精品解析：江苏省宿迁市泗阳县2025-2026学年高二上学期期中数学试题

2025~2026学年第一学期期中调研试卷 高二数学 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 圆被直线所截的弦长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 6. 椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与轴相交于点，与双曲线在第一象限内的交点为，若，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题.每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 直线与直线之间的距离为2 C. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 D. 将直线绕原点逆时针旋转60°，所得到的直线为 10. 已知圆，直线，为实数，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆有两个交点 C. 圆心到直线的距离的最大值为 D. ，分别是圆和椭圆上的动点，则的最大值为 11. 动点在左右焦点分别为，的椭圆上，下列结论正确的有（ ） A. 的周长为8 B. 的面积的最大值为 C. 动点，则为定值 D. 线段的长度可以是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 椭圆的一个焦点坐标为，短轴长为2，则椭圆的离心率为____________. 13. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个，则的取值范围为____________. 14. 已知，两点，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线和， （1）若与平行，求m的值； （2）若与垂直，求m的值． 16. 在中，的平分线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，已知点坐标为. （1）求点的坐标； （2）求直线的方程. 17. 已知直线，圆，圆与圆相外切，且与直线相切于点. （1）求实数的值； （2）求过点且被圆所截的弦长最长的直线方程； （3）求圆的标准方程. 18. 设双曲线的半焦距为，直线过，两点，原点到直线的距离为. （1）求双曲线的离心率； （2）点在双曲线上，直线与双曲线相交于，两点，请问是否存在以为直径的圆经过坐标原点，若存在请说明理由，并求出实数的值. 19. 已知椭圆的上顶点为，点为椭圆的右焦点，点在椭圆上，（为坐标原点）. （1）求的方程； （2）过点作直线交于，两点，为坐标原点. ①若，求直线的斜率； ②若点为线段的中点，过点作直线的垂线，垂足为，设直线的斜率为，直线的斜率为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期期中调研试卷 高二数学 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据过两点的直线斜率公式以及斜率和倾斜角的关系即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 因，故. 故选：A 2. 若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设双曲线为，利用点求得，进而确定正确答案. 【详解】由题可设双曲线方程为且， 又在双曲线上，所以， 则双曲线的方程是，即． 故选：B． 3. 已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，两点的中点坐标即为圆心，两点间的距离即为圆的直径，从而求出圆的标准方程，再化为一般式方程. 【详解】由题意可知该圆的圆心为，圆的直径为，则半径为， 所以圆的方程为，即. 故选：B． 4. 圆被直线所截的弦长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先把圆的一般方程变形为标准方程，求出圆心坐标和半径，圆心到直线的距离，最后利用弦长公式即可求解. 【详解】方程可变形为，圆心为，半径， 圆心到直线的距离，所以弦长 . 故选：D 5. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】将两圆方程写成标准式，计算出两圆圆心距，利用几何法可判断出两圆的位置关系. 【详解】圆：的标准方程为，圆心为，半径为， 圆：的标准方程为，圆心为，半径为， 所以两圆圆心距为，所以， 因此两圆的位置关系为相交. 故选：C. 6. 椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对分类讨论，确定焦点的位置，求椭圆的离心率，从而可求实数的取值范围. 【详解】由椭圆方程， 当时，椭圆焦点在轴上，，，， 所以，解得； 当时，椭圆焦点在轴上，，，， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故选：D. 7. 著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将转化为轴上一点到点与到点的距离之差.再结合进行求解. 【详解】， 可转化为轴上一点到点与到点的距离之差.，当且仅当点是射线与轴的交点时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 8. 双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与轴相交于点，与双曲线在第一象限内的交点为，若，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，为锐角，依题意可得，，再由，得到，又，利用勾股定理得到方程，即可求出，从而求出，最后求出离心率即可． 【详解】 设，为锐角， 因为，，所以， ，，又， ， ， ， ， ， ，（负值舍去），， ，， 双曲线的离心率为． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题.每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 直线与直线之间的距离为2 C. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 D. 将直线绕原点逆时针旋转60°，所得到的直线为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，转化成截距式即可判定；对于B，用两平行线之间距离公式即可判定；对于C，举反例即可判定；对于D，通过倾斜角的正切值为斜率，从而求旋转后的倾斜角，进而求斜率即可判定. 【详解】对于A：直线写成截距式为，易知在轴上的截距为，故A正确； 对于B：直线与直线之间的距离为，故B错误； 对于C：当直线过点，且在轴，轴上的截距都为0时的直线方程为，故C错误； 对于D：直线的倾斜角为，若绕原点逆时针旋转， 则旋转后的直线倾斜角为，此时斜率为， 故所得到的直线为，故D正确； 故选：AD. 10. 已知圆，直线，为实数，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆有两个交点 C. 圆心到直线的距离的最大值为 D. ，分别是圆和椭圆上的动点，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，将整理成，则有，计算得解；选项B，由直线恒过定点，求出点到圆心的距离， 判断与圆的半径的大小关系得解；选项C，圆心到直线的距离取最大值时，此时直线与直线垂直，从而得到最大值为；选项D，圆上的点到椭圆上点的最远距离为圆心到椭圆的最大距离加上半径，，设，求出，利用二次函数求最值即可得解. 【详解】选项A，，， ，，直线恒过定点，选项A错误； 选项B，直线恒过定点， ，圆心， 点到圆心的距离为， 又圆的半径为，，在圆内，过圆内点的直线必与圆相交，选项B正确； 选项C，圆心到直线的距离取最大值时，直线与直线垂直，则最大值为，故选项C正确； 选项D，圆上的点到椭圆上点的最远距离为圆心到椭圆上点的最大距离加上半径， ，设， ， 设，当时，取最大值，且最大值为， 的最大值为，的最大值为，故选项D正确. 故选：BCD. 11. 动点在左右焦点分别为，的椭圆上，下列结论正确的有（ ） A. 的周长为8 B. 的面积的最大值为 C. 动点，则为定值 D. 线段的长度可以是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可判断A，当为短轴顶点时可判断B，由两点间距离公式结合点满足椭圆方程可判断C；根据的取值范围可判断D. 【详解】由题意，因为，所以的周长为，故A错误； 当为短轴顶点时，的面积的最大值为，故B正确. ，由点在椭圆上可得，若动点， 则，所以，故C正确； 因为，所以线段的长度可以是 . 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 椭圆的一个焦点坐标为，短轴长为2，则椭圆的离心率为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可求出，然后再求出，最后由离心率公式即可求解. 【详解】由题意可知，，所以，离心率. 故答案为： 13. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个，则的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定圆心到直线的距离，再利用圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有4个，则，然后解不等式即可. 【详解】圆心到直线的距离，又圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有个， 所以，即，解得. 故答案为： 14. 已知，两点，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出点的轨迹，问题转化为直线与圆有交点，利用直线与圆的位置关系列式即可求解. 【详解】设点，则由可得， 整理得，圆心为，半径， 由题意可知直线与圆有交点， 则圆心到直线的距离，解得或， 所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线和， （1）若与平行，求m的值； （2）若与垂直，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意利用两条直线平行的性质，求出m的值； （2）由题意利用两条直线垂直的性质，求出m的值． 【小问1详解】 若与平行，则，解得：或， 当时，直线和，与平行； 当时，直线和，与重合. 综上：. 【小问2详解】 当时，即时，与垂直， 即时，与垂直. 16. 在中，的平分线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，已知点坐标为. （1）求点的坐标； （2）求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直关系求出的直线方程，然后与平分线所在的直线联立即可求解； （2）根据对称关系求出点关于平分线所在直线的对称点，然后根据点的对称点和点坐标即可求解. 【小问1详解】 设直线的方程为，把点代入直线方程可得， 所以直线的方程为，联立，解得， 即点的坐标为. 【小问2详解】 设点关于直线的对称点为， 直线的斜率为，则直线的斜率为， 并且的中点在直线上， 即，解得，所以， ，所以直线的方程为，即. 17. 已知直线，圆，圆与圆相外切，且与直线相切于点. （1）求实数的值； （2）求过点且被圆所截的弦长最长的直线方程； （3）求圆的标准方程. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入直线方程可直接求得结果； （2）根据最长弦为圆的直径可知所求直线过圆心，进而得到直线斜率，结合直线点斜式可求得直线方程； （3）设圆心，根据直线与直线垂直可求得关系，根据两圆外切和可构造方程求得圆心坐标和半径，由此可得圆的方程. 【小问1详解】 圆与直线相切于点，则点在直线上， ，解得：. 【小问2详解】 圆的圆心为， 过点且被圆所截的弦长最长的直线过圆心， ，所求直线方程为：，即. 【小问3详解】 设圆的圆心，半径为， 直线与圆相切，，即， ， 圆与圆外切，且点在圆上， ， 当时，，， 解得：，，，圆的标准方程为：； 当时，，， 解得：，，，圆的标准方程为：； 综上所述：圆的标准方程为或. 18. 设双曲线的半焦距为，直线过，两点，原点到直线的距离为. （1）求双曲线的离心率； （2）点在双曲线上，直线与双曲线相交于，两点，请问是否存在以为直径的圆经过坐标原点，若存在请说明理由，并求出实数的值. 【答案】（1）或 （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）直线方程为：，利用点到直线的距离公式得，化简得，两边除以得，求解即可； （2）先根据题意求出双曲线方程为，再与直线联立，根据和韦达定理求解. 【小问1详解】 根据题意，直线方程为：，即， 又原点到直线的距离为，即， 则，又， 所以，则， 解得或，所以或； 【小问2详解】 当时，由可得， 双曲线经过点，则，解得可得， 所以双曲线方程为， 当时，由可得， 双曲线经过点，则，无解， 所以双曲线方程为， 联立方程。 整理可得： ，解得， 因为，不和双曲线的顶点重合，所以 根据韦达定理：，， 因为以为直径的圆经过坐标原点，则， 解得或， 所以当或，存在以为直径的圆经过坐标原点. 19. 已知椭圆的上顶点为，点为椭圆的右焦点，点在椭圆上，（为坐标原点）. （1）求的方程； （2）过点作直线交于，两点，为坐标原点. ①若，求直线的斜率； ②若点为线段的中点，过点作直线的垂线，垂足为，设直线的斜率为，直线的斜率为，证明：. 【答案】（1） （2）①； ②如图，因，点N为线段的中点，则， 依题意，，则直线的斜率为， 直线的斜率为， 则， 将（*）代入，可得， 所以． 【解析】 【分析】（1）利用椭圆性质和经过的点坐标，联立方程组，求得，即得椭圆方程； （2）①由题知直线的斜率不为0，设，与椭圆方程联立，设，求得韦达定理，推得，由得到，将其与韦达定理联立，解得，即得直线斜率；②依题意，求得，，计算，消元后将（*）代入化简，即得，故得结论. 【小问1详解】 根据题意，在中，则①， 椭圆经过点，则②， 再结合，可得， 则椭圆E的标准方程为； 【小问2详解】 ①当直线的斜率为0时，可取因，显然不满足， 故可设直线，代入椭圆方程，消去， 可得， 由，解得或， 设，则，则，（*） 由可得，即得， 将其代入①，可得， 代入②，可得，解得， 故直线的斜率为； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $