1.3 1.3.1 空间直角坐标系-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·选择性必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第一章 空间向量与立体几何 3 目 录 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1．3　空间向量及其运算的坐标表示 1．3．1　空间直角坐标系 学习目标　1.了解空间直角坐标系的建立过程．(重点) 2.掌握空间直角坐标系中点的坐标的确定，掌握空间向量的坐标表示．(重点、难点) 我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲，就是讲形与数．欧几里德几何体系的特点是排除了数量关系……对于研究空间形式，你要真正腾飞，不通过数量关系，我想不出有什么好办法……” 问题1　 吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是什么？ 问题2　为了使得空间几何“代数化”，我们引入了什么？ 提示：是“数量化”，也就是坐标系的引入，这使得几何问题“代数化”． 提示：为了使得空间几何“代数化”，我们引入了坐标及其运算． 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P16，说一说“空间直角坐标系有什么特征？”． (2)请认真阅读教材P17，在给定的空间直角坐标系下，空间中任意一点是否与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系？ 提示： x轴，y轴，z轴两两相交，互相垂直，且有相同的单位长度． 提示： 是，在给定的空间直角坐标系下，空间中任意一点，其坐标是唯一的有序实数组(x，y，z)；反之，对任意一个有序实数组(x，y，z)，空间中也有唯一的点与之对应． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)在空间直角坐标系中，x轴上的点的坐标一定是(0，b，c).(　　 ) (2)空间直角坐标系中，点关于Oyz平面的对称点为 .(　　 ) 提示：(1)×　(2)√ 　 空间直角坐标系 问题3　利用单位正交基底的概念，我们如何理解平面直角坐标系呢？ 提示：在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i，j}，以O为原点，分别以i，j的方向为正方向、以它们的长度为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴，那么我们就建立了一个平面直角坐标系．类似地，我们也可以建立一个空间直角坐标系． z轴的正方向 1．空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴： ，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. 2．右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 ，食指指向 ，如果中指指向 ，则称这个坐标系为右手直角坐标系．本书建立的坐标系都是右手直角坐标系． x轴、 y轴、z轴 x轴的正方向 y轴 的正方向 温馨提示 (1)|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0. (2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°. (链接教材：人A版教材P18例1)(一题多解)如图所示，四棱锥 D­OABC中，建立空间直角坐标系Oxyz，若OD＝2，OA＝4，OC＝6，M是BD的中点，求点M的坐标． [思路点拨] 构想 转化 反思 射影原理 点M在x轴，y轴，z轴上的射影分别为M1，M2，M3 点M的坐标是如何使用向量表示的 向量加减法 解：方法一：设点M在x轴，y轴，z轴上的射影分别为M1，M2，M3，它们在坐标轴上的坐标分别为2，3，1，所以点M的坐标是(2，3，1)． 类题通法 　 1．求空间中一点P的坐标方法 (1)利用点在坐标轴上的投影求解； (2)利用单位正交基底表示向量，的坐标就是点P的坐标(O为坐标原点). 2．在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点坐标为( eq \f(x1＋x2,2)， eq \f(y1＋y2,2)， eq \f(z1＋z2,2)). 【迁移运用】 1.已知正四棱锥P­ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标． 解：∵正四棱锥P­ABCD的底面边长为4，侧棱长为10， ∴正四棱锥的高为2 eq \r(23). 以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，－2，0)，B(2，2，0)，C(－2，2，0)，D(－2，－2，0)，P(0，0，2 eq \r(23)). 答案不唯一． 　空间向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底． 问题4　对于平面内的任意一个向量a都有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则向量a在平面直角坐标系中的坐标是什么？ 提示：向量a的坐标是有序数对(x，y). 问题5　如果设{i，j，k}为空间的单位正交基底，＝xi＋yj＋zk，猜想空间向量的坐标是什么？点A的坐标是什么？ 提示：(x，y，z)；(x，y，z). 提示：向量a的坐标是有序数对(x，y). 提示：(x，y，z)；(x，y，z). (x，y，z) 1．点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，存在 ，使＝xi＋yj＋zk，则与对应的 叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 2．向量的坐标 给定向量a，若＝a，则a＝xi＋yj＋zk， 叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作a＝ ． 唯一的有序实数组(x，y，z) 有序实数组(x，y，z) 有序实数组(x，y，z) 温馨提示 　坐标轴或某平面上点的坐标 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 例2　(链接教材：人A版教材P18例1)棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，BC的中点，以{}为正交基底，建立如图所示的坐标系，求下列向量的坐标： (1)； (2). 解：在正交基底{}下， (1)， 所以＝＝＝. (2)，所以＝； ，所以＝； ，所以＝. 类题通法 　 用坐标表示空间向量的步骤 【迁移运用】 2.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量的坐标． 解：法一　由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，如图所示． ∴，∴的坐标为(1，－1，1)， 而， ∴的坐标为(1，－1，2)． 又∵， ∴的坐标为(－1，1，－2)． 法二　建系同法一,则B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)， ∴＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)． 　空间点的对称问题 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分．小红的奶奶是当地的剪纸高手，如图，这是她的剪纸作品． 问题6　这个剪纸图有什么特点？ 提示：这个剪纸图是轴对称图形． 问题7　点 A(1，2)关于x轴、y轴、原点的对称点分别是什么？ 问题8　空间点的对称能类比平面上点的对称吗？ 提示：点A(1，2)关于x轴、y轴、原点的对称点分别是(1，－2)，(－1，2)，(－1，－2). 提示：能． 在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下表所示： P(a，b，c) 对称轴或对称中心 对称点坐标 x轴 (a，－b，－c) y轴 (－a，b，－c) z轴 (－a，－b，c) xOy平面 (a，b，－c) yOz平面 (－a，b，c) xOz平面 (a，－b，c) 坐标原点 (－a，－b，－c) 例3　(链接教材：人A版教材P18练习T2)在空间直角坐标系中，已知点P(－2，1，4). (1)求点P关于x轴对称的点的坐标； (2)求点P关于Oxy平面对称的点的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标． 解：(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4). (2)由点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2，1，－4). (3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12， 所以P3的坐标为(6，－3，－12). 类题通法 　 空间点对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解． (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论. 【迁移运用】 3.已知点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________． 解析：点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为(－2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3，1). 答案：(2，－3，1) 1．已知点A(－3，0，－4)，点A关于原点的对称点为B，则点B的坐标是(　　 ) A．(3，0，－4) B．(－3，0，4) C．(－4，0，－3) D．(3，0，4) 解析：选D．因为点(x，y，z)关于原点的对称点坐标为(－x，－y，－z)，所以点A(－3，0，－4)关于原点的对称点B的坐标是(3，0，4). 2．在空间直角坐标系中，点P(－1，－2，－3)到平面Oyz的距离是(　　 ) A．1 B．2 C．3 D． eq \r(14) 解析：选A．点到平面Oyz的距离就是点的横坐标的绝对值． 3．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝2i－4j＋5k，b＝i＋2j－3k，则向量a，b的坐标分别为________． 解析：由空间向量坐标概念知a＝(2，－4，5)，b＝(1，2，－3). 答案：(2，－4，5)，(1，2，－3) 4．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AD的中点，AB＝1，则向量的坐标为_____________． 解析：∵－k，∴. 答案： 【基础巩固】 1．点A(－2，3，－4)关于坐标平面Oxz对称点A′的坐标为(　　 ) A．(－2，－3，－4) B．(2，－3，4) C．(－2，－3，4) D．(2，3，－4) 解析：选A．点A的坐标中横、竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反数即得A′的坐标为(－2，－3，－4). 2．已知i，j，k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量，且＝－i＋j－k，则点B的坐标是(　　 ) A．(－1，1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．不确定 解析：选A．由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点B的坐标为 (－1，1，－1)． 3．如图，在长方体OABC­O1A1B1C1中，OA＝3，OC＝5，OO1＝4，点P是B1C1的中点，则点P的坐标为(　　 ) A．(3，5，4) B． C． D． 解析：选C．由题图知，点P在x轴、y轴、z轴上的射影分别为P1，P2，P3，它们在坐标轴上的坐标分别是，5，4，故点P的坐标是. 4．已知＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则点A的坐标为(　　 ) A．(12，14，10) B．(10，12，14) C．(14，10，12) D．(4，2，3) 解析：选A．＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k＝(12，14，10)． 5．已知点B的坐标是(－1，2，1)，则＝(　　 ) A． B．6 C． D．5 解析：选A．由B点坐标是(－1，2，1)，得＝－i＋2j＋k，故2＝1＋4＋1＝6，故＝. 6．在空间直角坐标系中，已知点P(1， eq \r(2)， eq \r(3))，过点P作平面Oyz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为________． 解析：由于垂足在平面Oyz上，所以纵坐标、竖坐标不变，横坐标为0. 答案：(0， eq \r(2)， eq \r(3)) 7．已知点A的坐标为(－1，3，0)，点B的坐标为(0，1，1)，则cos 〈〉＝________． 解析：由题设知＝(－1，3，0)＝－i＋3j，＝(0，1，1)＝j＋k， 故＝＝＝(－i＋3j)·(j＋k)＝3， 所以cos 〈〉＝. 答案： 8．已知三棱锥P­ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M，N分别是PC，AC的中点，建立如图所示的坐标系Bxyz，则向量的坐标为________． 解析：＋＝. 答案： 9．已知ABCD­A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出的坐标． 解：＝2i＋2j＋2k＝(2，2，2)， ×2k＝2i＋2j＋k＝(2，2，1)， ×2j＝j＝(0，1，0)． 【综合运用】 10．(2025·四川资阳高二期末)如图，棱长为3的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则|PE|＋|PF|的最小值为(　　 ) A．3 eq \r(3) B． eq \f(5\r(2),2) C．1＋ eq \r(6) D． eq \r(11) 解析：选D．作F关于平面BCC1B1的对称点F′，连接EF′交平面BCC1B1于点P0. 可以证明此时的P0使得|PE|＋|PF|最小，任取P1(不含P0)，此时P1E＋P1F＝P1E＋P1F′>EF′. 在点D处建立如图所示空间直角坐标系， 则D1(0，0，3)，B(3，3，0)，因为E，F分别为BD1的三等分点，所以E(1，1，2)，F(2，2，1)， 又点F距平面BCC1B1的距离为1，所以F′(2，4，1)， |PE|＋|PF|的最小值为＝ eq \r(12＋32＋(－1)2)＝ eq \r(11). 11．(多选)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是(　　 ) A．点B1的坐标为(4，5，3) B．点C1关于点B对称的点为(5，8，－3) C．点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3) D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0) 解析：选ACD．根据题意知，点B1的坐标为(4，5，3)，选项A正确； B的坐标为(4，5，0)，C1的坐标为(0，5，3)， 故点C1关于点B对称的点为(8，5，－3)，选项B错误； 在长方体中AD1＝BC1＝＝5＝AB， 所以四边形ABC1D1为正方形，AC1与BD1垂直且平分， 即点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，选项C正确； 点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)，选项D正确． 12．已知i，j，k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量，且＝－i＋j－k，则点B的坐标是(　　 ) A．(－1，1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．不确定 解析：选D．由＝－i＋j－k只能确定向量＝(－1，1，－1)，而向量的起点A的坐标未知，故终点B的坐标不确定． 13．(2025·湖北武汉高二期末)如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E为棱B1C1上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为________． 解析：设(0≤λ≤1)． 因为， 所以＝·×cos 45°＋λ×1××cos 45°＝1＋λ. 所以向量在向量方向上的投影数量为，其取值范围为[ eq \f(\r(2),2)， eq \r(2)]. 答案： 14．已知在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，试建立适当的空间直角坐标系，并写出各顶点的坐标． 解：如图所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，OO1⊥AC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． ∵三棱柱各棱长均为1， ∴OA＝OC＝O1A1＝O1C1＝ eq \f(1,2)，OB＝ eq \f(\r(3),2). ∵A，B，C均在坐标轴上， ∴A，B，C. ∵点A1与C1在平面Oyz内， ∴A1. ∵点B1在平面Oxy内的射影为B，且BB1＝1， ∴B1， 即该三棱锥各顶点的坐标为A，B，C，A1，B1，C1. 15．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝4，AD＝2，平行六面体高为2 eq \r(3)，顶点D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中点，设△AB1D1的重心为G，建立适当的空间直角坐标系并写出点A1，B1，A，D1，G，B的坐标. 解：如图，以O为坐标原点，分别以OC1、OD所在直线为y，z轴，以过点O作B1C1的平行线为x轴建立空间直角坐标系. 点A1(x，y，z)在平面xOy上，则z＝0， 由图可知它到y轴投影为点D1，对应数值为－2，则y＝－2， 到x轴投影对应数值为2，则x＝2，即A1(2，－2，0)； 同理得B1(2，2，0)，A(2，0，2 eq \r(3))，D1(0，－2，0)，B(2，4，2 eq \r(3))， 故由三角形重心坐标公式( eq \f(x1＋x2＋x3,3)， eq \f(y1＋y2＋y3,3)， eq \f(z1＋z2＋z3,3))，得G( eq \f(4,3)，0， eq \f(2\r(3),3)). $