中职数学基础模块下册8.6《样本的均值和标准差》同步课件

基础模块 学校： 授课教师： 数学 下册 1 样本的均值和标准差 8.6 2 8.6 样本的均值和标准差 在8.5节中，我们想了解某城市10000名12岁男孩的身高状况，这10000名12岁男孩的身高组成一个总体.首先想了解这10000名12岁男孩的平均身高，这称为总体的均值.我们采用简单随机抽样方法，选取了120名12岁男孩，去量这120名12岁男孩的身高，求出他们的平均身高，称为这个样本的均值.由于这是简单随机样本，因此我们可以用这个样本的均值去估计总体的均值.利用8.5节给的这个样本的数据，我们可以求出样本的均值为 观察 3 8.6 样本的均值和标准差 从8.5节的图8-4看出，该样本中12岁男孩的身高的分布状况具有“中间高、两头低”的特点.从中看到该城市10000名12岁男孩的身高的分布状况会有类似的特点.为了反映这个总体的身高的分布状况，设这10000名12岁男孩的身高分别为h1，h2，…，h10000，这个总体的均值为 .令 观察 （1） 则σ２描述了这10000名12岁男孩的身高与均值的平均偏离程度.我们把σ２叫作总体的方差，把 叫作总体的标准差. 4 8.6 样本的均值和标准差 如何来估计这个总体的标准差？容易想到的是用简单随机样本，这120名男孩的身高分别记作x1，x2，…，x120，这个样本的均值为 ，令 观察 （2） 把s2叫作这个样本的方差，把 叫作这个样本的标准差. 我们可以用这个样本的方差s2去估计总体的方差σ２. 5 8.6 样本的均值和标准差 从样本的方差s2的定义即（2）式，得 观察 （3） 于是从（3）式得出 （4） 6 8.6 样本的均值和标准差 利用公式（4）可计算出 观察 因此这个总体的方差的估计值为42cm2，总体标准差的估计值为6.5 cm. （4） 7 8.6 样本的均值和标准差 数学上可以证明下述定理： 定理1 对于简单随机样本，可以用样本的均值去估计总体的均值，用样本的百分比去估计总体的百分比（例如，收视率、次品率等等）. 抽象 定理2 对于简单随机样本，可以用样本的方差s2去估计总体的方差，用样本的标准差s去估计总体的标准差，其中 （5） x1，x2，…，xn是样本中个体的值，是这个样本的均值. 8 8.6 样本的均值和标准差 用系统抽样方法得到的样本，用样本的均值估计总体的均值，用样本的方差估计总体的方差，效果不如用简单随机抽样的方法得到的样本.但是系统抽样的方法比较容易得到样本. 抽象 9 8.6 样本的均值和标准差 例1：某工厂生产了200个钢珠，把它们从1到200编号，用系统抽样方法抽取8个钢珠，它们的号码依次为： 3，28，53，78，103，128，153，178. 测量这8个钢珠的直径，数据(单位：mm)如下： 11.02，10.99，10.93，11.01，10.98，10.94，11.02，11.03. （1）总体是什么？样本是什么？ （2）求样本的均值和样本的方差s2，样本的标准差s. （3）如何估计总体的均值μ和总体的方差σ２，总体的标准差σ？ 解：（1）总体由200个钢珠的直径组成，样本由抽取的8个钢珠的直径组成. 10 8.6 样本的均值和标准差 （2）样本的均值 为 = ×（11.02+10.99+10.93+11.01+10.98+10.94+11.02+11.03） = ×87.92 =10.99. 样本的方差s2为 样本的标准差s≈0.0378. 11 8.6 样本的均值和标准差 (3)可以用样本的均值 =10.99估计总体的均值μ；可以用样本的方差s2≈0.00143估计总体的方差σ２，可以用样本的标准差s≈0.0378估计总体的标准差σ. 12 8.6 样本的均值和标准差 例2：某工厂生产了圆柱形零件500个，其中甲班生产300个，乙班生产200个.用分层抽样方法抽取15个零件：从甲班生产的300个零件中用简单随机抽样的方法抽取9个零件，从乙班生产的200个零件中用简单随机抽样的方法抽取6个零件.测量它们的底面直径，数据（单位：cm）如下： 甲班：2.8，3.1，3.2，2.9，3.1，2.8，3.2，2.9，3.1； 乙班：2.7，3.0，2.8，3.0，2.8，2.9. （1）总体是什么？样本是什么？ （2）分别求甲班抽取的9个零件的直径的算术平均数 ,从乙班抽取的6个零件的直径的算术平均数 . （3）求样本的均值 .如何估计总体的均值μ？ 解：（1）总体由500个零件的底面直径组成，样本由抽取的15个零件的底面直径组成，其中9个零件是从甲班生产的300个零件中用简单随机抽样的方法抽取的，6个零件是从乙班生产的200个零件中用简单随机抽样的方法抽取的. 13 8.6 样本的均值和标准差 （2） （3）由于用简单随机抽样的方法从甲班生产的零件中抽取9个零件，因此 可以作为甲班生产的300个零件的底面直径的均值的估计.同理， 可以作为乙班生产的200个零件的底面直径的均值的估计.由于甲班生产的零件300个是零件总数的 ，乙班生产的零件200个是零件总数的 ，因此样本的均值 为 可以用样本的均值 ≈2.95估计总体的均值μ. 14 数学基础模块 THANKS 学校： 授课教师： 15 $