2025-2026学年人教版九年级上学期期末数学质量评估卷

2025-2026学年人教版九年级上学期期末数学质量评估卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．A B．B C．C D．D 2．下列说法正确的是（　　） A．为了解一批灯泡的使用寿命，宜采用普查方式 B．掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币都是正面朝上这一事件发生的概率为 C．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上是必然事件 D．甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是s甲2＝0.4，s乙2＝0.6，则甲的射击成绩较稳定 3．一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D．或 4．如图所示的是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知反比例函数的图象上有点，，，且，则关于，，大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，若直线MN∥PQ，∠ACB的顶点C在直线MN与PQ之间，若∠ACB＝60°，∠CFQ＝35°，则∠CEN的度数为（　　） A．35° B．25° C．30° D．45° 7．如表是二次函数中与的部分对应值，则方程的一个根的取值范围是（    ） … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … … 0.165 0.51 … A． B． C． D． 8．若将，，表示在数轴上，则其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是．    A． B． C． D．都不可能 9．如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，已知若的半径是，，则阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），点B在第一象限内，AO＝AB，∠OAB＝120°，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第99次旋转后，点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知扇形半径长为，扇形的弧所对的圆心角度数为，则该扇形的面积为 ． 12．如图，正六边形内接于半径为5的圆，则、两点间的距离为 ． 13．在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的锁率稳定在0.5附近，则袋子中红球约有 个． 14．，两点都在二次函数的图像上，则的大小关系是 ． 15．如图，在扇形中，点是的中点，点是的中点，连接，，若，，则阴影部分的面积是 ． 16．如图，，，，和交于点，点，为边上的两点，且，连接，，则下列结论：①；②；③；④只有当时，，其中正确的有 ．（填序号） 三、解答题 17．用适当的方法解一元二次方程：． 18．小陇和小南用如图所示的同一个转盘进行“配紫色游戏”，游戏规则如下：连续转动两次转盘，如果两次转出的颜色相同或配成紫色（若其中一次转盘转出蓝色，另一次转出红色，则配成紫色）则小陇得分，否则小南得分（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一种颜色为止）．你认为这个游戏对双方公平吗？请用画树状图或列表法说明理由． 19．如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点． （1）求证：平分． （2）连接，若，，求出的直径的长． 20．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)已知点，在抛物线上．对于，都有，求的取值范围． 21．如图在直角坐标系xOy中，点，点，点． (1)以点C为中心，把逆时针旋转得到，画出旋转后的图形，并写出点、的坐标． (2)求线段AC扫边的面积（结果保留） 22．如图，在中，，平分，与交于点，，垂足为，与交于点，经过，，三点的与交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 23．某商品进价30元，销售期间发现，当销售单价定为40元时，每天可售出600个，由于销售火爆，商家决定提价销售．经市场调研发现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个． (1)当销售单价为50元时，商家每天获利__________元； (2)物价管理部门规定该商品的销售单价不低于40元，且不高于70元．将商品的销售单价定为多少元时，商家每天销售该商品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 24．如图，点F为正方形ABCD内一点，△BFC绕点B逆时针旋转后与△BEA重合． （1）判断△BEF的形状，并说明理由； （2）若∠BFC=90°，证明AE∥BF． 25．已知抛物线，其中． (1)求证：该抛物线与x轴恒有两个不同的交点； (2)如图，设抛物线与轴的交点为，（点在点的左边），与轴的交点为，已知点，直线交抛物线于另一点，连接，过点作轴，交于． ①请直接写出，，的坐标（可用含的式子表示）； ②求证：当变化时，线段的长度恒为定值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年人教版九年级上学期期末数学质量评估卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C D B C A A D 1．B 【详解】分析：分别利用轴对称与中心对称的定义判断. 详解：A图是轴对称图形，B是轴对称图象也是中心对称图形，C是中心对称图形，D既不是轴对称图形也不是中心对称图形.故选B. 点睛： （1）中心对称图形：将某一个图形旋转一百八十度后，仍与原图形重合，这是中心对称； （2）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形. 2．D 【分析】根据全面调查与抽样调查的特点对A进行判断；利用画树状图求概率可对B进行判断；根据必然事件和随机事件的定义对C进行判断；根据方差的意义对D进行判断． 【详解】解：A.为了解一批灯泡的使用寿命，宜采用抽样调查的方式，所以A选项错误； B.利用树状图得到共有正正、正反、反正、反反四种可能的结果数，所以两枚硬币都是正面朝上这一事件发生的概率为，所以B选项错误； C.掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上是随机事件，所以C选项错误； D.因为s甲2＝0.4，s乙2＝0.6，所以甲的方差小于乙的方差，所以甲的射击成绩较稳定，所以D选项正确． 故选：D 【点睛】本题考查了调查的方式、概率的意义、随机事件的意义以及方差的意义，难点在于理解概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小． 3．A 【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0和△≥0列不等式即可． 【详解】解：由一元二次方程有实数根， 可列不等式组为：， 解得，且， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练运用根的判别式列不等式，注意：一元二次方程二次项系数不为0． 4．C 【分析】根据三视图可知几何体为圆锥体，根据圆锥侧面积公式：底面周长母线长，即可求解． 【详解】侧面展开，扇形的圆弧长即圆锥俯视图的圆的周长： 故选：C． 【点睛】本题考查了三视图、圆锥体的侧面积公式，解题的关键在于观察三视图，明确是圆锥体． 5．D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的解析式可得反比例函数的图象在第二、四象限，且每个象限内随着的增大而增大，结合即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，且每个象限内随着的增大而增大， ∵， ∴， 故选：D． 6．B 【分析】如图作CK∥MN，证明基本结论：∠ACB=∠CEN+∠CFQ即可解决问题． 【详解】如图，作CK∥MN， ∵MN∥PQ，MN∥CK， ∴PQ∥CK， ∴∠CEN＝∠ACK，∠FCK＝∠CFQ， ∴∠ACB＝∠CEN+∠CFQ， ∴60°＝∠CEN+35°， ∴∠CEN＝25°， 故选B． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 7．C 【分析】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到由正变为负时，自变量的取值即可．观察表中数据得到抛物线与轴的一个交点在和点之间，根据抛物线与轴的交点问题可得到方程一个根的取值范围． 【详解】解：时，；时，； 抛物线与轴的一个交点在和点之间， 方程有一个根在之间． 故选：C 8．A 【分析】根据被开方数越大算术平方根越大，可得答案． 【详解】解：由， 得， 故选：A． 【点睛】本题考查了实数与数轴，利用被开方数越大算术平方根越大得出是解题关键． 9．A 【分析】由，推出∽，得到，由圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质推出是等边三角形，得到，即可求出的长，求出扇形的面积，的面积，即可求出阴影的面积． 【详解】解：连接. ∵， ∴. ∵， ∽， ∴. ∵， ∴. ， ∴. ∵是的外角， ∴. ， ∴， ∴， 是等边三角形， ， ∴， ∴. 在中，，， ∴， ∴， 扇形的面积， 的面积， 阴影的面积的面积扇形的面积． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，关键是求出． 10．D 【分析】求出B1～B5的坐标，探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】解：过点B作BH⊥y轴于H． 在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∠BAH=180°-120°=60°，AB=OA=3， ∴， ∴AH=AB=，BH==， ∴， ∵∠BOH=30°， ∴OB=2BH=3， ∴B（，）， 连接，则点H在上， ∴，OH= ∵点在第二象限， ∴ 同理可得，6次一个循环， ∵99÷6=16…3， ∴B99， 故选：D． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，直角三角形的性质与勾股定理等知识，解题的关键是学会探究规律的方法． 11． 【分析】本题考查了扇形面积的计算．直接利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：扇形的面积． 故答案为：． 12．10 【分析】根据题意可以求得∠BAE的度数，由正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，可以求得B、E两点间的距离． 【详解】解：连接、，如图所示， 六边形是正六边形， ，， ， ， 是正六边形的外接圆的直径， 正六边形内接于半径为5的圆， ， 即、两点间的距离为10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 13．3 【分析】根据口袋中有3个白球和若干个红球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可． 【详解】解：设袋中红球有个， 根据题意，得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 所以袋中红球有3个， 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等是解决问题的关键． 14．＞ 【分析】根据二次函数的性质，可以判断y1，y2的大小关系，本题得以解决． 【详解】∵二次函数， ∴当x＜0时，y随x的增大而增大， ∵点在二次函数的图象上， ∵-1＞-2， ∴＞， 故答案为：＞． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 15．/ 【分析】连接，证明，推出，推出，可得结论． 【详解】解：连接． ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴的等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形的面积，平行线的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 16．①②④ 【分析】先由，得出，再利用证明，故①正确；由“”可证，得出，进而得出，由勾股定理得出②正确；利用特殊位置可判断，故③错误；由“”可证，可得，故④正确，即可求解． 【详解】解：①，， ，， 在和中， ， ，故①正确； ②由①知， ，， ， ． ，， ． 在与中， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ，故②正确； 当点是的中点时，即点与点重合， 在中，，， ，故③错误； 当时， 则， 又，， ， ，故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系，勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． 17．=，=． 【分析】求出的值，再代入公式求出即可． 【详解】解：， ∵a=3，b=6，c=-1． ∴． ∴x==， ∴=，=． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18．游戏不公平，见解析． 【分析】本题考查了列表法求概率，先列表，得出总情况数及所求情况数，根据概率公式即可得答案，掌握用列表法或树状图法求概率是解题的关键． 【详解】解：游戏不公平，理由如下： 列表如下： 第一次 第二次 红 蓝 黄 绿 红 （红，红） （红，蓝） （红，黄） （红，绿） 蓝 （蓝，红） （蓝，蓝） （蓝，黄） （蓝，绿） 黄 （黄，红） （黄，蓝） （黄，黄） （黄，绿） 绿 （绿，红） （绿，蓝） （绿，黄） （绿，绿） ∴共有种情况，其中颜色相同或配成紫色的情况有种，其余的情况有种， ∴小陇获胜的概率为，小南获胜的概率为， ∵， ∴游戏不公平． 19．（1）见解析  （2） 【分析】（1）连接OC，根据切线的性质和已知求出OC∥AD，求出∠OCA＝∠CAO＝∠DAC，即可得出答案； （2）根据圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系求出CE＝BC＝6，根据勾股定理求出AB即可． 【详解】（1）证明：连接OC， ∵CD是⊙O的切线， ∴CD⊥OC， 又∵CD⊥AD， ∴AD∥OC， ∴∠CAD＝∠ACO， ∵OA＝OC， ∴∠CAO＝∠ACO， ∴∠CAD＝∠CAO， 即AC平分∠DAB； （2）连接BC，∵∠CAD＝∠CAO， ∴， ∴CE＝BC＝6， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， 由勾股定理得：AB＝ 即⊙O直径的长是10． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系的应用，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键． 20．(1) (2)或 【分析】本题考查的是二次函数的性质，求解二次函数的对称轴； （1）直接利用对称轴公式求解对称轴即可； （2）设点关于对称轴的对称点为，可得，再分与分析求解即可. 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为：． （2）解：点，在抛物线上． 设点关于对称轴的对称点为， 则． ∴． ∴． ①若，则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． （i）当时， ∵对于，，都有， ∴． ∴． ∴，不符合题意． （ii）当时， ∵对于，，都有， ∴，即． ∴． ∴． ②若，则当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． （i）当时， ∵对于，，都有， ∴． ∴． ∴． ∴； （ii）当时， ∵对于，，都有， ∴，即． ∴． ∴．不符合题意舍去； 综上所述，a的取值范围是或． 21．(1)见解析，点的坐标为，点的坐标 (2) 【分析】本题主要考查作图-旋转变换以及求扇形的面积： （1）根据旋转的定义作出点A、B绕点C逆时针旋转得到的对应点，再顺次连接可得； （2）根据勾股定理求出的长，再计算扇形的面积即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； 点的坐标为，点的坐标 （2）解：由勾股定理得， ∴线段AC扫边的面积为：． 22．(1)证明见解析． (2) 【分析】本题为圆的综合题，考查了切线的判定三角形的相似等知识，掌握切线的判定法，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）连接，根据垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）解根据平行线的性质得到，根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴是直径，点是的中点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵经过的外端点， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设的半径为， 则，， ∴， ∴， ∴的半径为． 23．(1)10000 (2)65元，12250元 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确利用二次函数的性质是解题的关键． （1）根据售价减去进价得出单件的利润是20元，销售件数为，代入计算获利即可； （2）设商品单件为x元，则单件的利润是元，销售件数为件，构造二次函数求最值即可． 【详解】（1）商品进价30元， 当销售单价为50元时，单件的利润为20元，销售的件数为件， 商家每天获利（元）， 故答案为：10000 （2）设商品单价为x元，则单件利润为元，销售件数为， ， ， 二次函数图象开口向下，对称轴为直线， ， 当时，w有最大，最大利润为12250元． 24．（1）等腰直角三角形，理由见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据△BFC绕点B逆时针旋转后与△BEA重合，得∠EBF=∠ABC=90°，BE=BF，即可得出△BEF是等腰直角三角形； （2）由旋转得∠AEB=∠BFC=90°，则∠AEB+∠EBF=90°+90°=180°，得出结论AE∥BF． 【详解】解：（1）△BEF是等腰直角三角形，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°， ∵△BFC绕点B逆时针旋转后与△BEA重合， ∴∠EBF=∠ABC=90°，BE=BF， ∴△BEF是等腰直角三角形； （2）证明：∵△BFC绕点B逆时针旋转后与△BEA重合， ∴∠AEB=∠BFC， ∵∠BFC=90°， ∴∠AEB=90°， ∴∠AEB+∠EBF=90°+90°=180°， ∴AE∥BF． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质等知识，明确旋转前后对应角相等、对应边相等是解题的关键． 25．(1)见解析 (2)① ；②见解析 【分析】（1）只需证明△即可； （2）①令，解方程可求、点坐标，令，可求点坐标；②先求出直线的解析式，再求直线与抛物线的交点的坐标，用待定系数法求出直线的解析式，即可求点坐标，由于，即可得到为定值． 【详解】（1）证明：， △， ， △， 该抛物线与轴恒有两个不同的交点； （2）①解：令，则， 或， 点在点的左边，， ，， 令，则， ； ②证明：设直线的解析式为， ， ， ， 联立方程组， ， 是方程的一个根， 方程的另一个根为， ，， 设直线的解析式为， ， ， ， 轴，交于， ， ， 当变化时，线段的长度恒为定值1． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $