广东省广州市第八十六中学2025-2026学年高二上学期数学12月2日周测试卷

广州市第八十六中学2025年12月2日高二数学周测试卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．直线，直线，若，则两直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 2．若双曲线的焦距为6，则（    ） A．5或 B．3 C．5 D． 3．已知抛物线上一点到其焦点的距离为4，则（   ） A．3 B． C．6 D． 4．若直线始终平分圆的周长，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．若双曲线的渐近线方程是，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．且 7． 如图，已知曲线由一段以坐标原点为圆心的圆弧和双曲线（该双曲线的中心为坐标原点，，为其左，右焦点）右支的一部分组成，圆弧和双曲线弧的公共点为，， 若，，三点共线，，，则圆弧的方程为（    ） A． B． C． D． 8．在手工课上，老师带领同学们一起制作了一个近似奥体中心体育场的金属模型，其俯视图可近似看成是一个椭圆紧紧套着一个以椭圆中心为圆心的圆，若椭圆上存在点，使得由点所作的圆的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设方程则下列说法正确的是（    ） A．时，方程 C表示一条直线 B．时，方程 C表示圆 C．时，方程 C表示椭圆 D．或时，方程C表示双曲线 10．已知抛物线：的焦点为，，为上不同的两点，为坐标原点，若，则（    ） A．焦点的坐标为或 B． C．直线交直线：于点，则 D． 11．已知椭圆的左右焦点分别是，上顶点为．过的直线与交于两点，与轴交于点（其中位于轴上方），则（    ） A．的最大值为 B．当位于第一象限且时，面积为 C．当位于第二象限且时， D．当时，的周长为8 三、填空题 12．已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为 . 13．已知抛物线的焦点为，定点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为 . 14．某理发店的镜子如图1所示，它的平面图是一个离心率为的椭圆 被一条橫线截去一小部分后剩下的图形，如图2所示.已知该镜子的宽度 为.底部的宽度为.则该镜子的高度为 . 四、解答题 15．已知平面直角坐标系中两定点为、，为坐标原点． (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)设．动点满足，记的轨迹为曲线．若曲线与圆：外切，求的值． 16．已知椭圆过点，点A为其左顶点，且的斜率为 (1)求的方程； (2)在椭圆上取一点N，且满足的面积为12，求点的坐标. 17．如图，已知直线与抛物线交于两点，且.    (1)求证：直线恒过定点，并求此定点； (2)若交于点，点的坐标为，请你求出的值； (3)在第（2）问的基础上，若是抛物线上的任一点，为抛物线的焦点，求的最小值及此时点的坐标. 18．已知点在曲线上运动，动点与定点的距离与到定直线的距离之比为2， (1)求曲线的标准方程； (2)过点的直线交曲线于，两点，线段的垂直平分线交轴于点（异于坐标原点，求的最小值． 19．在平面直角坐标系中，为坐标原点，线段的两个端点，分别在轴，轴上滑动，，点是线段上一点，且，点随线段的滑动而运动. (1)求动点的轨迹的方程； (2)若点在第四象限，点，，直线交轴于点，若与的面积相等，求点的坐标； (3)过点的直线交轨迹于，两点，过点与垂直的直线交轨迹于，两点，其中，在轴上方，，分别为线段，的中点，设为直线与直线的交点（点在线段上），求面积的最小值 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第八十六中学2025年12月2日高二数学周测试卷 参考答案 1．A 2．D 3．C 4．D 5．C【详解】因为双曲线的渐近线方程是， 可得，解得，则，所以双曲线的离心率为. 6．D【详解】由方程表示焦点在轴上的椭圆，得，解得且， 所以实数的取值范围是且.故选：D 7．B【详解】由题可知圆弧和双曲线弧的公共点为，，若，，三点共线， 故，所以，所以， 则，故，即圆弧的半径为， 则圆弧的方程为. 8．B【详解】由题意可设，圆方程为，椭圆方程为，其中， 设圆的切线为，因，则四边形为正方形，则， 则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，方程为， 因椭圆上存在点，使得由点所作的圆的两条切线相互垂直， 则点的轨迹与椭圆有交点，即有解， 联立得，故，则，则. 9．ABD【详解】选项A：当时，方程C化为，即，表示x轴，故A正确； 选项B：当时，方程C化为，表示以原点为圆心、半径为1的圆，B正确； 选项C：当时，方程C化为，当时，方程表示圆，并非椭圆，故C错误；选项D：当时，、，方程C化为，表示焦点在x轴上的双曲线； 当时，、，方程C化为表示焦点在y轴上的双曲线，故D正确. 10．CD 【详解】抛物线，其中，即， 所以焦点的坐标为，不存在的情况，选项A错误； 设，由，则， 根据向量关系可得：，因为在抛物线上，所以， 由，代入得，又，所以，即， 结合，代入得，解得，则， 根据抛物线的焦点弦长公式可得：，选项B错误； 直线的方程：，斜率，方程为， 当时，，即点坐标为，由，则，所以， 又因为直线，，所以横坐标分别为和，纵坐标相等，均为 因此平行于轴，而垂直于轴，故，选项C正确； ，数量积，由，则， 由，且，则，所以，选项D正确. 11．ABD 【详解】对于A，由椭圆的几何图象可得，当点与点重合时，此时最大，，所以，此时，故A正确； 对于B，当时，又，所以，所以 点的横坐标为，代入椭圆方程得到点的纵坐标， 所以，故B正确； 对于C，当，，故C错误； 对于D，由A选项知，，，又， 所以直线是线段的中垂线，所以，， 所以的周长为，故D正确. 故选：ABD. 12．12如图，由题意可得，的周长为， 由双曲线的定义可得，又， 所以， 所以的周长为12．  13.12【详解】如图，过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为， 则，又，当且仅当共线且在之间 时等号成立，故的最小值为12，故答案为：. 14．9 【详解】如图，以椭圆的中心为原点，建立直角坐标系，设椭圆的方程为，焦距为.由，得，所以椭圆的方程为.当时，，得. 由图可知，镜子的高度为（）.故答案为： 15．【详解】（1）设的中点为，则由中点坐标公式有， 则，，设直线的斜率，则， 所以，所以线段的垂直平分线的方程为.（5分） （2）设，则由已知有， 由有：，（8分） 所以圆，圆心，圆，圆心， 因为圆和圆外切，所以，（11分） 解得，因为，所以.（13分） 16．【详解】（1）由题意可知直线的方程为：，即， 当时，解得，所以，椭圆过点， 可得，解得，所以椭圆的方程：；（5分） （2）由，故，又，故， 由设点到直线的距离为，由得，解得，（8分） 设与直线平行且与椭圆相交的直线方程为：， 由，即，解得或，（10分） 当时，联立，得，所以或， 当时，，当时，，所以或；（12分） 当时，联立，得，，故该方程无解；（14分） 综上：或.（15分） 17．【详解】（1）解：由题知直线斜率不为，且不过原点， 故设直线方程为，联立方程得，， 所以，，所以因为，所以，解得， 所以直线方程为，即直线恒过定点（6分） （2）解：因为交于点，点的坐标为，所以，直线方程，即所以，即.（10分） （3）解：由（2）知，故抛物线，焦点为，准线方程为， 如图，过点作，垂足为，由抛物线的定义得， 所以， 当且仅当三点共线时等号成立，此时，代入抛物线方程得， 所以的最小值为，此时点的坐标为（15分） 18．【详解】（1）设，由动点到定点的距离和它到直线距离之比为2， 可得，化简得，即，故点的轨迹方程为；（4分） （2）双曲线的方程为，． 由题知直线的斜率存在，设为，则，直线的方程为． 联立消去并整理，得．（6分） 方程的判别式 设，，则，， ∴．（9分） 又∵， ∴线段的中点的坐标为，∴线段的垂直平分线的方程为． 令，得，∴点的坐标为，∴，（13分）∴，当且仅当时取等，∴的最小值为．（17分） 19．【详解】（1）设，，因为，所以， 设，由，且，可得，，则可得 ，，代入得，所以动点的轨迹的方程为.（4分） （2）设，则，， 因为与的面积相等，则与的面积相等， 则有，又，，所以， 故直线的方程为，由，解得，即，， 则点的坐标为.（8分） （3）设，，. 由，消去得， 可知，则，， .（10分） 由（1）可知 ，（13分） 用代换可得，（14分）所以，（16分） 当且仅当即时，，所以面积的最小值为.（17分） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $