13.3.2 三角形的外角 课件-2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形外角的概念、性质及外角和定理，通过建筑系学生测角、小猫拦截老鼠等问题情境导入，衔接上节课内角和定理，以复习回顾为支架，引导学生从已有知识自然过渡到外角学习。 其亮点在于以问题链驱动探究，如“火眼金睛”活动辨析外角特征，用内角和与平行线两种方法推导外角性质，体现数学眼光（抽象外角概念）和数学思维（逻辑推理）。例题结合生活实际，练习分层设计，小结结构化梳理性质，助力学生提升应用意识，也为教师提供系统教学素材。

三角形的外角 人教版八年级上册 1 0 复习回顾 上节课我们学习了三角形的内角，回忆一下我们所学的知识。 1. 三角形内角的定义： 三角形相邻两边组成的角，叫做三角形的内角。 2. 三角形内角和定理： 三角形三个内角的和是180°。 理解并掌握三角形的外角的概念，能够在复杂图形中找出外角。 掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和及三角形的内角和。 会利用三角形的外角性质解决问题. 学 习 目 标 重点 难点 素养 课标要求 会运用三角形外和定理进行计算。 问题情境 某建筑系的学生站在C处想检测∠A与∠B的和是否符合设计要求，携带测角工具进行测量，但是∠A太高无法测量， ∠B靠近水面也无法测量，你能帮助他求出∠A+∠B吗？ A B C B D C A O ● 40 ° 70 ° ？ ● ● ● 发现老鼠独自在O处后，小猫打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住老鼠返回鼠窝的去路，小猫则直接在B处拦截老鼠，已知∠BAC=40°，∠ABC=70°.小猫从C处要转多少度角才能直达B处？ 知识点 1 三角形的外角的概念 探究新知 5 利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？ 由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，所以∠BCD=180°－∠BCA=110°. B D C A O ● 40 ° 70 ° ？ ● ● ● 【思考】像∠BCD这样的角有什么特征吗？试猜想它的性质. 三角形的内角是三角形内部的骄子. 那三角形的外部呢？ 什么都没有呀，让人感到很无奈! 只要你添上一笔就精彩了! D 定义 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. ∠ACD是△ABC的一个外角 7 A B C D 三角形的外角 三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角． 一个三角形有几个外角? 6个 三角形同一顶点有几个外角? 它们有什么关系? 答:有两个,它们是对顶角. 1 E D 判断∠1是不是△ABC的外角 (1) (3) 火眼金睛 (2) E F (4) 三角形的外角的三个特征: 1.顶点在三角形的一个顶点上; 2.一条边是三角形的一条边; 3.另一条边是三角形的某条边的延长线. 三角形的每个顶点处有两个外角，它们互为对顶角，所以一个三角形共有6个外角. A B C 画出△ABC的所有外角，共有几个呢? 每一个三角形都有6个外角． 每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角. 画一画 F A B C D E 如图，∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？ ∠BEC是△AEC的外角; ∠AEC是△BEC的外角; ∠EFD是△BEF和△DCF的外角. 相邻 内角 不相邻 内角 不相邻内角 互为邻补角 探索性质 三角形的外角的性质 知识点 2 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？ ∠BCD与∠ACB互补. 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 ∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°。 ∴∠A+∠B=∠BCD. 你能用作平行线的方法证明此结论吗？ 40° 60° 80° 100° 1.如图，在△ABC中，∠A=40°、∠B=60°能由∠A、∠B得到∠ACD的度数吗？∠ACD与∠A、∠B有什么关系？ 探索性质 40° 60° 100° + = 40° 60° 120° + = ∠A ∠B ∠ACD + = ∠D ∠E 120° + = 2如图，在△DCE中, ∠D=50°、∠E=70°能由∠D、∠E得到∠ECF的度数吗？如果能，∠ECF与∠D、∠E有什么关系？ 3.任意一个三角形的外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？ F 120° 60° 50° 70° D C E 猜想:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 D 证明：过C作CE平行于AB. A B C 1 2 ∴∠1= ∠B. （两直线平行，同位角相等.） ∠2= ∠A . （两直线平行，内错角相等.） ∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B. E 已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B. 三角形内角和定理的推论 A B C D ( ( ( 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 应用格式： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角. ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B. ∠ACD ∠A (<、>)； ∠ACD ∠B (<、>). D A C B > > 你选谁 ？ 三角形外角的性质： 1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 ∠B+∠C=∠CAD 2、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 ∠CAD > ∠B， ∠CAD > ∠C. A B C D 85º 95º 60º 43º 30º 求下列各图中∠α的度数。 α 120º 35º ∠α=（ ） α 45º 50º ∠α=（ ） α 123º 80º ∠α=（ ） α 45º 20º 35º ∠α=（ ） α 25º 35º ∠α=（ ） 试一试 说出下列图形中∠1和∠2的度数： A B C D ( ( ( 80 ° 60 ° ( 2 1 (1) A B C ( ( ( ( 2 1 50 ° 32 ° (2) ∠1=40 °， ∠2=140 °. ∠1=18 °， ∠2=130 °. 把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大到小的顺序排列. B 3 2 1 A C D E ∠1 ∠2 ∠3 ＞ ＞ 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 例 如图，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度数. ∵ ∠BEC是△AEC的一个外角. ∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE. ∵∠A=42° ，∠ACE=18°. ∴ ∠BEC=60°. ∵ ∠BFC是△BEF的一个外角.， ∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF. ∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°. ∴ ∠BFC=88°. 解： F A C D E B 素养考点 利用三角形外角的性质求角的度数 分析：根据平行线的性质求出∠C. 再根据三角形外角性质即可求出∠3. 解： ∵AB∥CD，∠1＝45°，∴∠C＝∠1＝45°. 又∵∠2＝35°. ∴∠3＝∠2＋∠C＝35°＋45°＝80°. 如图，直线AB，CD被BC 所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°， 则∠3＝________度． 80 例 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数． 分析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数． E 素养考点 借助辅助线求角的度数 解：延长BP交AC于点E. 则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角. ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE. ∠PEC＝∠ABE＋∠A. ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°＝120°. ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°. 方法点拨：求角的度数，常连接并延长或延长三角形的边长，通过构造三角形的外角，利用外角的性质解决. 探究与交流 三角形每个顶点处分别有两个外角，如果每个处各取一个外角，那么这三个外角的和就叫做三角形的外角和。请同学们小组交流用测量的方法探究出三角形的外角和是多少？ 三角形的外角和是360° 三角形的外角和定理 知识点 3 A B C 1 2 3 方法1 方法2 三角形的外角和360° ∠1＋∠2 ＋∠3 ＝ ? 从哪些途径探究这个结果 理论研讨 方法3 pp A B C 1 2 3 ∠2＋ ∠ABC=180° ∠3＋ ∠ACB=180° 三个式子相加得到 ∠1＋ ∠2＋ ∠3＋ ∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=540° 而∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=180° ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝360° ∠1＋ ∠BAC=180° 解： 解法一： 如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得。 ∠BAE= ∠2+ ∠3. ∠CBF= ∠1+ ∠3. ∠ACD= ∠1+ ∠2. 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °. 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °. A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 你还有其他解法吗？ 解法二： 过A作AM平行于BC。 ∠3＝ ∠4 B C 1 2 3 4 A ∠2＝ ∠BAM 所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAM=360° M ∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAM 结论：三角形的外角和等于360°. 【思考】你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？ D E F 解法三： 31 如图，试计算∠BOC的度数． 补偿提高 90º 30º 20º A B C O D ⌒ 110° ∠BOC=110+30=140° 1. 判断下列命题的对错. （1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ） （2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （ ） （3）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ） （4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ） （5）三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ） （6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ） 基础巩固题 2.如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是（　　）。 A．24° B．59° C．60° D．69° B 1.（1）如图，∠BDC是________的外角，也是 的外角； （2）若∠B=45 °，∠BAE=36 °，∠BCE=20 °，试求∠AEC的度数. A B C D E △ADE △ADC 解：根据三角形外角的性质有 ∠ADC= ∠B+ ∠BCE. ∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE. 所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE =45 °+20 °+36 °=101 °. 能力提升题 2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E． （1）求∠CBE的度数； （2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数． 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°. ∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，∴∠CBD=130°． ∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE=∠CBD=65°； （2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°. ∴∠CEB=90°﹣65°=25°． ∵DF∥BE，∴∠F=∠CEB=25°． A B C D E 1 2 F G 解：∵∠1是△FBE的外角. ∴∠1=∠B+ ∠E. 同理∠2=∠A+∠D. 在△CFG中. ∠C+∠1+∠2=180º ∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E = 180º. 1. 如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数. 拓广探索题 1 2 3 B A C P N M D E F 2. 如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________. 360° 38 课堂小结 三角形的外 角 三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角. a.三角形的一个外角与它相邻的内角互补； b.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； c.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角． d.三角形的外角和等于3600 概念 性质 特殊到一般 位置关系数量关系 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢 谢 再 见 下课了! 42 谢谢观看 初中数学人教版八年级上册 Equinox Nicholas Gunn The Sacred Fire 262470.03 XXX - 酷我音乐 $