h. 取一个长方体EFGH-E′F′G′H′,它的底面EFGH的面积等于平行六面体ABCD-A′B′C′D′的底面ABCD的面积，设它的高也为h. 把长方体EFGH-E′F′G′H′与平行六面体ABCD-A′B′C′D′的下底面放在同一水平面α上，如图7-35所示. 4 7.5 柱、锥、球的体积 探索 用平行于平面α的任意一个平面去截平行六面体ABCD-A′B′C′D′与长方体EFGH-E′F′G′H′，截得的截面的面积分别等于平行四边形ABCD的面积和平行四边形EFGH的面积，从而它们相等. 根据祖暅原理—— “夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”，我们得到，平行六面体ABCD-A′B′C′D′的体积等于长方体EFGH-E′F′G′H′的体积. 5 7.5 柱、锥、球的体积 探索 由于长方体的体积是底面积S与高h的乘积，即V长方体=Sh，并且平行六面体ABCD-A′B′C′D′的底面积等于这个长方体的底面积S，它的高也为h，因此 即平行六面体的体积等于它的底面积S与高h的积. V平行六面体＝Sh， 6 7.5 柱、锥、球的体积 探索 同样的方法，利用祖暅原理我们可以证明下述定理1： V棱柱＝Sh. (1) 定理1 棱柱的体积等于它的底面积S与高h的积，即 7 7.5 柱、锥、球的体积 探索 (2) 定理2 棱锥的体积等于它的底面积S与高h的积的 ，即 如何求棱锥的体积呢？ 做两个纸杯，一个是底面边长为6cm、高为10cm的正四棱锥；另一个是底面边长为6cm、高为10cm的正四棱柱.把正四棱锥的纸杯斟满水，倒进正四棱柱的纸杯里，发现正四棱锥纸杯的三杯水正好灌满了正四棱柱的纸杯.由此我们猜测并且证明了下述定理2： 8 7.5 柱、锥、球的体积 例1：求底面边长为4cm、高为5cm的正三棱柱的体积. 解：由于正三棱柱的底面是边长为4 cm的正三角形，因而它的底面积 因此这个正三棱柱的体积 9 7.5 柱、锥、球的体积 例2：求底面边长为a、高为h的正六棱柱的体积. 解：正六棱柱的底面是边长为a的正六边形，根据7.3节的公式（2），正六边形的面积等于 ，因此这个正六棱柱的体积 10 7.5 柱、锥、球的体积 例3：求底面边长为a、高为h的正三棱锥的体积. 解：正三棱锥的底面是边长为a的正三角形，它的面积是 因此 11 7.5 柱、锥、球的体积 例3：求底面边长为a、侧棱长为l的正四棱锥的体积. 解：如图7-36，正四棱锥的底面是边长为a的正方形，它的面积是a2,对角线长为 ，两条对角线的交点与正方形顶点的距离为 .正四棱锥的高 因此 12 7.5 柱、锥、球的体积 探索 (3) 定理3 圆柱的体积等于它的底面积S与高h的积，即 如何求圆柱的体积和圆锥的体积？ 根据祖暅原理，圆柱与跟它等底面积等高的长方体的体积相等，圆锥与跟它等底面积等高的三棱锥的体积相等，因此得出下面的定理3和定理4： 其中r是圆柱的底面半径. 13 7.5 柱、锥、球的体积 探索 (4) 定理4 圆锥的体积等于它的底面积S与高h的积的 ，即 其中r是圆锥的底面半径. 14 7.5 柱、锥、球的体积 探索 (5) 定理5 半径为R的球的体积是 如何求半径为R的球的体积？ 球可以看成是由xOy平面上的上半圆与x轴围成的图形绕x轴旋转一周得到的旋转体.把区间［-R,R］分割成很多小区间，如图7-37所示.当每个小区间很小时，图形ABCD绕x轴旋转一周所得旋转体可以近似地看作圆柱，把这些圆柱的体积加起来，就会无限接近于球的体积.用这种思想可以证明下述定理5： 15 7.5 柱、锥、球的体积 例6：已知一个球的大圆的面积为256πcm2，求这个球的体积. 解：设这个球的半径为R cm，则可得πR2＝256π，于是R＝ ＝16.因此 16 7.5 柱、锥、球的体积 例7：已知某型号钢制垫圈的外口直径为56mm，内口直径为24mm，高为2.5mm，求钢垫圈的质量（钢的密度为7.9g/cm3，π取3.14，结果精确到0.1g）. 解：如图7-38所示，钢垫圈的体积是两个圆柱的体积之差，即 故垫圈的质量m＝7.9×5.024≈39.7(g). 17 数学基础模块 THANKS 学校： 授课教师： 18 $