专题05 函数的基本性质（14大重点题型+思维导图+知识清单）（举一反三期末专项训练）高一数学上学期苏教版必修第一册

专题05 函数的基本性质（14大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【苏教版】 题型归纳 【知识清单1 函数的单调性】 1．函数的单调性 (1)单调递增、单调递减： 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的. 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的. (2)函数的单调性及单调区间： ①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数. ②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单 调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. (3)常见函数的单调性： 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞)； a<0时，单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞). 二次函数y=a(x-m)²+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(-∞,m]，单调递增区间是[m,+∞)； a<0时，单调递减区间是[m,+∞)，单调递增区间是(-∞,m]. (4)单调函数的运算性质： 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. ②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的 单调性. ③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时， f(x)与具有相同的单调性. ④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. ⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)· g(x)在区间D上也是单 调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)· g(x)在区间D上单调递减(增). (5)复合函数的单调性判定： 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 2．函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法： ①定义法； ②图象法； ③利用已知函数的单调性. (2)复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 【知识清单2 函数的最值】 1．函数的最大（小）值 (1)函数的最大（小）值： 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≥m； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 2．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 【知识清单3 函数的奇偶性】 1．函数的奇偶性 (1)定义： 定 义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非 偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域 特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价 形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔∀x∈I，- x∈I，且 f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔∀x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. (3)奇、偶函数图象对称性的应用 ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 2．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 3．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 【知识清单4 函数的图象】 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 3．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解 1．（24-25高一上·广东佛山·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，，则是（    ） A．奇函数，在上单调递增 B．奇函数，在上单调递减 C．偶函数，在上单调递增 D．偶函数，在上单调递减 2．（24-25高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，给定下列四个语句： ①在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ②在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ③在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ④在区间上是严格增函数，且是奇函数. 其中是“函数在上是严格增函数”的充分条件的有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一上·上海宝山·期末）函数的单调递减区间为 . 4．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)判断在上的单调性，并用定义法进行证明． 5．（24-25高一上·云南西双版纳·期末）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且. (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式. 题型2 根据函数的单调性求参数 6．（24-25高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·上海·期末）已知函数在区间上是严格增函数，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知函数在定义域上是减函数，则的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 9．（24-25高一上·上海·期末）已知，关于的函数在区间上是严格减函数，且在该区间函数值不恒为负，则实数 . 10．（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知二次函数. (1)当时，解不等式； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围. 题型3 利用函数的单调性比较大小 11．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知偶函数在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·吉林·期末）已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·广东揭阳·期末）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则下列不等关系恒成立的是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·陕西渭南·期末）定义在上函数满足以下条件：①函数是偶函数；②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型4 利用函数的单调性解不等式 16．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数是上单调递增的奇函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且在上单调递减．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 19．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为 ． 20．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知定义在上的函数图象关于原点对称． (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)解不等式． 题型5 求函数的最值或值域 21．（24-25高一上·北京·期末）若，则（    ） A．最大值为6 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为2 22．（24-25高一上·云南玉溪·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高一上·重庆·期末）已知函数，记该函数在区间上的最大值与最小值的差值为，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 24．（24-25高一上·上海·期末）求函数的最小值 ． 25．（24-25高一上·新疆喀什·期末）已知函数 . (1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的结论； (2)若，求函数的最大值和最小值. 题型6 根据函数的最值求参数 26．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在区间内的最大值为3，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．3或5 27．（25-26高一上·北京·期中）已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 28．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 29．（24-25高一上·上海·期末）已知函数 的最小值为，则 . 30．（24-25高一上·内蒙古·期中）已知函数. (1)若恒成立，求的最大值； (2)若在上单调，求的取值范围； (3)求在上的最小值为，求. 题型7 函数不等式恒、能成立问题 31．（24-25高一上·浙江金华·期末）若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，，，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高一上·江西抚州·期末）设函数的定义域为，且，当时，，若对于，都有恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知函数．若对，均有或，且使得成立，则实数a的取值范围为 ． 35．（24-25高一上·江苏南京·期末）设为实数，已知函数. (1)若是上的单调函数，求的取值范围； (2)已知. ①求的最小值； ②设函数.若区间，且对任意，都存在 ，使得成立，求的最小值. 题型8 函数奇偶性的定义与判断 36．（24-25高一上·云南大理·期末）下列函数中，是偶函数的是（    ） A．（） B． C． D． 37．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 38．（24-25高一上·云南楚雄·期末）下列函数中，既是奇函数又在定义域内单调递增的函数是（   ） A． B． C． D． 39．（24-25高一上·上海·期末）偶函数的定义域是，则 . 40．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 题型9 函数奇偶性的应用 41．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 42．（24-25高一上·贵州毕节·期末）若偶函数对任意都有，且当时，，则（   ） A．8 B． C．12 D． 43．（24-25高一上·河南郑州·期末）已知奇函数在上单调递增，若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 44．（24-25高一上·山东威海·期末）已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 45．（24-25高一上·四川宜宾·期末）定义在R上的奇函数（a，b为常数）满足． (1)求的解析式； (2)若，都有成立，求实数的取值范围． 题型10 函数的对称性及其应用 46．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（   ） A． B． C． D． 47．（24-25高一上·河南开封·期末）已知函数的图象关于点成中心对称图形，当时，，则时，（   ） A． B． C． D． 48．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数的定义域为，函数的图象关于点对称，且当时，恒成立，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 49．（24-25高一上·上海·期末）若函数的图像关于直线对称，则 . 50．（24-25高一上·北京顺义·期末）“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”.若函数的图象关于点对称，且当时，. (1)求的值； (2)设函数. （i）证明函数的图象关于点对称； （ii）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 题型11 函数图象的识别与判断 51．（24-25高一上·广西柳州·期末）借助函数的性质可以大致画出函数图象的草图.若是奇函数，且在上单调递增，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 52．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 53．（24-25高一上·湖北·期末）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 54．（24-25高一上·陕西西安·期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数图象的特征．函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 55．（24-25高一上·江西吉安·期末）函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   题型12 抽象函数性质综合 56．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．， 57．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．为增函数 58．（24-25高一上·江苏南通·期中）定义域为的函数满足且时，，不等式的解集为 ． 59．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数的定义域为，且满足． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，求的值； (3)若时，，解不等式． 60．（24-25高一上·黑龙江绥化·期末）定义在上的函数满足：，都有成立，且为上的增函数． (1)求的值，并证明为奇函数； (2)，使成立，求取值范围； (3)解不等式． 题型13 函数基本性质的综合应用 61．（24-25高一上·贵州黔东南·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的、，，有，则下列结论错误的是（    ） A．是偶函数 B． C．的图象关于对称 D． 62．（24-25高一上·北京西城·期末）已知是定义域为的奇函数，满足，且当时．给出下列三个结论： ①； ②函数在区间内有且仅有3个零点； ③不等式的解集为，． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 63．（24-25高一上·上海·期末）已知函数的表达式为，且（）. (1)求实数的值，并判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)解关于的不等式. 64．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数为奇函数，且 (1)求； (2)求证：在区间上单调递增； (3)若对任意的都有，求实数的取值范围. 65．（24-25高一上·上海·期末）已知函数． (1)证明：函数是奇函数； (2)用定义证明：函数在上是严格增函数； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围． 题型14 函数新定义 66．（24-25高一上·湖南长沙·期末）对于函数，若存在使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 67．（24-25高一上·湖南长沙·期末）函数的定义域为，若对于任意的，当时，都有，则称函数在上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③，则等于（    ） A． B． C． D． 68．（24-25高一上·湖南娄底·期末）若函数同时满足：（ⅰ）对于定义域上的任意，恒有；（ⅱ）对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数中：①；②；③；④.能被称为“理想函数”的有 （填相应的序号）. 69．（24-25高一上·上海金山·期末）已知集合，，若存在：，使得成立，则称函数在区间D上具有性质. (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求实数a的取值范围； (3)若存在唯一的实数m，使得函数在上具有性质，求t的值. 70．（24-25高一上·陕西商洛·期末）设函数的定义域为，一般地，对于，，若，则称为“凹函数”；若，则称为“凸函数”.对于函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)已知函数，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； (2)证明：在上是凹函数； (3)已知函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数的基本性质（14大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【苏教版】 题型归纳 【知识清单1 函数的单调性】 1．函数的单调性 (1)单调递增、单调递减： 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的. 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的. (2)函数的单调性及单调区间： ①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数. ②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单 调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. (3)常见函数的单调性： 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞)； a<0时，单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞). 二次函数y=a(x-m)²+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(-∞,m]，单调递增区间是[m,+∞)； a<0时，单调递减区间是[m,+∞)，单调递增区间是(-∞,m]. (4)单调函数的运算性质： 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. ②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的 单调性. ③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时， f(x)与具有相同的单调性. ④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. ⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)· g(x)在区间D上也是单 调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)· g(x)在区间D上单调递减(增). (5)复合函数的单调性判定： 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 2．函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法： ①定义法； ②图象法； ③利用已知函数的单调性. (2)复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 【知识清单2 函数的最值】 1．函数的最大（小）值 (1)函数的最大（小）值： 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≥m； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 2．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 【知识清单3 函数的奇偶性】 1．函数的奇偶性 (1)定义： 定 义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非 偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域 特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价 形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔∀x∈I，- x∈I，且 f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔∀x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. (3)奇、偶函数图象对称性的应用 ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 2．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 3．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 【知识清单4 函数的图象】 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 3．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解 1．（24-25高一上·广东佛山·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，，则是（    ） A．奇函数，在上单调递增 B．奇函数，在上单调递减 C．偶函数，在上单调递增 D．偶函数，在上单调递减 【答案】A 【解题思路】取及进行赋值可以判断奇偶性，再由单调性的定义进行证明即可． 【解答过程】解：因为， 所以，得， 令， 则， 得，则函数为奇函数， 设，且，得，则， 则 ， 因为，所以，而， 则， 得，得，故函数在上单调递增． 故选：A． 2．（24-25高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，给定下列四个语句： ①在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ②在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ③在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ④在区间上是严格增函数，且是奇函数. 其中是“函数在上是严格增函数”的充分条件的有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】利用反例说明①④，根据单调性的定义判断②③. 【解答过程】对于①，令， 满足在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 但是函数在上不单调，故①错误； 对于②：在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 即任意的都有，都有， 所以， 设任意的且，若，则， 若，则， 若，，则， 所以函数在上是严格增函数，故②正确； 对于③：在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 则在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 结合②可知，函数在上是严格增函数，故③正确； 对于④：令，满足在区间上是严格增函数，且是奇函数， 但是函数在上不单调，故④错误. 故选：B. 3．（24-25高一上·上海宝山·期末）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【解题思路】利用反比例函数单调性直接求得答案. 【解答过程】函数是反比例函数，其单调递减区间是. 故答案为：. 4．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)判断在上的单调性，并用定义法进行证明． 【答案】(1)函数为非奇非偶函数.理由见解析 (2)函数在上单调递增.理由见解析 【解题思路】（1）根据函数奇偶性定义判断证明即可； （2）根据函数单调性定义判断，证明. 【解答过程】（1）函数为非奇非偶函数.理由如下： 因为的定义域为， 又，但且， 所以函数为非奇非偶函数. （2）函数在上单调递增，证明如下： 设，且， 则 ， 因为，所以，所以， 所以，因为，所以， 所以，所以， 所以函数在上单调递增. 5．（24-25高一上·云南西双版纳·期末）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且. (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）借助 ，代入计算即可得； （2）借助单调性定义证明即可得； （3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得. 【解答过程】（1）由，则，解得，故， 此时，满足题意，故； （2）设， 则 ， 由，故，故，， 故，故在上是增函数； （3），由在上是增函数， 故，解得， 即不等式的解集为. 题型2 根据函数的单调性求参数 6．（24-25高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】令，则，，利用单调递增则单调性相同的性质，得出在上单调递增，且，分情况讨论得出的取值范围. 【解答过程】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增， 且，符合题意. 若，则须满足： 即. 综上，. 故选：C. 7．（24-25高一上·上海·期末）已知函数在区间上是严格增函数，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】当时，函数是一次函数，结合一次函数单调性可判断选项B；当时，对函数解析式变形，结合反比例函数的单调性即可求解. 【解答过程】当时，， ∵函数在区间上是严格增函数，.故选项B错误； 当时，， ∵函数在区间上是严格增函数， 结合反比例函数的性质可知：，即. 故选项A，D错误，选项C正确. 故选：C. 8．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知函数在定义域上是减函数，则的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【解题思路】由题意只需，由此对比选项即可得解. 【解答过程】由题意当时，单调递减，当时，单调递增， 若函数在定义域上是减函数，只需， 解得，对比选项可知的值可以是. 故选：D. 9．（24-25高一上·上海·期末）已知，关于的函数在区间上是严格减函数，且在该区间函数值不恒为负，则实数 . 【答案】或0 【解题思路】先进行分离变形，然后结合反比例函数的单调性即可求解. 【解答过程】由已知，， 又函数在区间上是严格减函数，且函数值不恒为负， 所以，解得，又因为，所以或0. 故答案为：或0. 10．（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知二次函数. (1)当时，解不等式； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）依题意可得，将左边因式分解，解得即可； （2）分和两种情况讨论，结合二次函数的性质得到不等式组，解得即可. 【解答过程】（1）当时， 不等式，即，即，解得或， 所以不等式的解集为； （2）因为在区间上单调递增， 则或，解得或， 所以实数的取值范围为. 题型3 利用函数的单调性比较大小 11．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知偶函数在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据偶函数的性质及函数单调性即可比较大小. 【解答过程】因为偶函数在区间上单调递减，所以在上单调递增， 因为，故自变量的绝对值越大，对应的函数值越大， 又，所以， 故选：D． 12．（25-26高一上·吉林·期末）已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数对称性和奇偶性得到的周期为8，化简得到，，，结合函数在上的单调性和奇偶性得到在上递增，从而比较出大小. 【解答过程】因为关于中心对称， 所以对称中心是，故， 因为是偶函数，所以的对称轴是，即， 所以中，将替换为，得到， 故，将替换为，得到， 所以，因此的周期为8. 所以，，， 因为在上递增且是奇函数，所以在上递增， 所以， ∴. 故选：D. 13．（24-25高一上·广东揭阳·期末）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据偶函数的性质，结合单调性即可求解. 【解答过程】由于为偶函数，故，， 由于时，是增函数，， 故， 故选：A. 14．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则下列不等关系恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先由题设得函数和的单调性情况，进而得，，从而即可一一判断各选项. 【解答过程】由题意可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，. 对于A， 因为，在上单调递增，所以，故A错误； 对于B，因为，在上单调递增，所以，故B错； 对于C，因为，在上单调递减，所以，故C正确； 对于D，因为正负不知， 所以大小关系不定，故D错； 故选：C. 15．（24-25高一上·陕西渭南·期末）定义在上函数满足以下条件：①函数是偶函数；②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数的奇偶性、对称性、单调性来确定正确答案. 【解答过程】函数是偶函数，图象关于轴对称， 所以的图象关于直线对称， 任意，当时都有， 所以在区间上单调递减， ， 所以， D选项正确. 故选：D. 题型4 利用函数的单调性解不等式 16．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数是上单调递增的奇函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由奇函数的性质结合单调性解抽象不等式可得. 【解答过程】将不等式变形可得， 因为函数是上单调递增的奇函数，所以不等式等价于， 所以，即的取值范围为. 故选：D. 17．（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】依题意根据函数单调性定义可得在上单调递增，原不等式等价于，即可解出. 【解答过程】由，得， 令，则，因此函数在上单调递增， 由，得， 由，得， 即，则，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 18．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且在上单调递减．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题可得在R上的单调性，然后由奇函数性质可得答案. 【解答过程】是定义域为的奇函数，且在上单调递减， 则在上单调递减，即在R上单调递减. 又，则， 则. 故选：C. 19．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解题思路】由已知可得在上单调递增，结合奇函数的性质可求得不等式的解集. 【解答过程】因为对任意的，当时，都有成立， 所以在上单调递增，当，又， 所以由，可得， 又函数是定义在上的奇函数，当时， 由，可得，又由奇函数的性质可得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 20．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知定义在上的函数图象关于原点对称． (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)解不等式． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）由关于原点对称可得，再结合关于原点对称，计算即可； （2）借助定义法证明即可得； （3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得. 【解答过程】（1）由题意可得， 即，，故， 即，此时有， 故关于原点对称，故， 即的解析式为； （2）在上单调递增；证明如下： 令，则 ， 由，则，，， 故，即在上单调递增； （3）由题意可得为奇函数，则有， 又因为在上单调递增，则有，解得， 所以原不等式的解集为． 题型5 求函数的最值或值域 21．（24-25高一上·北京·期末）若，则（    ） A．最大值为6 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为2 【答案】C 【解题思路】利用函数的单调性求解. 【解答过程】任取， 则 ， 因为，所以，，故， 所以即， 所以在单调递增；同理可证在单调递减， 所以. 故选：C. 22．（24-25高一上·云南玉溪·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用分离常数法，结合函数单调性求值域. 【解答过程】由题意，，当时，函数单调递增， 当时，函数取得最小值，最小值为；当时，函数取得最大值，最大值为， 函数的值域为. 故选：A. 23．（24-25高一上·重庆·期末）已知函数，记该函数在区间上的最大值与最小值的差值为，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据的单调区间，分、、和讨论即可. 【解答过程】因为在单调递减，在单调递增， 若，即 时，则在上单调递减， 所以，此时的最小值为1． 若，即 ，则在上单调递增， 所以，此时的最小值为． 若且，即， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，此时的最小值为． 若且，即 ，则在上单调递减， 在上单调递增，所以，此时的最小值为． 综上，的最小值为． 故选：D. 24．（24-25高一上·上海·期末）求函数的最小值 ． 【答案】 【解题思路】将函数写成分段函数，结合一次函数的单调性求解即可. 【解答过程】因为 则在上单调递减，此时； 当时，； 在上单调递增，此时； 综上， 故答案为：1. 25．（24-25高一上·新疆喀什·期末）已知函数 . (1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的结论； (2)若，求函数的最大值和最小值. 【答案】(1)减函数，证明见解析 (2)， 【解题思路】（1）利用函数单调性定义即可证明得出结论； （2）由单调性代入即可得出其最值. 【解答过程】（1）函数在上是减函数，证明如下： 任取，且， 则)==， 因为，所以，， 所以，即， 所以在区间上是减函数. （2）因为函数在区间上是减函数， 所以，. 题型6 根据函数的最值求参数 26．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在区间内的最大值为3，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．3或5 【答案】A 【解题思路】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【解答过程】，当时，，不符合题意； 当，即时，在内单调递减，，符合题意； 当，即时，在内单调递增，， 解得，与矛盾，舍去． 综上所述，． 故选：A. 27．（25-26高一上·北京·期中）已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先分析函数在各段的单调性，即可求出的取值范围，结合函数存在最小值得到不等式，解得即可. 【解答过程】因为， 当时，所以在上单调递减，则； 当时，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要使函数存在最小值，则，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B. 28．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】将原函数分离常数，由题意，结合反比例函数的性质建立方程，解之即可. 【解答过程】由， 而函数在上单调递减，所以函数在上单调递减， 又其在上的最小值为8， 所以，解得. 故选：C. 29．（24-25高一上·上海·期末）已知函数 的最小值为，则 . 【答案】或3 【解题思路】根据给定条件，按分类讨论求出最小值即可得解. 【解答过程】当时，在上单调递增， 当时，，解得，因此； 当时，，，解得或，无解； 当时，在上单调递减， 当时，，解得，因此， 所以或. 故答案为：或3. 30．（24-25高一上·内蒙古·期中）已知函数. (1)若恒成立，求的最大值； (2)若在上单调，求的取值范围； (3)求在上的最小值为，求. 【答案】(1) (2) (3)或5 【解题思路】（1）由一元二次不等式恒成立，结合图象推得，解之即得； （2）先求函数的单调区间，依题使为其单调区间的子集，解不等式即得； （3）由函数的单调性，根据给定区间与其对称轴的关系，分类考虑分别求解即得. 【解答过程】（1）由题意得恒成立，则， 解得， 所以a的最大值为. （2）由题意得图象的对称轴为直线， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为在上单调，所以或， 解得或，即a的取值范围为. （3）当，即时，在上单调递减，， 解得，舍去； 当，即时，在上单调递增，， 解得，符合题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得或0（，舍去）. 故或5. 题型7 函数不等式恒、能成立问题 31．（24-25高一上·浙江金华·期末）若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，求出函数在上的最大值即得. 【解答过程】令函数，显然在上单调递减，， 因为任意，不等式恒成立，于是， 所以. 故选：A. 32．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，，，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数的单调性可得函数在内的单调性与最值情况，所以，，根据不等式能成立，可得，，所以，可得，进而可得参数范围. 【解答过程】由已知当时，，当且仅当，即时等号成立， 且在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以在上的最大值为， 又，，使成立， 即， 所以，使，即在上的最大值， 即，解得或， 又， 所以， 故选：A. 33．（24-25高一上·江西抚州·期末）设函数的定义域为，且，当时，，若对于，都有恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由和当时可以逐次推出，，上的解析式，根据每个区间上的函数最小值的规律，应求时，函数值等于时的自变量的值，得到满足的的范围，即得t的取值范围. 【解答过程】当时，，； 因，即x每增大，对应的纵坐标都变原来的倍. 当时，，故， 则，； 当时，，故， 则，； 当时，，故， 则，. 当时，由，可得，解得或， 如下图所示： 由图可知，当时，恒成立，故实数的取值范围是. 故选：A. 34．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知函数．若对，均有或，且使得成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】将问题分为对，均有或和存在当时，两部分进行求解． 【解答过程】首先分析对，均有或，令，解得， 故当时需要， 易得二次函数的对称轴为， 故需确保且右边根， ,解得， ，解得， 综上，①； 再分析存在当时，， 故存在，， 故左边根，解得②， 综合①②取交集，可得， 故答案为：． 35．（24-25高一上·江苏南京·期末）设为实数，已知函数. (1)若是上的单调函数，求的取值范围； (2)已知. ①求的最小值； ②设函数.若区间，且对任意，都存在 ，使得成立，求的最小值. 【答案】(1)； (2)①；②14. 【解题思路】（1）由题意结合二次函数的性质可得在上只能单调递减，从而可求出的取值范围； （2）①先分别求出函数在每一段上的最小值，从而可求出函数的最小值；②先由题意可得，从而由与的范围结合题意得，进而得，再结合基本不等式可求解. 【解答过程】（1）因为是上的单调函数， 所以在上是单调函数， 所以在上是单调递减函数， 所以在上单调递减，所以，解得. 所以满足题意的的取值范围为. （2）当时，， ①时，；时，， 因为， 所以的最小值为； ②由题，且，所以， 又时，， ， 所以对任意，不存在，使得，不符合题意， 所以， 所以， 因为对任意，都存在 ，使得成立， 所以，故， 所以，当且仅当 即时取等号， 所以的最小值为14. 题型8 函数奇偶性的定义与判断 36．（24-25高一上·云南大理·期末）下列函数中，是偶函数的是（    ） A．（） B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据偶函数的定义，逐项分析即可得解. 【解答过程】对于A选项，()定义域不关于原点对称，故A错误； 对于B选项，，所以不是偶函数，故B错误； 对于C选项，函数定义域为R，且，所以是偶函数，故C正确； 对于D选项，，所以不是偶函数，故D错误. 故选：C. 37．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】D 【解题思路】根据奇偶性的定义判断即可. 【解答过程】因为是定义在上的奇函数，所以； 是定义在上的偶函数，所以， 则，所以为奇函数，故A错误； ，所以为偶函数，故B错误； ，则为非奇非偶函数，故C错误； ，故为偶函数，故D正确. 故选：D. 38．（24-25高一上·云南楚雄·期末）下列函数中，既是奇函数又在定义域内单调递增的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由奇偶性、单调性的概念、性质逐个判断即可； 【解答过程】对于A，易知，所以不是奇函数．错； 对于B，因为，，所以不是在定义域内单调递增的函数．错； 对于C，因为的定义域，且不关于原点对称，所以不是奇函数．错； 对于D，定义域为，，为奇函数，因为，均为增函数，所以为增函数， 故选：D． 39．（24-25高一上·上海·期末）偶函数的定义域是，则 . 【答案】 【解题思路】根据函数为偶函数及定义域可得，求解可得. 【解答过程】因为是偶函数，所以函数的定义域关于原点对称. 又函数的定义域为， 所以，解得. 故答案为：. 40．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数 【解题思路】（1）（2）（3）利用函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性. 【解答过程】（1）的定义域为. 因为，所以为奇函数. （2）的定义域为， 因为，所以为偶函数. （3）的定义域为， 因为，且， 所以为非奇非偶函数. 题型9 函数奇偶性的应用 41．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由不等式等价于 或求解. 【解答过程】因为当时，， 所以时，，时，， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以时，，时，， 又不等式，等价于 或， 所以 或，解得 或， 故选：C. 42．（24-25高一上·贵州毕节·期末）若偶函数对任意都有，且当时，，则（   ） A．8 B． C．12 D． 【答案】B 【解题思路】先求出的一个周期为6，结合函数为偶函数得到，代入求值，得到答案. 【解答过程】由得， 故，故的一个周期为6， 又为偶函数，故， ，，故. 故选：B. 43．（24-25高一上·河南郑州·期末）已知奇函数在上单调递增，若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据的单调性可求不等式的解集. 【解答过程】因为为奇函数，故在上为增函数，而， 故的解为或， 的解为或， 当时，由可得，故或，此时不等式无解； 当时，可得，故或，故 综上可得：不等式的解集为. 故选：C. 44．（24-25高一上·山东威海·期末）已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解题思路】利用函数是奇函数求出时，函数的解析式，并求出函数的单调性；利用单调递增及奇函数化简可得，分类讨论解不等式即可得解． 【解答过程】由为奇函数，得， 当时，，故， 故当时，，所以； 又当时，的开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递增，根据奇函数的性质可知函数在上单调递增， 故， 所以或， 解得或， 故不等式的解集为. 故答案为：. 45．（24-25高一上·四川宜宾·期末）定义在R上的奇函数（a，b为常数）满足． (1)求的解析式； (2)若，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据函数为奇函数，得到，求出，进而代入求出，得到解析式，验证后满足要求； （2）先求出在上的最大值，从而得到，求出答案. 【解答过程】（1）是R上的奇函数， ， ∴， 又， ∴， ， 此时，满足是定义在R上的奇函数； （2），， ∴当时，， 由对勾函数性质可得，在上单调递减， 故， ∴， 又是奇函数， ， ，， 或. 题型10 函数的对称性及其应用 46．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用函数的图象变换求解. 【解答过程】因为函数是奇函数， 所以函数的图象关于原点对称， 又函数的图象是的图象向左平移1个单位， 向上平移2个单位得到的， 所以函数图象对称中心的是， 故选：B. 47．（24-25高一上·河南开封·期末）已知函数的图象关于点成中心对称图形，当时，，则时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用对称性有，结合有及已知区间的函数解析式求时表达式即可. 【解答过程】若，则，故， 由函数的图象关于点成中心对称图形，则. 故选：A. 48．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数的定义域为，函数的图象关于点对称，且当时，恒成立，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先分析出是奇函数，结合可得，从而构造出，然后根据的单调性和奇偶性解不等式. 【解答过程】因为的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，即为奇函数， 因为当时，，所以． 令，则，为偶函数，定义域为，且在上单调递减， 不等式即，也即， 于是，则，所以． 故选：D. 49．（24-25高一上·上海·期末）若函数的图像关于直线对称，则 . 【答案】120 【解题思路】利用图像的对称性列方程组求解即可. 【解答过程】由题意得函数的图像关于直线对称， 则， ， 解得：，. 故答案为：120. 50．（24-25高一上·北京顺义·期末）“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”.若函数的图象关于点对称，且当时，. (1)求的值； (2)设函数. （i）证明函数的图象关于点对称； （ii）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2)（i）证明见解析；（ii） 【解题思路】（1）直接将和代入的表达式求出与，再求和. （2）（i）要证明函数的图象关于点对称，需利用函数图象关于点对称的性质进行证明.（ii）先求出在的值域，再根据条件得出在的值域与在的值域的关系，进而求出的取值范围. 【解答过程】（1）解：因为函数的图象关于点对称， 所以，所以 （2）（i）因为， 所以. 所以， 即对任意，都有成立. 故的图象关于点对称； （ii）因为，所以在区间上单调递增， 所以在区间上的值域为. 记在上的值域为集合在上的值域为集合. 由于对任意，总存在，使得成立， 所以. 由的对称性可知，只需 ①当，即时，函数在上单调送增， 因为，所以 所以. ②当，即时，在上单调遂减，在上单调递增， 因为，所以，即 解得，又因为 所以. ③当，即时，函数在上单调递减， 所以， 结合，得. 综上，实数的取值范围为. 题型11 函数图象的识别与判断 51．（24-25高一上·广西柳州·期末）借助函数的性质可以大致画出函数图象的草图.若是奇函数，且在上单调递增，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据奇函数的对称性，单调性的图象趋势，根据排除法进行求解. 【解答过程】是奇函数，则图象关于原点对称，AB选项图象关于轴而不关于原点对称，排除AB； C选项的图象，在上的图象是单调递减的，排除C； 综上分析，D符合题意. 故选：D. 52．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分析函数的奇偶性、及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【解答过程】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为， ，则函数为偶函数，排除C选项， 当时，，则，排除BD选项， 故选：A. 53．（24-25高一上·湖北·期末）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用函数的奇偶性和函数值的分布情况即可判断. 【解答过程】函数的定义域为， 则函数为偶函数，函数图象关于轴对称，排除BD； 又当时，，而，，则，排除C， 选项A符合要求. 故选：A. 54．（24-25高一上·陕西西安·期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数图象的特征．函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据特殊点的函数值来确定正确答案. 【解答过程】，所以BD选项错误. ，所以C选项错误. 故选：A. 55．（24-25高一上·江西吉安·期末）函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】根据函数图象的奇偶性和特殊位置的函数值排除、求解即可． 【解答过程】由题意可知：函数的定义域为，关于原点对称， 且，∴函数为奇函数，故C错误； 又∵，故D错误； 当时，，故B错误,A正确. 故选：A． 题型12 抽象函数性质综合 56．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．， 【答案】D 【解题思路】利用赋值法结合题干信息逐项分析求解. 【解答过程】对A，令，则， 由，则，即，所以，故A错误； 对B，令，则，因为， 所以，解得，故B错误； 对于C，令，则， 又，所以，则， 当时，，不满足奇函数的定义， 所以不是奇函数，故C错误； 对D，由C选项知，，即， 所以，，故D正确. 故选：D. 57．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．为增函数 【答案】C 【解题思路】通过赋值法，结合函数的奇偶性和单调性即可求解. 【解答过程】令，则， 则，故A错误； 令，则， 则，故B错误； 令， 则， 所以为偶函数，故C正确； 由，，可知不是增函数，D错误. 故选：C. 58．（24-25高一上·江苏南通·期中）定义域为的函数满足且时，，不等式的解集为 ． 【答案】 【解题思路】通过赋值结合题干所给信息证明函数的奇偶性与单调性，最后再利用奇偶性与单调性解不等式. 【解答过程】令，得， 令，得，所以为定义在上的奇函数， 因为，令，得， 任取，则 ， 因为当时，，所以当时，，即， 所以在上单调递增， 所以不等式 . 故答案为：. 59．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数的定义域为，且满足． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，求的值； (3)若时，，解不等式． 【答案】(1)偶函数，证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）利用“赋值法”，可求，，再令，可得与的关系，判断函数的奇偶性. （2）利用，结合，可求的值. （3）先用定义证明函数在上的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式，再结合函数的定义域可解不等式. 【解答过程】（1）令，，则； 令，，则 令，得，又， 故（）为偶函数. （2）因为， 所以 . （3）任取，，则，则，则， 故（）在上为减函数 由（1）知（）为偶函数，且 所以，等价于，故， 解得 又的定义域为，故，所以 原不等式的解集为. 60．（24-25高一上·黑龙江绥化·期末）定义在上的函数满足：，都有成立，且为上的增函数． (1)求的值，并证明为奇函数； (2)，使成立，求取值范围； (3)解不等式． 【答案】(1)，证明见解析； (2)； (3). 【解题思路】（1）利用赋值法求出，再利用奇函数定义推理得证. （2）求出在上的最大值，再由能成立问题建立不等式求解. （3）变换给定不等式，构造新函数，利用单调性、奇函数的性质求解不等式. 【解答过程】（1），都有成立， 取，得，解得； 对，取，则， 因此，所以为奇函数. （2）函数为上的增函数，则当时，， 由，使成立，得，解得， 所以取值范围是. （3） ，， 不等式， 令，则函数是奇函数，且为上的增函数， 原不等式为，即， 于是，即，解得或， 所以原不等式的解集为. 题型13 函数基本性质的综合应用 61．（24-25高一上·贵州黔东南·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的、，，有，则下列结论错误的是（    ） A．是偶函数 B． C．的图象关于对称 D． 【答案】D 【解题思路】推导出是周期函数，是它的一个周期，并计算出，结合周期性可判断B选项；利用题中等式进行推导，结合函数的对称性可判断BC选项；分析函数在上的单调性，结合函数的周期性可判断D选项. 【解答过程】因为函数为奇函数，则， 所以，，可得， 因为函数为偶函数，则， 所以，， 所以，，所以是周期函数，是它的一个周期. 对于A选项，，A对； 对于B选项，， 所以，，B对； 对于C选项，因为，即， 所以，函数的图象关于点对称，C对； 对于D选项，对任意的、，且，有， 不妨设，则，所以，函数在为增函数， 因为，， 因为，则，所以，，D错. 故选：D. 62．（24-25高一上·北京西城·期末）已知是定义域为的奇函数，满足，且当时．给出下列三个结论： ①； ②函数在区间内有且仅有3个零点； ③不等式的解集为，． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】由题意确定函数的周期，再结合当时，逐个判断即可； 【解答过程】由题意， 所以，所以，①正确； 再结合，可得：， 所以的周期为2， 由时，， 结合奇函数性质可知：当， 所以在一个周期内，的解集为， 在结合函数周期为2，可得：的解集为：，；③正确； 通过，令，可得，则， 结合函数的周期为2，在内，结合函数值的正负情况有， 所以函数在区间内有且仅有5个零点；②错误； 故选：C. 63．（24-25高一上·上海·期末）已知函数的表达式为，且（）. (1)求实数的值，并判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)，偶函数 (2)上单调递减，在上单调递增，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据，求解的解析式，按照求解实数a的值即可；再根据奇偶性的定义判断与的关系即可得奇偶性； （2）分离函数，用定义即可判断的单调性； （3）再结合单调性与奇偶性解不等式即可. 【解答过程】（1）， 故，即． ，为偶函数，证明如下： 的定义域为，关于原点对称， 所以为偶函数. （2）在上单调递减．在上单调递增．下面证明： 设，，且.计算： 因为，，且，所以，，，. 那么，即，所以. 根据函数单调性的定义可知，函数在上单调递减. 又因为是偶函数，所以在上单调递增． （3）因为，所以， 由得， 由函数的性质得：， 则， 解得：． 故该不等式的解集为． 64．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数为奇函数，且 (1)求； (2)求证：在区间上单调递增； (3)若对任意的都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3). 【解题思路】（1）根据求出参数的值，再根据求出参数的值，最后检验即可； （2）根据单调性的定义证明即可； （3）根据函数的单调性求出函数的最小值，依题意可得，解得即可. 【解答过程】（1）由为奇函数，且定义域为 可得，即，解得， 又，有，所以， 对任意，，满足为奇函数. 综上可得：. （2）对任意，且， 有， 由，可得，， 则，即， 所以在上单调递增； （3）由在上单调递增. 可得对任意，， 因为对任意的都有. 所以，即，即，解得， 即实数的取值范围是. 65．（24-25高一上·上海·期末）已知函数． (1)证明：函数是奇函数； (2)用定义证明：函数在上是严格增函数； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）求函数的定义域，根据奇函数的定义证明结论； （2）根据严格增函数的定义证明结论； （3）利用函数性质化简不等式，由条件可得不等式对于任意实数恒成立，结合二次函数性质列不等式求结论. 【解答过程】（1）由函数，可得其定义域为，定义域关于原点对称， 因为， 所以函数为定义域上的奇函数． （2）当时，， 任取，且， 可得 因为，且，可得，，， 所以， 即，所以函数在上是严格增函数． （3）因为函数为定义域上的奇函数，且在上是严格增函数， 所以函数在上也是严格增函数，所以函数在上是严格增函数. 又由，可得， 因为不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，，即实数的取值范围． 题型14 函数新定义 66．（24-25高一上·湖南长沙·期末）对于函数，若存在使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据“优美点”的定义，可得时的函数图象关于原点对称的图象的解析式与有交点，转化为方程有解，分离参数后利用基本不等式即可求得结果. 【解答过程】若函数存在“优美点”，则函数图象上存在关于原点对称的点， 当时，，将其图象关于原点对称， 所得图象的解析式为. 所以只要射线与的图象有公共点即可， 由得， 所以， 由基本不等式可得时等号成立， 所以，即. 故选：D. 67．（24-25高一上·湖南长沙·期末）函数的定义域为，若对于任意的，当时，都有，则称函数在上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】结合题意，结合赋值法得到、、直到得到，结合函数在上为非减函数，即可得. 【解答过程】令，由，可得， 又，故， 由，故， 令，则，即， 令，有，令，有， 令，有，令，有， 令，有，令，有， 令，有，令，有， 令，有， 令，有， 由，且， 又函数在上为非减函数， 故. 故选：A. 68．（24-25高一上·湖南娄底·期末）若函数同时满足：（ⅰ）对于定义域上的任意，恒有；（ⅱ）对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数中：①；②；③；④.能被称为“理想函数”的有 （填相应的序号）. 【答案】① 【解题思路】利用“理想函数”的定义，逐一判断即可. 【解答过程】由对于定义域上的任意，当时，恒有，得在其定义域上单调递减， 对于①，定义域为R，，函数是R上的减函数，①是； 对于②，的定义域为R，不恒为0，②不是； 对于③，的定义域为R，不恒为0，③不是； 对于④，函数在其定义域上不单调，④不是. 故答案为：①. 69．（24-25高一上·上海金山·期末）已知集合，，若存在：，使得成立，则称函数在区间D上具有性质. (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求实数a的取值范围； (3)若存在唯一的实数m，使得函数在上具有性质，求t的值. 【答案】(1)不具有，理由见解析； (2) (3)，. 【解题思路】（1）分别求出函数和在区间上的值域，再根据值域的关系判断即可； （2）分类讨论求函数在区间上的值域，再根据值域的关系列不等式，求解即可； （3）由唯一性得，即两个函数的值域相等，分类讨论求值域，列方程组求解即可. 【解答过程】（1）因为函数是增函数，所以值域， 当时，函数在区间上单调递减，所以值域， 因为不是的子集，所以函数在区间上不具有性质. （2）①当时，函数， 此时函数在区间上单调递减，所以值域为， 又，函数在上单调递减，所以值域为， 此时，，，不符合，故舍去； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以值域为， 又函数在上的值域为， 此时，，，不符合，故舍去； ③当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以值域为， 又函数在上的值域为， 此时，，，因为， 所以，解得， 因此，a的取值范围为. （3）由题意得，的值域为，即， 的对称轴，且开口向下， ①当时，在上单调递减，又，， 则值域为，由，得， 解得，不满足，故舍去； ②当时，在上单调递增，又，， 则值域为，由，得， 解得，不满足，故舍去； ③当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为，又，， （i）当，即时，的值域， 由，得，解得，，符合题意； （ii）当，即时，的值域， 由，得，解得，所以符合题意， 综上所述，t的取值为，. 70．（24-25高一上·陕西商洛·期末）设函数的定义域为，一般地，对于，，若，则称为“凹函数”；若，则称为“凸函数”.对于函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)已知函数，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； (2)证明：在上是凹函数； (3)已知函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值. 【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间是，值域为； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）根据题设描述的性质写出单调区间，再由单调性求最值，即可得值域； （2）根据凹函数的定义，应用作差法比较大小证明结论； （3）根据题设求出的值域，将问题化为的值域为的值域的子集，求参数值. 【解答过程】（1）由已知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以，又，， 所以，所以， 所以在上的值域为. （2）设，，， 则 ， ∴， ∴当时，是凹函数. （3）， 设，，，则，， 由已知性质得，当，即时，单调递减，所以递减区间为， 当，即时，单调递增，所以递增区间为， 由，，，得的值域为， 因为为减函数，所以，， 根据题意，的值域为的值域的子集， 从而有，所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $