精品解析：湖北省荆州中学2025-2026学年高三上学期11月月考数学试题

荆州中学2026届高三年级11月综合测试 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合与集合的交集，然后根据元素与集合之间的关系和子集的定义逐项判断即可. 详解】由题意得，则，，，. 故选：D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数除法运算求复数，再结合复数模的概念求. 【详解】由. 所以. 故选：D 3. 已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】代入圆锥侧面公式，计算即可得出答案. 【详解】由已知可得，圆锥的侧面积为. 故选：A. 4. 已知函数，则下列命题正确的有（ ）个 ① ②在上单调递增 ③为的一个对称中心 ④最小正周期为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】直接求函数值判断命题①；由正切函数的单调区间、对称轴公式、周期公式进行求解分别判断命题②③④. 【详解】命题①，已知函数，，故①错误； 命题②，，，解得，， 当时，，所以在上单调递增，故②正确； 命题③，把带代入，， 则为的一个对称中心，故③正确； 命题④，函数最小正周期为，故④错误. 正确命题有2个. 故选：C. 5. 已知，为曲线：的焦点，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则曲线的离心率 B. 若，则曲线的离心率 C. 若曲线上恰有两个不同的点，使得，则 D. 若，则曲线上存在四个不同的点，使得 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的方程，结合椭圆、双曲线的性质逐项分析判断即可得解. 【详解】对于A，当时，曲线是椭圆，离心率，A正确； 对于B，当时，曲线是双曲线，离心率，B正确； 对于C，当时，曲线是椭圆，其短半轴长，半焦距， 显然以线段为直径的圆恰过这个椭圆短轴端点，即符合条件的可以是8，C错误； 对于D，当时，则曲线是焦点在x上的双曲线，则， 以线段为直径的圆与双曲线有4个交点，即符合条件的点有4个，D正确. 故选：C 6. 设椭圆半焦距为，直线过，两点，坐标原点到直线的距离等于，则椭圆的离心率为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定方程，由点到直线距离等于，列出等式求解即可； 【详解】由题意易知直线方程为：，即， 原点到直线的距离为， ， 所以， 所以，即， 所以， 所以， 故选：B 7. 直线被圆截得的弦长为4，则的最小值是 A. 3 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】圆心为，半径为，由于所截弦长为，故直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程得，即，的几何意义是原点到直线的距离的最小值的平方，故最小值为.所以选. 8. 已知函数的定义域为，导函数为，满足（为自然对数的底数），且，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 在处取得极小值 D. 在处取得极大值 【答案】D 【解析】 【分析】设，对其求导可得，因此设，根据题意可得的解析式，对A：利用导数判断的单调性分析判断，对B、C、D：利用导数判断的单调性分析判断. 【详解】设，则， 可设，则，解得， 故，即， 令，则，故在上单调递增， ∴，即，则，A正确； ∵，令，解得， 则在上单调递减，在上单调递增， ∴，在处取得极小值，无极大值， B、C均正确，D错误． 故选： D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设为两个相互独立的随机事件，且，下列命题中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由为两个相互独立的随机事件，则和，和也是相互独立，得，再依次判断选项即可． 【详解】由为两个相互独立的随机事件，则和，和也是相互独立，得， 对于A项，，故A项错误； 对于B项，，故B项正确； 对于C项，，故C项正确； 对于D项，，故D项正确． 故选：BCD 10. 已知数列的前项和为，，且，则下列说法正确的有（ ） A. 是一个等差数列 B. 是一个等比数列 C. 对，． D. 数列的前项和为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，由已知数列的递推式推得，由等差数列的定义判断即可；对于B选项，C选项，由等差数列的通项公式可得，即可求得，即可判断；对于D选项，由数列的裂项相消求和，即可求解. 【详解】对于A选项，因为，，可以得到，所以由数列是首项为，公差为的等差数列，故A正确； 对于B选项，，可得， 所以当时，， 当时，， 又，故，故B错误； 对于C选项，当时，， 当时，，即，故C正确； 对于D选项，数列，当时，首项为， 当时，， 所以， 当时，，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先构造，再根据求导证明，再放缩即可判断A；先构造，再根据求导证明，由，再放缩即可判断B；取特殊值，得到，代入即可判断C；先根据题意得到，令，从而得到，，再构造，，利用导数判断单调性求函数最小值即可判断D． 【详解】由，得， 又，则，解得， 对于A，构造，则， 所以函数在上单调递增， 所以，即， 所以，即，故A正确； 对于B，构造，则， 所以函数在上单调递增，所以， 又，所以， 所以，即，故B正确； 对于C，当时，，则， 又，则，所以，故C错误； 对于D，由，则，所以， 令，则，，所以， 设，，则， 令，，则， 则函数在上单调递增，则，则， 所以在上单调递增，则，所以，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：比较式子的大小，要善于对已知条件变形，恰当变形可结合，，放缩后判断AB选项，变形，再令，变形，是判断D选项的关键，变形到此处，求导得最小值即可． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 样本数据，，，，，，，，，的第百分位数为______． 【答案】##8.5 【解析】 【分析】将数按从小到大排列，，找第三个数与第四个数的平均数即可. 【详解】将数按从小到大排列：2，6，7，10，15，18，20，24，42，57，共个数，，第百分位数为第三个数与第四个数的平均数 故答案为： 13. 设点在单位圆的内接正方形的边上，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】以点为原点建立坐标系，求出相关点的坐标，利用向量模的坐标表示列出函数关系，再借助二次函数求出范围. 【详解】以为原点，射线分别为轴的非负半轴建立 平面直角坐标系， 由正方形是单位圆的内接正方形，得，， 设，则， 因此， 当时，，当或时，， 所以的取值范围是. 故答案为： 14. 在一个封闭的直三棱柱容器内装有高度为的水，如图所示，底面处于水平状态．记水面为．现以所在的直线为旋转轴，将容器缓慢地顺时针旋转（点开始离开桌面），直到侧面水平，过程中始终保持水面处于水平状态．（1）若旋转过程中，在某时刻水面恰好经过三点，则_____；（2）设，则在旋转过程中，当水面的形状为梯形时，水面与侧面的交线的中点到直线的距离的最大值为_____．（用含有的式子表达．） ． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】找到临界情况利用等体积法，等体积转化，分析情况即可. 【详解】（1）若旋转过程中，在某时刻水面恰好经过三点， 此时水的体积， 所以在初始状态，所以可以得到． （2）结合第（1）间，当时，水面经过时，依旧与棱相交， 当水面经过点后，水面的形状变为直角梯形（平面，所以必为直角梯形）． 此时如图所示，，且由于与共面， 所以两条直线相交，且交于各自所在平面和平面的交线上，所以为台体． 根据体积相等可知，． 设，则， 则可得：，即， 由梯形性质可知，中点到的距离就是中位线长，所以．由， 可得：，当且仅当时等号成立． 所以，所以．所以最大值为． 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，已知的内角、，所对的边分别为、、，且． （1）求角的值； （2）若点是的外接圆上一点（不与、、重合），且满足，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角求解. （2）由（1）的结论，利用余弦定理求出并确定点位置，再利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 而，则，又，所以. 【小问2详解】 在中，，，由余弦定理得， 则，又四边形内接于圆，因此点在优弧上，且， 即为等边三角形，则， 又， 所以四边形的面积. 16. 已知正项数列的首项，前n项和满足. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）化简数列的递推公式，得，进而可求解数列的通项公式； （2）利用裂项法，求解，列出不等式，即求. 【小问1详解】 当时，， ∴，即，又， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，故， 又由（）， 当时，也适合， 所以. 【小问2详解】 ∵， ∴， 又∵对任意的，不等式恒成立，， ∴，解得或. 即所求实数的范围是或. 17. 实验中学社团举办了一场乒乓球比赛，为了锻炼身体，比赛采取“5局3胜制”（说明：5局3胜制是指比赛最多进行5局，先赢得3局的一方即为获胜方）.现有甲､乙二人，已知每局甲胜的概率为，乙胜的概率为.求： （1）这场比赛甲获胜的概率； （2）这场比赛乙所胜局数的数学期望. （3）这场比赛在甲获得比赛胜利的条件下，乙有一局获胜的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）甲胜的情况可能连赢3局、前3局中甲赢2局，第4局甲赢、前4局甲赢2局，第5局甲赢这三种情况，由此能求出甲获胜的概率； （2）乙获胜的局数为，列出的可取值，分别求出对应可取值的概率即可得到的分布列，然后由期望的公式计算出的期望； （3）设事件“甲获得比赛胜利”，事件“乙获胜一局”，然后求出，，由条件概率的公式求得. 【小问1详解】 甲胜的概率为. 【小问2详解】 设乙获胜的局数为，， 可得； ； ； . 的分布列为： 0 1 2 3 （局） 【小问3详解】 设事件“甲获得比赛胜利”，事件“乙获胜一局”. 得到； ； . 18. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交拋物线于两点，点，若直线AC，BC分别与直线交于两点， （1）求抛物线的方程； （2）求以为直径的圆在轴上截得的弦长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，求得，即可求得抛物线的方程； （2）设直线的方程为，联立方程组，得到，求得的方程，得出的坐标，设以MN为直径的圆与轴的交点，根据，列出方程，求得的值，进而得到圆在轴上截得的弦长. 【小问1详解】 由抛物线，可得焦点为， 因为抛物线的焦点为，可得，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得，且， 因为，可得 ，所以AC的方程为， 令，可得，所以点， 同理可得，点， 设以MN为直径的圆与轴的交点，则， 则， 由，可得，则， 所以 ，解得， 所以以MN为直径的圆在轴上截得的弦长. 19. 设函数． （1）求的值； （2）求证：对； （3）若函数的图象是一条连续的曲线，且满足：，对恒成立，则称函数为“隔离曲线”．是否存在一条曲线，使得为“隔离曲线”？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）1 （2）证明见解析 （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用正切函数的导数即可求解； （2）令，则问题转化为在恒成立，而证明，则需证明即可； （3）假设存在隔离曲线，首先得到，然后通过反证法得到，问题转化为，方法1：由导出，由导出，进而得出矛盾即可得证；方法2：由导出，取导出矛盾即可得证. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 证明：对，令，所以； 所以； 令，所以在区间上单调递增， 所以， 又，所以． 所以在区间上单调递增，所以． 所以对． 小问3详解】 假设存在隔离曲线，则，所以． 又因为， 所以． 令． 若，则， 则存在，使， 对，于是在上单调递减，所以，这与， 对恒成立矛盾，所以； 若，则，则存在，使， 对，于是在上单调递减，所以，这与， 对恒成立矛盾，所以； 综上，． 方法1：若，对恒成立， 所以只用，对恒成立，且， 注意到， 设，则， 若，则，于是存在一个，使得对，都有， 所以在区间单调递减，从而对， 从而在区间单调递减，所以，对， 对恒成立矛盾，所以必有① 若，对恒成立， 所以只用， 对恒成立；所以只用，对恒成立；所以．② 由条件①②可知，不存在. 所以不存在曲线，使得为隔离曲线． 方法2：成立， ，由③得代入④可得， 令可得，则，即，该式不成立．不存在， 所以不存在曲线，使得为隔离曲线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆州中学2026届高三年级11月综合测试 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 3. 已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则下列命题正确的有（ ）个 ① ②在上单调递增 ③为的一个对称中心 ④最小正周期为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知，为曲线：的焦点，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则曲线的离心率 B. 若，则曲线的离心率 C. 若曲线上恰有两个不同的点，使得，则 D. 若，则曲线上存在四个不同的点，使得 6. 设椭圆的半焦距为，直线过，两点，坐标原点到直线的距离等于，则椭圆的离心率为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 直线被圆截得的弦长为4，则的最小值是 A. 3 B. C. 2 D. 8. 已知函数的定义域为，导函数为，满足（为自然对数的底数），且，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 处取得极小值 D. 在处取得极大值 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设为两个相互独立的随机事件，且，下列命题中，正确的是（ ） A. B. C D. 10. 已知数列的前项和为，，且，则下列说法正确的有（ ） A. 是一个等差数列 B. 是一个等比数列 C 对，． D. 数列的前项和为，则 11. 已知，，则（ ） A B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 样本数据，，，，，，，，，的第百分位数为______． 13. 设点在单位圆的内接正方形的边上，则的取值范围是________． 14. 在一个封闭的直三棱柱容器内装有高度为的水，如图所示，底面处于水平状态．记水面为．现以所在的直线为旋转轴，将容器缓慢地顺时针旋转（点开始离开桌面），直到侧面水平，过程中始终保持水面处于水平状态．（1）若旋转过程中，在某时刻水面恰好经过三点，则_____；（2）设，则在旋转过程中，当水面的形状为梯形时，水面与侧面的交线的中点到直线的距离的最大值为_____．（用含有的式子表达．） ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，已知的内角、，所对的边分别为、、，且． （1）求角的值； （2）若点是的外接圆上一点（不与、、重合），且满足，求四边形的面积． 16. 已知正项数列的首项，前n项和满足. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 17. 实验中学社团举办了一场乒乓球比赛，为了锻炼身体，比赛采取“5局3胜制”（说明：5局3胜制是指比赛最多进行5局，先赢得3局的一方即为获胜方）.现有甲､乙二人，已知每局甲胜的概率为，乙胜的概率为.求： （1）这场比赛甲获胜的概率； （2）这场比赛乙所胜局数的数学期望. （3）这场比赛在甲获得比赛胜利条件下，乙有一局获胜的概率. 18. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交拋物线于两点，点，若直线AC，BC分别与直线交于两点， （1）求抛物线的方程； （2）求以为直径的圆在轴上截得的弦长. 19. 设函数． （1）求的值； （2）求证：对； （3）若函数的图象是一条连续的曲线，且满足：，对恒成立，则称函数为“隔离曲线”．是否存在一条曲线，使得为“隔离曲线”？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $