专题01 空间向量与立体几何小题汇总15考点（期末真题汇编，四川专用）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题01空间向量与立体几何小题汇总 15大高频考点概览 考点01 空间几何体的表面积、体积 考点02 外接球、内切球问题 考点03 空间点线面位置关系 考点04 向量的基底 考点05 向量的线性表示 考点06 共面问题 考点07 向量的平行、垂直关系求参数 考点08 对称问题 考点09 投影向量 考点10 向量的运算 考点11 向量模长 考点12 动点问题 考点13 异面直线的夹角 考点14 线面角问题 考点15 距离问题 地 城 考点01 空间几何体的表面积、体积 1．(24-25高二上·四川泸州·期末)已知圆锥的母线所在直线与底面所成角为，若该圆锥的母线长为，则其体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线面角计算出该圆锥的高和底面半径长，结合锥体体积公式可求得结果. 【详解】如下图所示： 设圆锥的母线长、高、底面半径分别为、、，则， 因为圆锥的母线所在直线与底面所成角为，则，可得， 所以，， 因此，该圆锥的体积为. 故选：A. 2．(24-25高二上·四川仁寿县铧强中学·期末)储粮所用“钢板仓”，可以看成由圆锥和圆柱两部分组成的.现有一种“钢板仓”，其中圆锥与圆柱的高分别是1m和3m，轴截面中等腰三角形的顶角为120°，若要储存300的水稻，则需要准备这种“钢板仓”的个数是（    ） A．6 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】先根据题意求出一个“钢板仓”的体积，然后用300除以“钢板仓”的体积可得答案 【详解】因为圆锥的高为1，轴截面中等腰三角形的顶角为120°， 所以圆锥的母线长为2，底面半径为， 所以一个“钢板仓”的体积为 ， 因为 所以要储存300的水稻，则需要准备这种“钢板仓”的个数为10个， 故选：C 3．(24-25高二上·四川内江·期末)已知四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，且每条侧棱长均相等，若，则该四棱台的体积为 . 【答案】/ 【分析】根据题意得该四棱台为正四棱台，且该四棱台补全后的正四棱锥的高等于底面正方形对角线的一半，从而利用棱台的体积公式，即可求解． 【详解】根据题意可得该四棱台为正四棱台，又， 可知该四棱台补全后的正四棱锥的高等于底面正方形对角线的一半，即为， 又上下底面分别是边长为2和4的正方形，正四棱台的高为， 该四棱台的体积为. 故答案为： 4．(24-25高二上·四川内江第六中学·期末)若圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】由条件确定圆锥的底面半径和母线长，结合圆锥侧面积公式求结论. 【详解】因为圆锥的轴截面是边长为的等边三角形， 所以圆锥的底面半径，母线长， 所以圆锥的侧面积. 故答案为：. 地 城 考点02 外接球、内切球问题 1．(24-25高二上·四川内江·期末)已知一个正方体的棱长为2，则该正方体内能放入的最大球体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可所求球即为该正方体的内切球，从而可求解． 【详解】根据题意可所求球即为该正方体的内切球， 该球的半径为正方体的棱长的一半，即， 所求球的体积为 故选：B 2．(24-25高二上·四川自贡·期末)在四面体中，且，，则四面体外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】合理作出四面体的高，利用给定条件求出的长度，再找到外接球球心，在直角梯形内利用勾股定理求解外接球半径，最后求解表面积即可. 【详解】如图，作面，连接， 因为面，所以， 因为，所以， 因为，面， 所以面，而面， 故，因为，， 所以由锐角三角函数定义得， 故，由勾股定理得， 而，则，故， 设，，由勾股定理得， 在中，由余弦定理得， 在中，得到， 联立，，解得(其它根舍去)， 取中点，过点作面， 设点为外接球球心，外接球半径为， 由余弦定理得， 在直角梯形中，， 故，解得， 且设四面体外接球的表面积为，故. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是作出四面体的高，然后求解关键线段的长度，再找到外接球球心，利用勾股定理求出外接球半径，得到所要求的表面积即可． 3．(24-25高二上·四川眉山仁寿县部分学校·期末)已知三棱锥中，面，，，，，则三棱锥外接球的体积为 ． 【答案】/ 【分析】由勾股定理得，再由面，把该棱锥镶嵌到长宽高分别为，，的长方体中，长方体的外接球就是三棱锥的外接球，由此计算出球半径后可得体积． 【详解】因为，，，所以，所以， 又面，， 所以可以把该棱锥镶嵌到长宽高分别为，，的长方体中，长方体的外接球就是三棱锥的外接球， 所以外接球的半径为， 所以球的体积为． 故答案为：． 4．（多选）(24-25高二上·四川达州普通高中·期末)已知三棱锥中，、、两两垂直，，，三棱锥的内切球（球心到各个面距离相等）半径为，三棱锥的外接球（球心到各顶点距离相等）半径为，三棱锥的表面积为，体积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用等体积法求得内切球的半径，利用补形的思想求得外接球的半径，结合锥体表面积和体积公式来确定正确答案. 【详解】依题意，三棱锥中，、、两两垂直，，， 故可将其补形为长方体，如下图所示： 对于A，由上可知， 所以， ， 所以，A选项正确. 对于B，三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 所以外接球的直径即为长方体的对角线长，B选项正确. 对于C，，C选项正确. 对于D，，D选项错误. 故选：ABC 【点睛】方法点睛：.当三棱锥的三条棱两两垂直时，可将其补形为长方体再研究其外接球. 5．(24-25高二上·四川泸州·期末)已知正三棱锥的侧棱两两垂直，，若空间中的动点到顶点的距离为，则平面截点的轨迹所得曲线的周长为 ． 【答案】 【分析】设点在底面内的射影为点，连接、、，求出、的长，可知平面截点的轨迹所得曲线是以点为圆心，半径长为的圆，结合圆的周长公式可求得结果. 【详解】设点在底面内的射影为点，连接、、， 则为等边的中心， 因为正三棱锥的侧棱两两垂直，，则， 则是边长为的等边三角形， 由正弦定理可得，则， 因为平面，、平面，则，， 所以，，则， 所以，平面截点的轨迹所得曲线是以点为圆心，半径长为的圆， 所以，平面截点的轨迹所得曲线的周长为. 故答案为：. 地 城 考点03 空间点线面位置关系 1．(24-25高二上·四川内江·期末)设l，m，n是空间中三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则l，m，n彼此平行 【答案】C 【分析】对于A:l与m相交、平行或异面；对于B:与相交或平行；对于C:l垂直于与的交线，同时l垂直于与的交线，又与的交线和与的交线相交，从而；对于D:l，m，n彼此间平行、相交． 【详解】对于A，若，，则l与m相交、平行或异面，故A错误； 对于B，若，，则与相交或平行，故B错误； 对于C，若，，， 在平面内选一点O，过O做与的交线的垂线，由面面垂直的性质定理得； 同理过O做与的交线的垂线， 得到,又因为都在平面内，由线面垂直的判定定理，，故C正确； 对于D，若，，， 则l，m，n彼此间平行、相交，故D错误． 故选：C. 2．(24-25高二上·四川内江·期末)已知平面的一个法向量为，若直线满足，且，则（    ） A． B． C．直线与平面相交 D．直线与平面的位置关系不确定 【答案】A 【分析】直接利用向量垂直的充要条件求出结果． 【详解】由于平面的一个法向量为，若直线满足， 故，由于且，故， 可知A正确，且BCD错误. 故选：A. 3．(24-25高二上·四川达州普通高中·期末)空间中三条不同的直线，，和平面满足，，，则下面结论正确的是（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】C 【分析】根据线面平行的性质定理判断选项A；根据线面垂直的判定定理判断选项B；根据线面垂直的性质定理判断选项C；根据空间直线位置关系判断选项D即可. 【详解】对于A，若，，则或是异面直线，故A错误； 对于B，若且，，，根据线面垂直的判定定理，当相交时，才有，故B错误； 对于C，根据线面垂直的性质定理，，则，故C正确； 对于D，若且，，，则或相交，故D错误； 故选：C. 4．（多选）(24-25高二上·四川泸州·期末)如图，在四面体中，分别是的中点，是和的交点，是空间任意一点，则（    ） A．四边形EFGH是平行四边形 B．直线与是异面直线 C．直线与垂直 D． 【答案】ABD 【分析】根据中位线定理即平行的传递性可判断A；根据异面直线的判定判断B；由于平行四边形EFGH不一定是菱形，可判断C；由向量的加法性质化简即可判断D. 【详解】在中E，H分别是AB，AD的中点， 所以为的中位线， 所以，且，同理，且， 所以，，即四边形EFGH是平行四边形，A正确； 直线平面，平面， 所以直线与是异面直线，B正确； 平行四边形EFGH不一定是矩形，即与不一定垂直， 所以直线与不一定垂直，C错误； 四边形EFGH为平行四边形，所以为EG中点， 因为E，G分别是AB，CD的中点， 所以， D正确. 故选：ABD 5．（多选）(24-25高二上·四川眉山仁寿县部分学校·期末)在空间直角坐标系中，已知向量，点，点，有以下两个结论： （1）若直线经过点，且以为方向向量，是直线上的任意一点，则； （2）若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，则． 现已知平面，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题意得出平面的法向量，再求出直线的方向向量，依次判断即可得解. 【详解】根据题意，平面，即， 所以平面的法向量为， 直线，即， 所以直线经过点，且方向向量为， 由于，所以，A正确，D错误； 直线，经过点，且方向向量为， 由于，所以与平面不平行，B错误； 直线，经过点，且方向向量为， 由于， 且点不在平面内，所以，C正确. 故选：AC 地 城 考点04 向量的基底 1．(24-25高二上·四川资中县球溪高级中学·期末)若构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量基底的概念进行判断. 【详解】对A：因为，所以向量共面，所以不能构成空间向量的基底； 对B：因为，所以向量共面，所以不能构成空间向量的基底； 对C：因为，所以共面，所以不能构成空间向量的基底； 对D：因为不存在，使得，所以不共面，所以可以作为空间的另一组基底. 故选：D 2．(24-25高二上·四川内江第六中学·期末)已知是空间的一个基底，则下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．两两共面，但不共面 C．一定存在x，y，使得 D．一定能构成空间的一个基底 【答案】C 【分析】利用向量的线性关系、向量的基底的定义和空间向量基本定理，即可求解． 【详解】对于A，若不全为0，则 共面，与题意矛盾，故A正确； 对于B，是空间的一个基底,则 两两共面，但 不共面，故B正确； 对于C， 不共面，则不存在实数，使得 ，故C错误； 对于D，若 共面， ， 无解， 故  不共面，一定能构成空间的一个基底，故D正确 故选∶C． 3．（多选）(24-25高二上·四川南充·期末)下列给出的命题中正确的有（    ） A．已知两个向量，，且，则 B．三棱锥中，点为平面上的一点，且，则 C．已知，，则在上的投影向量坐标为 D．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 【答案】ABC 【分析】根据空间向量平行求参数，可判断A的真假；根据向量共面求参数，可判断B的真假；根据投影向量的概念判断C的真假；根据空间向量基底的概念判断D的真假. 【详解】对A选项：由，所以存在，使得，即， 所以 ，所以，故A正确； 对B选项：因为点为平面上的一点，所以存在，使得, 即 . 因为，所以，故B正确； 对C选项：在上的投影向量为：，故C正确； 对D选项：因为，所以，，三个向量共面， 所以不是空间向量的一组基底，故D错误. 故选：ABC 地 城 考点05 向量的线性表示 1．(24-25高二上·四川凉山州·期末)已知点是正四面体底面内一点，满足，其中，当最小时，的值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据垂直时距离最小，即可根据向量的线性运算求解,即可求解. 【详解】当最小时，此时平面，故为等边三角形的中心， 记的中点为，则， 故 ， 故，因此， 故选：C      2．(24-25高二上·四川南充·期末)如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量基本定理结合题意求解即可 【详解】因为空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点， 所以 ， 故选：B 3．(24-25高二上·四川乐山普通高中·期末)如图，在平行六面体中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】 . 故选：D 4．(24-25高二上·四川成都·期末)如图，在四面体中，是的中点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意知， . 故选：A 地 城 考点06 共面问题 1．(24-25高二上·四川仁寿第一中学校南校区·期末)已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】先利用已知条件求得，再利用均值定理即可求得的最大值. 【详解】由及A，B，C，D四点共面得：， 即，又，， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：B 2．(24-25高二上·四川自贡第一中学校·期末)在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得. 【详解】在四面体中，不共面， 而 则 所以 故选：D 3．(24-25高二上·四川眉山·期末)已知空间向量，，，若，，共面，则m的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据条件及向量相等的坐标运算，利用向量共面即可求出结果. 【详解】因为，，，且，，共面， 所以，又，得到，解得， 故选：D. 4．（多选）(23-24高二上·四川绵阳·期末)下列关于空间向量的命题中，正确的有（    ） A．将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面 B．若非零向量，，满足，，则有 C．与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量 D．若，，为空间的一组基底，且，则，，，四点共面 【答案】AC 【分析】对于ABC，由单位向量、法向量的定义即可判断；对于D，由四点共面的充要条件判断即可. 【详解】对于A，由单位向量的定义：长度为1的向量，可得将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，故A正确； 对于B，若非零向量，，不共面，则取为平面的一组基底向量，为平面的法向量满足，，但不共线，故B错误； 对于C，由法向量的定义可知与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量，故C正确； 对于D，因为，所以，，，四点不共面，故D错误. 故选：AC. 地 城 考点07 向量的平行、垂直关系求参数 1．(24-25高二上·重庆巴川系·期末)已知，分别是平面，的法向量，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据法向量定义得到，进而得到，得到方程，求出答案. 【详解】，故， 故，解得. 故选：A 2．(24-25高二上·四川自贡第一中学校·期末)设向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据空间向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示，求得结果. 【详解】由，得 ∵，， ∴，解得 故选：D 3．(24-25高二上·四川自贡第一中学校·期末)已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则等于（    ） A．5 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由线面平行得，利用空间向量垂直的坐标运算列式计算即可. 【详解】因为，且直线的方向向量为，平面的法向量为， 所以，所以，所以，解得. 故选：A. 4．(24-25高二上·四川广元·期末)已知向量，，若与互相垂直，则实数的值为 . 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用数量积的坐标表示、垂直关系的向量表示列式求出. 【详解】由向量，得，， 由与互相垂直，得，所以. 故答案为：2. 地 城 考点08 对称问题 1．(24-25高二上·四川绵阳·期末)在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据关于谁对称、谁不变的原则得解，即关于平面对称，横、纵坐标不变，竖坐标变为它的相反数. 【详解】根据关于坐标平面的对称点的坐标的特点，可得点关于坐标平面的对称点的坐标为， 故选：B. 2．(24-25高二上·四川凉山州·期末)已知点关于轴的对称点为，则（ ） A．2 B． C． D．6 【答案】D 【分析】根据对称得，即可根据两点距离公式求解. 【详解】由题意可得，则. 故选：D 地 城 考点09 投影向量 1．(24-25高二上·四川达州普通高中·期末)已知向量，，，，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直关系可得，再由投影向量定义计算可得结果. 【详解】由可得，解得，即； 所以; 因此在方向上的投影向量为. 故选：A 2．(24-25高二上·四川泸州·期末)已知空间向量，则向量在坐标平面Oxy上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据向量在坐标平面上的投影的概念确定． 【详解】向量在坐标平面Oxy上的投影向量是． 故选：A． 3．(24-25高二上·四川内江第六中学·期末)已知向量，，则在方向上的投影向量为 . 【答案】 【分析】根据投影向量定义和向量坐标运算直接求解即可. 【详解】，又， 在方向上的投影向量为. 故答案为：. 4．（多选）(24-25高二上·四川绵阳·期末)已知，，是空间中的三个点，则（    ） A．向量的模长为4 B．直线的一个方向向量为 C．向量在向量方向上的投影向量为 D．若，则，，，四点共面 【答案】BD 【分析】利用，，三点的坐标写出向量，的坐标，即可求出及直线的一个方向向量，从而可以判断A，B选项；再利用投影向量的公式即可求出向量在向量方向上的投影向量，从而判断C选项；利用空间向量共面定理可以判断与、共线，从而判断D选项. 【详解】，，， ，， 对于A：，故A错误； 对于B：直线的方向向量与共线，而， 直线的一个方向向量是，故B正确； 对于C：，， 向量在向量方向上的投影向量为 ，故C错误； 对于D：，，与不共线， ，， 设存在唯一实数对使得，则 ， ，， 存在唯一实数对使得， 与、共面，即，，，四点共面，故D正确. 故选：BD. 地 城 考点10 向量的运算 1．(24-25高二上·四川乐山普通高中·期末)已知正四面体的所有棱长都等于，，分别是，的中点.则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的基本定理，表示，，然后结合数量积，直接求解即可. 【详解】由题知，，， 所以 . 故选：B 2．(24-25高二上·四川宜宾·期末)如图所示，在平行六面体中，，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向基本定理可得，，利用向量的数量积的运算律可求解. 【详解】因为，， 所以 . 故选：A. 3．(24-25高二上·四川眉山仁寿县部分学校·期末)已知空间向量满足，则与的夹角为（   ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】根据已知有，应用向量数量积的定义及运算律求夹角即可. 【详解】由题设，则，故， 所以，，可得. 故选：C 4．(24-25高二上·四川乐山普通高中·期末)已知，，则 . 【答案】 【分析】利用空间向量坐标运算求解即得. 【详解】 .故答案为：（-7,0，-4） 5．（多选）(24-25高二上·四川乐山普通高中·期末)已知空间向量，，则下列选项正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据模长公式即可求解A，根据垂直的坐标关系即可求解B，根据平行满足的坐标关系即可求解C，根据夹角公式即可求解D. 【详解】A：，A错误； B：由知，，解得，B正确； C：由知，，解得，C错误； D：若，，则，D正确. 故选：BD 地 城 考点11 向量模长 1．(24-25高二上·四川南充·期末)已知向量，且，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据则，可得，再求解模长即可. 【详解】因为则，即，解得. 故，即. 故选：C 2．(24-25高二上·四川成都·期末)如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，二面角的平面角为，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据式子，根据空间向量数量积的运算律即可求出的长. 【详解】由条件知，，， 又二面角的平面角为，则， 所以 ，所以. 故选：B. 3．(24-25高二上·四川眉山中学校·期末)如图，已知在平行六面体中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得，进而根据空间向量求模即可. 【详解】由题意可知，因为， 所以 ，所以． 故选：A． 4．(24-25高二上·四川成都·期末)已知空间三点，则以为邻边的平行四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】由题意得，根据空间向量的模及夹角的余弦值公式，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】因为， ， 所以，， ， 所以， 所以以为邻边的平行四边形的面积为. 故答案为：. 5．(24-25高二上·四川达州普通高中·期末)三棱锥中，，，面面，，以的边所在直线为旋转轴将旋转，则在旋转过程中，的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意找出点的位置，建立空间直角坐标系找出点到所在平面距离，将问题转化到平面上，求出点在平面上的射影到点距离的最大值和最小值，再根据勾股定理求出的最大值和最小值，得到答案. 【详解】取的中点，的中点，连 ；由等腰三角形的性质，，由已知平面与平面垂直，可得平面，进而可得出，，两两垂直，如图建立坐标系： 根据几何关系，可求出坐标：，，，，. 不妨记旋转过程中点所在的平面为，由题目已知，在旋转过程中，点在平面截以为圆心，为半径的球所得到的圆上. 记点在内的射影为，到平面的距离为垂线段的长度，记该距离为. 由，可用坐标法计算点到平面的距离为： ，由勾股定理， 由几何关系，，可知当最小时，最小；最大时，最大. 在平面上的几何关系如下图： 可得的最大值为，最小值为，的最大值为，最小值为. 故答案为： 【点睛】易错点睛：本题的难点和易错点在于找到点的范围，易犯错误为将点的范围扩大为以为圆心，半径为的整个球面. 地 城 考点12 动点问题 1．（多选）(24-25高二上·四川宜宾·期末)如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，点M是其侧面上的动点（含边界），下列说法正确的是（    ） A．过点的平面截该正方体所得截面面积为 B．当平面时，点的轨迹长度为 C．当时，三棱锥的体积为 D．过作正方体外接球的截面，则截面面积的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用平行线的性质，找到所求截面，利用梯形面积公式求解面积判断A，建立空间直角坐标系，求出点的轨迹方程，再结合两点间距离公式求解长度判断B，利用三角形面积公式求解底面积，结合点到平面的距离公式求解点到平面的距离，再求解三棱锥体积判断C，利用球的性质判断截面形状并得到截面最小的情况，再结合勾股定理求解底面半径，利用圆的面积公式求解面积判断D即可. 【详解】对于A，如图，连接，作， 因为分别是棱的中点，所以是的中位线， 由中位线定理得，由正方体性质得，， 得到四边形是平行四边形，则，故， 即四点共面，则该平面截该正方体所得截面是梯形， 由勾股定理得，，同理可得， 由题意得四边形是矩形，则，故， 由勾股定理得，且设梯形面积为， 由梯形面积公式得， 即过点的平面截该正方体所得截面面积为，故A正确， 对于B，如图，以为原点建立空间直角坐标系，连接， 因为正方体的棱长为， 所以，，，，设 因为分别是棱的中点，所以，， 则，，， 设面的法向量为，则，得到， 而，得到， 令，解得，，故， 因为平面，所以， 得到，即， 化简得，则点的轨迹是直线，在面内， 由题意得，当时，， 当时，，得到轨迹是点和点构成的直线， 连接，由两点间距离公式得， 即此时点的轨迹长度为，故B正确， 对于C，如图，连接， 设，，则， 而，因为，所以， 得到，解得，故， 在正方体中，由勾股定理得， 则是等边三角形，得到， 故， 且，，，， 设面的法向量为，则， 得到，而，则， 令，解得，，故， 设点到面的距离为， 则由点到平面的距离公式得， 故，故C错误， 对于D，由正方体性质得外接球的球心就是正方体的中心， 如图，我们把球心记为，且连接， 由外接球性质得，外接球半径为， 由两点间距离公式得， 而截面一定是圆，且设圆的半径为，由勾股定理得， 得到截面面积为，即截面面积的最小值为，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：解题关键是建立空间直角坐标系，然后利用点面距离的向量求法求解距离，结合三角形面积公式求解底面积，得到所要求的三棱锥体积即可． 2．（多选）(24-25高二上·四川内江·期末)如图，在圆锥SO中，为等边三角形，C为底面半圆弧AB的中点，M为线段SB的中点，，则下列说法正确的是（    ） A．若平面AMN，则 B．若，则 C．存在，使得 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据线面平行的性质定理判断A选项，三棱柱的体积公式判断B选项，三垂线定理判断C选项和D选项． 【详解】对A选项，若平面AMN， 又平面SBC，且平面平面， 所以，所以A选项正确； 对B选项，若，则N为SC的中点， 所以C到平面SAO的距离等于N到平面SAO的距离的2倍， 所以，即，所以B选项正确； 对C选项，易知，且平面平面ABC， 当时，N在底面ABC的射影不可能为C， 即AN在底面的射影不可能为AC， 所以根据三垂线定理可知，不存在，使得，所以C选项错误； 对D选项，如图，设，则易知，且E为SO的靠近O的三等分点， 又易知平面平面SAB，平面SCO， 所以根据三垂线定理可知：若，则AN在平面SAB内的射影为AE， 所以平面SAB，又平面SAB， 所以，又E为SO的靠近O的三等分点， 所以N为SC的靠近C的三等分点，所以，所以D选项正确． 故选：ABD 3．（多选）(24-25高二上·四川凉山州·期末)如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，点是棱上一点，则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使平面 B．存在点，使平面 C．若点为中点，则点到平面的距离为 D．二面角夹角最大时， 【答案】ABC 【分析】根据特殊位置即可根据线线平行求解A，建立空间直角坐标系，求解向量垂直的坐标关系即可求解B，求解平面法向量，即可根据空间距离求解C，根据法向量的夹角即可求解D. 【详解】对于A，当位于时，此时平面，平面， 故平面，A正确， 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，， 由于，故， 设，则， 则， 要使平面，则，解得，故存在点，当时，，结合，平面，故平面，B正确， 对于C， 点为中点，此时， 设平面的法向量为， 故，， ，令，则， 则点到平面的距离为，故C正确， 对于D，设平面的法向量为， 设平面的法向量为， 故，， ，令，则， 设平面的法向量为， 故 ，令，则， ，显然时，此时并不是最值，此时二面角夹角不是最大，故D错误， 故选：ABC 4．（多选）(24-25高二上·四川达州普通高中·期末)如图，在正方体中，，在线段上，则（   ） A．当为中点时，与所成角的余弦值是 B．当为中点时，与平面所成角的正弦值是 C．三棱锥的体积为定值 D．的最小值是 【答案】ACD 【分析】取中点，利用异面直线夹角、线面的定义求解判断AB；求出点到平面的距离，结合等体积法判断C；将正与正置于同一平面内，求出判断D. 【详解】对于A，取中点，连接，则，是与所成的角或其补角， 平面，平面，则，而， 因此，A正确； 对于B，平面平面，则与平面所成的角等于 与平面所成角的，，B错误； 对于C，由平面平面，得点到平面的距离等于， 而面积为定值，三棱锥的体积为定值，C正确； 对于D，将正绕直线旋转，使其与正在同一平面内，连接， 则，当且仅当为与的交点时取等号，D正确. 故选：ACD 5．（多选）(24-25高二上·四川眉山中学校·期末)在棱长为 的正方体 中， 为 的中点，为平面 上的一动点，则下列选项正确的是（    ） A．二面角 的平面角的正切值为 B．三棱锥 体积为 C．以点 为球心作一个半径为 的球，则该球被平面 所截的圆面的面积为 D．线段 的最小值为 【答案】ACD 【分析】设交于点，证明是二面角的平面角，计算其正切判断A，由体积公式计算体积判断B，设交于点，证明平面，由球性质得为截面圆圆心求出半径后再计算圆面积判断C，作出点关于平面的对称点，建立空间直角坐标系，计算的长判断D． 【详解】如图，设交于点， 平面，平面，则，同理， 又，，平面， 所以平面，而平面，所以， 所以是二面角的平面角， 由已知，， 所以，A正确； 由正方体性质知，B错； 如图，设交于点，由且得， 即，， 由平面，平面，得，同理可得， 而，平面，所以平面， （易得实际上等边是的中心） 以点为球心作一个半径为的球，则该球被平面所截的圆面， 为圆心，设是圆周上一点，则， 圆面积为，C正确； 延长至点，使得，则，即是关于平面的对称点， 因此，当且仅当是与平面的交点时，等号成立， 以为原点，o 轴建立空间直角坐标系，如上图， 则，，，∴， ，D正确． 故选：ACD． 地 城 考点13 异面直线的夹角 1．(24-25高二上·四川资中县球溪高级中学·期末)在正方体中，分别为棱上的点，与的夹角为与的夹角也为．则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用勾股定理得到，然后利用余弦定理列方程，解方程得到，最后利用余弦定理求角即可. 【详解】 设，，则，，， 因为，所以， 解得， 同理可得， 连接，， ， . 故选：B. 2．(24-25高二上·四川绵阳·期末)将正方形纸片沿对角线折成直二面角，设、两边的中点分别为、，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取线段的中点，连接、，分析可知，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得直线与所成角的余弦值. 【详解】取线段的中点，连接、， 易知、都是斜边为的等腰直角三角形，则，， 所以，二面角的平面角为，即， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则、、、，   所以，，， ， 所以，直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 3．(24-25高二上·四川内江第六中学·期末)平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】由求解即可． 【详解】解：由题意，，， 又，， 所以，即有， 故选：A． 4．（多选）(22-23高二上·新疆乌鲁木齐第八十中学·期中)在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（    ） A． B．直线与所成角的余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．存在实数使得 【答案】BD 【分析】建立空间直角坐标系，求出，对于A，计算的值即可判断；对于B，计算的值即可判断；对于C，先计算得，接着计算，再由和平面且结合锥体体积公式即可计算求解；对于D，由计算求出即可得解. 【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 对于A，，故与不垂直，故A错误； 对于B，， 所以直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，由上，所以， 所以即，又， 所以， 因为，又由正方体性质可知平面即平面， 所以，故C错误； 对于D，若存在实数使得， 则， 所以，所以，故D正确. 故选：BD. 【点睛】思路点睛：建立坐标系解决立体几何中的问题是一种常用方法，它的思维量小，计算量虽多但是计算简单，解法直接自然和简单，本题根据正方体的结构特征建立了空间直角坐标系，接着计算所需向量坐标，从而根据各个问题的向量法理论公式直接计算即可判断求解. 地 城 考点14 线面角问题 1．(24-25高二上·四川眉山洪雅县·期末)空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.已知平面的方程为，直线l是平面与平面的交线，则直线l与平面所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】确定平面的一个法向量，求出直线l的方向向量，根据线面角的向量求法，即可求得答案. 【详解】由题意可知平面的一个法向量为，平面一个法向量为， 平面一个法向量为， 设直线l的方向向量为，则， 故，取，则， 设直线l与平面所成角，则， 故答案为： 2．(24-25高二上·四川内江·期末)如图，在正方体中，M为线段BD的中点，N为线段上的一动点含端点，则直线MN与平面所成角的正弦值的最大值为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，得到点坐标即向量坐标，设，求得点坐标，从而得到坐标.由空间向量求得平面的一个法向量，由空间向量的夹角求得直线MN与平面所成角的正弦值的表达式，再由函数的性质求得最大值. 【详解】设，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，，又， 所以， 则，，， 即， 所以， 设平面的一个法向量为， 又，， 则， 取， 设直线MN与平面所成角为，， 当时，N与上的重合，直线MN在平面内，不合题意， 当时， ， 令，则， 则，时，有最小值6， 所以当，即，即时 故答案为： 【点睛】方法点睛，在求线面角的的正弦值问题时，一般采用空间直角坐标系来完成，所以建系设线段长是本题的关键.关于动点问题，一般我们采用向量共线的方法设出动点坐标，然后借助空间向量的夹角求得线面角. 地 城 考点15 距离问题 1．(24-25高二上·四川资中县球溪高级中学·期末)在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离. 【详解】 如图，建立空间直角坐标系，则，，，， ，，设平面的一个法向量为， ，即，取，又， 所以点到面的距离. 故选：B. 2．(24-25高二上·四川宜宾·期末)已知点位于平面内，是平面的一个法向量，则点到平面的距离是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】应用向量法求点面距离即可. 【详解】由题设，则点到平面的距离. 故选：B 3．(24-25高二上·四川泸州·期末)在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线与的距离是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，证明，，可得四边形为菱形，利用面积法求出菱形的高即可求出直线与的距离. 【详解】在棱长为1的正方体中，取中点，连接， 因为为线段的中点，则，四边形为平行四边形， 于是，又为线段的中点，则，四边形为平行四边形， 于是，从而，同理，四边形为平行四边形， 而，因此四边形为菱形，显然， 令直线到直线的距离为，由，得， 所以直线到直线的距离为. 故选：. 4．(24-25高二上·四川南充·期末)如图，正方体的棱长为2，分别为与的中点，则点到平面的距离为 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量公式进行计算. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，故平面的法向量为， 又，则点到平面的距离为. 故答案为：. 5．(24-25高二上·四川眉山·期末)已知三棱柱，点在内，，，分别为三边的一个三等分点，为面的一个法向量，且.若到面的距离为2，则 . 【答案】 【分析】过点作平面于点，可得，，再结合空间向量线性运算法则及数量积公式计算即可得. 【详解】过点作平面于点，则， 由三棱柱性质可得平面平面， 故，则， 由、、平面，故 又，，， 则 . 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用垂直的性质，其次是注意绝对值的考虑. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01空间向量与立体几何小题汇总 ☆15大高频考点概览 考点01空间几何体的表面积、体积 考点02外接球、内切球问题 考点03空间点线面位置关系 考点04向量的基底 考点05向量的线性表示 考点06共面问题 考点07向量的平行、垂直关系求参数 考点08对称问题 考点09投影向量 考点10向量的运算 考点11向量模长 考点12动点问题 考点13异面直线的夹角 考点14线面角问题 考点15距离问题 目目 考点01 空间几何体的表面积、体积 1.(24-25高二上·四川泸州期末)已知圆锥的母线所在直线与底面所成角为，若该圆锥的母线长为2，则其 体积为() A.V3r B.π C.3n D.3n 3 2.(24-25高二上四川仁寿县铧强中学期末)储粮所用“钢板仓”，可以看成由圆锥和圆柱两部分组成的现有 一种钢板仓”，其中圆锥与圆柱的高分别是1m和3m,轴截面中等腰三角形的顶角为120°，若要储存300m3 1/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 的水稻，则需要准备这种“钢板仓”的个数是(） A.6 B.9 C.10 D.11 s新N 3.(24-25高二上·四川内江·期末)已知四棱台ABCD一A1B1C1D1的上下底面分别是边长为2和4的正方形， 且每条侧棱长均相等，若BB1⊥DD1,则该四棱台的体积为 4,(24-25高二上·四川内江第六中学期末)若圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积 为 目目 考点02 外接球、内切球问题 1.(24-25高二上·四川内江·期末)已知一个正方体的棱长为2，则该正方体内能放入的最大球体的体积为 () A. B.智 C.2π D.4n 2.(24-25高二上四川自贡期末)在四面体ABCD中，且LBAD=∠ABC=AB=V3,AD=BC=1,CD=V6 则四面体ABCD外接球的表面积为 3,(24-25高二上·四川眉山仁寿县部分学校·期末)己知三棱锥A一BCD中，BC⊥面ABD,AB=3,AD=1, BD=2W2,BC=4,则三棱锥A-BCD外接球的体积为 4.(多选)(24-25高二上·四川达州普通高中.期末)已知三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直， PA=3,PB=PC=4,三棱锥P一ABC的内切球O1(球心O1到各个面距离相等)半径为r,三棱锥P一ABC 的外接球02（球心O2到各顶点距离相等）半径为R,三棱锥P一ABC的表面积为S,体积为V,则() A.S=20+2W34 B.R=4 2 C.r=20-234 D.V=24 11 5.(24-25高二上·四川泸州期末)己知正三棱锥S-ABC的侧棱两两垂直，SA=3,若空间中的动点P到顶点 S的距离为2V3,则平面ABC截点P的轨迹所得曲线的周长为， 目目 考点03 空间点线面位置关系 1.(24-25高二上·四川内江期末)设1，m,n是空间中三条不同的直线，a,B,y是三个不同的平面，则下 2/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 列命题为真命题的是() A.若l⊥n,m⊥n,则l/m B.若a⊥y,B⊥y,则a//B C.若a⊥y,B⊥y,anB=l,则l⊥y D.若anB=l,any=m,Bny=n,则l,m,n彼此平行 2.(24-25高二上·四川内江·期末)已知平面a的一个法向量为元，若直线AB满足AB.元=0，且ABa,则 () A.AB//a B.AB⊥C C.直线AB与平面a相交 D.直线AB与平面a的位置关系不确定 3.(24-25高二上·四川达州普通高中.期末)空间中三条不同的直线l,m,n和平面aα满足l￠a,mca, nca,则下面结论正确的是() A.若lIla,则lIm B.若lLm且l⊥n,则l⊥a C.若l⊥a,则l⊥m D.若l1n且l⊥m,则mln 4.（多选)(24-25高二上·四川泸州期末)如图，在四面体ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，M 是EG和FH的交点，O是空间任意一点，则() A,四边形EFGH是平行四边形 B.直线AB与FH是异面直线 C.直线AC与BD垂直 D.0M=(OA+0B+0C+0D) E 5.(多选)24-25高二上四川眉山仁寿县部分学校期末在空间直角坐标系中，已知向量d=(a,b,c)(abc≠0)， 点Po(xoyo,Zo),点P(x,y,z),有以下两个结论： (1)若直线经过点Po,且以为方向向量，P是直线上的任意一点，则。”=，”=。 (2)若平面a经过点Po,且以d为法向量，P是平面a内的任意一点，则a(x-xo)+by-yo)+c(z-zo) =0. 现己知平面ax+2y+32=6,4y-2影=子，x-3=y=1-2,4号2=号=号则《） 3/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.l1⊥a B.12lla C.l3 lla D.//a 目目 考点04 向量的基底 1.(24-25高二上·四川资中县球溪高级中学期末)若{，，}构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的 另一个基底的是() A.c+a,c,c-a B.b,b+c,b-c C.b+ca+b+c,a D.b+c,b-c,a 2.(24-25高二上·四川内江第六中学·期末)已知，b,c是空间的一个基底，则下列说法错误的是() A.若xa+yb+z元=0，则x=y=z=0 B.d,b,c两两共面，但a,b,c不共面 C.一定存在x,y,使得a=xb+yd D.d+b,b-c,c+2a一定能构成空间的一个基底 3.(多选)(24-25高二上四川南充期末)下列给出的命题中正确的有() A.己知两个向量=(1，m,2),b=(2,1,n),且d/乃，则mn=2 B.三棱锥0-ABC中，点P为平面ABC上的一点，且OP-OA+xOB+yOC(xyER),则x+y=名 C.己知a=(0,1,2),=(0,0,1),则在6上的投影向量坐标为(0,0,2) D.若{a,b,}是空间的一组基底，则{a+,6+c,a+2b+}也是空间的一组基底 目目 考点05 向量的线性表示 1.(24-25高二上·四川凉山州期末)已知点M是正四面体P-ABC底面ABC内一点，满足PM=xPA+yPB+z PC,其中x,y,z∈R,当PM最小时，3x+2y+z的值为(） A.23 B.6 C.2 D.1 2.(24-25高二上·四川南充期末)如图，空间四边形0ABC中，0A=,0B=b,0C=,点M在0A上，且0A=3 OM,点N为BC中点，则MN等于() A.五+五-B.-五+五+C.-五+五+D.五+第-去 B 4/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(24-25高二上四川乐山普通高中.期末)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设C1B1=a,C1C= b,C1D1=c,P为AD1的中点，则PB=() A.a+五-B.a+拓+ C.2a-6+ D.a+五-d D B B 4.(24-25高二上四川成都期末)如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，若AB=a,AC=,AD=,则 DE=() A.2a+五-cB.2a+3+cC.-五-3+cD.2+3+ D E 目目 考点06 共面问题 1.(24-25高二上四川仁寿第一中学校南校区期末)已知A,B,C三点不共线，点O不在平面ABC内，OD =0A+x0B+y0C(xy>0),若A,B,C,D四点共面，则xy的最大值为(） A.日 B.店 C.1 D.2 2.(24-25高二上四川自贡第一中学校期末)在四面体0-ABC中，空间的一点M满足0M=MA+0B+入 OC,若M、A、B、C四点共面，则1=() A.月 B. C. D. 3.(24-25高二上四川眉山期末)已知空间向量=(1,1,1)，b=(0,m,2),c=(1,0,0),若a,b,共面，则m 的值为() A.1 B.-1 C.-2 D.2 4.(多选)(23-24高二上·四川绵阳·期末)下列关于空间向量的命题中，正确的有() A.将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面 5/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B.若非零向量a,b,c满足d1b,b1c,则有a/心 C.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量 D.若0A,OB,OC为空间的一组基底，且OD=OA+0B+OC,则A,B,C,D四点共面 目目 考点07 向量的平行、垂直关系求参数 1.2425高二上重庆巴川系期末)己知m=(侵，k,3,元=(-4,11)分别是平面a,B的法向量，若α1B,则 k=() A.-1 B.0 C.1 D.2 2.(24-25高二上·四川自贡第一中学校期末)设向量=(1,2，m),万=(2,0，-1)，若1b,则m=（) A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.(24-25高二上·四川自贡第一中学校·期末)已知直线的方向向量为=(1,2，-2)，平面α的法向量为元 =(2,4,m),若/a,则m等于() A.5 B.2 c.2 D.-4 4.(24-25高二上四川广元期末)已知向量=(1,1,0)，6=(-1,0,1)，若ka+与i互相垂直，则实数k的值 为 考点08 对称问题 1,(24-25高二上·四川绵阳期末)在空间直角坐标系0-xyz中，点A(2,3,-1)关于平面x0y的对称点B为 () A.（-2,-3,-1)B.(2,3,1) C.(2,-3,1) D.(-2,3,1) 2.(24-25高二上·四川凉山州期末)已知点A(-1,1,2)关于y轴的对称点为M,则0M2=() A.2 B.5 C.√6 D.6 考点09 投影向量 1.(24-25高二上·四川达州普通高中期末)已知向量=(2,0，-3)，b=(3,1,x),c=(1,1,1),d1b,则在 -2方向上的投影向量为() A.(1,-1,0) B.(2V2,0,-3V2 C.(2,-V2,0) D.(,0,2 2.(24-25高二上·四川泸州期末)已知空间向量a=(1,2,3),则向量a在坐标平面Oy上的投影向量是() A.(1,2,0) B.(1,0,3) C.(0,2,3) D.(1,0,0) 3.(24-25高二上四川内江第六中学期末)己知向量=(0,2,0)，乃=(1，-1,0)，则在b方向上的投影向量 6/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 为 4.（多选)(24-25高二上四川绵阳期末)已知A(-1,0,1),B(2,1,1),C(0,-1,1)是空间中的三个点，则 () A,向量AB的模长为4 B,直线AB的一个方向向量为(6,2,0) C.向量AB在向量AC方向上的投影向量为(2，-1,1) D.若D(1,0,1),则A,B,C,D四点共面 目目 考点10 向量的运算 1,(24-25高二上·四川乐山普通高中期末)已知正四面体ABCD的所有棱长都等于2，E,F分别是AB,AD的 中点则CE.CF=() A.2 B. C.3 b. 2.(24-25高二上·四川宜宾·期末)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1,LA1 AB=∠A1AD=∠BAD=60°，则BD1·AC的值为() A.1 B.2 C.3 D.-1 D C 3.(24-25高二上四川眉山仁寿县部分学校期末已知空间向量，5，满足a++=0,向=1，=2，=V7, 则a与b的夹角为() A.30° B.45 C.60 D.90 4.(24-25高二上·四川乐山普通高中.期末)已知a=(-1,2,0),b=(3,1,2)则a-2b= 5.(多选)(24-25高二上四川乐山普通高中期末)已知空间向量a=(-2,1,2),石=(1，-，m,则下列选 7/12 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 项正确的是() A.|=9 B.若a16,则m=月 C.若a//b,则m=1 D.若m=1, 则cosa,)=-号 目目 考点11 向量模长 1.24-25高二上四川南充期末)已知向量à=(-12,2)，3=(2,3，)，且a16,则=() A.V10 B.2V3 c.17 D.5 2.(24-25高二上·四川成都期末)如图，二面角a-l-B的棱上有两个点A,B,线段AC与BD分别在这个二面 角的两个面内，并且都垂直于棱L.若AB=1,AC=2,BD=3,二面角a一1一B的平面角为5，则CD= () A.2 B.22 C.23 D.2√5 A B 3.(2425高二上·四川眉山中学校期末)如图，己知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，IAB1=|AD1=|AA |=1,且∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=,则IAC1I=（) A.6 B.3 C.√2 D.2W2 B A B 4.(24-25高二上·四川成都期末)已知空间三点A(1,2,1),B(1,3,2),C(2,3,1),则以AB,AC为邻边的平行四边形 的面积为一· 5.(24-25高二上·四川达州普通高中·期末)三棱锥P-ABC中，AB1BC,AB=BC=2V2,面PAB1面ABC, PA=PB=√17，以△ABC的边AC所在直线为旋转轴将△ABC旋转，则在旋转过程中，|PB的取值范围 是 目目 考点12 动点问题 8/12 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.（多选)(24-25高二上四川宜宾期末)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P,Q分别是棱CC1,BC的 中点，点M是其侧面ADD1A1上的动点（含边界），下列说法正确的是() A,过点A,PQ的平面截该正方体所得截面面积为 B.当A1C1/平面PQM时，点M的轨迹长度为√2 C.当B1M1PQ时，三棱锥B1-ACM的体积为号 D,过Q作正方体外接球的截面，则截面面积的最小值为π D B M C 2.(多选)(24-25高二上·四川内江·期末)如图，在圆锥SO中，△SAB为等边三角形，C为底面半圆弧AB 的中点，M为线段B的中点，SN=SC(0<λ<1)，则下列说法正确的是() A.若BC/平面AMN,则BC/IMN B.若1=2，则V5-A0c=2V5-A0N C.存在1E(0,1),使得BC1AN D.若AN1SB,则入=号 M 3.(多选)(24-25高二上四川凉山州期末)如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形， PD⊥平面ABCD,PD=2V3,点E是棱PB上一点，则下列说法正确的是() A.存在点E,使AE/平面PCD B.存在点E,使PB⊥平面ACE C,若点E为PB中点，则点C到平面ADE的距离为V3 9/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D,二面角P-AE-D夹角最大时，PE=PB 4,(多选)(24-25高二上四川达州普通高中·期末)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,E在线 段CD1上，则() A,当E为CD1中点时，AE与BB1所成角的余弦值是 B.当E为CD1中点时，AE与平面A1B1C1D1所成角的正弦值是30 6 C.三棱锥A-EBB1的体积为定值 D,AE+B1E的最小值是4V6 D C A B 5.(多选)(24-25高二上四川眉山中学校期末)在棱长为V2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，F为C B1的中点，P为平面ACD1上的一动点，则下列选项正确的是() A,二面角D一AC一D1的平面角的正切值为V2 B.三棱锥B1-ACD1体积为号 C.以点D为球心作一个半径为的球，则该球被平面ACD1所截的圆面的面积为誓 D.线段BP+PF的最小值为受 目目 考点13 异面直线的夹角 1,(24-25高二上·四川资中县球溪高级中学期末)在正方体ABCD一A1B1C1D1中，E,F分别为棱AB,CC1上的 点，DE与DB1的夹角为DF与DB1的夹角也为则cos∠EDF=() A.2+3 4 B. C. D.2-3 4 10/12