精品解析：广西壮族自治区梧州市龙圩区2025-2026学年九年级上学期期中作业设计质量测试数学试题

2025年秋学期期中作业设计质量测试试题卷 九年级数学 说明： 1.本试卷共6页（试题卷4页，答题卡2页），满分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，请将准考证号、考号、学校、姓名、班级、座号写在答题卡指定位置，答案涂、写在答题卡相应的区域内，在试题卷上答题无效． 一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分．） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组图形中，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四条线段能成比例线段的是（　　） A. 1，1，2，3 B. 1，2，3，4 C. 2，2，3，3 D. 2，3，4，5 5. 已知点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 我们手中拿着的试卷是一张纸，将它对折后得到一张的纸．你知道吗？纸和纸是相似的矩形，动手试一试，由此你能得出一张纸的宽与长的比应该是（ ） A. B. C. D. 7. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 8. 关于的图象，下列叙述正确的是（ ） A. 函数有最大值为 B. 对称轴为直线 C. 当时，随增大而增大 D. 当时，随增大而减小 9. 如图，点是线段的黄金分割点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是反比例函数图像在第二象限上的一点，且矩形的面积为8，则反比例函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，一次函数和反比例函数的图象相交于点，，若，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 12. 二次函数（）的部分图象如图，图象过点下列结论： ①；②；③，④若顶点坐标为，则方程没有实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13. 抛物线与的形状相同，开口方向相反，则______． 14. 如果，那么_____． 15. 已知点D，E分别在的边上，请添加一个条件________________，使得．（写出一个即可） 16. 如图，点是反比例函数（）的图像上的一动点，过点分别作轴、轴的平行线，与反比例函数（，）的图像交于点、点，连接，．若四边形的面积为6，则______． 三、解答题：（本大题共7题，满分72分） 17. 如图，，直线m，n分别与直线a，b，c交于点B，C，E和点A，D，F．已知，，，求线段的长． 18. （1）若函数是关于的二次函数，求的值； （2）已知二次函数的图像与轴只有一个交点，求该交点的坐标． 19. 某学生推铅球，铅球出手点处的高度是，出手后的铅球沿一段抛物线弧如图运行，当运行到最高时，水平距离是．   （1）试求铅球行进高度与水平距离之间的函数关系式； （2）求这位学生推铅球的成绩是多少米？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 21. 如图，在中，的平分线交于点D，，交于点E． （1）求证：； （2）若，求线段长． 22. 根据以下素材，解决生活问题： 【素材背景】 素材1：某茶叶公司经销六堡茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元； 素材2：经调查发现，其日销售量（千克）与售价（元/千克）之间满足函数的关系． 【问题解决】 问题1：确定函数模型：设该茶叶的日销售利润为元，求与之间的函数表达式； 问题2：探究函数最值：若该茶叶的日销量不低于80千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元？ 问题3：若公司想获得不低于1000元的日利润，求售价的取值范围． 23. 如图，抛物线的图像交轴于，两点，交轴于点，直线经过，两点． （1）求抛物线的解析式． （2）点为抛物线第一象限上的一动点，连接，，求面积的最大值，并求出此时点的坐标． （3）在第一象限内的抛物线上是否存在一点，过点作轴，交轴于点，使与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期期中作业设计质量测试试题卷 九年级数学 说明： 1.本试卷共6页（试题卷4页，答题卡2页），满分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，请将准考证号、考号、学校、姓名、班级、座号写在答题卡指定位置，答案涂、写在答题卡相应的区域内，在试题卷上答题无效． 一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分．） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数的定义，解题关键是熟练掌握二次函数的定义． 根据二次函数的定义（形如 ，其中 ），逐一判断各选项是否符合． 【详解】二次函数需满足最高次项为且系数不为零， 选项，，含项，其中 ，符合题意，选项正确； 选项，为分式函数，不是二次函数，不符合题意，选项错误； 选项，为一次函数，无 项，不符合题意，选项错误； 选项，，未明确 ，不一定是二次函数，不符合题意，选项错误． 故选：． 2. 下列四组图形中，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，正确理解相似图形的定义是解题的关键，根据相似图形的定义逐一判断选项即可． 【详解】A、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； B、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； C、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； D、形状不相同，不符合相似图形的定义，符合题意． 故选：D． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴抛物线顶点坐标为， 故选：B． 4. 下列四条线段能成比例线段的是（　　） A. 1，1，2，3 B. 1，2，3，4 C. 2，2，3，3 D. 2，3，4，5 【答案】C 【解析】 【详解】分析： 根据成比例线段的定义进行分析判断即可. 详解： A选项中，因为1：12：3，所以A中的四条线段不是成比例线段； B选项中，因为1：23：4，所以B中的四条线段不是成比例线段； C选项中，因为2：2=3：3，所以C中的四条线段是成比例线段； D选项中，因为2：33：4，所以D中的四条线段不是成比例线段. 故选C. 点睛：熟记成比例线段的定义：“若四条线段a、b、c、d满足a：b=c：d，我们就说线段a、b、c、d是成比例线段”是解答本题的关键. 5. 已知点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质． 通过直接计算函数值即可比较大小． 【详解】点在上，点在上， ，， ， ． 故选：． 6. 我们手中拿着的试卷是一张纸，将它对折后得到一张的纸．你知道吗？纸和纸是相似的矩形，动手试一试，由此你能得出一张纸的宽与长的比应该是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似矩形的性质，通过对折操作建立比例关系求解，关键是对折后新矩形的长宽与原矩形的关系．由纸对折得到纸，且两者相似，设纸长为，宽为，对折后纸的长为，宽为，根据相似矩形的性质，长宽比相等，建立方程求解． 【详解】解：设纸的长为，宽为，则长宽比为， 对折后，纸的长为，宽为， 纸与纸相似， 长宽比相等，即， 化简得：， 交叉相乘可得：， ， 纸的宽长比为， 纸的宽长比也为． 故选：A． 7. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0），把点（0,0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（2,3），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式． 【详解】∵函数y=x2的图象的顶点坐标为，将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴平移后，新图象的顶点坐标是． ∴所得抛物线的表达式为． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 8. 关于的图象，下列叙述正确的是（ ） A. 函数有最大值为 B. 对称轴为直线 C. 当时，随增大而增大 D. 当时，随增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握由顶点式得出二次函数的顶点、对称轴、最值和增减性． 根据顶点式可直接得出相关特征，再逐一判断选项即可． 【详解】 函数解析式为 ， 顶点坐标为，对称轴为直线， 二次项系数， 抛物线开口向上，函数有最小值，无最大值， 选项，函数有最小值，不是最大值，选项错误； 选项，对称轴为 ，不是，选项错误； 选项，当 时，在对称轴右侧， 随 增大而增大，选项正确； 选项，当 时， 随 增大而增大，不是减小，选项错误． 故选：． 9. 如图，点是线段的黄金分割点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算，即可得到答案． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， 故选：B． 10. 如图，是反比例函数图像在第二象限上的一点，且矩形的面积为8，则反比例函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义及反比例函数的性质，解题关键是理解过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．根据矩形面积得出，根据反比例函数图像经过第二象限，得出，即可得答案． 【详解】解：∵矩形的面积为8， ∴， ∴ ∵点是反比例函数的第二象限上的一点， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 故选：D． 11. 如图，一次函数和反比例函数的图象相交于点，，若，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数图象的交点问题，根据题意利用数形结合求解是解答此题的关键． 根据两函数的图象交点利用数形结合直接进行解答． 【详解】解：观察图象得：当或时，反比例函数图象在一次函数图象的上方， ∴当时，的取值范围是或． 故选：B 12. 二次函数（）的部分图象如图，图象过点下列结论： ①；②；③，④若顶点坐标为，则方程没有实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，一元二次方程根的判别式，对称轴，最值等知识，结合以上知识逐一判断即可． 【详解】解：由图可见抛物线的对称轴在，且开口向上， ∴， ∴，故结论②成立． 图象经过点，说明 是该二次函数的一个实根， 再结合抛物线开口向上可知它至少有两个不同的实根， 故判别式， ∴ ，故结论①成立． 由图象得，当时，， ∴， 即， 故结论③成立． 若顶点坐标为，则此抛物线的最小值是， 故直线与抛物线（）无交点， 即方程没有实数根，故结论④成立． 综上，①②③④ 均正确， 故选：D． 二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13. 抛物线与的形状相同，开口方向相反，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象性质，解题关键是熟练掌握二次函数的图象性质． 根据二次函数的图象性质，形状相同则二次项系数的绝对值相等，开口方向相反则二次项系数符号相反． 【详解】解：抛物线 与 的形状相同， ， 又开口方向相反， ． 故答案为：． 14. 如果，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据等式性质，将已知等式变形求解． 【详解】解：由 ，两边同时除以 （），得 ； 再两边同时除以 3，得 ， 故答案为：． 15. 已知点D，E分别在的边上，请添加一个条件________________，使得．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据题意，得到两个三角形有一对公共角，根据相似三角形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：∵点D，E分别在的边上， ∴， ∴当时，； 故答案为：（答案不唯一）． 16. 如图，点是反比例函数（）的图像上的一动点，过点分别作轴、轴的平行线，与反比例函数（，）的图像交于点、点，连接，．若四边形的面积为6，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握值的几何意义是解题的关键．延长分别交轴，轴于点，易得四边形的面积，即可得解答案． 【详解】解：延长分别交轴，轴于点，如下图， ∵轴，轴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，即为直角三角形， ∵点A在反比例函数的图像上，点B、点C在反比例函数（，）上， ∴，， ∴四边形的面积， ∴． 故答案为：2． 三、解答题：（本大题共7题，满分72分） 17. 如图，，直线m，n分别与直线a，b，c交于点B，C，E和点A，D，F．已知，，，求线段的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据可得，代入数值求出，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 18. （1）若函数是关于的二次函数，求的值； （2）已知二次函数的图像与轴只有一个交点，求该交点的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义、二次函数与坐标轴交点问题等知识，熟练掌握相关知识，分情况讨论是解题关键． （1）根据题意可知且，求解即可获得答案； （2）根据题意得，解得，然后分情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：（1）根据题意得：，解得， 又， ， 的值是； （2）根据题意得：，解得， 当时，， 此时交点坐标为， 当时，， 此时交点坐标为， 综上所述，交点坐标是或． 19. 某学生推铅球，铅球出手点处的高度是，出手后的铅球沿一段抛物线弧如图运行，当运行到最高时，水平距离是．   （1）试求铅球行进高度与水平距离之间的函数关系式； （2）求这位学生推铅球的成绩是多少米？ 【答案】（1）；（2）这名学生此次投掷成绩大约是10米． 【解析】 【分析】（1）根据题意可知抛物线的顶点坐标，然后设抛物线的表达式为顶点式，再将代入即可求出函数关系式； （2）令（1）中的，求出x的值即可得出答案． 【详解】由题意知铅球运行的水平距离为4m时，达到最高，高度为3m，故抛物线的顶点坐标为； 设抛物线的函数关系式， 代入点， 解得， 故抛物线的函数关系式； 令， 即， 解得，舍去． 答：这名学生此次投掷成绩大约是10米． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象与x轴的交点，坐标与图形，三角形面积，数形结合是解题关键． （1）先通过一次函数求出点坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式； （2）根据，求出，分类讨论，代入反比例函数即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：把代入， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则或， 当时，， 当时，， 综上：或． 21. 如图，在中，的平分线交于点D，，交于点E． （1）求证：； （2）若，求线段长． 【答案】（1） 证明：是的角平分线， ， ∵， ∴， ， ∵， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用已知条件首先证明，然后利用相似三角形的判定即可解决问题； （2）过点作于H，先由勾股定理求出的长，再由角平分线的性质得到，利用等面积法求出的长，进而得到的长，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于H， 在中，由勾股定理得， 是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 22. 根据以下素材，解决生活问题： 【素材背景】 素材1：某茶叶公司经销六堡茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元； 素材2：经调查发现，其日销售量（千克）与售价（元/千克）之间满足函数的关系． 【问题解决】 问题1：确定函数模型：设该茶叶的日销售利润为元，求与之间的函数表达式； 问题2：探究函数最值：若该茶叶的日销量不低于80千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元？ 问题3：若公司想获得不低于1000元的日利润，求售价的取值范围． 【答案】问题1：； 问题2：当售价为80元时，每天获利最大，最大利润为1600元； 问题3： 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式是解题的关键． 任务1：根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式； 任务2：利用二次函数，，求最大值即可； 任务3：求出时的自变量的值，进而确定取值范围即可． 【详解】解：任务1：根据题意得 W与之间的函数表达式是； 任务2：根据题意得， 解得 ，对称轴为直线，且 当时，取得最大值， 答：当售价为80元时，每天获利最大，最大利润为1600元； 任务3：在中， 当时，， 解得，． ，且，抛物线开口向下， 当时，， 答：若公司想获得不低于1000元的日利润，售价范围为． 23. 如图，抛物线的图像交轴于，两点，交轴于点，直线经过，两点． （1）求抛物线的解析式． （2）点为抛物线第一象限上的一动点，连接，，求面积的最大值，并求出此时点的坐标． （3）在第一象限内的抛物线上是否存在一点，过点作轴，交轴于点，使与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）最大面积为， （3）存在，点的坐标是时，与相似 【解析】 【分析】（1）首先确定点，的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）设，过作轴，交直线于点，则，易得，进而可得，根据二次函数的性质即可获得答案； （3）首先确定点，的坐标，设（），则，，，然后分和两种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，， 当时，， ，， 将点，代入抛物线， 则有，解得， 抛物线的解析式是； 【小问2详解】 解：设，过作轴，交直线于点，如下图， 则， ， ， ，且， 当时，的面积最大， 此时， ； 【小问3详解】 解：存在， 如下图， ， 抛物线的对称轴是直线， 又，由对称性得，则， 当时，可有，即， ∴， 设，（）， 则，，， 当时，则，即， 整理得，解得，（舍去）， 此时，， ； 当时，则，即， 整理得，解得（舍去），（舍去）． 综上所述，当点的坐标是时，与相似时． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一次函数综合应用、相似三角形的性质等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $