中职数学基础模块7.3《直棱柱、正棱锥的表面积》同步课件

基础模块 学校： 授课教师： 数学 下册 1 直棱柱、直棱锥的表面积 7.3 2 7.3 直棱柱、直棱锥的表面积 如图7-14，长方体ABCD-A1B1C1D1有上、下、左、右、前、后六个面.其中，上、下两个面ABCD与A1B1C1D1没有公共点，称这两个面互相平行，把它们分别叫作下底面、上底面，它们都是矩形.左、右、前、后四个面都是矩形，把它们叫作侧面.两个侧面的公共边A1A，B1B，C1C，D1D叫作侧棱.侧面与底面的公共顶点叫作长方体的顶点. 观察 3 7.3 直棱柱、直棱锥的表面积 由若干个多边形围成的几何体叫作多面体.围成多面体的各个多边形叫作多面体的面，本章所说的多边形包括它的内部.多面体有几个面就称为几面体.，两个面的公共边叫作多面体的棱.棱和棱的交点叫作多面体的顶点. 一个多面体如果有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，那么称这个多面体为棱柱.两个互相平行的面叫作棱柱的底面，其余各面叫作棱柱的侧面.相邻两个侧面的公共边叫作棱柱的侧棱. 抽象 4 7.3 直棱柱、直棱锥的表面积 长方体是一个棱柱，长方体的上、下底面是全等的矩形，四条侧棱的长度都相等.如图7-14，长方体的侧棱A1A与下底面ABCD的边AB，AD都垂直，从而A1A与下底面ABCD垂直，A1A也与上底面A1B1C1D1垂直.其余三条侧棱也都与下底面和上底面垂直. 可以证明棱柱有下列性质： （1）两个底面是全等的多边形； （2）侧棱的长度都相等. 底面是三角形的棱柱叫作三棱柱，底面是四边形的棱柱叫作四棱柱，等等. 侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱.长方体是直棱柱. 抽象 5 7.3 直棱柱、直棱锥的表面积 探索 直棱柱各个侧面的面积之和称为直棱柱的侧面积，记作S直棱柱侧.如何求一个直棱柱的侧面积？ 如图7-15，将长方体ABCD-A1B1C1D1的侧面沿一条侧棱A1A剪开，并展开在一个平面上，可得一矩形. 于是，长方体的侧面积为 S=(AB+BC+CD+DA)·AA1, 即长方体的侧面积等于它的下底面的周长乘一条侧棱的长度. 6 7.3 直棱柱、直棱锥的表面积 探索 同样地，将一个直棱柱的侧面沿它的一条侧棱剪开并展开在一个平面上，可得一个矩形，该矩形称为这个直棱柱的侧面展开图. 这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c，宽等于直棱柱的侧棱长l，因此直棱柱的侧面积是 S直棱柱侧=cl. 棱柱由底面和侧面组成，将直棱柱的侧面积与它的两个底面的面积之和称为直棱柱的表面积. （1） 7 7.3 直棱柱、直棱锥的表面积 正方形的四条边都相等，四个角也都相等.一个多边形如果它的边都相等，角也都相等，那么称它为正多边形. 观察 探索 如何在平面上画一个边长为a的正六边形？它的面积是多少？ 8 7.3 直棱柱、直棱锥的表面积 探索 画一个半径为a，圆心为点O的圆，如图7-16所示，再画一条水平方向的直径AB.然后依次画圆心角∠BOC＝∠COD＝ ,于是∠DOA＝ （即把上半圆三等分），从而BC＝CD＝DA.用同样的方法把下半圆三等分，分点为E，F，于是AE＝EF＝FB.因此六边形AEFBCD的6条边都相等. 由于∠BOC＝ ，OB＝OC，因此△OBC是等边三角形，则∠OBC＝ .同理可得∠OBF＝ ，于是∠FBC＝ .同理可得，六边形AEFBCD的6个角都相等.因此六边形AEFBCD是正六边形. 9 7.3 直棱柱、直棱锥的表面积 探索 这个正六边形的面积 即边长为a的正六边形的面积等于 （2） 10 7.3 直棱柱、直棱锥的表面积 探索 这个正六边形的面积 即边长为a的正六边形的面积等于 （2） 11 7.3 直棱柱、直棱锥的表面积 评注 从图7-16可以看到，正六边形AEFBCD绕点O旋转 得到的图形与正六边形AEFBCD重合.因此正六边形是旋转 的对称图形，它的对称中心是这个正六边形的外接圆的圆心O. 一般地，正n边形绕它的外接圆圆心旋转 得到的图形与这个正n边形重合.因此正n边形是旋转 的对称图形，它的对称中心是它的外接圆的圆心，称为这个正n边形的中心. 底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱. 12 7.3 直棱柱、直棱锥的表面积 例1：如图7-17，正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为1.5cm，侧棱长为3.5cm，求其侧面积和表面积（精确到0.1cm2）. 解：正六棱柱的底面是正六边形，于是正六棱柱的侧面积为 S正六棱柱侧＝（6×1.5)×3.5=31.5(cm2). 于是这个正六棱柱的表面积为 根据(2)式，边长为1.5cm的正六边形的面积为 13 7.3 直棱柱、直棱锥的表面积 图7-18中，各个多面体有哪些共同点？ 观察 14 7.3 直棱柱、直棱锥的表面积 如果一个多面体有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，那么称这个多面体是棱锥.这个多边形叫作棱锥的底面，其余各面叫作棱锥的侧面，相邻两个侧面的公共边叫作棱锥的侧棱.各个侧面的公共顶点叫作棱锥的顶点. 底面是三角形的棱锥叫作三棱锥，底面是四边形的棱锥叫作四棱锥，等等. 抽象 15 7.3 直棱柱、直棱锥的表面积 设点P不在平面α上，从点P向平面α引垂线，垂足P′称为点P在平面α上的射影，如图7-19.线段PP′称为点P到平面α的垂线段.垂线段PP′的长度称为点P到平面α的距离. 设直线l经过点P且l与平面α相交于点M，则直线P′M称为直线l在平面α上的射影. l上任意一点在平面α上的射影一定在l的射影P′M上. 抽象 棱锥的顶点到底面的距离叫作棱锥的高.把连接顶点与它在底面上的射影的线段叫作棱锥的高线，简称为高. 16 7.3 直棱柱、直棱锥的表面积 如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，那么称这个棱锥是正棱锥. 如图7-20，正五棱锥S-ABCDE的顶点是S，底面是正五边形ABCDE，高是SO，其中点O是正五边形ABCDE的中心.结合正五棱锥S-ABCDE，我们可以得出正棱锥的下述性质： 抽象 （1）各条侧棱的长度都相等（利用勾股定理可得）； （2）各个侧面都是全等的等腰三角形，各个等腰三角形底边上的高叫作正棱锥的斜高； （3）正棱锥的高、斜高以及斜高在底面上的射影组成一个直角三角形； （4）正棱锥的高、侧棱以及侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形. 17 7.3 直棱柱、直棱锥的表面积 如图7-21，将一个底面边长为a，斜高为h′的正五棱锥S-ABCDE的侧面沿着一条侧棱剪开并展开在一个平面上，可得该棱锥的侧面展开图. 这个正五棱锥的侧面积 抽象 一般地，正棱锥的各个侧面三角形的面积之和称为这个正棱锥的侧面积.记正棱锥的底面周长为c，斜高为h′，则 正棱锥的侧面积与底面积之和称为正棱锥的表面积. 18 7.3 直棱柱、直棱锥的表面积 回顾 如图7-22，正△ABC（即等边三角形）的顶点B，C在x轴上，且线段BC的中点是原点O，顶点A在y轴上.设△ABC的边长为a，则 正△ABC的中心M在AO上，且 于是 19 7.3 直棱柱、直棱锥的表面积 探索 第一步，如图7-23,以点O为原点，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy=45°,∠xOz=90°. 第二步，画正三棱锥的底面.在x轴的正半轴上取点C，使得OC＝ a,在x轴的负半轴上取点B，使得OB＝ a.在y轴上取点A，使得OA等于正三角形的底边BC上的高线的长度32a的一半，即OA＝34a.连接AB，AC（用虚线，因为被遮挡），得到底面正△ABC. 例2：若正三棱锥S-ABC的底面边长为a、高为h，求其侧面积和表面积. 20 7.3 直棱柱、直棱锥的表面积 探索 第三步，画正三棱锥的高线.在OA上取点M，使得AM＝ OA＝ a.过点M作与z轴平行的直线，在此直线上取点S，使得SM＝h（SM用虚线）. 第四步，连接SA，SB，SC（注意SA用虚线），便得到所求作的正三棱锥S-ABC. 例2：若正三棱锥S-ABC的底面边长为a、高为h，求其侧面积和表面积. 21 7.3 直棱柱、直棱锥的表面积 例2：若正三棱锥S-ABC的底面边长为a、高为h，求其侧面积和表面积. 解：如图7-24，正三棱锥SABC的底面是正△ABC，点M是正△ABC的中心.由图7-22可知，AM＝ a，MO＝ a. 因此 由于侧面△SBC是等腰三角形，且O是BC的中点，因此SO是△SBC的底边BC上的高，从而正三棱锥的斜高h′＝SO.由正棱锥的性质(3)可知，△SMO是直角三角形， 22 7.3 直棱柱、直棱锥的表面积 例2：若正三棱锥S-ABC的底面边长为a、高为h，求其侧面积和表面积. 从而底面边长为a、高为h的正三棱锥的侧面积 因此，这个正三棱锥的表面积 23 7.3 直棱柱、直棱锥的表面积 例3：画出底面边长为1.6cm，侧棱长为2cm的正三棱柱(如图7-25)的三视图. 解：这个正三棱柱的主视图、左视图、俯视图如图7-26所示，其中左视图的矩形的宽等于底面正三角形一条边上的高，即 24 7.3 直棱柱、直棱锥的表面积 解：第一步，以点O为原点，画出x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. 第二步，画正四棱柱的下底面.在x轴上画出点A，OA＝2 cm；在y轴上画出点C，OC的长度是实际长度2 cm的一半，即1 cm,作平行四边形OABC（BC用虚线，因为它被遮挡），这就是正四棱柱的下底面. 例4：有一个底面边长为2cm，侧棱长为3cm的正四棱柱OABC-O′A′B′C′，以这个正四棱柱的上底面O′A′B′C′为底面的正四棱锥S-O′A′B′C′的高为1.5cm，画出这个组合体的直观图. 25 7.3 直棱柱、直棱锥的表面积 第三步，画正四棱柱的上底面.在z轴上画出点O′，OO′=3 cm.过点O′作与x轴平行的直线，在此直线上取点A′使得O′A′=2 cm.过点O′作与y轴平行的直线，在此直线上取点C′使得O′C′=1 cm.作平行四边形O′A′B′C′（O′C′，B′C′用虚线，因为它是正四棱锥的底面，会被遮挡），这就是正四棱柱的上底面，如图7-27. 例4：有一个底面边长为2cm，侧棱长为3cm的正四棱柱OABC-O′A′B′C′，以这个正四棱柱的上底面O′A′B′C′为底面的正四棱锥S-O′A′B′C′的高为1.5cm，画出这个组合体的直观图. 26 7.3 直棱柱、直棱锥的表面积 第四步，连接A′A，B′B，C′C（C′C用虚线，因为它被遮挡）便得到正四棱柱OABC-O′A′B′C′. 第五步，画正四棱锥的底面O′A′B′C′的中心.由于O′A′B′C′是正方形，因此它的底面中心是两条对角线O′B′和A′C′的交点M. 例4：有一个底面边长为2cm，侧棱长为3cm的正四棱柱OABC-O′A′B′C′，以这个正四棱柱的上底面O′A′B′C′为底面的正四棱锥S-O′A′B′C′的高为1.5cm，画出这个组合体的直观图. 27 7.3 直棱柱、直棱锥的表面积 例4：有一个底面边长为2cm，侧棱长为3cm的正四棱柱OABC-O′A′B′C′，以这个正四棱柱的上底面O′A′B′C′为底面的正四棱锥S-O′A′B′C′的高为1.5cm，画出这个组合体的直观图. 第六步，画正四棱锥的高线.过点M作平行于z轴的直线，在此直线上取点S，使得SM＝1.5 cm（SM用虚线，因为它被遮挡）. 第七步，连接SO′，SA′，SB′，SC′（SC′用虚线，因为它被遮挡）,便得到正四棱锥S-O′A′B′C′. 于是得到这个组合体的直观图，如图7-27所示.最后把x轴、y轴、z轴，线段O′B′,A′C′,SM及字母M去掉. 28 数学基础模块 THANKS 学校： 授课教师： 29 $