3.1 3.1.1 椭圆及其标准方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦第三章圆锥曲线的方程，通过“自主学习·新知感悟”模块引导学生先行感知新知，作为学习支架，后续衔接“合作探究·思维进阶”等模块，形成从自主到合作再到应用的递进式学习脉络。 其亮点在于PPT支持任意编辑，教师可双击内容通过Word文档灵活调整。以“合作探究·思维进阶”为主线，设置探究任务结合知识梳理和典例研析，培养学生数学思维（推理能力）与数学语言（模型观念）。例如探究任务引导主动构建知识，典例研析规范表达，既提升学生探究与解决问题能力，也为教师提供结构化资源，助力高效教学。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·选择性必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第三章 圆锥曲线的方程 3 目 录 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 58 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3．1　椭　圆 3．1．1　椭圆及其标准方程 学习目标　1.了解椭圆的实际背景，以培养数学抽象、直观想象能力．(重点)　2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程，以提升数学抽象、数学运算能力．(重点、难点)　 哈雷彗星每隔76年绕太阳公转一圈，它的运行轨迹是椭圆形；橄榄球运动盛行于英国、美国、加拿大、澳大利亚等国家，球的形状是椭圆形；夏天的时候，吃一口西瓜，沁人心脾，西瓜也是椭圆形；听见音乐就会翩翩起舞的“跳舞草”，它那椭圆形的身躯是那么优美…… 问题1　其实生活中还有许许多多椭圆形的例子，你能再举一些例子吗？椭圆有着怎样的几何特征？它是否也像圆一样有自己的定义、自己的方程呢？ 提示：可以再举一些例子：鸡蛋，放鱼的餐盘； 椭圆的结构特征主要包括以下几点： 形状特征：椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线，它类似于圆形，但两头比圆形长，且从圆心到边上转一圈的长度(即周长)是不一样的． 边缘特性：椭圆形的边缘都是圆滑的，没有棱角． 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P105，分析思考：椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其他条件不变，点的轨迹是什么？ (2)请认真阅读教材P105，分析思考：椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”，其他条件不变，点的轨迹是什么？ 提示：点的轨迹是线段F1F2. 提示：点的轨迹不存在． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．(　　 ) (2)已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆．(　　 ) (3)椭圆 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,49)＝1的焦点在x轴上．(　　 ) (4)椭圆C1： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与C2： eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相同，焦点也相同．(　　 ) 提示：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 　椭圆的定义 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如图所示，如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖． 问题2　画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 问题3　在上述活动中，如果把细绳拉直后固定住两端点(|F1F2|等于绳长)，那么动点M的轨迹是什么？ 提示：椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数． 提示：线段． 两焦点间的距离 一半 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 的点的轨迹叫做椭圆．这 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距，焦距的 称为半焦距． 常数(大于|F1F2|) 两个定点 例1　(1)下列说法中正确的是(　　 ) A．到点M(－3，0)，N(3，0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆 B．到点M(0，－3)，N(0，3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．到点M(－3，0)，N(3，0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 D．到点M(0，－3)，N(0，3)的距离相等的点的轨迹是椭圆 解析：选C．由椭圆定义知，C正确． (2)(链接教材：人A版教材P108例2)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的垂直平分线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是(　　 ) A．圆 B．椭圆 C．线段 D．射线 解析：选B．连接EA，OA(图略)，根据线段垂直平分线的性质，可得|EA|＝|EB|，|EO|＋|EA|＝|OB|>|OA|，即点E到点O和点A的距离之和等于圆的半径|OB|，且|OB|>|OA|，根据椭圆的定义，可得点E的轨迹是以点O和点A为焦点的椭圆． 类题通法 　　 椭圆定义的理解 (1)椭圆定义中包含一动点和两定点． (2)椭圆定义要求动点到两定点间的距离之和大于两定点间的距离. 　　 【迁移运用】 1.(1)设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是(　　 ) A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 解析：选A．∵|MF1|＋|MF2|＝10>|F1F2|＝6，由椭圆定义知，动点M的轨迹为椭圆． (2)(多选)设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋ eq \f(9,a)(a>0)，则点P的轨迹可能是(　　 ) A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线 解析：选BC．∵a＋ eq \f(9,a)≥2×3＝6＝|F1F2|(a>0)，当且仅当a＝3时取等号，∴由椭圆的定义得，当a＋ eq \f(9,a)＝6时，点P的轨迹为线段；当a＋ eq \f(9,a)>6时，点P的轨迹为椭圆． 　椭圆的标准方程 观察椭圆的形状，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示． 问题4　试利用椭圆定义推导椭圆方程． 提示：根据椭圆的定义，设点M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}． 因为|MF1|＝ eq \r((x＋c)2＋y2)，|MF2|＝ eq \r((x－c)2＋y2)， 所以 eq \r((x＋c)2＋y2)＋ eq \r((x－c)2＋y2)＝2a　①. 为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边， 得 eq \r((x＋c)2＋y2)＝2a－ eq \r((x－c)2＋y2)　②. 对方程②两边平方， 得(x＋c)2＋y2＝4a2－4a eq \r((x－c)2＋y2)＋(x－c)2＋y2， 整理，得a2－cx＝a eq \r((x－c)2＋y2)　③， 对方程③两边平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2， 整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)　④， 将方程④两边同除以a2(a2－c2)，得 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,a2－c2)＝1　⑤， 由椭圆的定义可知2a>2c>0，即a>c>0，所以a2－c2>0. 令b＝ eq \r(a2－c2)，那么方程⑤就是 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0). 问题5　 如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ 提示： eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0). F1(0，－c)，F2(0，c) b2＝a2－c2 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1 eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1 图形 焦点坐标 a，b，c的关系 (a>b>0) (a>b>0) F1(－c，0)，F2(c，0) eq \x(,(1)椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指椭圆的中心在坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴．,(2)两种椭圆\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，\f(y2,a2)＋\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有a>b>0，a2＝b2＋c2；不同点是：两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不同．,(3)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上．) 温馨提示 (1)椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指椭圆的中心在坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴． (2)两种椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)， eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有a>b>0，a2＝b2＋c2；不同点是：两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不同． (3)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上. 例2　(链接教材：人A版教材P109练习T2)求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点； (3)经过点P，Q； (4)以椭圆 eq \f(x2,5)＋ eq \f(y2,9)＝1的焦点为焦点，且经过点M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\r(6))). [思路点拨] 第(3)问构想 转化 反思 分类讨论 当椭圆焦点在x轴或者y轴上时，分别进行分类讨论 两个方法的异同，哪个更简便？ 待定系数法 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，代点列方程 解：(1)因为椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为 eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0). 又椭圆经过点(0，2)和(1，0)， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(0,b2)＝1，,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1.)) 所以所求的椭圆的标准方程为 eq \f(y2,4)＋x2＝1. (2)由题意得椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为 eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)， 由椭圆的定义知， 2a＝＝2 eq \r(10)， 即a＝ eq \r(10)，又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6， 所以所求椭圆的标准方程为 eq \f(y2,10)＋ eq \f(x2,6)＝1. (3)方法一　①当椭圆焦点在x轴上时， 可设椭圆的标准方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0). 依题意，有 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,5)，,b2＝\f(1,4)，))由a>b>0，知不符合题意，故舍去； ②当椭圆焦点在y轴上时， 可设椭圆的标准方程为 eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0). 依题意，有解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,4)，,b2＝\f(1,5)，)) 所以所求椭圆的标准方程为 eq \f(y2,\f(1,4))＋ eq \f(x2,\f(1,5))＝1. 方法二　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n). 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,9)m＋\f(1,9)n＝1，,\f(1,4)n＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝5，,n＝4.)) 所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1， 故椭圆的标准方程为 eq \f(y2,\f(1,4))＋ eq \f(x2,\f(1,5))＝1. (4)方法一(定义法)　由题意，知焦点F1(0，2)，F2(0，－2)， 设所求椭圆的方程为 eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)， ∵点M在所求椭圆上， ∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝ eq \r((2－0)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6)－2))\s\up12(2))＋ eq \r((2－0)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6)＋2))\s\up12(2)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)－\r(2)))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)＋\r(2)))＝4 eq \r(3)， ∴a＝2 eq \r(3)，即a2＝12，∴b2＝a2－c2＝12－4＝8， ∴所求椭圆的标准方程为 eq \f(y2,12)＋ eq \f(x2,8)＝1. 方法二(待定系数法)　由题意，知焦点F1(0，2)，F2(0，－2)， 设所求椭圆的方程为 eq \f(y2,λ＋4)＋ eq \f(x2,λ)＝1(λ>0)，将x＝2，y＝ eq \r(6)代入， 得 eq \f(6,λ＋4)＋ eq \f(4,λ)＝1，解得λ＝8或λ＝－2(舍去). 故所求椭圆的标准方程为 eq \f(y2,12)＋ eq \f(x2,8)＝1. eq \x(,(1)确定椭圆标准方程的两个方面,①“定位”：指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式．,②“定量”：指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程（组）求解．,(2)设椭圆的常用技巧,①当椭圆的焦点不确定在哪个轴上时，椭圆的方程也可以设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).,②与椭圆C：\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程可设为：\f(x2,a2＋λ)＋\f(y2,b2＋λ)＝1(a>b>0，b2＋λ>0).) 类题通法 (1)确定椭圆标准方程的两个方面 ①“定位”：指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式． ②“定量”：指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解．　　 (2)设椭圆的常用技巧 ①当椭圆的焦点不确定在哪个轴上时，椭圆的方程也可以设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n). ②与椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程可设为： eq \f(x2,a2＋λ)＋ eq \f(y2,b2＋λ)＝1(a>b>0，b2＋λ>0). 　 【迁移运用】 2.(1)若关于x，y的方程 eq \f(x2,m)＋ eq \f(y2,2m－1)＝1表示椭圆，则m满足的条件是________________． 解析：由关于x，y的方程 eq \f(x2,m)＋ eq \f(y2,2m－1)＝1表示椭圆， 知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m>0，,2m－1>0，,m≠2m－1，))解得m> eq \f(1,2)，且m≠1. 答案： eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|m>\f(1,2)，且m≠1)) (2)求适合下列条件的椭圆的标准方程： ①以坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0，2)，B( eq \f(1,2)， eq \r(3))； ②经过点(3， eq \r(15))，且与椭圆 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,9)＝1有共同的焦点． 解：①方法一　当焦点在x轴上时， 可设椭圆的标准方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0). 因为点A(0，2)，B( eq \f(1,2)， eq \r(3))在椭圆上， 所以解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝1，,b2＝4，)) 这与a>b相矛盾，故应舍去． 当焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为 eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0). 因为点A(0，2)，B( eq \f(1,2)， eq \r(3))在椭圆上， 所以解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1，)) 所以椭圆的标准方程为x2＋ eq \f(y2,4)＝1. 综上可知，椭圆的标准方程为x2＋ eq \f(y2,4)＝1. 方法二　设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n). 因为点A(0，2)，B( eq \f(1,2)， eq \r(3))在椭圆上， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4n＝1，,\f(1,4)m＋3n＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(1,4)，)) 故椭圆的标准方程为x2＋ eq \f(y2,4)＝1. ②方法一　椭圆 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,9)＝1的焦点为(－4，0)和(4，0)， 可设过点(3， eq \r(15))的椭圆的标准方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0). 由椭圆的定义可得2a＝ eq \r((3＋4)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(15)－0))\s\up12(2))＋ eq \r((3－4)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(15)－0))\s\up12(2))， 所以2a＝12，即a＝6. 因为c＝4，所以b2＝a2－c2＝62－42＝20， 所以椭圆的标准方程为 eq \f(x2,36)＋ eq \f(y2,20)＝1. 方法二　由题意可设待求椭圆的标准方程为 eq \f(x2,25＋λ)＋ eq \f(y2,9＋λ)＝1(λ>－9)， 将(3， eq \r(15))的坐标代入椭圆方程， 得 eq \f(32,25＋λ)＋ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(15)))\s\up12(2),9＋λ)＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)， 所以椭圆的标准方程为 eq \f(x2,36)＋ eq \f(y2,20)＝1. 　椭圆定义的应用 焦点三角形是圆锥曲线理论中的一个重要概念，具有丰富的性质和应用价值．通过深入学习和研究焦点三角形的相关知识，可以加深对圆锥曲线的理解，提高解决数学问题的能力，并为实际应用提供有力的数学支持．焦点三角形面积公式在光学、声学、天文学等领域也有广泛的应用，可以帮助我们理解光线或声音在通过椭圆或双曲线反射时的行为，以及椭圆轨道的计算等． 问题6　请画出图形，并说明焦点三角形是如何构成的． 提示：焦点三角形是由椭圆上任意与焦点不共线的一点和其两焦点所构成的三角形，如图中△MF1F2. 1．椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形． 2．焦点三角形的性质 (1)|MF1|＋|MF2|＝2a； (2)焦点三角形的周长L＝2a＋2c; (3)在△MF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|·cos ∠F1MF2； (4)焦点三角形的面积S△F1MF2＝ eq \f(1,2)|MF1|·|MF2|· sin ∠F1MF2＝b2tan eq \f(∠F1MF2,2). (5)已知椭圆方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1，两焦点分别为F1，F2，设焦点△PF1F2，∠F1PF2最大时，点P为椭圆与y轴的交点． 例3　(链接教材：人A版教材P115习题3.1T5)已知P为椭圆 eq \f(x2,12)＋ eq \f(y2,3)＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． 解：由已知得a＝2 eq \r(3)，b＝ eq \r(3)， 所以c＝ eq \r(a2－b2)＝ eq \r(12－3)＝3，从而|F1F2|＝2c＝6， 在△F1PF2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°， 即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|　①. 由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4 eq \r(3)， 即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|　②. 由①②得|PF1|·|PF2|＝4. 所以S△F1PF2＝ eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin 60°＝ eq \r(3). 变式演练　(变条件)若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积． 解：由已知得a＝2 eq \r(3)，b＝ eq \r(3)， 所以c＝ eq \r(a2－b2)＝ eq \r(12－3)＝3. 从而|F1F2|＝2c＝6. 在△F1PF2中，由勾股定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2， 即|PF2|2＝|PF1|2＋36， 又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝4 eq \r(3)， 所以|PF2|＝4 eq \r(3)－|PF1|. 从而有(4 eq \r(3)－|PF1|)2＝|PF1|2＋36， 解得|PF1|＝ eq \f(\r(3),2). 所以S△F1PF2＝ eq \f(1,2)·|PF1|·|F1F2|＝ eq \f(1,2)× eq \f(\r(3),2)×6＝ eq \f(3\r(3),2). 类题通法 　 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化． (2)对于焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解． 1．已知A(－5，0)，B(5，0)，动点C满足|AC|＋|BC|＝10，则点C的轨迹是(　　 ) A．椭圆 B．直线 C．线段 D．点 解析：选C．由|AC|＋|BC|＝10＝|AB|知点C的轨迹是线段AB． 2．点P为椭圆 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,16)＝1上一点，F1，F2为该椭圆的两个焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　 ) A．13 B．1 C．7 D．5 解析：选D．由已知得a＝4，|PF2|＝2a－|PF1|＝8－3＝5. 3．已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　 ) A． eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1 B． eq \f(x2,4)＋y2＝1 C． eq \f(y2,4)＋ eq \f(x2,3)＝1 D． eq \f(y2,4)＋x2＝1 解析：选A．由已知得c＝1，又由点P(2，0)在椭圆上， 可得a＝2，则b2＝3， ∴椭圆的方程为 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1. 4．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(　　 ) A．(0，＋∞) B．(0，2) C．(1，＋∞) D．(0，1) 解析：选D．∵方程x2＋ky2＝2， 即 eq \f(x2,2)＋ eq \f(y2,\f(2,k))＝1表示焦点在y轴上的椭圆， ∴ eq \f(2,k)>2，故0<k<1. 1．椭圆 eq \f(x2,25)＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　　 ) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：选D．设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|＝2，结合椭圆定义|PF2|＋|PF1|＝10，可得|PF2|＝8. 2．到点(－2 eq \r(3)，0)和(2 eq \r(3)，0)的距离之和为8的点的轨迹方程为(　　 ) A． eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,4)＝1 B． eq \f(x2,12)＋ eq \f(y2,4)＝1 C． eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,12)＝1 D． eq \f(x2,12)＋ eq \f(y2,16)＝1 解析：选A．因为(－2 eq \r(3)，0)和(2 eq \r(3)，0)两点间的距离为4 eq \r(3)<8， 所以由椭圆的定义知动点的轨迹是以(－2 eq \r(3)，0)和(2 eq \r(3)，0)为焦点，长轴长为8的椭圆，所以c＝2 eq \r(3)，2a＝8，即a＝4， 所以a2＝16，b2＝a2－c2＝42－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3))) eq \s\up12(2)＝4. 所以所求动点的轨迹方程为 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,4)＝1. 3．(易错题)如果方程 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,a＋6)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　 ) A．(3，＋∞) B．(－∞，－2) C．(－∞，－2)∪(3，＋∞) D．(－6，－2)∪(3，＋∞) 解析：选D．因为椭圆的焦点在x轴上，所以a2>0，a＋6>0，a2>a＋6>0，解得a>3或－6<a<－2. 4．(多选)已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则下列说法正确的是(　　 ) A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在x轴上 C．若m＝n>0，则C是圆，其半径为 eq \r(n) D．若m＝0，n>0，则C是两条直线 解析：选AD．若m>n>0，则mx2＋ny2＝1可化为 eq \f(x2,\f(1,m))＋ eq \f(y2,\f(1,n))＝1，其中 eq \f(1,m)< eq \f(1,n)，所以曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确，B错误；若m＝n>0，则mx2＋ny2＝1可化为x2＋y2＝ eq \f(1,n)，此时曲线C表示圆心在原点，半径为 eq \f(\r(n),n)的圆，故C错误；若m＝0，n>0，则mx2＋ny2＝1可化为y2＝ eq \f(1,n)，即y＝± eq \f(\r(n),n)，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确． 5．(2025·山东潍坊期末模拟)设复数z在复平面内对应的点为Z，则下列选项正确的有(　　 ) A．若|z－1|＝1，则|z＋3＋3i|的最大值为6 B．若|z－1|＋|z＋1|＝2，则点Z的轨迹为椭圆 C．若|z－1|＋|z＋1|＝4，则点Z的轨迹为椭圆 D．若(|z－1|－1)(|z＋2|－2)＝0，则点Z轨迹的长度为6π 解析：选ACD．在复平面内，设点A(1，0)，B(－1，0)，C(－3，－3)，D(－2，0)，复数z＝x＋yi(x，y∈R)所对应点Z(x，y)， 对于A，A，C两点的距离|AC|＝ eq \r((－3－1)2＋(－3－0)2)＝5，|z－1|表示A，Z两点的距离，又|z－1|＝1，则点Z的轨迹是以A为圆心，1为半径的圆， |z＋3＋3i|表示C，Z两点的距离， 则|z＋3＋3i|的最大值为|AC|＋1＝6，A正确； 对于B，|z－1|表示A，Z两点的距离，|z＋1|表示B，Z两点的距离， 由|z－1|＋|z＋1|＝2＝|AB|，则点Z的轨迹为线段AB，B错误； 对于C，|z－1|＋|z＋1|＝4>|AB|，则点Z的轨迹是以B，A为左，右焦点，长轴长为4的椭圆，C正确； 对于D，(|z－1|－1)(|z＋2|－2)＝0，即|z－1|＝1或|z＋2|＝2，由|z－1|＝1表示以A为圆心，1为半径的圆， 同理|z＋2|＝2表示以D为圆心，2为半径的圆，点Z轨迹的长度为2π×1＋2π×2＝6π，D正确． 6．如图，椭圆 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,9)＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为________． 解析：由|MF1|＝2，得|MF2|＝8，又因为ON是△F1MF2的中位线，所以|ON|＝4. 答案：4 7．已知椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,a2－4)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若在椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积是2，则a＝___________． 解析：根据椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a， 由PF1⊥PF2，得△PF1F2为直角三角形， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，又∵△PF1F2的面积为2， ∴ eq \f(1,2)·|PF1|·|PF2|＝2，则|PF1|·|PF2|＝4， ∴(2a)2＝(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2＋8， 可得a2－c2＝2＝b2， 由 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,a2－4)＝1可得b2＝a2－4， 所以a2－4＝2，解得a＝ eq \r(6). 答案： eq \r(6) 8．已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5，3.过P且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程． 解：法一　设所求的椭圆方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)或 eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)， 由已知条件得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＝5＋3，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2c))\s\up12(2)＝52－32，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝4，,c＝2，)) 所以b2＝a2－c2＝12， 于是所求椭圆的标准方程为 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,12)＝1或 eq \f(y2,16)＋ eq \f(x2,12)＝1. 法二　设所求的椭圆方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)或 eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)， 两个焦点分别为F1，F2. 由题意知2a＝|PF1|＋|PF2|＝3＋5＝8，所以a＝4. 在方程 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1中，令x＝±c，得|y|＝ eq \f(b2,a)； 在方程 eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1中，令y＝±c，得|x|＝ eq \f(b2,a). 依题意有 eq \f(b2,a)＝3，得b2＝12， 于是所求椭圆的标准方程为 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,12)＝1或 eq \f(y2,16)＋ eq \f(x2,12)＝1. 9．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，中心为坐标原点，经过点(1， eq \f(3,2))，(0，－ eq \r(3)). (2)以点F1(－1，0)，F2(1，0)为焦点，经过点P(2， eq \f(2\r(5),5)). 解：(1)设椭圆的标准方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)， 由题意有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(9,4b2)＝1，,b＝\r(3)，))可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\r(3)，)) 故椭圆C的标准方程为 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1. (2)设椭圆的标准方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦距为2c. 由题意有c＝1，|PF1|＝ eq \r(9＋\f(4,5))＝ eq \f(7\r(5),5)，|PF2|＝ eq \r(1＋\f(4,5))＝ eq \f(3\r(5),5)， 有a＝ eq \f(|PF1|＋|PF2|,2)＝ eq \f(\f(7\r(5),5)＋\f(3\r(5),5),2)＝ eq \r(5)，b＝ eq \r(5－1)＝2， 故椭圆的标准方程为 eq \f(x2,5)＋ eq \f(y2,4)＝1. 【综合运用】 10．F1是椭圆 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,5)＝1的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1，1)为定点，则|PA|＋|PF1|的最小值是(　　 ) A．9－ eq \r(2) B．6－ eq \r(2) C．3＋ eq \r(2) D．6＋ eq \r(2) 解析：选B．如图所示，设点F2为椭圆的右焦点，连接F2A并延长交椭圆于点P′，连接P′F1，PF2. ∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6， ∴|PF1|＝6－|PF2|， ∴|PA|＋|PF1|＝|PA|＋6－|PF2|＝6＋(|PA|－|PF2|). 根据三角形两边之差小于第三边，当点P位于P′时，|PA|－|PF2|最小，其值为－|AF2|＝－ eq \r(2)，此时|PA|＋|PF1|的最小值为6－ eq \r(2). 11．(多选)已知P是椭圆E： eq \f(x2,8)＋ eq \f(y2,4)＝1上一点，F1，F2是椭圆E的左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是(　　 ) A．点P的纵坐标为3 B．∠F1PF2> eq \f(π,2) C．△F1PF2的周长为4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)＋1)) D．△F1PF2的内切圆半径为 eq \f(3(\r(2)－1),2) 解析：选CD． 由已知得a＝2 eq \r(2)，b＝2，c＝2，F1(－2，0)，F2(2，0)， 不妨设P(m，n)，m>0，n>0， 则S△F1PF2＝ eq \f(1,2)·2c·n＝3，解得n＝ eq \f(3,2)，故A错误； 由 eq \f(m2,8)＋＝1，解得m＝ eq \f(\r(14),2)，则P， 所以|PF1|2＝＋ eq \f(9,4)＝ eq \f(39,4)＋2 eq \r(14)， |PF2|2＝＋ eq \f(9,4)＝ eq \f(39,4)－2 eq \r(14)， 则|PF1|2＋|PF2|2－(2c)2＝ eq \f(39,4)×2－16＝ eq \f(7,2)>0， 故cos ∠F1PF2＝ eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－(2c)2,2|PF1|·|PF2| )>0， 所以∠F1PF2< eq \f(π,2)，故B错误； △F1PF2的周长＝2a＋2c＝4 eq \r(2)＋4，故C正确； 设△F1PF2的内切圆半径为r， 则 eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4\r(2)＋4))r＝3，所以r＝ eq \f(3(\r(2)－1),2)，故D正确． 12．已知椭圆 eq \f(x2,5)＋y2＝1的焦点为F1，F2，设P(x0，y0)为椭圆上一点，当∠F1PF2为直角时，点P的横坐标x0＝________；当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标x0的取值范围是________． 解析：由椭圆的方程为 eq \f(x2,5)＋y2＝1，得c＝2，所以F1(－2，0)， F2(2，0)，＝(－2－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)， 若∠F1PF2为直角，则·＝0， 即x eq \o\al(2,0)＋y eq \o\al(2,0)＝4　①， 又2,0) eq \f(x,5) ＋y eq \o\al(2,0)＝1　②， ①②联立消去y eq \o\al(2,0)得x eq \o\al(2,0)＝ eq \f(15,4)，所以x0＝± eq \f(\r(15),2). 若∠F1PF2为钝角，则·<0， 即x eq \o\al(2,0)＋y eq \o\al(2,0)<4　③，又2,0) eq \f(x,5) ＋y eq \o\al(2,0)＝1　④， 由③④得－ eq \f(\r(15),2)<x0< eq \f(\r(15),2). 答案：± eq \f(\r(15),2)　 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(15),2)，\f(\r(15),2))) 13．在平面直角坐标系Oxy中，已知△ABC的顶点A(－3，0)和C(3，0)，顶点B在椭圆 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,16)＝1上，则 eq \f(sin A＋sin C,2sin B)＝________． 答案： eq \f(5,6) 解析：由椭圆的方程得a＝5，b＝4，c＝3. 则△ABC的顶点A(－3，0)和C(3，0)分别为椭圆的左、右焦点，顶点B在椭圆 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,16)＝1上， ∴|BC|＋|AB|＝2a＝10， ∴由正弦定理可知 eq \f(sin A＋sin C,2sin B)＝ eq \f(|BC|＋|BA|,2|AC|)＝ eq \f(2a,4c)＝ eq \f(5,6). 14．(一题多解)已知椭圆M与椭圆N： eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,12)＝1有相同的焦点，且椭圆M过点(－1， eq \f(2\r(5),5)). (1)求椭圆M的标准方程； (2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标． 解：(1)方法一　由题意，知椭圆N的焦点为(－2，0)，(2，0)， 设椭圆M的方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)， 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－b2＝4，,\f(1,a2)＋\f(4,5b2)＝1，))化简并整理得5b4＋11b2－16＝0， 故b2＝1或b2＝－ eq \f(16,5)(舍去)，a2＝5， 故椭圆M的标准方程为 eq \f(x2,5)＋y2＝1. 方法二　由题意，知椭圆N的焦点为(－2，0)，(2，0)， 设椭圆M的方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)， ∴2a＝＋＝2 eq \r(5)， ∴a＝ eq \r(5)，∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝1， 故椭圆M的标准方程为 eq \f(x2,5)＋y2＝1. (2)由(1)知F1(－2，0)，F2(2，0)，设P(x0，y0)， 则△PF1F2的面积为 eq \f(1,2)×4×|y0|＝1，解得y0＝± eq \f(1,2). 又2,0) eq \f(x,5) ＋y eq \o\al(2,0)＝1，所以x eq \o\al(2,0)＝ eq \f(15,4)，x0＝± eq \f(\r(15),2)， 所以点P有4个，它们的坐标分别为,，,. $