2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册综合检测卷（一）

2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册 【本书综合检测卷（一）】 单项选择题 1.[2025大连八中高二期中]在等差数列{an}中,a2=1,a4+a6=14,则{an}的公差为(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 2.[2024枣庄三中高二期中]已知f'(x)为f(x)的导数,且f'(2)=2,则=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.[2025石家庄二中高二期中]函数f(x)=的单调递减区间为(　　) A.(-∞,3) B.(-∞,4) C.(-∞,3)和(3,4) D.(-∞,3)和(3,5) 4.[2025广东省佛山市H7联盟高二联考]函数f(x)的大致图象如图所示,设f(x)的导函数为f'(x),则f(x)f'(x)>0的解集为(　　)  A.(1,4) B.(-∞,4)∪(7,+∞) C.(-∞,1)∪(4,7) D.(1,4)∪(7,+∞) 5.【模块综合】[2025南山中学高二期中]在等比数列{an}中,a3,a7是函数f(x)=x3+4x2+9x-1的极值点,则a5=(　　) A.-3 B.3 C.±3 D.9 6.[2025大连育明高中高二期中]已知函数f(x)=,其导函数记为f'(x),则f(2 026)+f'(2 026)+f(-2 026)-f'(-2 026)=(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 7.[2024衡阳八中模拟]已知数列{an}满足:a1=1,an=an-1+n(n≥2),且bn=,则数列{bn}的前100项和为(　　) A. B. C. D. 8.[2024山东省泰安市高二期中]已知a=,b=,c=,则(　　) A.c>b>a B.a>c>b C.c>a>b D.a>b>c 多项选择题 9.[2025重庆市北碚区高二期末]已知等比数列{an}的公比为-1,前n项和为Sn,则下列说法中正确的是(　　) A.数列{an}是递减数列 B.Sn= C.Sn= D.S10,S20-S10,S30-S20成等比数列 10.[2025临沂一中高二月考]已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,且d≠0,a1,a4,a6成等比数列,则(　　) A.S19=0 B.a9=0 C.当d<0时,S9是Sn的最大值 D.当d>0时,S10是Sn的最小值 11.[2025重庆南开中学高二期末]已知函数f(x)=xln(ax)+x3-x2-x-3,则下列说法正确的有(　　) A.当a=1时,函数f(x)在(0,1)上单调 B.对于任意的正实数a,函数f(x)在(0,+∞)上不单调 C.当a>时,函数f(x)在(0,2)上有且仅有1个零点 D.对于任意的正实数a,函数f(x)在(0,2)上总有极小值 填空题 12.[2025新余四中检测]已知数列{an}中,a1=2,a2=4,an+an+1+an+2=2,则a2 026=　　　　.  13.[2025全国一卷]若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线,则a=　　　　.  14.【情境创新】[2024佛山一中高二期中]如图,某广场内有一半径为50 m的圆形区域,圆心为O,其内接矩形ABCD的内部区域为居民的健身活动场所,已知AB=100 m,为扩大居民的健身活动场所,打算对该圆形区域内部进行改造,方案如下:过圆心O作直径MN,使得MN∥AB,在劣弧上取一点E,过点E作圆O的内接矩形EFGH,使EF∥MN,把这两个矩形所包括的内部区域均作为居民的健身活动场所,其余部分进行绿化,设∠MOE=x. (1)记改造后的居民健身活动场所比原来增加的用地面积为f(x)(单位:m2),则f(x)的解析式为　　　　　　　　　(不需要注明x的范围).  (2)当f(x)取最大值时,x的值为　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)  解答题 15.(13分)[2024余杭高级中学高二期中]设数列{an}满足a1=2,a2=6,且an+2=2an+1-an+2. (1)求证:数列{an+1-an}为等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 16.(15分)[2025深圳中学高二期中]已知函数f(x)=x3+ax2+b在x=-2处取得极大值4. (1)求实数a,b的值; (2)求函数f(x)在区间[-4,1]上的最值. 17.(15分)[2025十堰一中期末]已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=. (1)求{an}的通项公式; (2)若bn=(2n-1)an,记数列{bn}的前n项和为Tn,若Tn+1-1≤4n·λ恒成立,求λ的取值范围. 18.(17分)[2025泉州五中质量检测]设函数f(x)=ex+1-x2-kx. (1)当k=0时,求曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程; (2)若f(x)在区间[-1,+∞)上单调递增,求k的取值范围; (3)当x≥-1时,f(x)≥f(-1),求k的取值范围. 19.(17分)【高考变式】[2025金华一中检测]已知函数f(x)=. (1)当a=1时,求f(x)的单调区间; (2)若方程f(x)=1有两个不同的根x1,x2. (i)求a的取值范围; (ii)证明:+>2. 参考答案 1.B　设等差数列{an}的公差为d,则解得 2.B　根据导数的定义,f'(2)==2,所以=-=-f'(2)=-1. 3.C　由题意得f'(x)=,令f'(x)=<0,得x<4且x≠3,故函数f(x)=的单调递减区间是(-∞,3)和(3,4). 4.D　函数与导函数图象之间的关系 思路导引　原不等式等价于或结合函数f(x)的图象可判断导函数的符号,进而得解. f(x)f'(x)>0,即或即或由题图可知当x∈(-∞,1)∪(4,+∞)时,f'(x)<0,当x∈(1,4)时,f'(x)>0,故的解集为(1,4),的解集为(7,+∞).所以f(x)f'(x)>0的解集为(1,4)∪(7,+∞). 5.A　等比中项+函数的极值点 思路导引　根据函数的极值点的定义可得a3,a7是方程f'(x)=0的两根,结合一元二次方程根与系数的关系得a3,a7的符号,结合等比数列的性质求解a5即可. 由题得f'(x)=x2+8x+9,x∈R,因为a3,a7是函数f(x)=x3+4x2+9x-1的极值点,所以a3,a7是方程x2+8x+9=0的两根,所以从而可得a3<0,a7<0,又因为{an}为等比数列,所以=a3a7=9.设{an}的公比为q,则a5=a3q2<0,所以a5=-3. 6.D　f(x)===+1,令g(x)=,则f(x)=g(x)+1,因为g(-x)==-=-g(x),所以函数g(x)为奇函数,所以g(2 026)+g(-2 026)=[f(2 026)-1]+[f(-2 026)-1]=0,所以f(2 026)+f(-2 026)=2.因为g(-x)=-g(x),所以-g'(-x)=-g'(x),即g'(-x)=g'(x),又f(x)=g(x)+1,所以f'(-x)=f'(x),所以f'(2 026)-f'(-2 026)=0,所以f(2 026)+f'(2 026)+f(-2 026)-f'(-2 026)=2. 7.B　当出现an=an-1+f(n)形式时,用累加法求解.由an=an-1+n(n≥2),得a2=a1+2,a3=a2+3,a4=a3+4,…,an-1=an-2+n-1,an=an-1+n(n≥2),累加得an=a1+2+3+4+…+n=1+2+3+4+…+n=(n≥2),由题可知a1=1也适合上式,故an=(n∈N*).bn===2(-),设数列{bn}的前n项和为Sn,则Sn=b1+b2+b3+…+bn-1+bn=2(1-+-+-+…+-+-)=2(1-)=(裂项相消法求和),故S100==. 8.D　令f(x)=,则f'(x)=,当x>e时,f'(x)>0,当1<x<e时,f'(x)<0,所以f(x)在(1,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,又a=f(e-1),b=f(2),c=f(),且1<e-1<2<e,e<<4,所以a>b,c=f()<f(4)====b,故a>b>c. 9.BC　A(✕)∵等比数列{an}的公比为-1,∴an=(-1)n-1a1,∴数列{an}是摆动数列. B(√)Sn===. C(√)Sn==. D(✕)∵公比为-1,∴S10=S20=S30=0,无法构成等比数列. 10.ACD　A(√)B(✕)因为a1,a4,a6成等比数列,所以a1a6=,即a1(a1+5d)=,整理得a1d=-9d2,因为d≠0,所以a1=-9d,所以a10=a1+9d=0,则a9≠0,S19==19a10=0. C(√)当d<0时,{an}单调递减,此时a1>a2>…>a9>a10=0>a11>…,所以当n=9或n=10时,Sn取得最大值,即=S9=S10. D(√)当d>0时,{an}单调递增,此时a1<a2<…<a9<a10=0<a11<…,所以当n=9或n=10时,Sn取得最小值,即=S9=S10. 11.BC　A(✕)当a=1时,f(x)=xln x+x3-x2-x-3,则f'(x)=ln x+3x2-x=ln x+3(x-)2-,因为y=ln x,y=3(x-)2-在区间(,1)上均单调递增,所以f'(x)在区间(,1)上单调递增,又f'()=ln+-×=-ln 2-<0,f'(1)=0+3-=>0,所以∃x0∈(,1),f'(x0)=0.当x∈(,x0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(x0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)在(0,1)上不单调. B(√)当a>0时,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln(ax)+3x2-x,令g(x)=ln(ax)+3x2-x,则g'(x)=+6x-=,对于y=12x2-5x+2,因为Δ=25-4×2×12=-71<0,所以12x2-5x+2>0恒成立,所以g'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,故g(x)在区间(0,+∞)上单调递增,故f'(x)在区间(0,+∞)上单调递增,又当x→0时,f'(x)→-∞,当x→+∞时,f'(x)→+∞,所以f'(x)在区间(0,+∞)上存在零点x1.当x∈(0,x1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(x1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以函数f(x)在(0,+∞)上不单调. C(√)由选项B知f'(x)在区间(0,+∞)上单调递增,又f'(2)=ln(2a)+7,且a>,则f'(2)>0,又x→0时,f'(x)→-∞,所以∃x2∈(0,2),f'(x2)=0,当x∈(0,x2)时,f'(x)<0,当x∈(x2,2)时,f'(x)>0,故f(x)在区间(0,x2)上单调递减,在区间(x2,2)上单调递增,又x→0时,f(x)→-3<0,f(2)=2ln(2a)-2>0,所以当a>时,函数f(x)在(0,2)上有且仅有1个零点. D(✕)由选项B知f'(x)在区间(0,+∞)上单调递增,又f'(2)=ln(2a)+7,当a<时,f'(2)<0,故在(0,2)上,f'(x)<0恒成立,故f(x)在(0,2)上无极值点. 12.2　由an+an+1+an+2=2可得an+2=2-an-an+1,又a1=2,a2=4,所以a3=-4,a4=2,a5=4,a6=-4,a7=2,a8=4,a9=-4,…,所以数列{an}是以3为周期的周期数列,故a2 026=a675×3+1=a1=2. 13.4　设直线y=2x+5与曲线y=ex+x+a的切点坐标为(x0,+x0+a),由y=ex+x+a得y'=ex+1,所以y' =+1=2,解得x0=0,所以切点坐标为(0,1+a),又切点(0,1+a)在切线y=2x+5上,所以1+a=5,解得a=4. 14.f(x)=15 000sin 2x-10 000　第一空:如图,设OM与EH相交于点P,OM与BC相交于点Q,依题得OP=50cos x,EP=50sin x,OQ=50,则PQ=50cos x-50,由PQ>0得cos x>,所以f(x)=4×50sin x(50cos x-50),即f(x)=15 000sin 2x-10 000sin x. 第二空:因为f'(x)=10 00(3cos 2x-cos x)=10 000×(6cos2x-cos x-3),所以f'(x)=10 00(3cos x+)(2cos x-),令f'(x)=0,解得cos x=或cos x=-(不合题意,舍去).由cos x=得x=,连接OC,设x0=∠COM,则cos x0=,则x∈(0,x0).当x∈(0,)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(,x0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.所以当x=时,f(x)取得最大值. 15.【解析】(1)因为an+2=2an+1-an+2, 所以(an+2-an+1)-(an+1-an)=2, 又a2-a1=4, 所以数列{an+1-an}是以4为首项,2为公差的等差数列.(6分) (2)由(1)得an+1-an=4+2(n-1)=2n+2, 当n≥2时, an=(an-an-1)+…+(a2-a1)+a1 =2n+…+4+2 = =n2+n.(12分) 当n=1时,a1=2也满足上式, 所以an=n2+n(n∈N*).(13分) 16.【解析】(1)由题可知f'(x)=3x2+2ax,(1分) 由解得a=3,b=(已知函数的极值求参数的解答题,求出参数的值后一定要进行检验).(3分) 此时f(x)=x3+3x2,f'(x)=3x2+6x=3x(x+2),(4分) 当x∈(-∞,-2)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增, 当x∈(-2,0)时,f'(x)<0,所以f(x)在(-2,0)上单调递减, 当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以f(x)在x=-2处取得极大值,满足题意. 所以a=3,b=0.(8分) (2)由(1)可知,f(x)在[-4,-2)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增. 又因为f(-4)=-16,f(-2)=4,f(0)=0,f(1)=4, 所以函数f(x)在区间[-4,1]上的最大值为4,最小值为-16.(15分) 17.错位相减法求和+an与Sn关系+数列不等式恒成立问题 思路导引　(1)方法一　根据Sn+1-Sn=an+1作差得到an+2=3an+1,即可求出公比,再求出a1,即可得解; 方法二　设数列{an}的公比为q(q≠0),令n=1、n=2,即可求出a1,q,即可求出通项公式. (2)由(1)可得bn=(2n-1)·3n-1,利用错位相减法求出Tn,参变分离可得λ≥,令cn=,利用作商法判断cn的单调性,即可求出cn的最大值,即可得解. 【解析】(1)方法一　由Sn=,可得Sn+1=, 两式相减可得an+1=,则an+2=3an+1,又{an}为等比数列,所以数列{an}的公比为3.(3分) 所以a2=3a1,当n=1时,S1=,则a1=,解得a1=1,(4分) 所以an=1×3n-1=3n-1.(5分) 方法二　设数列{an}的公比为q(q≠0), 当n=1时,a2-1=2S1=2a1,即a1q-1=2a1,(2分) 当n=2时,a3-1=2S2,即a1q2-1=2(a1+a1q), 解得所以an=a1qn-1=3n-1.(5分) (2)由(1)可得bn=(2n-1)an=(2n-1)·3n-1,(6分) 所以Tn=1+3×3+32×5+…+3n-1·(2n-1), 则3Tn=3×1+32×3+33×5+…+3n·(2n-1), 所以Tn-3Tn=-2Tn=1+2×(3+32+…+3n-1)-3n·(2n-1), 即-2Tn=1+2×-3n·(2n-1)=1+3n-3-3n·(2n-1)=-2-3n(2n-2), 解得Tn=1+3n·(n-1)(如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比,然后作差求解).(9分) 由Tn+1-1≤4n·λ,可得λ≥, 令cn=,则==, 当1≤n<3时,=>1,当n=3时,==1, 当n>3时,=<1,所以c1<c2<c3=c4,c4>c5>c6>c7>…,　 所以λ≥c3=,所以λ的取值范围为[,+∞).(15分) 18.【解析】(1)当k=0时,f(x)=ex+1-x2,可得f'(x)=ex+1-2x, 则曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线斜率为f'(-1)=3,又f(-1)=0, 所以曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程为y=3x+3.(3分) (2)由f(x)=ex+1-x2-kx,可得f'(x)=ex+1-2x-k,(4分) 因为f(x)在区间[-1,+∞)上单调递增,所以当x∈[-1,+∞)时,f'(x)≥0恒成立.(5分) 令F(x)=f'(x)=ex+1-2x-k,则F'(x)=ex+1-2, 令F'(x)=0,解得x=ln 2-1>-1, 所以当x∈(-1,ln 2-1)时,F'(x)<0,故F(x)单调递减; 当x∈(ln 2-1,+∞)时,F'(x)>0,故F(x)单调递增. 所以当x∈[-1,+∞)时,F(x)min=F(ln 2-1)=4-2ln 2-k,(8分) 又因为f'(x)≥0恒成立,所以F(x)min≥0,即4-2ln 2-k≥0,解得k≤4-2ln 2. 所以实数k的取值范围为(-∞,4-2ln 2].(10分)  (3)因为f(-1)=k,所以题意等价于当x≥-1时,f(x)≥k, 即∀x∈[-1,+∞),ex+1-x2-kx≥k,整理得ex+1-x2≥k(x+1).(11分) 当x=-1时,显然f(-1)≥f(-1)恒成立. 当x>-1时,x+1>0,故∀x∈(-1,+∞),≥k,即k≤()min.(12分) 设G(x)=,x∈(-1,+∞),可得G'(x)==, 令g(x)=ex-x-1,x∈R,可得g'(x)=ex-1. 当x<0时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>0时,g'(x)>0,g(x)单调递增. 故当x=0时,g(x)取到最小值,即g(x)≥g(0)=0,即ex≥x+1, 所以ex+1≥x+2,即ex+1-x-2≥0, 所以当x∈(-1,0)时,G'(x)<0,G(x)单调递减, 当x∈(0,+∞)时,G'(x)>0,G(x)单调递增,所以G(x)的最小值为G(0)=e, 故k≤e,即实数k的取值范围为(-∞,e].(17分) 【解析】(1)当a=1时,f(x)=,x∈(0,+∞),则f'(x)=-, 由f'(x)=0,解得x=1.(2分) 当0<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减. 综上可知,f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).(4分) (2)(i)由=1,得=a( 求参数的取值范围,常常需要先进行参数分离).(5分) 设g(x)=, 由(1)得g(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减, 又g()=0,g(1)=1,当x>1时,g(x)>0,且当x→+∞时,g(x)→0,故g(x)的图象如图所示:  结合图象可知,当0<a<1时,直线y=a与g(x)的图象有两个交点, 所以当0<a<1时,方程=a有两个不同的根,即方程=1有两个不同的根, 故a的取值范围是(0,1).(10分) (ii)不妨设x1<x2,则0<x1<1<x2,且=.(11分) 方法一　当x2∈[2,+∞)时,+>≥4>2,即+>2.(12分) 当x2∈(1,2)时,2-x2∈(0,1). 设p(x)=g(x)-g(2-x)=+--, 当0<x<1时,p'(x)=-->--=->0, 所以p(x)在区间(0,1)上单调递增, 则当0<x<1时,p(x)<p(1)=0,即g(x)<g(2-x), 所以g(2-x1)>g(x1)=g(x2).(15分) 又x1∈(0,1),2-x1>1,x2>1,g(x)在区间(1,+∞)上单调递减, 所以2-x1<x2,即x1+x2>2, 又x1≠x2,所以+>2x1x2, 故2+2>++2x1x2=(x1+x2)2>4, 所以+>2,得证.(17分) 方法二　设h(x)=g(x)-g()=-x(1-ln x),x∈(0,+∞), 则h'(x)=+ln x=ln x·≥0, 所以h(x)在区间(0,+∞)上单调递增,又h(1)=0, 所以h(x1)=g(x1)-g()<0,即g(x1)<g().(14分) 又g(x2)=g(x1),所以g(x2)<g().(15分) 又x2>1,>1,g(x)在区间(1,+∞)上单调递减. 所以x2>,即x1x2>1, 又x1≠x2,所以+>2x1x2>2,得证.(17分) 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $