21.2 解一元二次方程 同步练习2025-2026学年人教版 九年级数学上册

21.2《解一元二次方程》同步练习 一、单选题 1.用公式法解方程x-2=-3x时,二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是() A.0,-2,-3B.1,-3,-2C.1,3,-2D.1,-2,-3 2.用配方法解一元二次方程x2-6x+3=0时,下列变形正确的是() A.(x-3)2=3B.(x-3)2=6 C.(x+3)2=6 D.(x-3)2=12 3.关于x的一元二次方程(k+)x2-2x+1=0有实数根,则k满足() A.k≥0 B.k≤0 C.k<0,且k≠-1D.k≤0,且k≠-1 4.用配方法解方程3x2+2x-1=0,配方后的方程是() A.3(x-1)=0 B. c. (+- 5.对于实数a,b,定义一种新运算“ ”:当a≥b时,a b=a2+ab;当a<b时,a b=b2+ab.若 2 a=24,则实数a=() A.10 B.4 C.4或-6 D.4或-6或10 6.已知关于x的一元二次方程ax2+bx-c=0的解是x=1,x2=-3,则另一个关于x的方程 a(x+3)2+b(x+3)-c=0的解是() A.x1=2,x2=6 B.x=-2,x2=-6 C.x1=-1,x2=3 D.x1=1,x2=-3 7.关于x的方程x(x-)=3(x-1),下列解法完全正确的是() 甲 乙 丙 丁 两边同时 移项得 整理得x2-4x=-3, 整理得 除以(x-1 xx-1+3x-1)=0,:a=1,b=-4,c=-3, x2-4x=-3,配方 )得到 (x-1川x+3=0, ∴. =b2-4ac=28, 得x2-4x+4=1, x=3. x-1=0或 r=4 V28 2 =2 7, (x-22=1, x+3=0, x=2+V7,x2=2-√7. x-2=t1, x=1,x2=-3. x1=1,x2=3. A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 8.对于一元二次方程ar2+br+c=0(a≠0),下列说法: ①若方程a2+c=0有两个不相等的实根,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根: ②若x是一元二次方程ax2+br+c=0的根,则b2-4ac=(2ax+b); ③存在实数m、nm≠n),使得am2+bm+c=an2+bn+c; ④若c是方程ax2+bx+c=0的一个根,则一定有ac+b+1=0成立 其中正确的有() A.①② B.②③④ C.①②③④ D.①②③ 二、填空题 9.若关于x的方程(m-1)x2-4x+2=0有实数根,则m的取值范围是 10.已知三角形的两边长分别是4和7,第三边长是方程x2-20x+99=0的根,则第三边的边 长是 11.已知方程x2-6x+9=0可以配方成(x-p)2=3的形式,那么x2-6x+9=4可以配方 成 12.关于x的方程ax+m)+b=0的解是x=-5,x2=3(a、b、m均为常数,a≠0),则方程 ax+m-2]2+b=0的解是一. 13.x1,x2为方程x2-x-2022=0的两个根,则代数式2x2x2+2xx22+x2+x22的值为」 14.已知在正比例函数y=mx(m≠0)中,y的值随着x的增大而增大,且关于x的一元二次方程 x2+4x+m=0有两个不相等的实数根,则所有满足条件的整数m的值之和为一, 三、解答题 15.解方程: (1)25x2-16=0 (2)x2-4x+2=0; (3)x(x-3)=x-3 (4)(x-32=(5-2x). 16.解方程: 1)1+=2=1: 十 x-2 x (2)x2+4x-1=0; (3)2x2-5x-3=0; (4)2x(x-3-3-x=0. 17.已知关于X的一元二次方程x2-2mx+m2-1=0. (1)求证:方程有两个不相等的实数根. (2)若 ABC为等腰三角形,AB=3cm,另外两条边是方程的根,求 ABC的周长. I8.如图,四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形,a,b,c是RtAABC和RtABED的 边长,易知AE=√2c,这时我们把关于x的形如ax2+√2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一 元二次方程”.请解决下列问题: 2c a Bb D (1)试判断方程√2x2+10x+√3=0是不是“勾系一元二次方程”; (2)求关于x的“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0的实数根; (3)若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0的一个根,且四边形ACDE的周长是12, 求 ABC面积. 19.【阅读感知】 我们知道,解如x2+2x=0的方程可以通过因式分解将其转化为:x(x+2)=0,这样就可以得到: x=0或x+2=0从而求出方程的解.类似的,我们也可以利用因式分解来解一些新的方程,例如 一元三次方程:3+x2-2x=0,可以通过提公因式法把它转化为:x(x2+x-2)=0,从而得到x=0 或x2+x-2=0,再解方程就可以得到x1=0,x2=-2,x3=1 【理解应用】 (1)将x3+4x2+2x=0因式分解得 (2)解方程:x3+x2-6x=0 【知识拓展】 (3)试求方程组 x2-4y2=0 (x+y=1的解 20.关于X的一元二次方程x2+2mx+2m-1=0. (1)求证:方程总有两个实数根; (2)若(x-2)(x2-2)=10,求m的值: (3)若方程有一个根不小于5,求m的取值范围. 参考答案 一、单选题 1.C 【详解】解:x2-2=-3x 整理得,x2+3x-2=0 ∴.二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是1,3,-2. 故选:C 2.B 【详解】解:依题意, x2-6x+3=0, 移项得x2-6x=-3, x2-6x+9=-3+9=6, ∴.(x-3)2=6, 故选:B 3.D 【详解】解:由题意得, =(-2)2-4(k+) 1≥0且k+1≠0, 解得k≤0且k≠-1, 故选:D. 4.D 【详解】解:3x2+2x-1=0, 在方程两边间时除以3,得:+号0,即号有 配方,:+子+传 故选:D. 5.B 【详解】解:,当a≥b时,则a b=a2+ab,当a<b时,a b=b2+ab, .当2≥a时,2 a=22+2a=24 解得a=10,不符合题意,舍去; 当2<a时,则2 a=a2+2a=24, ∴.a2+2a-24=0, ∴.(a+6)(a-4)=0, 解得:a=4,a2=-6(舍去), .a=4, 综上,a=4, 故选:B. 6.B 【详解】解:令t=x+3,则方程a(x+3)2+b(x+3)-c=0即为a2+bt-c=0方程, .方程ax2+br-c=0的解是x=1,x2=-3 ∴.方程at2+bt-c=0的解是4=1,12=-3, .x+3=1或x+3=-3, 解得,x1=-2,x2=-6, .方程的解是,x=-2,x2=-6. 故选:B 7.D 【详解】解:甲的解法是“两边同时除以(x-1)得到x=3”,由于当x=1时,x-1=0,而0不能 作为除数,这种操作会丢失方程的根(x=1也是原方程的解),因此甲的解法错误; 原方程xx-1)=3(x-1移项应为x(x-1)-3(x-1)=0,而非xx-1+3(x-1)=0,因此乙的解法错 误; 原方程整理为x2-4x+3=0, a=1,b=-4,c=3, . =(-4)2-4 1 3=16-12=4,而非28;且代入求根公式后结果也不匹配,因此丙的解法错误; 原方程整理得x2-4x=-3,配方得x2-4x+4=1, (x-2)2=1, .x-2= 1, x1=1,x2=3, 丁的解法正确。 综上,只有丁的解法完全正确, 故选:D. 8.D 【详解】命题①:,方程ax2+c=0有两个不等实根, .根判别式-4ac>0. ∴.原方程ax2+bx+c=0的判别式为b2-4ac>0, 原方程必有两个不等实根 ①正确 命题②:,x是方程的根, .x=-b vB-4ae 2a ∴.2a。+b= Vb2-4ac. ∴.(2ax。+b)2=b2-4ac. ②正确. 命题③:.a(m2-n2)+b(m-n)=0, .am2-n2)+bm-n=0. .(m-n)a(m+n)+b =0, .m≠n, ∴.am+n+b=0, ..mtn=-b a 存在实数m、n满足此条件(如取m=-名+1,n=-力-1). 2a 2a ∴③正确. 命题④:,c是方程的根, .∴.ac2+bc+c=0, ∴.cac+b+=0. 当c=0时,方程成立但ac+b+1=b+1不一定为0. ∴.④错误。 综上,正确的命题为①②③, 故选:D. 二、填空题 9.m≤3 【详解】解:当m-1=0,即m=1时,原方程为-4x+2=0, 解得:x=2 1 .m=1符合题意; 当m-1≠0,即m≠1时, =(-4)2-4 (m-1) 2≥0, 解得:m≤3, ∴.m≤3且m≠1. 综上所述,m的取值范围是m≤3. 故答案为:m≤3. 10.9 【详解】解:x2-20x+99=0, (x-11)(x-9=0, x-9=0,x-11=0, 解得:x=9;x2=11, :4+7=11, 由于三角形两边之和大于第三边, 只能取x=9. 故答案为:9. 11.(x-32-7 【详解】解:x2-6x+q=0, x2-6x=-9, x2-6x+9=-q+9, .(x-3)=-q+9, .方程x2-6x+g=0可以配方成(x-p)2=3的形式, .p=3,-q+9=3, .9=6, x2-6x+g=4为x2-6x+6=4, .x2-6x=-2, 配方,得x2-6x+9=-2+9,即(x-3)2=7, 故答案为:(x-3)2=7. 12.x1=-3,x2=5 【详解】解:a(x+m-22+b=0, 整理得:[(x-2+m]了+b=0, :方程a(x+m2+b=0的解是x=-5,x2=3, :方程a[(x-2)+m]+b=0的解是x-2=-5,x3-2=3, 解得:x1=-3,x2=5. 故答案为:x=-3,x2=5 13.1 【详解】解:由题意知:x+x2=1,xx2=-2022, ∴.2x2x2+2xx22+x2+x, =2x2(x+x)+(x+x2)'-2x =2 (-2022) 1+12-2 -2022) =1. 故答案为:1 14.6 【详解】解:,正比例函数y=mx(m≠O)中,y的值随着x的增大而增大,