专题06 综合与实践（确定匀质薄板的重心位置+最短路径）（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材人教版

该初中数学期末复习讲义通过表格系统梳理“确定匀质薄板的重心位置”与“最短路径”两大核心考点，明确复习目标与考情规律。知识点按“定义-原理-方法”分层解析，如重心结合几何法、悬挂法等确定方法，最短路径突出轴对称转化直线段的模型，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于分层练习设计，基础通关练巩固重心判断、将军饮马基础题型，重难突破练聚焦组合图形重心计算、复杂动点最值，培养几何直观与推理意识。典例解析如“将军饮马”模型转化折线为直线，辅助学生掌握转化思想，助力教师实施分层教学，提升复习效率。

专题06 综合与实践（确定匀质薄板的重心位置+最短路径） （期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 确定匀质薄板的重心位置 理解匀质薄板的重心是重力等效作用点，仅与形状相关（与质量无关），明确几何中心、形心与重心的等价关系。 熟知确定方法：几何法（规则图形）、悬挂法（二力平衡原理）、支撑法（杠杆原理）、对称法（双对称轴图形）、分割法（组合图形加权平均） 确定匀质薄板的重心位置（约占 4-6 分） 高频考点：三角形重心的性质、规则图形重心判断、重心坐标计算、组合图形重心的分割法思路。 低频考点：重心在实际生活中的应用（选择题 / 填空题情景题）、不规则薄板重心的实践操作描述（填空题） 最短路径 牢记 “两点之间线段最短”“垂线段最短”，掌握轴对称、平移的图形变换应用逻辑。​ 突破经典模型：熟练解决 “将军饮马”、河上造桥、三角形内动点最值等题型。 能将折线路径通过轴对称转化为直线路径，将复杂情境抽象为几何模型。 高频考点：“将军饮马” 模型（选择题 / 填空题 3-4 分）、复杂图形内动点最值（解答题 5-6 分，常作为中档压轴题）。 低频考点：河上造桥模型、坐标平面内的最短路径（结合坐标系，灵活性较强）。 知识点01 确定匀质薄板的重心位置 重心定义：匀质薄板的重心是其重力的作用点，也是薄板平衡时的支点，对于规则形状薄板，重心与几何 中心重合。 知识点02 最短路径 基本原理：两点之间，线段最短（平面内）；利用轴对称、平移等图形变换，将折线转化为直线求最短距 离。 常见模型： 如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？ 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？ 这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【模型解析】 作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB 当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 类型一：两定一动 在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小． 此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小． 类型二：两定两动 在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。 考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。 类型三：一定两动 在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。 此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 题型一 确定匀质薄板的重心位置 【典例1】（25-26八年级上·天津红桥·期中）如何确定质地均匀的三角形薄板的重心（　　） A．画出三角形三条角平分线的交点 B．画出三角形三条高线的交点 C．画出三角形三条垂直平分线的交点 D．画出三角形三条中线的交点 【典例2】重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例3】在教材第23页综合与实践“确定匀质薄板的重心位置”中，我们发现长方形的重心在两条对角线的交点处，则如图a所示，长方形中，点，则求出a图的重心坐标为 ；而对于复杂的几何图形而言我们有分割法，可以将几何图形分割成若干个规则图形，求出各自的重心，再找其所在的关系．例如，对于正方形而言可以分割成两个长方形面积分别为， ，则正方形的面积为，正方形的重心坐标与两个长方形的重心坐标，之间的关系为，，已知图b中， ， ， ，则求出b图形的重心坐标 （结果保留小数点后一位） 【变式1】（25-26八年级上·北京·期中）物体重心的位置对于物体保持平衡稳定的状态至关重要．若用一个支点顶住匀质薄板的重心，则薄板能保持平衡．如图，表示一块质地均匀的木板，图中所示的网格由边长相同的小正方形组成．若要使三角形木板保持平衡，则可以用一根细针顶住的点为 ． 【变式2】阅读材料，并解决问题． 项目主题 确定匀质薄板的重心位置 项目背景 在学习三角形的重心时，小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心；②在平面内，图形A与图形B拼成一个图形C（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心连接的线段上 问题探究 问题1 如图①，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片，其中一张记为，C为其直角顶点，且，将这两个三角形拼成一个四边形（无缝隙、不重叠），使它们的斜边重合． 请画出所有符合要求的四边形，并作出所画四边形的重心G（用有刻度的直尺作中线，保留作图痕迹并写出结论） 问题2 如图②，一个长方形缺损一个角（缺损部分也是长方形），请画一条直线将该图形分成面积相等的两部分，并简要说明理由 【变式3】（25-26八年级上·河南开封·期中）如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究．请你帮助他们完成下列问题： (1)如图②，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到_______（填“”“”或“”）； (2)如图③，三角形薄板的三条中线相交于点，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，直接写出的值． 【变式4】（25-26八年级上·福建龙岩·月考）综合与实践 [探究课题]三角形重心性质的探究． [课本重现]三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心，如图1，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． [提出问题]探究图1中，的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题．     [解决问题] （1）若的面积为m，求的面积； （2）在（1）的条件下，求的值； [拓展应用] （3）如图2，在中，点O是的重心．连接并延长，分别交于点 D，E．若，求四边形的面积． （4）已知的中线，中线，则面积的最大值为 ． 题型二 “将军饮马”问题 【典例1】（24-25八年级上·广东广州·期末）唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【典例2】【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【解决问题】 （1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可； 【类比探究】 （3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【典例3】（1）唐朝诗人李顾的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由； 【典例4】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）请根据以下素材，完成探究任务． 【背景材料】 背景1：中国西汉时期（公元前2世纪），《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣．”这一装置利用平面镜与水面的组合反射，实现了视野的扩展，被视为早期光学探索的重要实践． 背景2：古希腊数学家海伦（公元1世纪）在《反射光学》中通过几何方法证明，光在镜面反射时遵循入射角等于反射角的规律，且该路径为几何最短距离．17世纪，法国数学家费马提出费马原理，指出光在传播时总是选择耗时最短的路径（在均匀介质中即路径最短），从更普遍的物理原理上解释了海伦的结论，并将最短路径思想推广至折射等领域． 【任务1：证明反射路径最短】 （1）如图①，直线代表平面镜，点代表一实物，点代表眼睛，作实物关于平面镜的对称点，连接，交平面镜于点，连接，则为入射光线，为反射光线．求证：最短．请在横线上填写内容． 如图，在平面镜上任意找与点不重合的一点，连接，，， 在中，（_____）， 实物与点关于平面镜对称， 垂直平分， _____，（_____）． ，， ． 【任务2：确定挡板反射范围】 （2）如图②，若从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上，试确定反射光线在上的最高点和最低点．（简单说明作图） 【任务3：计算最短】 （3）如图③，一面镜子斜固定在地面上，且，点为距离地面为的一个光源，光线射出经过镜面处反射到地面点，当光线经过的路径长最短为时，的长为_____． 【 变式1】阅读下列材料并完成任务： “最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图1，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？ 海伦认为以河边为镜面，画出甲地的镜像点（垂直河边的等距离点），然后连接乙地和甲地的镜像点，会跟河边相交一点，这个点就是马饮水的地方，马走的路程最短（两点之间直线距离最短）． 任务： 请你帮海伦在图1的位置完成作图，并标出马饮水的地点（画出草图即可）； 【变式2】【提出问题】 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马。如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的（如图2）． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任意一点，连接，，，我只要说明即可．因为直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，所以______，______，所以______． 在中，因为，所以______，即最小． 请完善小亮的说明过程． 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“______”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）． 【解决问题】 如图4，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 【变式3】（24-25七年级下·河北保定·期末）转化策略 数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，很多问题的解决都用到了转化策略，转化是解决数学问题的一种重要策略．相信你也经历过“理解问题——拟定计划——实施计划——回顾反思”的思考和解决问题的过程，感悟到转化策略在问题解决过程中起着重要作用． 问题提出 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 问题解决 （1）如图，直线l的两侧分别有A、B两点，请你在直线l上确定一个点C，使最短； （2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如图2，请你用尺规作图在直线l上求出C点的位置；（不写作法，保留作图痕迹） （3）为了说明（2）中点C的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线l上另外取点C，连接，，说明即可，请你借助（2）中所作的图说明道理； 类比探究 （4）如图3，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处．请分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短，并说明道理．（辅助线用虚线，最短路径用实线表示．） 反思提炼 （5）回顾本题的解决过程，你有哪些感悟？ 【变式4】综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 （2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 【变式5】（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 题型三 河上造桥问题 【典例】如图，直线表示一条河，，表示两个村庄，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，则所需管道最短的方案是（　　）    A．   B．   C．   D．   【变式】如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 题型四 三角形内动点最值 【典例1】如图，在中，，，，平分，点、分别是，边上的动点，则的最小值为（　　）    A．7 B．8 C．9 D． 【典例2】（24-25八年级上·湖北鄂州·期末）如图，，点M、N分别是边上的定点，P、Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】如图，等边中，于点，点，分别为，上的两个定点且，，在上有一动点使最短，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【典例4】（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，在中，，P、M、N分别是AB、AC、BC边上的动点，当的周长最小时，下列关于P点位置的描述中正确的是（   ） A．P在AB边的中点处 B．连接CP，CP是的角平分线 C． D． 【变式1】如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．13 C．10 D．14 【变式2】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，使周长最小时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是 ． 【变式4】（24-25八年级上·湖北黄石·期末）如图，边长为b的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是 ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·云南昆明·期中）用一个支点顶住一个三角形匀质薄板（如图所示），慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，此时，薄板与支点接触的点就是薄板的重心．下列有关重心的说法错误的是（   ） A．线段的重心是它的中点 B．三角形的重心是它的三条高的交点 C．平行四边形的重心是它的两条对角线的交点 D．长方形的重心是它的一组邻边的垂直平分线的交点 2.“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗．由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”．如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营B处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线上找一点P使得最小． 解决方法是：作点A关于直线的对称点，连接，则，所以，连接，则线段的长度即为的最小值，这样做依据的基本事实是 ． 3．（25-26八年级上·辽宁营口·期中）如图，在正方形网格中有，两点，在直线上求一点，使最短，则点应选在直线上的点 ． 4．（24-25八年级上·广东·期末）如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点 处，（填图中的字母） 5．把“Z”形薄板分割为长方形，长方形和长方形，，，．长方形重心为，长方形重心为，长方形重心为．根据杠杆原理和加权平均数，“Z”形薄板重心的坐标为 ．        6．（24-25七年级下·广东清远·期末） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 7.在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于y轴对称的并写出的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上画出点P，使最小（不写作法）． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，在三角形中，，，是边上的高，为边上一点，为上一动点，若，则的最小值为 ． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰中，，垂直平分，为的中点，E为上一动点．若，等腰的面积为8，则的最小值为 ． 3.如图，从点A到射线上一点M，再从M到射线上一点N，最后从点N到点B，找到最短时M、N点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 4.如图是网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图①中，点是格点，作点关于的对称点； (2)在图②中，点，是格点，在上取点，使得的值最小． 5．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； (2)在轴上求作点，使的值最小．（不需计算，在图上直接标记出点的位置） 6.已知：如图所示， (1)作出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标． (2)在轴上找一点使得最小，画出点所在的位置； (3)求的面积． 7.如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究．请你帮助他们完成下列问题： (1)如图②，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到___________（填“”“”或“”）； (2)如图③，三角形薄板的三条中线，，相交于点，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，试猜想，，的值，并说明理由． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（23-24八年级上·湖南永州·期末）发现与探究：三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填、或）； (2)如图3，若三条中线、、交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想x，y，z之间的数量关系为：______； (3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则______； (4)如图4，点D、E在的边、上，、交于G，G是的重心，，，，求四边形的面积． 2．（24-25七年级下·广东深圳·期末）综合实践：数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他每天所走路程的和最短？ 作法是：如图1②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短． 示例2，如图1③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠PQ，使得到村庄的跑离最短．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠PQ最短，即省人力又省物力．示例1中所经含的数学原理是（   ） A．两点之间，线段最短        B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图2，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系__________________： ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图2上标注点的位置，并求出的最小值； 【活动三】迁移拓展，综合应用 如图3，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点，点分别为，上一点，求的最小值． 3．【课题回顾】 在学习《综合与实践最短路径问题》时，根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究了“将军饮马”和“造桥选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题． 【问题探究】 如图，在等边中，点为中点，点，分别为，上的点，，，点是线段上的动点，连接，，求的最小值． （1）小明提出的探究思路如下：如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，根据“两点之间，线段最短”，可知此时的值最小． ①请你运用小明的探究思路，证明此时的值最小； ②求的最小值． 【类比探究】 （2）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴正半轴上一点，连接，，点为中点，平分交边于点，点为边上的一个动点．若点在线段上，连接，，当的值最小时，请直接写出点的坐标______． 4.“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小． 解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长． (1)根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形； (2)利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是______． (3)应用： ①如图2，已知，其内部有一点，，在的两边分别有、两点（不同于点），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，边长为的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是______，此时______． 5．（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）综合与实践：悬挂法确定匀质薄板的重心 【素材】厚度均匀的硬纸板（三角形、矩形、正方形、不规则形状）、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等． 【实践操作】 如图1，步骤1：用细棉线系住小孔将硬纸板悬挂起来，当硬纸板静止时，用笔和刻度尺在硬纸板上画出与细棉线方向相同即竖直向下的重力的作用线，重心一定也在这条直线上； 步骤2：用细棉线系住另一个小孔C将硬纸板悬挂起来，利用同样的方法再画出另一重力作用线；作用线与作用线的交点O即为硬纸板的重心． 【实践探索】 (1)根据实践操作，图2已经完成了步骤1，请在图2中完成步骤2并标明不规则形状硬纸板的重心O； (2)我们学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验再次验证这一事实，一块三角形匀质硬纸板悬挂后如图3所示，其中，边与水平线的夹角，求的度数． 6．（25-26八年级上·北京西城·期中）地球吸引物体的每个部分，由于地球的吸引而使物体受到的力叫重力，从效果上看，可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这个点叫做物体的重心，形状规则、质量分布均匀的物体，它的重心在它的几何中心上．如：三角形匀质薄板的重心在三条中线的交点上（三角形的三条中线交于点），长方形匀质薄板的重心在两条对角线的交点上，圆形匀质薄板的重心在圆心上．球的重心在球心上． (1)如图，在的网格中，的顶点都在网格格点上，仅用无刻度直尺在图中分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． ①作出的中线； ②作出的重心． 直接写出和的数量关系为：______． (2)根据物理学知识，将匀质薄质悬挂至静止，悬线的延长线一定经过薄片的重心，如图，图，分别在的边上，两点处系一根细线，将薄片悬挂至静止，在薄片上分别画悬线的延长线，，则与的交点即为的重心（图）． 如图，若在点处系一根细线，按照上述方式得到，比较与的大小关系：______（填“”或“”或“”）． (3)平面组合图形由简单平面图形组成，小帆同学查阅相关资料后发现：若把一个图形分割成两部分，则该图形的重心一定在这两部分图形的重心，所连直线上． 如图是质地均匀的直角梯形薄板，请你利用小帆查阅的方法，在图中分别用两种分割方法确定该直角梯形的重心所在直线（保留画图痕迹，所在直线分别记为，）． 则，的交点即为该直角梯形的重心（不要求画出重心）． 7．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）综合与实践：对于均质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可通过分割法计算，即将组合图形分解为若干个简单规则图形（如长方形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再利用加权平均公式计算组合图形的重心．以下是具体公式和步骤，请你根据以下素材，完成任务． 素材1 在使用分割法前，需先掌握以下基本图形的重心位置 图形 重心 说明 长方形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点，坐标为 顶点坐标为 圆 几何中心 圆心 素材2 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤：1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系，使图形的各部分在同一坐标系中便于描述，比如让对称轴与坐标轴重合等．2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积．3．确定简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标．4．代入公式计算：把步骤2和3的相应结果分别代入重心坐标公式，计算出组合图形重心坐标，其中． 素材3 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如长方形中挖去圆形），可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为， 其中． 任务1 求阴影部分图形的重心坐标． 任务2 求阴影部分图形的重心坐标．    8．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）阅读材料，并解决问题． 项目主题 确定匀质薄板的重心位置 项目背景 在学习三角形的重心时，我们知道三角形的重心在三角形的三条中线的交点处：重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？ 问题探究 探究1 （1）如图2，是的中线，可以得到它们面积的大小关系为：___________(填、或)； （2）如图3，被三条中线分成六个小三角形，点为的重心，则___________． （3）如图4，在中，点是的重心．连接，并延长，分别交，于点，．若，，，则的面积为___________． 探究2 小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心，如图5，长方形的重心在对角线的交点处；②在平面内，图形与图形拼成一个图形(无缝隙、不重叠)，那么图形的重心一定在图形的重心与图形的重心所连的直线上； （4）如图6，请画出该图形重心所在的直线． 9．（25-26八年级上·福建福州·期中）综合与实践 【探究课题】确定匀质薄板的重心位置． 任务一：探究三角形匀质薄板的重心位置 如图1，用悬挂法确定三角形匀质薄板的重心位置，得出结论：三角形三边中线的交点是三角形匀质薄板的重心． 任务二：探究平行四边形匀质薄板的重心位置 如图2，用悬挂法确定平行四边形匀质薄板的重心位置，发现：平行四边形匀质薄板的重心在两条对角线（不相邻顶点所连线段）的交点处，且重心的坐标为，其中，表示点，的横坐标，，表示点，的纵坐标． 任务三：探究组合图形匀质薄板的重心位置 通过实验操作，得出结论：若一个平面图形组合图形匀质薄板的重心坐标为，面积为，被分成部分匀质薄板的重心坐标分别为，，，，面积分别为，，，，则，．如图，“”形匀质薄板中，，，，确定该薄板的重心位置的步骤：①先求出该薄板的面积；②将该薄板分为两个长方形薄板，，以为原点，以为单位长度建立平面直角坐标系（如图）；③确定长方形薄板的重心为，面积；长方形薄板的重心为，面积；④求出，，得到该匀质薄板的重心坐标为． 【解决问题】 (1)如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，，，，均在小正方形的顶点上，则的重心是（   ） A．点    B．点    C．点    D．点 (2)如图，正方形中，，求正方形的重心坐标； (3)如图，多边形中，，，，，请以点为原点，为单位长度建立平面直角坐标系，并求出重心的坐标． 10．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 综合与实践（确定匀质薄板的重心位置+最短路径） （期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 确定匀质薄板的重心位置 理解匀质薄板的重心是重力等效作用点，仅与形状相关（与质量无关），明确几何中心、形心与重心的等价关系。 熟知确定方法：几何法（规则图形）、悬挂法（二力平衡原理）、支撑法（杠杆原理）、对称法（双对称轴图形）、分割法（组合图形加权平均） 确定匀质薄板的重心位置（约占 4-6 分） 高频考点：三角形重心的性质、规则图形重心判断、重心坐标计算、组合图形重心的分割法思路。 低频考点：重心在实际生活中的应用（选择题 / 填空题情景题）、不规则薄板重心的实践操作描述（填空题） 最短路径 牢记 “两点之间线段最短”“垂线段最短”，掌握轴对称、平移的图形变换应用逻辑。​ 突破经典模型：熟练解决 “将军饮马”、河上造桥、三角形内动点最值等题型。 能将折线路径通过轴对称转化为直线路径，将复杂情境抽象为几何模型。 高频考点：“将军饮马” 模型（选择题 / 填空题 3-4 分）、复杂图形内动点最值（解答题 5-6 分，常作为中档压轴题）。 低频考点：河上造桥模型、坐标平面内的最短路径（结合坐标系，灵活性较强）。 知识点01 确定匀质薄板的重心位置 重心定义：匀质薄板的重心是其重力的作用点，也是薄板平衡时的支点，对于规则形状薄板，重心与几何 中心重合。 知识点02 最短路径 基本原理：两点之间，线段最短（平面内）；利用轴对称、平移等图形变换，将折线转化为直线求最短距 离。 常见模型： 如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？ 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？ 这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【模型解析】 作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB 当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 类型一：两定一动 在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小． 此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小． 类型二：两定两动 在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。 考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。 类型三：一定两动 在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。 此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 题型一 确定匀质薄板的重心位置 【典例1】（25-26八年级上·天津红桥·期中）如何确定质地均匀的三角形薄板的重心（　　） A．画出三角形三条角平分线的交点 B．画出三角形三条高线的交点 C．画出三角形三条垂直平分线的交点 D．画出三角形三条中线的交点 【答案】D 【分析】本题考查了三角形重心的定义；对于质地均匀的三角形薄板，其重心与几何重心一致，而三角形的几何重心是三条中线的交点． 【详解】解：∵ 三角形的重心是三条中线的交点，且均匀薄板的重心即为几何重心， ∴ 应画出三角形三条中线的交点． 故选：D． 【典例2】重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，一次函数与几何，中点坐标公式的相关知识点． 根据矩形的性质以及中点坐标公式即可求解点，点的坐标，再求出，然后代入重心坐标公式即可． 【详解】解：如图： ∵四边形是矩形，， ∴，为中点， ∵， ∴，即； ∵四边形是矩形，， ∴，为中点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即； ，， ∴，， ∴“L”形的重心坐标为． 故选：B． 【典例3】在教材第23页综合与实践“确定匀质薄板的重心位置”中，我们发现长方形的重心在两条对角线的交点处，则如图a所示，长方形中，点，则求出a图的重心坐标为 ；而对于复杂的几何图形而言我们有分割法，可以将几何图形分割成若干个规则图形，求出各自的重心，再找其所在的关系．例如，对于正方形而言可以分割成两个长方形面积分别为， ，则正方形的面积为，正方形的重心坐标与两个长方形的重心坐标，之间的关系为，，已知图b中， ， ， ，则求出b图形的重心坐标 （结果保留小数点后一位） 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质和有理数的混合运算，根据矩形的重心求解方法即可得到长方形重心坐标；先延长交于点F，将图形分割为长方形和长方形，分别求得其重心和面积，利用已知公式求解即可． 【详解】解：根据题意可知，图中长方形的对角线坐标为， 延长交于点F，如图， ∵ ， ∴ ， ∵ ，， ∴长方形的重心坐标，面积为， ∵， ， ， ∴长方形的重心横坐标为， ∴长方形的重心坐标，面积为， ∴b图形的重心坐标，， 则b图形的重心坐标， 故答案为：，． 【变式1】（25-26八年级上·北京·期中）物体重心的位置对于物体保持平衡稳定的状态至关重要．若用一个支点顶住匀质薄板的重心，则薄板能保持平衡．如图，表示一块质地均匀的木板，图中所示的网格由边长相同的小正方形组成．若要使三角形木板保持平衡，则可以用一根细针顶住的点为 ． 【答案】E 【分析】本题考查了三角形重心的概念，解决本题的关键是找到三角形三边的中点 根据三角形重心的概念，即为三角形三边中线的交点，由此求解即可 【详解】解：在中，点D与点E为边的中线上的点， 点G与点E为边的中线上的点， 点E为边的中线上的点， 由此可知，点E为三角形三边中线的交点， ∴点E为该三角形的重心， ∴若要使三角形木板保持平衡，则可以用一根细针顶住的点E． 故答案为：E ． 【变式2】阅读材料，并解决问题． 项目主题 确定匀质薄板的重心位置 项目背景 在学习三角形的重心时，小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心；②在平面内，图形A与图形B拼成一个图形C（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心连接的线段上 问题探究 问题1 如图①，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片，其中一张记为，C为其直角顶点，且，将这两个三角形拼成一个四边形（无缝隙、不重叠），使它们的斜边重合． 请画出所有符合要求的四边形，并作出所画四边形的重心G（用有刻度的直尺作中线，保留作图痕迹并写出结论） 问题2 如图②，一个长方形缺损一个角（缺损部分也是长方形），请画一条直线将该图形分成面积相等的两部分，并简要说明理由 【答案】问题1：见解析；问题2：见解析 【分析】本题考查三角形的重心，四边形的重心，熟练掌握三角形的重心是三角形的三条中线的交点，是解题的关键： 问题1：分两种情况画出图形，根据重心的定义，画图即可； 问题2：延长交于点M，作长方形和长方形的对角线，过两个长方形的对角线交点P，Q的直线即为所求． 【详解】解：问题1：①如答图①所示，的重心是其三条中线的交点的重心是其三条中线的交点F．由题意可得，这两个完全相同的直角三角形拼成一个长方形，而这个长方形也可由和拼成，易知这两个三角形的重心都在上，则线段与的交点G就是长方形的重心． ②如答图②所示，的重心是其三条中线的交点的重心是其三条中线的交点N，连接．易知和的重心都在上，所以四边形的重心是线段与的交点G． 问题2：（所作直线不唯一）如答图③，延长交于点M，作长方形和长方形的对角线，过两个长方形的对角线交点P，Q的直线即为所求． 理由：因为经过多边形重心的任一直线都将这个多边形分成面积相等的两部分，所以既平分长方形又平分长方形，故将该图形分成面积相等的两部分． 【变式3】（25-26八年级上·河南开封·期中）如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究．请你帮助他们完成下列问题： (1)如图②，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到_______（填“”“”或“”）； (2)如图③，三角形薄板的三条中线相交于点，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，直接写出的值． 【答案】(1) (2)相等，理由见详解 (3) 【分析】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握等底等高的三角形面积相等，中点的性质是解题的关键． （1）根据等底等高的三角形面积相等，直接可求即可得到答案； （2）设，根据题意可得，即可得到，三条中线分成的六个三角形面积相等； （3）由（2）可知，三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，则，由两个三角形高相等，则，即可得出． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， ∴与等底等高， ， 故答案为：； （2）解：三条中线分成的六个三角形面积相等， 理由如下： 设， ∵是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 即三条中线分成的六个三角形面积相等； （3）解：由（2）可知，三条中线分成的六个三角形面积相等，则每个小三角形的面积是大三角形面积的， ， ， ∴，即的值为． 【变式4】（25-26八年级上·福建龙岩·月考）综合与实践 [探究课题]三角形重心性质的探究． [课本重现]三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心，如图1，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． [提出问题]探究图1中，的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题．     [解决问题] （1）若的面积为m，求的面积； （2）在（1）的条件下，求的值； [拓展应用] （3）如图2，在中，点O是的重心．连接并延长，分别交于点 D，E．若，求四边形的面积． （4）已知的中线，中线，则面积的最大值为 ． 【答案】（1）m；（2）3；（3）12；（4）12 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）由（1）得：，再由与同高，即可求解； （3）由（1）（2）得：，从而得到，再结合，可得，即可求解； （4）设交于点O，过点B作于点F，由（2）得：，，从而得到，，，进而得到最大时，最大，此时最大，当点O与点F重合时，最大，此时，即可求解． 【详解】解：（1）∵点O是的重心， ∴点D，E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）根据题意得：， ∴， ∴， ∵与同高， ∴； （3）由（1）（2）得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）如图，设交于点O，过点B作于点F， 由（2）得：，， ∵中线，中线， ∴，，， ∴当最大时，最大， ∵， ∴最大时，最大，此时最大， 当点O与点F重合时，最大，此时， ∴的最大值为． 故答案为：12 题型二 “将军饮马”问题 【典例1】（24-25八年级上·广东广州·期末）唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】此题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定和性质等知识．作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则，得到的周长，此时的周长最小值为的长，再证明是等边三角形，得到即可． 【详解】解：作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则， ∴的周长， ∴此时的周长最小值为的长， 则：， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的周长最小值为， 故选：A． 【典例2】【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【解决问题】 （1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可； 【类比探究】 （3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，正确画出图形是解题关键． （1）作点关于直线的对称点连接交于点，点即为所求； （2）先由轴对称的性质得到，，则，再由两点之间线段最短即可证明结论； （3）分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线即为所求. 【详解】解：（1）如图所示，点C即为所求， ； （2）直线是点、的对称轴，点、在上， ，， ， 在中， ， ； （3）如图所示， ，， 则， 根据两点之间线段最短可得路线即为所求． 【典例3】（1）唐朝诗人李顾的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由； 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的最小值为 【分析】（1）作点关于直线小河的对称点，连接，交于，根据两点之间线段最短，则最小； （2）分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，根据两点之间线段最短，则的周长最小； 本题考查了轴对称性质，两点之间线段最短等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”及其变形的模型 【详解】解：（1）如图，作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小； 理由：根据作法得：， ∴， ∴当点共线时，最小； （2）如图，分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小； 理由：根据作法得：，， ∴， ∴当点共线时，的周长最小； 【典例4】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）请根据以下素材，完成探究任务． 【背景材料】 背景1：中国西汉时期（公元前2世纪），《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣．”这一装置利用平面镜与水面的组合反射，实现了视野的扩展，被视为早期光学探索的重要实践． 背景2：古希腊数学家海伦（公元1世纪）在《反射光学》中通过几何方法证明，光在镜面反射时遵循入射角等于反射角的规律，且该路径为几何最短距离．17世纪，法国数学家费马提出费马原理，指出光在传播时总是选择耗时最短的路径（在均匀介质中即路径最短），从更普遍的物理原理上解释了海伦的结论，并将最短路径思想推广至折射等领域． 【任务1：证明反射路径最短】 （1）如图①，直线代表平面镜，点代表一实物，点代表眼睛，作实物关于平面镜的对称点，连接，交平面镜于点，连接，则为入射光线，为反射光线．求证：最短．请在横线上填写内容． 如图，在平面镜上任意找与点不重合的一点，连接，，， 在中，（_____）， 实物与点关于平面镜对称， 垂直平分， _____，（_____）． ，， ． 【任务2：确定挡板反射范围】 （2）如图②，若从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上，试确定反射光线在上的最高点和最低点．（简单说明作图） 【任务3：计算最短】 （3）如图③，一面镜子斜固定在地面上，且，点为距离地面为的一个光源，光线射出经过镜面处反射到地面点，当光线经过的路径长最短为时，的长为_____． 【答案】（1）见详解（2）见详解（3）4 【分析】本题主要考查轴对称的性质、三角形三边关系等相关知识，等边三角形的判定和性质等知识． （1）利用三角形三边关系及轴对称性质证明反射路径最短即可． （2）通过作对称点确定反射光线在挡板上的最高和最低位置； （3）过点P作的对称点，过点作于点E，交于点D，通过轴对称的性质得出，过点P作于F， 进而可得出，由光入射角等于反射角的规律可得出进一步得出是等边三角形，由等边三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）在平面镜上任意找与点不重合的一点，连接，，， 在中，（三角形两边之和大于第三边）， 实物与点关于平面镜对称， 垂直平分， ，（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）． ，， ． 故答案为∶三角形两边之和大于第三边；；线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等． （2）如图所示，作A关于的对称点，连接并延长交于点Q，连接并延长交为P，则点P和点Q即为所求； （3）如图，过点P作的对称点，过点作于点E，交于点D， ∴， 则 过点P作于F， ∵， ∴， ∴， ∵光线射出经过镜面D处反射到地面E点， ∴，     又∵， ∴． ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为∶4． 【变式1】阅读下列材料并完成任务： “最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图1，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？ 海伦认为以河边为镜面，画出甲地的镜像点（垂直河边的等距离点），然后连接乙地和甲地的镜像点，会跟河边相交一点，这个点就是马饮水的地方，马走的路程最短（两点之间直线距离最短）． 任务： 请你帮海伦在图1的位置完成作图，并标出马饮水的地点（画出草图即可）； 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了最短路线问题，涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．根据在河边上的同侧有两个点A、B，在直线上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与河边线的交点就是所要找的点． 【详解】解：如答图1即为所作图形． 【变式2】【提出问题】 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马。如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的（如图2）． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任意一点，连接，，，我只要说明即可．因为直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，所以______，______，所以______． 在中，因为，所以______，即最小． 请完善小亮的说明过程． 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“______”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）． 【解决问题】 如图4，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 【答案】解：【分析问题】        两点之间，线段最短 【解决问题】图见解析． 【分析】本题考查了轴对称之将军饮马模型，掌握轴对称变换和两点之间线段最短是解题的关键． （1）通过作对称点，将将军饮马问题转化为两点之间线段最短的问题，利用轴对称性质得到相等线段，再结合三角形三边关系证明路径最短； （2）作点关于草地的对称点，作点关于河的对称点，连接即为最短路径． 【详解】（1）∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴，， 由两点之间线段最短可知，， ∴， 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的转化在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接两点的线中，线段最短）。 故答案为：        两点之间，线段最短； （2）如图，即为最短路径． 【变式3】（24-25七年级下·河北保定·期末）转化策略 数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，很多问题的解决都用到了转化策略，转化是解决数学问题的一种重要策略．相信你也经历过“理解问题——拟定计划——实施计划——回顾反思”的思考和解决问题的过程，感悟到转化策略在问题解决过程中起着重要作用． 问题提出 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 问题解决 （1）如图，直线l的两侧分别有A、B两点，请你在直线l上确定一个点C，使最短； （2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如图2，请你用尺规作图在直线l上求出C点的位置；（不写作法，保留作图痕迹） （3）为了说明（2）中点C的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线l上另外取点C，连接，，说明即可，请你借助（2）中所作的图说明道理； 类比探究 （4）如图3，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处．请分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短，并说明道理．（辅助线用虚线，最短路径用实线表示．） 反思提炼 （5）回顾本题的解决过程，你有哪些感悟？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析；（5）见解析 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，正确画出图形是解题关键． （1）直接连接交直线l于点C即可； （2）作A关于l的对称点，连接交l于点C即可； （3）根据轴对称性的性质得出，，然后根据“两点之间，线段最短”得出，即可得证； （4）作P关于的对称点，关于的对称点，连接交于E，于F即可； （5）利用轴对称的性质可以解决最短问题． 【详解】解：（1）如图，点C即为所求； （2）如图，点C即为所求； （3）连接， ∵、关于对称， ∴，， ∴，， ∴； （4）如图，点E、F即为所求， （5）感悟：利用轴对称的性质可以解决最短问题． 【变式4】综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 （2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查将军饮马问题，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据成轴对称的性质，结合三角形的三边关系即可得出结论； （2）分别作点P关于的对称点C，D，连接，分别交于点E，F，则路线即为所求； （3）分别过点P和点Q作的垂线，垂足分别为A，B，在上截取等于靠近P村的河的宽，在上截取等于靠近Q村的河的宽，连接分别交于点E，M，分别过点E，M作的垂线，垂足分别为F，N，连接，则路线即为所求． 【详解】（1）解：∵点关于l对称， ， ， ， ， ∴作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程是最短的． （2）任务一：如答图①所示，路线即为所求． （3）任务二：如答图②所示，路线即为所求． 【变式5】（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】模型解决：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 模型应用：9 模型拓展：100 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决． 故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； 模型应用：解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为100． 题型三 河上造桥问题 【典例】如图，直线表示一条河，，表示两个村庄，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，则所需管道最短的方案是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题，依据两点之间，线段最短，将所求路线长转化为两定点之间的距离是解答本题的关键． 依题意，分析出所需管道最短，利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：如图， 画出点关于的对称点，则： 连接，交直线于点， ， 此时，最小， 故选：． 【变式】如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题；利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作关于的对称点，连接交直线于点，如图所示， 则 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短． 故选：D． 题型四 三角形内动点最值 【典例1】如图，在中，，，，平分，点、分别是，边上的动点，则的最小值为（　　）    A．7 B．8 C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点P、Q的位置是解题的关键．作点P关于直线的对称点，连接，由，得，欲求的最小值，只要求出的最小值，即当时，的值最小，此时Q与D重合，与C重合，最小值为的长． 【详解】解：如图，作点P关于直线的对称点，连接，则，    在和中， ∴， ∴， ∴欲求的最小值，只要求出的最小值， ∴当时，的值最小，此时Q与D重合，与C重合，最小值为的长． 在中，∵，，， ∴， ∴的最小值是7， 故选：A． 【典例2】（24-25八年级上·湖北鄂州·期末）如图，，点M、N分别是边上的定点，P、Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用轴对称求最短路径问题，三角形外角的性质，正确作出图形是解题的关键． 作点M关于的对称点，点N关于的对称点，连接交、于P、Q，此时，最小，根据轴对称的性质可得出，，从面可求得，，代入即可求解． 【详解】解：作点M关于的对称点，点N关于的对称点，连接交、于P、Q，此时，最小， 由轴对称的性质得：，， ∴， ∵， ， ∴， 故选：B． 【典例3】如图，等边中，于点，点，分别为，上的两个定点且，，在上有一动点使最短，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在上找到点关于的对称点，连接交于点，连接，推出的最小值是的长，再证明出是等边三角形，即可求出的长，从而解决问题． 【详解】解：在上找到点关于的对称点，连接交于点，连接， 此时是的垂直平分线， ，， 此时取最小值，最小值为， 等边中，， ， ，， 等边中，，， 又， ， 是等边三角形， ， 即的最小值为． 故选：． 【典例4】（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，在中，，P、M、N分别是AB、AC、BC边上的动点，当的周长最小时，下列关于P点位置的描述中正确的是（   ） A．P在AB边的中点处 B．连接CP，CP是的角平分线 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称与最短路径问题（将军饮马模型），解题的关键在于正确构造对称点并识别出特殊图形，易错点主要在于对称模型应用错误；作出点关于和的对称点和，将周长最小转化为最短，再由对称可得，，所以在等腰中，顶角固定，要使得底边最短，可转化为最短，最短时为垂线段，即时，再根据角度计算得出． 【详解】作出点关于和的对称点和，连接，，； 由对称性可得，， 周长为，即最小即为． ∵，， ∴． 由对称可得： ，，， ∴． ∵在中，，， ∴要使最小，则最短， 最短时为垂线段，即， ∴在中，， 则． 故选：D． 【变式1】如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．13 C．10 D．14 【答案】A 【分析】连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【详解】解：连接，， 直线垂直平分线段， ， 点为边的中点，， ， 周长， 周长的最小值为， ，点为边的中点， ， ，， ， 解得， 周长的最小值为， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，使周长最小时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称的性质（最短路径问题，“将军饮马”模型）、三角形内角和定理、外角性质，解题的关键在于最短路径的转化；利用轴对称将的周长最小问题转化为“两点之间线段最短”， 利用轴对称性质得，，再通过三角形内角和或外角性质，推导与的关系． 【详解】解：作点关于的对称点；作点关于的对称点 连接，与交于点，与交于， 此时，周长最短. 由轴对称可得 设 ∴ ∵在中，， ∴① ∵， ∴② 得 则， 即． 故选D． 【变式3】如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】如图，连接．根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为．据此解答即可．本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． 垂直平分， ，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ，点是边的中点， ， ， ， 即． 故答案为：． 【变式4】（24-25八年级上·湖北黄石·期末）如图，边长为b的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E的运动轨迹，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．通过分析点E的运动轨迹，点E在射线上运动（），作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小． 【详解】解：连接 ∵均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E在射线上运动（）， 作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小， ∵ ∴是等边三角形且与全等， ∴，， ∵， ∴， ∴周长的最小值是 故答案为： 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·云南昆明·期中）用一个支点顶住一个三角形匀质薄板（如图所示），慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，此时，薄板与支点接触的点就是薄板的重心．下列有关重心的说法错误的是（   ） A．线段的重心是它的中点 B．三角形的重心是它的三条高的交点 C．平行四边形的重心是它的两条对角线的交点 D．长方形的重心是它的一组邻边的垂直平分线的交点 【答案】B 【分析】本题主要考查了常见图形的重心．根据重心的定义解答即可． 【详解】解：A、线段的重心是它的中点，故本选项正确，不符合题意； B、三角形的重心是它的三条中线的交点，故本选项错误，符合题意； C、平行四边形的重心是它的两条对角线的交点，故本选项正确，不符合题意； D、长方形的重心是它的一组邻边的垂直平分线的交点，故本选项正确，不符合题意； 故选：B 2.“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗．由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”．如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营B处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线上找一点P使得最小． 解决方法是：作点A关于直线的对称点，连接，则，所以，连接，则线段的长度即为的最小值，这样做依据的基本事实是 ． 【答案】两点之间，线段最短． 【分析】本题考查了两点之间，线段最短，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．依据是两点之间线段最短得出答案． 【详解】解：由题意得：这样做依据的基本事实是两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 3．（25-26八年级上·辽宁营口·期中）如图，在正方形网格中有，两点，在直线上求一点，使最短，则点应选在直线上的点 ． 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用轴对称求最短路径问题． 利用轴对称的性质，将其中一点关于直线对称，根据“两点之间线段最短”确定点的位置． 【详解】解：①作对称点： 作点关于直线l的对称点． ②确定点： 连接，与直线交于点，由“两点之间线段最短”可知，此时最短．观察图形可知，点应选在点处． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·广东·期末）如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点 处，（填图中的字母） 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，掌握轴对称的性质并正确作图是解题的关键．根据轴对称的性质作图即可求解． 【详解】解：如图：作点B关于直线a的对称点N，连接，则交直线a于点C， 由对称性可得，， ， 当三点共线时，最短， 点P的位置应选在点C处． 故答案为：C． 5．把“Z”形薄板分割为长方形，长方形和长方形，，，．长方形重心为，长方形重心为，长方形重心为．根据杠杆原理和加权平均数，“Z”形薄板重心的坐标为 ．        【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，加权平均数，正确理解题意是解题的关键． 先求出“Z”形薄板的总面积，再根据加权平均数的定义分别求解横纵坐标即可． 【详解】解：“Z”形薄板的总面积为， 则重心的横坐标为， 重心的纵坐标为：， ∴“Z”形薄板重心的坐标为， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·广东清远·期末） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 【答案】(1)两点之间线段最短 (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称﹣最短问题. （1）根据两点之间线段最短解决问题； （2）利用轴对称解决最短问题，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，点C即为所求，依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； （2）如图2中，点P即为所求． 理由：在直线l上任意取一点，连接， ． ∵A，关于直线l对称， ∴，， ∵， ∴点P即为所求的点P． 7.在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于y轴对称的并写出的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上画出点P，使最小（不写作法）． 【答案】(1)的坐标为，图见解析 (2)5 (3)见解析 【分析】本题考查坐标与图形变换——轴对称，利用割补法求三角形面积，线段最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）作出各顶点关于y轴的对称点，顺次连接即可，根据的位置可写出坐标； （2）利用割补法求解； （3）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，由，可得点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求，的坐标为； （2）解： ； （3）解：如图，点P即为所求． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，在三角形中，，，是边上的高，为边上一点，为上一动点，若，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查轴对称求最短距离，等边三角形的判定与性质，先证明三角形是等边三角形，连接，与交于点，此时最小，由等边三角形的性质有，所以的最小值为的长，求出即可． 【详解】解：∵，， ∴三角形是等边三角形，即：， 如图，连接，与交于点，此时最小， 是等边三角形，， ∴， ， ， 即就是的最小值， ，点是边的中点， ∴， ∵，， ， 的最小值是10． 故答案为：10． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰中，，垂直平分，为的中点，E为上一动点．若，等腰的面积为8，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】连接，交于点，连接，利用垂直平分线的性质得到，再利用两点之间线段最短得到的和的最小值为的长，根据的面积计算出高，从而得出的最小值． 【详解】解：如图，连接，交于点，连接， ∵直线垂直平分， ∴ ， ∵两点之间线段最短， ∴的最小值为线段， ∵等腰中,点为的中点，，， ∴，， ∴， 即：，解得， ∴， 故答案为：4． 3.如图，从点A到射线上一点M，再从M到射线上一点N，最后从点N到点B，找到最短时M、N点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质，对称轴是对应点连线的垂直平分线以及根据两点之间线段最短，可知最短． 【详解】解：如图，M、N即为所求， 4.如图是网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图①中，点是格点，作点关于的对称点； (2)在图②中，点，是格点，在上取点，使得的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，两点间线段最短等知识； （1）取格点D，连接，则垂直平分，点D即为所求作的点； （2）作点M关于的对称点F，连接交于点E，则点E为所求作的点． 【详解】（1）解：如解图，点即为所求作；    （2）解：如解图，点即为所求作（作法不唯一）．   5．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； (2)在轴上求作点，使的值最小．（不需计算，在图上直接标记出点的位置） 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析． 【分析】本题考查的知识点是轴对称作图、根据成轴对称图形的特征进行求解，解题关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）由点的对称性，作出图形即可； （2）此时点是点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所作． 【详解】（1）解：如下图，即为所求： （2）解：如下图，点即为所求： 6.已知：如图所示， (1)作出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标． (2)在轴上找一点使得最小，画出点所在的位置； (3)求的面积． 【答案】(1)图见解析，，，； (2)图见解析； (3)． 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点再顺次相连，由图得出对称得到的顶点坐标； （2）连接，与轴的交点即为点； （3）根据割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如下图： 则，，． （2）解：连接，与轴的交点即为点，如下图： 此时点是点关于轴的对称点， 即轴是的垂直平分线， ， 最小即最小， 则当点在上时符合要求． （3）解：如下图： ， ， ， ． 7.如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究．请你帮助他们完成下列问题： (1)如图②，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到___________（填“”“”或“”）； (2)如图③，三角形薄板的三条中线，，相交于点，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，试猜想，，的值，并说明理由． 【答案】(1) (2)三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积相等，理由见解析 (3)，， 【分析】本题考查了三角形中线平分面积． （1）中线将三角形分成两个等底同高的三角形，故面积相等． （2）利用（1）中结论可判断面积相等，面积相等，面积相等，再推导后即可证出六个小三角形面积均相等． （3）利用（2）中结论证明，可推导，用相同方法证明另外两个结论即可． 【详解】（1）解：和的底分别为，高为点到线段的距离，所以两个三角形等底同高，所以面积相等． 故答案为：． （2）解：三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积相等， 理由如下： 是的一条中线， 是的中线， ， 同理可得，，， ，，， ， ， 同理可得，， . （3）解：，，， 理由如下： 由（2）可知，， ， 的边上的高与的边上的高相同， ， 同理可得，，. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（23-24八年级上·湖南永州·期末）发现与探究：三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填、或）； (2)如图3，若三条中线、、交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想x，y，z之间的数量关系为：______； (3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则______； (4)如图4，点D、E在的边、上，、交于G，G是的重心，，，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算． （1）根据三角形面积等于底乘高的一半，即可得出结论； （2）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （3）由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，设，则，．根据即可求解； （4）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：与等底等高， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 由题意可知，， ， ， ， ， ， ， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的， 设，则，． ， 故答案为：； （4）解：∵G是的重心， ， ∵，， ， ∵， ， ， ， ∴． 2．（24-25七年级下·广东深圳·期末）综合实践：数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他每天所走路程的和最短？ 作法是：如图1②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短． 示例2，如图1③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠PQ，使得到村庄的跑离最短．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠PQ最短，即省人力又省物力．示例1中所经含的数学原理是（   ） A．两点之间，线段最短        B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图2，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系__________________： ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图2上标注点的位置，并求出的最小值； 【活动三】迁移拓展，综合应用 如图3，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点，点分别为，上一点，求的最小值． 【答案】活动一：B；活动二：①；②见解析，4；活动三：的最小值为． 【分析】活动一：根据两点之间，线段最短求解即可； 活动二：①根据三线合一得到，，即可得到； ②连接交于点F，连接，得到当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度，然后根据等边三角形三线合一性质求解即可； 活动三：如图所示，在上取点使，，连接，证明出，得到，然后得到当时，最小，求出，进而求解即可． 【详解】活动一：示例1中所经含的数学原理是两点之间，线段最短 故选：B； 活动二：①∵在等边三角形中，是的中线 ∴， ∴； ②如图所示，点F即为所求； ∵点为上一点 ∴ ∴当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度 ∵在等边三角形中，是的中线，点为边的中点， ∴； 活动三：如图所示，在上取点使，，连接 ∵是的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当点，G，D三点共线时，有最小值，即的长度 ∴当时，最小 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． ∴的最小值为． 3．【课题回顾】 在学习《综合与实践最短路径问题》时，根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究了“将军饮马”和“造桥选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题． 【问题探究】 如图，在等边中，点为中点，点，分别为，上的点，，，点是线段上的动点，连接，，求的最小值． （1）小明提出的探究思路如下：如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，根据“两点之间，线段最短”，可知此时的值最小． ①请你运用小明的探究思路，证明此时的值最小； ②求的最小值． 【类比探究】 （2）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴正半轴上一点，连接，，点为中点，平分交边于点，点为边上的一个动点．若点在线段上，连接，，当的值最小时，请直接写出点的坐标______． 【答案】（1）①证明见解析；②最小值为；（） 【分析】（1）①在上另取一点，作点关于直线的对称点为，在上，点，在上，连接，，，则，，在中，根据三角形的三边关系即可得证；②先证，，再证是等边三角形，利用等边三角形的性质即可得解； （2）作点关于的对称点，由平分知点在上，连接，由两点之间线段最短及垂线段最短得当、、三点共线，且时，最小，证和都是等腰直角三角形，得，再证，得，进而求得，从而得，即可得解． 【详解】解：（1）①证明∶∵是等边三角形， ∴， ∵点为中点， ∴垂直平分， 如图，在上另取一点，作点关于直线的对称点为，在上，点，在上，连接，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴即是的最小值； ②解∶∵是等边三角形，点为中点， ∴，，． ∵，， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为； （2）作点关于的对称点，由平分知点在上，连接，由两点之间线段最短及垂线段最短得当、、三点共线，且时，最小， ∴，， ∴， 由题意可得， ∵平分 ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4.“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小． 解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长． (1)根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形； (2)利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是______． (3)应用： ①如图2，已知，其内部有一点，，在的两边分别有、两点（不同于点），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，边长为的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是______，此时______． 【答案】(1)见解析 (2)两点之间线段最短 (3)①12；②， 【分析】（1）根据轴对称的性质作出图形； （2）根据两点之间线段最短解答； （3）①分别作P关于的对称点M、N，根据轴对称的性质得到，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答；②根据等边三角形的性质可证，根据全等的性质和三线合一可得，所以点在射线上运动（），作点关于的对称的，连接交于，此时的值最小，此时，所以周长的最小值是，． 【详解】（1）解：作图如下： （2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短； （3）①分别作P关于、的对称点M、N， 连接，交、于C、D，则的周长最小， 连接，如图， 由轴对称的性质可知，， ， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长； ②、都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， 点在射线上运动（）， 作点关于的对称的，连接交于，如图， 此时的值最小，此时， ，， 是等边三角形， ， ， 周长的最小值是，． 5．（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）综合与实践：悬挂法确定匀质薄板的重心 【素材】厚度均匀的硬纸板（三角形、矩形、正方形、不规则形状）、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等． 【实践操作】 如图1，步骤1：用细棉线系住小孔将硬纸板悬挂起来，当硬纸板静止时，用笔和刻度尺在硬纸板上画出与细棉线方向相同即竖直向下的重力的作用线，重心一定也在这条直线上； 步骤2：用细棉线系住另一个小孔C将硬纸板悬挂起来，利用同样的方法再画出另一重力作用线；作用线与作用线的交点O即为硬纸板的重心． 【实践探索】 (1)根据实践操作，图2已经完成了步骤1，请在图2中完成步骤2并标明不规则形状硬纸板的重心O； (2)我们学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验再次验证这一事实，一块三角形匀质硬纸板悬挂后如图3所示，其中，边与水平线的夹角，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了重心的概念、等边三角形的性质与判定，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）延长交于点，则重心即为所求； （2）过点C作，垂足为点E，延长交于点F，易证且必过重心，即为边上的中线，根据，推出，得到，证明为等边三角形，得到，进而推出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，重心即为所求： （2）解：过点C作，垂足为点E，延长交于点F， ∵， ∴， ∵是水平线，为重力作用线， ∴且必过重心，即为边上的中线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 6．（25-26八年级上·北京西城·期中）地球吸引物体的每个部分，由于地球的吸引而使物体受到的力叫重力，从效果上看，可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这个点叫做物体的重心，形状规则、质量分布均匀的物体，它的重心在它的几何中心上．如：三角形匀质薄板的重心在三条中线的交点上（三角形的三条中线交于点），长方形匀质薄板的重心在两条对角线的交点上，圆形匀质薄板的重心在圆心上．球的重心在球心上． (1)如图，在的网格中，的顶点都在网格格点上，仅用无刻度直尺在图中分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． ①作出的中线； ②作出的重心． 直接写出和的数量关系为：______． (2)根据物理学知识，将匀质薄质悬挂至静止，悬线的延长线一定经过薄片的重心，如图，图，分别在的边上，两点处系一根细线，将薄片悬挂至静止，在薄片上分别画悬线的延长线，，则与的交点即为的重心（图）． 如图，若在点处系一根细线，按照上述方式得到，比较与的大小关系：______（填“”或“”或“”）． (3)平面组合图形由简单平面图形组成，小帆同学查阅相关资料后发现：若把一个图形分割成两部分，则该图形的重心一定在这两部分图形的重心，所连直线上． 如图是质地均匀的直角梯形薄板，请你利用小帆查阅的方法，在图中分别用两种分割方法确定该直角梯形的重心所在直线（保留画图痕迹，所在直线分别记为，）． 则，的交点即为该直角梯形的重心（不要求画出重心）． 【答案】(1)作图见解析， (2) (3)见解析 【分析】本题考查三角形重心的性质，三角形中线的性质，网格作图，尺规作图，作垂直平分线． （1）①根据网格的特征找到中点，连接即可；②同理①找出的中点，连接交于点，点即为所求，再根据重心的性质即可得到和的数量关系； （2）根据题意，过的重心，得到是的中线，即可得到结果； （3）第一种，连接，分别作的垂直平分线，得到中点，即可得到，连接即可，第二种，连接，同理即可作出． 【详解】（1）解：①如图所示，为所求； ②如图所示，点为所求； 由重心的性质得， 故答案为：； （2）解：根据题意，过的重心， ∴是的中线， ∴， 故答案为：； （3）解：如图所示，，为所求． 7．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）综合与实践：对于均质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可通过分割法计算，即将组合图形分解为若干个简单规则图形（如长方形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再利用加权平均公式计算组合图形的重心．以下是具体公式和步骤，请你根据以下素材，完成任务． 素材1 在使用分割法前，需先掌握以下基本图形的重心位置 图形 重心 说明 长方形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点，坐标为 顶点坐标为 圆 几何中心 圆心 素材2 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤：1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系，使图形的各部分在同一坐标系中便于描述，比如让对称轴与坐标轴重合等．2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积．3．确定简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标．4．代入公式计算：把步骤2和3的相应结果分别代入重心坐标公式，计算出组合图形重心坐标，其中． 素材3 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如长方形中挖去圆形），可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为， 其中． 任务1 求阴影部分图形的重心坐标． 任务2 求阴影部分图形的重心坐标．    【答案】任务一：；任务二： 【分析】本题考查重心的有关性质，重心的应用． 任务一：将图形分为：矩形和矩形，根据素材二计算即可； 任务二：将图形分为：直角三角形、矩形和直角三角形，根据素材二计算即可． 【详解】解：任务一：如图： 矩形的重心，面积，矩形的重心，面积， ∴，， ∴重心坐标为； 任务二：如图： ①直角三角形，，，重心，面积， ②矩形重心，面积， ③直角三角形，重心，面积， ∴，， 重心坐标为． 8．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）阅读材料，并解决问题． 项目主题 确定匀质薄板的重心位置 项目背景 在学习三角形的重心时，我们知道三角形的重心在三角形的三条中线的交点处：重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？ 问题探究 探究1 （1）如图2，是的中线，可以得到它们面积的大小关系为：___________(填、或)； （2）如图3，被三条中线分成六个小三角形，点为的重心，则___________． （3）如图4，在中，点是的重心．连接，并延长，分别交，于点，．若，，，则的面积为___________． 探究2 小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心，如图5，长方形的重心在对角线的交点处；②在平面内，图形与图形拼成一个图形(无缝隙、不重叠)，那么图形的重心一定在图形的重心与图形的重心所连的直线上； （4）如图6，请画出该图形重心所在的直线． 【答案】（1）；（2）2；（3）；（4）见解析． 【分析】（1）根据三角形中线的性质，等底同高的三角形面积相等，据此判断与的关系． （2）利用三角形重心的性质，即重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，来求解． （3）先根据重心性质得出线段比例关系，再结合垂直条件求出相关三角形面积，进而推导出的面积． （4）将图6的图形拆分为两个基本图形（三角形和长方形），分别确定它们的重心，连接重心的直线即为该图形重心所在直线． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 又∵和同高， ∴， 故答案为：． （2）∵点为的重心， ∴， ∴，，，， ∴即， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：2． （3）连接并延长交于点． ∵点是的重心， ∴由（2）得，， ∵，， ∴，；，． ∵， ∴．，，， ∵点是重心， ∴由（2）得， ∴． ∴， 故答案为：． （4）如图所示，直线即为所求． 9．（25-26八年级上·福建福州·期中）综合与实践 【探究课题】确定匀质薄板的重心位置． 任务一：探究三角形匀质薄板的重心位置 如图1，用悬挂法确定三角形匀质薄板的重心位置，得出结论：三角形三边中线的交点是三角形匀质薄板的重心． 任务二：探究平行四边形匀质薄板的重心位置 如图2，用悬挂法确定平行四边形匀质薄板的重心位置，发现：平行四边形匀质薄板的重心在两条对角线（不相邻顶点所连线段）的交点处，且重心的坐标为，其中，表示点，的横坐标，，表示点，的纵坐标． 任务三：探究组合图形匀质薄板的重心位置 通过实验操作，得出结论：若一个平面图形组合图形匀质薄板的重心坐标为，面积为，被分成部分匀质薄板的重心坐标分别为，，，，面积分别为，，，，则，．如图，“”形匀质薄板中，，，，确定该薄板的重心位置的步骤：①先求出该薄板的面积；②将该薄板分为两个长方形薄板，，以为原点，以为单位长度建立平面直角坐标系（如图）；③确定长方形薄板的重心为，面积；长方形薄板的重心为，面积；④求出，，得到该匀质薄板的重心坐标为． 【解决问题】 (1)如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，，，，均在小正方形的顶点上，则的重心是（   ） A．点    B．点    C．点    D．点 (2)如图，正方形中，，求正方形的重心坐标； (3)如图，多边形中，，，，，请以点为原点，为单位长度建立平面直角坐标系，并求出重心的坐标． 【答案】(1)A； (2)； (3)见解析，． 【分析】本题考查坐标与图形的应用、有理数的混合运算，解决本题的关键是读懂材料中重心定义和运算法则． 根据重心的定义，作出的三条中线，三条中线的交点即为的重心； 根据正方形的性质可知点的坐标是，根据正方形对角线的交点就是正方形的重心，可知正方形的重心是线段中点的坐标，根据平面直角坐标系中两点中点的坐标公式求解即可； 把多边形分成三个规则的矩形：正方形、长方形、正方形，根据重心的定义分别求出三个矩形的重心，再根据不规则图形重心的公式求解即可． 【详解】（1）解：如下图所示，三条中线的交点是点， 的重心是点， 故选：A； （2）解：四边形是正方形，点的坐标是， ， 点的坐标是， 线段中点的坐标是， 正方形的重心坐标为； （3）解：如下图所示，建立平面直角坐标系分割图形， 多边形的面积为， 点的坐标是，点的坐标是， 正方形的重心坐标是，， 点的坐标是，点的坐标是， 四边形的重心坐标是,， 点的坐标是，点的坐标是， 正方形的重心坐标是，， ，， ． 10．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【答案】(1)证明见解析 (2)11 (3)110 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）连接，则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是与的交点时，的周长最小； （3）分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值，根据轴对称的性质解题即可． 本题考查“将军饮马”问题的探究、轴对称性的应用． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； （2）解：如图，连接， ∵m是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立， 即当P是与的交点时，的周长最小，最小为11， 故答案为：11； （3）解：如图，分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：110． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $