2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册综合检测卷（二）

2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册 【本书综合检测卷（二）】 单项选择题 1.[2025深圳市新安中学高二期中]已知数列{an}为等比数列,其中a6=-1,a10=-9,则a8=(　　) A.-5 B.-3 C.3 D.5 2.[2025阜阳一中模拟]已知函数f(x)在(0,+∞)上的导函数为f'(x),且满足f(x)=-2x+1,则f'(1)=(　　) A.-1 B.-2 C.2 D.1 3.[2024河南省实验中学模拟改编]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+m,n∈N*,则m=(　　) A.0 B.1 C.-1 D.1或-1 4.[2024梅县东山中学高二期中]已知函数f(x)=2x-2ex,则下列结论正确的是(　　) A.f(x)有极小值,且极小值为0 B.f(x)有极小值,且极小值为-2 C.f(x)有极大值,且极大值为0 D.f(x)有极大值,且极大值为-2 5.[2025辽宁省抚顺市六校协作体高二联考]设等比数列{an}的前n项和为Sn,前n项积为Tn,=,且a1和a3的等差中项为5,则Tn的最大值为(　　) A.128 B.64 C.16 D.8 6.[2024北大附中高二期中]若函数f(x)=ln x-在(m,+∞)上单调,则实数m的取值范围是(　　) A.[1,+∞) B.(1,+∞) C.(0,1) D.(0,1] 7.[2025唐山一中高二期末]数列{an}满足a1=4,an+1=2an-2,对于任意的n∈N*,λ(an-2)<an-6恒成立,则实数λ的取值范围是(　　) A.(-∞,1) B.(-1,2) C.(-∞,-1) D.(1,2) 8.【情境创新】[2025广东省清远市高二期中]从商业化书店到公益性城市书房,再到“会呼吸的文化森林”——图书馆,建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声.现有一块不规则的地,其平面图形如图1所示,AC=8百米,建立如图2所示的平面直角坐标系,将曲线AB看成函数f(x)=k图象的一部分,BC为一次函数图象的一部分,若在此地块上建一座图书馆,平面图为直角梯形CDEF(如图2),则图书馆占地面积(万平方米)的最大值为(　　) A. B. C. D.2 多项选择题 9.[2025邯郸一中调研改编]已知函数f(x)=ex,则下列结论正确的是(　　) A. =1 B.函数f(x)在(0,)上单调递减 C.0是函数f(x)的极大值点 D.函数f(x)在[-2,0]上的最小值为f(-2) 10.[2025青岛二中、淄博实验中学等校检测]记Sn为数列{an}的前n项和,已知an=则(　　) A.2 025是数列{an}中的项 B.数列{a2n-1}是公比为4的等比数列 C.S6=52 D.若cn=a2n,则数列{}的前n项和小于 11.[2025东北师大附中模拟]已知函数f(x)=x3+3x2+mx-3,则(　　) A.当m=4时,函数f(x)单调递增 B.当m≤3时,函数f(x)有两个极值 C.过点(0,1)且与曲线y=f(x)相切的直线有且仅有一条 D.当m=1时,若2b=a+c,直线ax-by-c=0与曲线y=f(x)有三个交点P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3),则x1+x2+x3=-3 填空题 12.[2024广西河池市模拟]已知{an}为单调递增的等差数列,若a1=2且a1a5=a2a3,则an=　　　　.  13.[2025九江一中、南昌二中等校高二联考]若数列{an}满足an=n|cos |,在an,an+1中插入n个2,按照原有顺序构成数列{bn},则数列{bn}的前480项和为　　　　.  14.[2024鹰潭一中模拟]已知函数f(x),g(x)的定义域为R,g'(x)为g(x)的导函数,且f(x)+g'(x)-8=0,f(x-2)-g'(6-x)-8=0,若g(x)为偶函数,则f(n)=　　　　.  解答题 15.(13分)[2023全国乙卷文]记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 16.(15分)[2025山东省临沂市兰山区高二期中]已知函数f(x)=(x2+a)ex在x=-3处有极值. (1)求f(x)的极值; (2)若函数g(x)=f(x)-m恰有3个零点,求实数m的取值范围. 17.(15分)[2025东华高级中学、石门中学等校高二联考节选]已知函数f(x)=ax2+sin 2x(x>0). (1)若a=1,求f(x)在区间(0,]上的最大值; (2)若≥2,求a的最小值. 18.(17分)[2025天津市耀华中学月考]已知数列{an}是首项为1的等差数列,数列{bn}是公比不为1的等比数列,且满足a1+a2=b2,a2+a3=b3,a4+a5=b4. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)求(-1)kakbk; (3)令cn=(n∈N*),记数列{cn}的前n项和为Sn,求证:对任意的n∈N*,都有Sn<. 19.(17分)[2024重庆十一中高二期中]柯西中值定理是数学的基本定理之一,在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为:设函数f(x),g(x)满足①图象在[a,b]上是一条连续不断的曲线,②在(a,b)内可导,③∀x∈(a,b),g'(x)≠0,则∃ξ∈(a,b),使得=.特别地,取g(x)=x,则有∃ξ∈(a,b),使得=f'(ξ),此情形称之为拉格朗日中值定理. (1)设函数f(x)满足f(0)=0,其导函数f'(x)在(0,+∞)上单调递增,判断函数y=在(0,+∞)上的单调性并证明; (2)若∀a,b∈(0,e)且a>b,不等式-+m(-)<0恒成立,求实数m的取值范围; (3)若0<x1<x2<,求证:->(sin x2-sin x1). 参考答案 1.B　设等比数列{an}的公比为q,则a8=a6q2=-q2<(确定a8的正负,再利用等比中项求解),而=a6a10=9,所以a8=-3. 2.A　求导,通过赋值即可求解.由f(x)=-2x+1,求导可得f'(x)=--2,令x=1(【解析】式中含导数值f'(1),故给x赋值1),可得f'(1)=-f'(1)-2,所以f'(1)=-1. 3.A　因为Sn=n2+m,所以n=1时,a1=S1=1+m,n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+m-[(n-1)2+m]=2n-1,所以a1=1+m,a2=3,a3=5,因为{an}为等差数列,所以a1=1,m=0. 4.D　由f(x)=2x-2ex,得f'(x)=2-2ex,令f'(x)=2-2ex=0⇒x=0,当x>0时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,当x<0时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,所以x=0时,函数f(x)=2x-2ex有极大值f(0)=-2. 5.B　设等比数列{an}的公比为q(注意对q分类讨论),若q=1,则=2,不符合题意,所以q≠1,所以==1+q3=,解得q=.又因为a1和a3的等差中项为5,所以a1+a3=10,则a1+a1=10,解得a1=8,所以an=a1qn-1=8×()n-1=24-n.当n≤3时,an>1,当n=4时,an=1,当n>4时,0<an<1,所以Tn的最大值为T3=T4=a1a2a3=23×22×2=64. 6.A　因为f(x)=ln x-,所以f'(x)=-x=,令f'(x)>0可得0<x<1,令f'(x)<0可得x>1,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.因为函数f(x)=ln x-在(m,+∞)上单调,所以(m,+∞)⊆(1,+∞),所以m≥1. 7.C　因为an+1=2an-2,所以an+1-2=2an-4=2(an-2),由a1=4可知an-2≠0,所以=2,所以{an-2}是以a1-2=2为首项,公比为2的等比数列,所以an-2=2×2n-1=2n,所以an=2n+2.由λ(an-2)<an-6恒成立,得λ<==1-=1-恒成立.令y=1-,由于n∈N*,显然y随n的增大而增大,所以当n=1时,ymin=1-=-1,所以λ<-1. 8.B　因为AC=8,所以C(8,0),由题意B(4,4),直线BC的方程为=,即y=-x+8.将B(4,4)代入f(x)=k得f(4)=k=4,得k=2,所以f(x)=2.因为F在直线BC上,所以可设F(8-t,t)(0<t<4),又E在f(x)=2的图象上,所以E(,t),D(,0),所以|EF|=8-t-,|CD|=8-,|DE|=t,直角梯形CDEF的面积S=(|EF|+|CD|)|DE|=(8-t-+8-)t=--+8t(0<t<4),S'=--t+8,令S'>0,得-4<t<,又0<t<4,所以S在区间(0,)上单调递增,令S'<0,得t<-4或t>,又0<t<4,所以S在区间(,4)上单调递减,故当t=时,S取得最大值,最大值为--+8×=. 9.CD　易知f(x)=ex的定义域为{x|x≠1},f'(x)=ex=. A(✕)因为f(0)=1,所以 = =f'(0)=0. B(✕)由f'(x)<0,得0<x<,且x≠1,所以f(x)的单调递减区间为(0,1),(1,). C(√)由f'(x)=0,得x=0或x=,当x<0时,f'(x)>0,当0<x<1时,f'(x)<0,当1<x<时,f'(x)<0,当x>时,f'(x)>0,所以0是f(x)的极大值点,是f(x)的极小值点. D(√)由C选项知,f(x)在(-∞,0)上单调递增,所以函数f(x)在[-2,0]上的最小值为f(-2). 10.ABD　A(√)当n为偶数时,令+1=2 025⇒n=4 048,即2 025是数列{an}中的项. B(√)由题知,a2n-1=22n-1,a2n+1=22n+1⇒=4,故数列{a2n-1}是公比为4的等比数列. C(✕)由题知,a1=2,a2=2,a3=8,a4=3,a5=32,a6=4,所以S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=51. D(√)cn=a2n=+1=n+1,==-,设数列{}的前n项和为Tn,则Tn=-+-+…+-=-<. 11.ACD　因为f(x)=x3+3x2+mx-3,所以f'(x)=3x2+6x+m. A(√)当m=4时,f'(x)=3x2+6x+4=3(x+1)2+1>0,所以当x∈(-∞,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增. B(✕)当m≤3时,令f'(x)=3x2+6x+m=0,则Δ=36-12m≥0,所以当m=3时,f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,所以f(x)单调递增,此时函数f(x)没有两个极值. C(√)设过点(0,1)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0,+3+mx0-3),则切线方程为y-(+3+mx0-3)=(3+6x0+m)(x-x0),代入(0,1)得1-(+3+mx0-3)=-x(3+6x0+m),整理得2+3+4=0,令g(x)=2x3+3x2+4,则g'(x)=6x2+6x=6x(x+1),所以当x∈(-∞,-1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(-1,0)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.又x→-∞时,g(x)→-∞,g(-1)=5>0,g(0)=4>0,所以g(x)只有一个零点,即方程2+3+4=0只有一个解,所以过点(0,1)且与曲线y=f(x)相切的直线有且仅有一条. D(√)当m=1时,f(x)=x3+3x2+x-3,因为2b=a+c,所以直线ax-by-c=0即为直线ax-by+a-2b=0,所以直线过定点(-1,-2),且此点在曲线y=f(x)上,画出y=f(x)的大致图象(对f(x)求导,可得f(x)的单调区间和极值,进而可作出f(x)的大致图象)与直线ax-by-c=0,如图. 设函数y=f(x)图象的对称中心为(m,n)( 任一三次函数的图象都有对称中心),则有f(2m-x)+f(x)=2n,即(2m-x)3+3(2m-x)2+(2m-x)-3+x3+3x2+x-3=2n,整理得6(m+1)x2-12m(m+1)x+8m3+12m2+2m-6=2n,所以解得所以函数f(x)的图象关于点(-1,-2)对称,设x1<x2<x3,则有x1+x3=(-1)×2=-2,x2=-1,所以x1+x2+x3=-3. 12.n+1　设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d,由于a1a5=a2a3,则2(2+4d)=(2+d)(2+2d),化简得d=d2,由于数列{an}单调递增,因此d>0,解出d=1,因此an=2+(n-1)×1=n+1. 13.1 215　数列{bn}中,从a1到an的项数为1+2+3+…+n=,令≤480,得n≤30,且=465,所以数列{bn}的前480项中a30后面还有15项,则数列{bn}的前480项中2的个数为1+2+3+…+29+15=450.由an=n|cos|,得a3k-2+a3k-1+a3k=(3k-2)×+(3k-1)×+3k=6k-(k∈N*),故数列{an}的前30项和是数列{6n-}的前10项和,且和为×10=315,所以数列{bn}的前480项和为315+450×2=1 215. 14.16 216　因为g(x)是偶函数,所以g(-x)=g(x),两边求导得-g'(-x)=g'(x),所以g'(x)是奇函数,故g'(0)=0.由f(x)+g'(x)-8=0⇒f(x-2)+g'(x-2)-8=0⇒f(x-2)=8-g'(x-2),代入f(x-2)-g'(6-x)-8=0,得8-g'(x-2)-g'(6-x)-8=0,则g'(x-2)+g'(6-x)=0,所以g'(x+4)+g'(-x)=0,又g'(x)是奇函数,所以g'(x+4)=-g'(-x)=g'(x),所以g'(x)是周期函数,且周期为4,又f(x)+g'(x)-8=0,所以f(x)也是以4为周期的周期函数.令x=4,得f(4)+g'(4)-8=f(4)+g'(0)-8=0,故f(4)=8,而g'(2)=g'(2-4)=g'(-2)=-g'(2),所以g'(2)=0,令x=2,得f(2)+g'(2)-8=0,则f(2)=8,而f(1)+g'(1)-8=0,f(3)+g'(3)-8=0,又g'(3)=g'(-1)=-g'(1),所以f(1)+f(3)=16, f(n)=506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)+f(3)=506×(8+16+8)+(8+16)=16 216. 15.【解析】(1)第一步:根据已知建立方程组,求{an}的首项与公差 设{an}的公差为d,则(2分) 解得a1=13,d=-2.(4分) 第二步:写出通项公式 所以{an}的通项公式为an=13+(n-1)·(-2)=15-2n.(6分) (2)第一步:分类讨论,去绝对值 由(1)得|an|=(7分) 第二步:利用等差数列的求和公式求Tn 当n≤7时,Tn=13n+×(-2)=14n-n2,(9分) 当n≥8时,Tn=T7+1+3+5+…+(2n-15)=T7+1+3+5+…+[2(n-7)-1]=14×7-72+=98-14n+n2.(12分) 第三步:写出结果 综上,Tn=(13分) 16.【解析】(1)f'(x)=2xex+(x2+a)ex=(x2+2x+a)ex,(1分) 由于f(x)在x=-3处有极值,故f'(-3)=(9-6+a)e-3=0,解得a=-3.(2分) 当a=-3时,f'(x)=(x2+2x-3)ex=(x+3)(x-1)ex, 当x>1和x<-3时,f'(x)>0,当-3<x<1时,f'(x)<0, f(x)在x=-3处取得极大值,因此a=-3满足题意.(4分) 所以f(x)=(x2-3)ex,f(x)在(-3,1)上单调递减,在(1,+∞)和(-∞,-3)上单调递增, 故f(x)极大值=f(-3)=6e-3,f(x)极小值=f(1)=-2e.(8分) (2)由(1)知f(x)在(-3,1)上单调递减,在(1,+∞)和(-∞,-3)上单调递增,又当x<-时,f(x)>0,当x→-∞时,f(x)→0, 当-<x<时,f(x)<0,当x→+∞时,f(x)→+∞,作出f(x)的大致图象如图所示.(12分)  若g(x)=f(x)-m恰有3个零点,则f(x)的图象与直线y=m有3个交点,结合图象可知,0<m<6e-3, 所以实数m的取值范围为(0,6e-3).(15分) 17.由导数求函数的最值+利用导数研究不等式恒成立问题 思路导引　(1)求导可得f'(x),令h(x)=f'(x),通过求导分析h(x)在(0,]上的正负,从而得x∈(0,]时f'(x)的正负,进而判断其单调性,即可求解; (2)分离参数可得a≥,令F(x)=,利用导数讨论F(x)的单调性,求得F(x)的最大值即可求解. 【解析】(1)当a=1时,f(x)=x2+sin 2x,f'(x)=2(x+cos 2x).(1分) 令h(x)=2(x+cos 2x),则h'(x)=2(1-2sin 2x). 当x∈(0,]时,令h'(x)>0,得0<x<或<x≤; 令h'(x)<0,得<0<. 故h(x)在(0,]上的极小值为h()=->0,又x→0时,h(x)→2, 故当x∈(0,]时,h(x)>0,即f'(x)>0,则f(x)单调递增,(4分) 所以f(x)在区间(0,]上的最大值为f()=.(5分) (2)由≥2得a≥,(6分) 设F(x)=, 则F'(x)=, 设G(x)=-2xcos 2x-2x+2sin 2x,则G'(x)=2cos 2x+4xsin 2x-2, 设H(x)=2cos 2x+4xsin 2x-2,则H'(x)=8xcos 2x,(8分) 当x∈(0,)时,H'(x)>0,H(x)单调递增,当x∈(,)时,H'(x)<0,H(x)单调递减, 因为H(0)=0,H()=π-2>0,H()=-4<0, 所以存在x0∈(,),使得H(x0)=0.(10分) 当x∈(0,x0)时,H(x)>0,即G'(x)>0,则G(x)单调递增, 当x∈(x0,)时,H(x)<0,即G'(x)<0,则G(x)单调递减, 因为G(0)=0,G()=0, 所以当x∈(0,]时,G(x)≥0,即F'(x)≥0,则F(x)单调递增,F(x)≤F()=.(12分) 设M(x)=x2-2x+sin 2x, 当x∈(,+∞)时,M'(x)=x-2+2cos 2x>4-2-2=0, 所以M(x)在区间(,+∞)上单调递增, 所以当x∈(,+∞)时,M(x)>M()=0,即<.(14分) 综上,F(x)≤,则a≥,即a的最小值为.(15分) 18.【解析】(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q(q≠1),则an=1+(n-1)d,bn=b1qn-1. 由等比数列的性质可得=b2b4,又a1+a2=b2,a2+a3=b3,a4+a5=b4, 所以(a2+a3)2=(a1+a2)(a4+a5), 所以(2+3d)2=(2+d)(2+7d),解得d=2或d=0.(2分) 当d=0时,an=1,则b2=a1+a2=2,b3=a2+a3=2, 即q==1,与q≠1矛盾,故舍去; 当d=2时,an=2n-1,则b2=a1+a2=4,b3=a2+a3=8, 所以q==2,b1==2,满足题意. 所以an=2n-1,bn=2n.(5分) (2)(-1)kakbk可转化为等差乘等比类型,利用错位相减法可解. 设Tn=(-1)kakbk=(-a1b1)+a2b2+(-a3b3)+a4b4+…+(-a2n-1b2n-1)+a2nb2n, 设tn=a2nb2n-a2n-1b2n-1=(4n-1)22n-(4n-3)22n-1=(2n+)4n,(7分) 则Tn=t1+t2+…+tn=×4+×42+…+(2n+)4n,4Tn=×42+×43+…+(2n+)4n+1, 两式相减得3Tn=-10-2×42-2×43-…-2×4n+(2n+)4n+1,(10分) 所以Tn=+(n-)4n+1, 即(-1)kakbk=+(n-)4n+1.(11分) (3)数列{cn}的前n项和Sn可利用裂项相消法求解. cn===4[-],(15分) Sn=4[-+-+…+-]=4[-]<, 所以对任意的n∈N*,都有Sn<.(17分) 19.【解析】(1)方法一　函数y=在(0,+∞)上单调递增.(1分) 证明如下:由题意,=, 由拉格朗日中值定理知:∀x>0,∃ξ∈(0,x), 使得=f'(ξ),又f(0)=0,则=f'(ξ), 又f'(x)在(0,+∞)上单调递增,则f'(x)>f'(ξ), 则f'(x)>,即xf'(x)-f(x)>0, 所以[]'=>0, 故y=在(0,+∞)上单调递增.(4分) 方法二　不妨取g(x)=,则g(x)=在(0,+∞)上单调递增.(1分) 证明如下:g'(x)=,f(0)=0, 令h(x)=xf'(x)-f(x)(x>0),φ(x)=f'(x), 因为f'(x)在(0,+∞)上单调递增,所以当x>0时,φ'(x)>0,h'(x)=xφ'(x)>0在(0,+∞)上恒成立, 故h(x)在(0,+∞)上单调递增,则h(x)>0, 即g'(x)>0, 故g(x)=在(0,+∞)上单调递增.(4分) (2)∀a,b∈(0,e)且a>b,不等式-+m(-)<0恒成立, 即∀a,b∈(0,e)且a>b,不等式m>恒成立.(5分) 取p(t)=tln t,q(t)=t2,由柯西中值定理知,==(0<t<e), 故∀t∈(0,e),不等式m>恒成立.(7分) 令F(t)=(0<t<e), 则由F'(t)=->0,可得0<t<1,由F'(t)=-<0可得1<t<e, 即F(t)在(0,1)上单调递增,在(1,e)上单调递减, 故t=1时,函数F(t)取得最大值F(1)=,故m>, 即实数m的取值范围为(,+∞).(10分) (3)0<x1<x2<,取m(t)=et,n(t)=sin t, 由柯西中值定理知,=(x1<t<x2).(13分) 因为>et>,所以>, 因为sin x2>sin x1,所以->(sin x2-sin x1).(17分) 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $