专题02 空间向量与立体几何解答题汇总7考点（期末真题汇编，四川专用）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题02空间向量与立体几何解答题汇总 7大高频考点概览 考点01 异面直线的夹角 考点02 空间的平行 考点03 空间的垂直 考点04 线面角 考点05 二面角 考点06 点面距、线面距 考点07 探索型问题 地 城 考点01 异面直线的夹角 1．(24-25高二上·四川仁寿第一中学校南校区·期末)如图，在棱长均为2的正四棱柱中，，，，，用空间向量法解决下列三个问题： (1)证明：； (2)求异面直线与夹角的余弦值； (3)求的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可证明线线垂直； （2）根据已知条件建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求异面直线夹角余弦值； （3）根据已知条件建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求向量模长即可求解. 【详解】（1） 以为坐标原点，、、所在直线为、、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题意得，，，， ，， 因为，， 所以， 所以，所以. （2）由（1）可得，， 所以 . 故异面直线与夹角的余弦值为. （3）由（1）可得， 故. 地 城 考点02 空间的平行 1．(24-25高二上·四川仁寿县铧强中学·期末)如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，求证： (1)平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)利用线面平行的判定定理即可证明；(2)利用面面平行的判定定理证明. 【详解】（1） 如图，连接，∵分别是的中点，∴ . 又∵平面，平面，∴直线平面. （2）连接SD，∵分别是 的中点， ∴.又∵平面，平面， ∴平面，由(1)知，平面， 且平面，平面，， ∴平面∥平面. 2．(24-25高二上·四川南充·期末)如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为2的正方形，为等边三角形，点是线段的中点，点满足． (1)求证：//平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接与相交于，连接．再证明即可； （2）根据面面垂直的性质可得平面，再设点是线段的中点，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，再根据面面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）如图，连接与相交于，连接． 因为点满足，所以， 因为， 所以，又平面平面， 所以//平面. （2）因为为等边三角形，点是线段的中点， 所以． 又平面平面，平面平面平面， 所以平面. 设点是线段的中点，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则． 由于平面．则平面的法向量可设为． 设平面的法向量为． 则，即， 令，则， 则平面的一个法向量为， 则． 由图可得二面角为锐角， 则二面角的余弦值为． 3．(24-25高二上·四川内江·期末)在中国古代数学著作《九章算术》中，“鳖臑”是指4个面都是直角三角形的四面体.如图，在等腰梯形ABCD中，，，且现将沿AE翻折，使四面体DACE为一个鳖臑，并得到四棱锥 (1)设F为ED的中点，求证：平面BCD； (2)求证：平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取DC的中点M，连接FM，BM，证明四边形ABMF是平行四边形，所以，根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由鳖臑的性质，推断出，由勾股定理可得CD的值，再证得，符合勾股定理的逆定理，即为直角三角形． 【详解】（1）证明：取DC的中点M，连接FM，BM， 因为F为DE的中点，所以FM为的中位线，所以，且， 在等腰梯形ABCD中，，，且， 所以， 所以且，所以四边形AFMB是平行四边形，所以， 又平面BCD，平面BCD， 所以平面BCD； （2）由题意可得，，， 因为，，，平面， 所以平面，所以，是直角三角形， 又因为四面体DACE为一个鳖臑，所以需满足，为直角三角形，且不是直角， 又因为，所以，故要使为直角三角形，只能是直角， 即，则， 又平面， 所以，，平面 所以平面，又平面， 所以， 此时成立， 即也是直角三角形， 即证得平面 地 城 考点03 空间的垂直 1．(24-25高二上·四川宜宾·期末)如图，在直三棱柱中，D为的中点，，平面平面． (1)求证：平面； (2)若的面积为，求平面和平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质得到，利用直三棱柱的性质得到，再利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）利用三角形面积公式建立方程，求出，再建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）如图，取的中点E，连接， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在直三棱柱中，得到平面， 因为平面，所以， 因为平面，且， 所以平面. （2）因为的面积为， 所以，解得， 而两两垂直，则以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 得到， 由中点坐标公式得的中点， 则， 设平面的一个法向量，则， 令，解得，，得到， 设平面的一个法向量，则， 令，解得，，得到， 设平面和平面夹角为， 则， 所以平面和平面夹角的余弦值为. 2．(24-25高二上·四川自贡·期末)在长方体中，点E，F分别在上，且. (1)求证：； (2)当时. （i）求到平面AEF的距离； （ii）求平面AEF与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用数量积等于0，分别得出，，从而利用线面垂直的判定定理和性质定理证明即可； （2）（i）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点面距离的向量公式求解即可； （ii）求出平面的法向量，结合平面的法向量，利用面面夹角的向量公式求解即可． 【详解】（1）因为， 所以， 因为， 所以， 又，平面，故平面， 又平面，所以； （2）以点为原点，分别以直线、、为、、轴，建立空间直角坐标系， 由得， （i）由（1）知是平面的一个法向量，， 所以到平面AEF的距离为； （ii），， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 又是平面的一个法向量， 所以， 设平面和平面的夹角为， 则. 即平面AEF与平面的夹角的余弦值为. 3．(24-25高二上·四川泸州·期末)如图，在正方体中，分别是，各棱的中点．   (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，根据向量数量积为零证明直线垂直，再利用线面垂直的判定定理可证明平面； （2）分别求出求平面的法向量与平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦公式可求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）设正方体的棱长为2，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系；   ，， 进而得到向量； 因为， 所以，即； 因为， 所以，即， 因为，且平面， 所以平面． （2）已知， 则， 设平面的法向量为，则有，即， 令，可得：，所以； 由（1）可知，是平面的一个法向量； 设平面与平面的夹角为，两平面法向量的夹角为，则， 根据向量点积公式， 其中， ，所以， 即平面与平面夹角的余弦值为． 4．(24-25高二上·四川乐山普通高中·期末)如图，等腰梯形ABCD中，，，，，且于E，将沿AE翻折至，使得. (1)证明：； (2)求PC与平面PAD所成角的正弦值； (3)求平面PCD与平面PAD的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3). 【分析】（1）由，得到平面即可求证； （2）连接ED，过D作于F，分别以EC，EA，EP为轴轴轴建立空间直角坐标系，由线面夹角的向量法求解即可； （3）求得平面法向量，代入夹角公式即可求解； 【详解】（1），， 又沿AE翻折至，，即. 平面，平面， 平面. 又平面，. （2） 连接ED，过D作于 ， 又四边形为等腰梯形，且， 又，. 又且 ，即. 又，，平面，平面 平面. 以E为坐标原点，分别以为轴轴轴建立空间直角坐标系 ，，， ，，. 设平面PAD的法向量为 则，即 令，则，，. 设与平面所成角为 则 与平面所成角的正弦值为. （3）设平面的法向量为 则，即 令，则，，. 由（2）知平面的法向量为 . 平面与平面的夹角的余弦值为. 地 城 考点04 线面角 1．(24-25高二上·四川眉山中学校·期末)如图，在三棱锥 中， 分别是 的中点. (1)求证: 平面 ； (2)若四面体的体积为 ，求； (3)在（2）的条件下，若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明，可证线面垂直； （2）由已知四面体体积求得体积，再由体积公式可得； （3）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角． 【详解】（1）.的中点为，则. . ，则， 故，即. 因为，，平面，平面， 所以平面. （2）因为，所以. 而， 所以，解得：. （3）过作轴垂直平面，以方向分别为 则， ， 设平面法向量为 由得， 所以为平面的一个法向量， 设与平面所成角为， 所以 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 2．(24-25高二上·四川内江第六中学·期末)如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，点在棱上，且平面． (1)求证：为中点； (2)求二面角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在； 【分析】（1）连结交于点，连结，证明为中点并结合线面平行性质定理证明即可得证； （2）先建立空间直角坐标系，再求出两个平面的法向量即可根据二面角的向量法直接计算即可得解. （3）假设在棱上存在点满足题意，设，则求出结合线面角的空间向量法直接计算即可求解. 【详解】（1）连结交于点，连结，      因为底面是矩形，所以为中点， 因为平面，平面，平面平面, 所以， 又因为为中点，所以为中点. （2）取的中点，连结，， 因为底面为矩形，所以， 因为，为中点，所以，, 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，所以，所以，，两两垂直， 如图，建立空间直角坐标系，则由题意可得 ，，，，，， 则，，， 由上可知为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，，所以， 所以， 如图可知二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为， （3）假设在棱上存在点满足题意， 由（2），， 设，则， ， 设与平面所成角为，则， 解得或，因为，故， 所以存在点满足题意，此时. 3．(24-25高二上·四川仁寿县铧强中学·期末)在正四棱柱中，已知，，E为棱的中点． (1)求证：； (2)求与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明线线垂直，转化为证明线面垂直，即证明面； （2）首先证明平面平面，说明为所求角，再根据余弦定理求解. 【详解】（1）连结AC交BD于点O，连结． 在正四棱柱中，面ABCD， 又∵ABCD，∴ ∵四边形ABCD为正方形，∴ 又∵，，面，∴面，又∵面 ∴ （2）由（1）知：面，又平面，∴平面平面， 又面面， ∴为直线与平面所成的平面角， ∵正四棱柱中，，， 分别在，，中， 解得，， 所以， 故与平面所成角的余弦值为． 4．(23-24高二上·四川成都棠湖外国语学校·期末)如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，点是的中点.   (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质定理得，再根据勾股定理得，从而利用线面垂直的判定定理得平面，从而利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）根据线面角的定义及正弦值求得边长，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求得两个平面所成角的余弦值. 【详解】（1）平面平面，. ，由且是直角梯形， ， 即，. 平面平面，平面. 平面，平面平面. （2）平面平面，. 又，平面平面，平面， 即为直线与平面所成角. ，，则， 取的中点，连接，以点为坐标原点， 分别以为轴､轴､轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， ， 设为平面的法向量，则， 令，得，得， 设为平面的法向量， 则，令，则，得. . 平面与平面所成角的余弦值的余弦值为. 5．(24-25高二上·四川资阳天立学校·期末)已知四棱柱的所有棱长都为2，且. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）. 【分析】（1）要证平面平面，转化为证明平面，通过证明及可得； （2）连接，由（1）可得为直线与平面所成的角，在中求角的正弦值.另外可以用向量法求线面角. 【详解】（1）证明：设与的交点为，连接， 因为，，， 所以， 所以， 又因为是的中点，所以， 另由且， 所以平面， 而平面，所以平面平面. （2）（法一）连接，由（1）知平面， 所以为直线与平面所成的角， 在菱形中，， 故， 所以 又因为，所以， 所以.        （法二）过作直线平面，分别以、、为、、轴，建立如图所示空间直角坐标系， 依题意，得，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，令，则，即， 所以， 即直线与平面所成的角的正弦值为. 【点睛】本题考查面面垂直的判定以及空间线面角的求解，其中关键是要找到线面角的平面角，考查了学生空间想象能力，是中档题. 地 城 考点05 二面角 1．(24-25高二上·四川凉山州·期末)如图，在四棱锥中，，点是的中点． (1)求证：平面； (2)若平面，求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据中位线的性质可得线线平行，即可根据线面平行的判定求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用法向量的夹角即可求解. 【详解】（1）取的中点，连接, 由于，是的中点， 故且， 因此且，故四边形为平行四边形，故, 平面,平面,故平面 （2）由于平面，平面，故平面 平面， 取中点为，连接, ，且平面 平面 ， 平面，故 平面， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 设平面的法向量为， 则，取，则， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设平面与平面夹角为， 则， 故. 2．(24-25高二上·四川眉山东坡区眉山育英实验学校·期末)在四棱锥中，底面是矩形，，分别是棱，的中点．   (1)证明：平面： (2)若平面，且，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接，，即可证明，从而可证平面． （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算即可. 【详解】（1）如图，因为点为中点，所以且， 又因为四边形为矩形，为的中点，所以且， 所以且，故四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面． （2）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．    则，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得， 由于轴平面，则平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 3．(24-25高二上·四川绵阳·期末)如图所示的四棱锥中，，，，且，. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求点到直线的距离； (3)若为棱上的一点，且满足直线与平面所成角的正弦值，求二面角的平面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）在平面中，过作，垂足为，连接，可证平面平面及重合，故可证平面； （2）在平面中，过作直线，以为轴正向，为轴正向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求点线距； （3）利用向量法可求二面角的平面角的余弦值. 【详解】（1） 因为，故为等边三角形，故， 而，故，故， 而，平面，故平面， 而平面，故平面平面， 在平面中，过作，垂足为，连接， 因为平面平面，平面， 故平面，而平面，故. 设，则， 而，故，故， 故重合，故平面. （2） 在平面中，过作直线，以为轴正向，为轴正向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）可得，则，， 故，而，故，而， 故到的距离为. （3） ，故， 设，其中， 故，故 而平面的法向量为，设直线与平面所成角为， 则，故， 故，故， 设平面的法向量为，而，则： 即，取， 故，而二面角的平面角为锐角， 故二面角的平面角的余弦值. 地 城 考点06 点面距、线面距 1．(24-25高二上·四川乐山普通高中·期末)如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，M是的中点. (1)求证：平面； (2)若，，求点M到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于O，连接，可证，由线面平行的判定定理可证； （2）法一，以A为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到面的距离；法二，求出三棱锥的体积，利用等体积法求出点M到平面的距离. 【详解】（1）连接交于O，连接， 四边形为矩形，为的中点. 为的中点，. 又平面，平面， 平面. （2）解法一：平面，，. 又四边形为矩形，. 以A为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 则，，，， ，，. 设平面的法向量为， 则，即 令，则，. 设点M到平面的距离为d， 则. 所以点M到平面的距离为. 解法二：平面，，. 又，， ，，. ，即为等腰三角形. 底边边上的高. . 为的中点， . 设点M到平面的距离为d，则，解得. 所以点M到平面的距离为. 2．(24-25高二上·四川成都简阳实验学校（成都石室阳安学校）·期末)如图，在长方体中，点在棱上移动．   (1)当点在棱的中点时，求点到平面的距离： (2)当为何值时，平面与平面所成的夹角为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量方法求点到面的距离. （2）设出，利用空间向量表示面与平面所成角，求出. 【详解】（1）    如图，以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，，， 则，，，，，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则，则， 所以， 设点到平面的距离，， 所以， 所以点到平面的距离为. （2）设 时，平面与平面AECD所成角为，则， 由图知，平面AECD法向量为， ，， 设平面的法向量为， 则，令 ，则，， 所以， 因为平面与平面AECD所成角为， 所以， 解得或（舍）. 所以当AE为时，平面与平面所成角为. 地 城 考点07 探索性问题 1．(24-25高二上·四川眉山·期末)如图，等腰梯形的高为2，，，是上靠近的三等分点，如图①所示，将沿折起到的位置，使得，如图②所示，点在棱上. (1)求证：直线平面； (2)若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面与平面所成的锐二面角为，求的值. 【答案】(1)证明见详解； (2)； (3). 【分析】（1）根据题意可知，进而可得，结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角； （3）设，求平面的法向量，利用空间结合面面夹角运算求解. 【详解】（1）在图①中，过作，垂足为， 则，可知点与点重合，即， 在图②中，可得， 又因为，，平面， 所以直线平面. （2）由（1）可知：直线平面，， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 若是的中点，则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）可知：， 因为点在棱上，设， 则， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 由题意可得：， 整理可得，解得或（舍去）， 所以. 2．(24-25高二上·四川内江·期末)如图，在三棱柱中，，，，平面平面 (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)若点E在棱BC上，且直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】1取的中点O，连接，，先证，由面面垂直的性质定理知平面，由勾股定理可得，再根据棱锥的体积公式，求解即可； 2以O为原点建系，利用向量法求异面直线所成角的余弦即可； 3设，，利用向量法求线面角可得关于的方程，解之，再利用向量法求二面角即可． 【详解】（1）取AC的中点O，连接，， 在平行四边形中，，， 所以是等边三角形， 所以，且， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 由，，知，即， 所以三棱锥的体积 （2）由1知平面，， 故以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 所以，， 故直线与成角的余弦值为 （3）设，，则， 由2知，，，， 所以，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，所以， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以，， 整理得，解得或舍负， 所以， 可取， 易知平面的一个法向量为， 所以，， 由图知，二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为 3．(24-25高二上·四川安岳中学·期末)如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，平面平面ABCD，，，，，，点E为线段PD上的动点． (1)若平面平面，求证：； (2)若平面ABE与平面PCD的夹角的余弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2)或 【分析】（1）由证明平面，再由线面平行的性质得到； （2）取中点，作，由等腰三角形得到，再由面面垂直的性质得到平面，从而得到，然后建立空间直角坐标系，由已知线段的几何关系求得线段长，写出点坐标，设得到点坐标，然后写出面的向量求出两个面的法向量，由空间向量表示出面面角建立方程，解得的值即为的值. 【详解】（1）∵，平面，平面， ∴平面， 又∵平面，平面平面， ∴. （2）如图，取中点，连接，过作交于点， ∵，∴， 又∵平面平面，且平面平面，平面， ∴平面，又∵平面， ∴， ∵， ∴， ∴以为原点，，，为坐标轴建立空间直角坐标系， ∵，，，且，∴ ∴，，，，， ∴，设，则， ∴，，，， 设平面ABE与平面PCD的法向量分别为：，， 则，， 令，，解得，， 设平面ABE与平面PCD的夹角为，则， 即，∴或， 即或. 4．(24-25高二上·四川眉山仁寿县部分学校·期末)已知三棱柱中，. (1)求证: 平面平面. (2)若，在线段上是否存在一点使平面和平面所成角的余弦值为 若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)在线段上存在一点，且P是靠近C的四等分点. 【分析】(1)连接，根据给定条件证明平面得即可推理作答. (2)在平面内过C作，再以C为原点，射线CA，CB，Cz分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断作答. 【详解】（1）在三棱柱中，四边形是平行四边形，而，则是菱形，连接，如图， 则有，因，，平面，于是得平面， 而平面，则，由得，，平面， 从而得平面，又平面， 所以平面平面. （2）在平面内过C作，由(1)知平面平面，平面平面， 则平面，以C为原点，射线CA，CB，Cz分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图， 因，，则， 假设在线段上存在符合要求的点P，设其坐标为， 则有，设平面的一个法向量， 则有，令得，而平面的一个法向量， 依题意， ，化简整理得： 而，解得， 所以在线段上存在一点，且P是靠近C的四等分点，使平面和平面所成角的余弦值为. 5．(24-25高二上·四川内江第六中学·期末)如图，在直四棱柱中，四边形ABCD是一个菱形，，点P为上的动点． (1)证明：平面； (2)试确定点P的位置，使得． 【答案】(1)证明见解析 (2)点P为中点 【分析】（1）由得到平面，同理得到面，得到面面平行，进而得到线面平行； （2）作出辅助线，得到，结合，得到线面垂直，故，结合，平面，所以，证明出结论. 【详解】（1）由题知，由，则四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面，同理可证面， 由面，面，， 所以平面平面， 又面，所以面； （2）取BC中点E，连接DE，PE．在△BDC中，， 则△BDC为正三角形， 所以，又，，平面EDP， 所以面EDP，因为平面，所以． 在面中，，平面，所以， 在中，E为BC中点，所以EP为中位线，则点P为中点． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02空间向量与立体几何解答题汇总 ☆7大高频烤点概览 考点01异面直线的夹角 考点02空间的平行 考点03空间的垂直 考点04线面角 考点05二面角 考点06点面距、线面距 考点07探索型问题 目目 考点01 异面直线的夹角 1.(2425高二上四川仁寿第一中学校南校区期末)如图，在棱长均为2的正四棱柱中，DD1=2D2, DB=2D户，C⑦=3C元，GC1=2G殖，用空间向量法解决下列三个问题： (1)证明：EF⊥B1C; (2)求异面直线EF与C1G夹角的余弦值： (3)求B1H的长度 D B B 目目 考点02 空间的平行 1.(24-25高二上四川仁寿县铧强中学.期末)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点， E,F,G分别是BC,DC,SC的中点，求证： (1)EG//平面BDD1B1: (2)平面EFG//平面BDD1B1 1/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D C S A G D… 2.(2425高二上·四川南充期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD是 边长为2的正方形，△PAD为等边三角形，点E是线段AD的中点，点M满足C成=C (I)求证：PA/平面BDM; (2)求二面角M-AB-D的余弦值. 2/10 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M 3.(24-25高二上·四川内江·期末)在中国古代数学著作《九章算术》中，“鳖懦”是指4个面都是直角三角形 的四面体如图，在等腰梯形ABCD中，AB/CD,AE⊥CD,且DE=AE=AB=2现将△ADE沿 AE翻折，使四面体DACE为一个鳖懦，并得到四棱锥D-ABCE. (I)设F为ED的中点，求证：AF//平面BCD: (2)求证：CD⊥平面ADE. B 目目 考点03 空间的垂直 1.(24-25高二上四川宜宾期末)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为A1C的中点，AA1=AB=2, 平面A1BC⊥平面ABB1A1: (I)求证：BC⊥平面ABB1A1: (2)若△ABC的面积为2W2,求平面ABD和平面CBD夹角的余弦值. B 2.(24-25高二上四川自贡期末)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F分别在BB1,DD1上，且 AE⊥A1B,AF⊥A1D (1)求证：A1C⊥EF: (2)当AD=3,AB=4,AA1=5时 3/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (i)求A1到平面AEF的距离； (ii)求平面AEF与平面A1BD的夹角的余弦值， 6 B 3.(24-25高二上·四川泸州期末)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G,H,KL分别是 AB,BB1B1C1C1D1,D1D,DA各棱的中点. (1)求证：A1C⊥平面EFGHKL: (2)求平面CGH与平面EFGHKL夹角的余弦值. D H A B D L E 4.(24-25高二上·四川乐山普通高中期末)如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC,AD=1,BC=3, ∠B=60°，且AE1BC于E,将△BAE沿AE翻折至△PAE,使得PD=V⑤ (1)证明：AE⊥PC; (2)求PC与平面PAD所成角的正弦值： (3)求平面PCD与平面PAD的夹角的余弦值. B 目目 考点04 线面角 1.(24-25高二上四川眉山中学校期末)如图，在三棱锥P-ABC中， AC=4,BC=2,AC⊥BC,PA=PB=PC,M,E,F分别是AB,PA,PB的中点. 4/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：PM⊥平面ABC; (2)若四面体BCEF的体积为1，求PM: (3)在(2)的条件下，若Ci=入C(0<入<1)，求直线AD与平面PBC所成角的正弦值的最大值， 2.(24-25高二上四川内江第六中学期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥ 平面ABCD,AB=2,BC=1,PC=PD=V2,点E在棱PB上，且PD//平面ACE. (1)求证：E为PB中点： (2)求二面角E-AC-D的余弦值： (3)在棱PD上是否存在点M,使得AM与平面ACE所成角的正弦值为号？若存在，求出器的值：若不存在， 说明理由. 3.(24-25高二上四川仁寿县铧强中学期末)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=1,A1A=2,E 为棱CC1的中点 (I)求证：A1E⊥BD: (2)求A1E与平面A1BD所成角的余弦值 5/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 B D B 4.(23-24高二上·四川成都棠湖外国语学校期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD,ABCD 是直角梯形，AD⊥DC,AB‖DCAB=2AD=2CD=2,点E是PB的中点 (1)证明：平面EAC⊥平面PBC; ②若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为，求平面PAC与平面ACB所成角的余弦值 D 5.(24-25高二上四川资阳天立学校期末)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为2，且 ∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60· (1)证明：平面A1AC⊥平面A1BD; (2)求直线BC1与平面A1AC所成的角6的正弦值 D B D A B 目目 考点05 二面角 1.(24-25高二上四川凉山州期末)如图，在四棱锥P-ABCD中， BC/∥AD,AB=BC=1,AD=V2PA=V2PD=2,点E是PD的中点. (1)求证：CE//平面PAB; 6/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若AB⊥平面PAD,求平面PBC与平面PCD夹角的正弦值. 2.(24-25高二上四川眉山东坡区眉山育英实验学校期末)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E, F分别是棱BC,PD的中点. (1)证明：CF//平面PAE: (2)若PA⊥平面ABCD,且AB=1,AD=AP=2,求平面AEF与平面AED夹角的余弦值. 3.(24-25高二上四川绵阳·期末)如图所示的四棱锥E-ABCD中，∠ABC=60°，AB=BC=AD=2, CD=2W2,且AE=BE=2V3,AD⊥AE (1)求证：CE⊥平面ABCD; (2)若M为AE的中点，求点M到直线BC的距离； (③)若N为校DE上的一点，且满足直线AN与平面ACB所成角的正弦位票，求二面角B-AC-N的平面角 的余弦值 E A 目目 考点06 点面距、线面距 1.(24-25高二上·四川乐山普通高中期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，PA⊥平 面ABCD,M是PA的中点 ()求证：PC//平面BDM: 7/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若AB=2N3，,AD=PA=2,求点M到平面PBD的距离. B 2.(24-25高二上·四川成都简阳实验学校（成都石室阳安学校）期末)如图，在长方体ABCD-AB:C1D1中 AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动. (I)当点E在棱AB的中点时，求点B1到平面ECD:的距离： (2)当AE为何值时，平面D1EC与平面AECD所成的夹角为 D C B E 目目 考点07 探索性问题 1.(24-25高二上四川眉山~期末)如图，等腰梯形ABED的高为2，ABDE,AB=3DE=6,C是AB上 靠近A的三等分点，如图①所示，将△ACD沿DC折起到△A1CD的位置，使得A1C⊥CB,如图②所示， 点M在棱A1B上. (1)求证：直线A1C⊥平面BCDE; (2)若M是A1B的中点，求直线DM与平面A1BE所成角的正弦值； AM (3)若平面DCM与平面A1BE所成的锐二面角为45°，求A,丽的值 B M E D 图① 图② 2.(24-25高二上四川内江期末)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=2V2,AA1=AC=4, ∠A1AC=60°，平面AA1C1C⊥平面ABC. 8/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求三棱锥B-AA1C的体积； (2)求直线BC1与A1C所成角的余弦值； (③)若点E在棱BC上，且直线A,C与平面AAE所成角的正弦值为，求二面角B-AA1-C的余弦值 A C B 3.(24-25高二上四川安岳中学期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC‖AD, AB⊥BC,平面PAB⊥平面ABCD,PA=PB,AP⊥BP,BA=2,BC=1,AD=3,点E为线段 PD上的动点. (I)若平面PBCn平面PAD=,求证：BCIl; (②)若平面4BE与平面PCD的夹角的余弦值为，求器的值。 4.(24-25高二上四川眉山仁寿县部分学校期末)已知三棱柱ABC-A1B1C1中， AC=AA=4,BC=2,ACB=90,A B L AC (1)求证：平面A1ACC1⊥平面ABC (②若∠AAC=60,在线段AC上是否存在一点P使平面8AP和平面AACC1所成角的余弦值为？若存 在，确定点P的位置；若不存在，说明理由 B 5.(24-25高二上四川内江第六中学期末)如图，在直四棱柱ABCD-A1B,C1D1中，四边形ABCD是一个 9/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 菱形，∠DAB=60°，点P为BC1上的动点. ()证明：DPI平面AB1D1: (2)试确定点P的位置，使得BC⊥DP, D B 10/10