第一章-第四章滚动测试卷期末综合测试-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第一章~第四章滚动测试卷 【期末综合测试】 单项选择题 1.[2025怀化三中高二期末]首项为1的数列{an}满足an+1=+1,则a4=(　　) A.2 B.5 C.21 D.26 2.[2025东莞中学高二期末]两条平行直线x-y-1=0与2x-2y+3=0间的距离为(　　) A.4 B.2 C. D. 3.[2025全国二卷]记Sn为等差数列{an}的前n项和.若S3=6,S5=-5,则S6=(　　) A.-20 B.-15 C.-10 D.-5 4.[2024山东省泰安市高二期末]已知直线l的方向向量为u=(1,-2,2),则向量a=(-1,1,2)在直线l上的投影向量的坐标为(　　) A.(,-,) B.(-,,) C.(-,,) D.(,-,) 5.[2024福建师大附中高二期末]若圆(x-a)2+y2=1(a≥0)与圆x2+(y-2)2=25有公共点,则实数a的取值范围是(　　) A.[2,4] B.[1,5] C.[0,2] D.[5,4] 6.[2025盐城中学高二期末]某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥(如图),该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为25 m,拱顶距水面12 m,该处路面厚度约 m.若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景,使其落在抛物线的焦点处,则绳子最合适的长度是(　　)  A.4 m B.5 m C.6 m D.7 m 7.[2025丰城九中高二开学考试]如图,已知点P为双曲线-=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,且|F1F2|=,I为△PF1F2的内心,若=+λ,则λ的值为(　　) A. B. C. D. 8.[2025合肥一中高二期末]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,AD=b,AA1=c,线段A1C1与B1D1交于点O1,点P为空间中任意一点,则·(+++)的最小值为(　　) A.-c2 B.-b2 C.- D.- 多项选择题 9.[2024福州一中高二期末]设等比数列{an}的公比为q,前n项积为Tn,并且满足条件0<a1<1,a8a9>1,a8a9+1<a8+a9,则下列结论正确的是(　　) A.q>1 B.a8a10<1 C.T17>1 D.Tn的最小值为T9 10.[2025辽宁省实验中学高二期末]如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,AB⊥AC,点E为B1C1的中点,则下列说法正确的是(　　)  A.AE= B.AB1∥平面A1CE C.异面直线AE与A1C所成角的余弦值为 D.直线BC与平面ACE所成角的余弦值为 11.[2025山东省实验中学高二期末]数学中有许多形状优美的曲线,如图,曲线E:x2+(y-|x|)2=1与x轴交于A,B两点,与y轴交于C,D两点,点P是E上一个动点,则(　　)  A.点(1,2)在曲线E上 B.△PAB面积的最大值为1 C.曲线E恰好经过3个整点(即横、纵坐标均为整数的点) D.若|PC|+|PD|=2,则点P的坐标为(-,)或(,) 填空题 12.[2025人大附中高二期末改编]向量a=(2,-1,2),b=(-4,2,x),a⊥b,则|2a+b|=　　　　.  13.【综合运用】[2025湖南师大附中高二期末改编]若双曲线C:-=1(a>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为,则双曲线C的离心率为　　　　.  14.【探索新定义】[2025漳州一中高二期末]已知数列{an}满足a1=1,且对任意n∈{2,3,4,…},都存在i∈{1,2,…,n-1},使得an=ai+2,则a5=　　　　(写出所有可能的取值);若数列{bn}中bk满足:存在j∈{1,2,…,k-1}使得bk=bj,则称bk具有性质P.若数列{an}前30项中恰有3项具有性质P,且这3项的积为27,则{an}前30项和为　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)  解答题 15.(13分)[2025深圳外国语学校高二期末]已知圆C的圆心在直线2x-y-5=0上,且经过点A(0,3),B(4,-1). (1)求圆C的标准方程; (2)求过原点且与圆C相切的直线方程. 16.(15分)[2025淄博实验中学高二期末]已知动点M到点(6,0)的距离比它到直线x+8=0的距离小2,记动点M的轨迹为C. (1)求C的方程; (2)直线l与C相交于A,B两点,若线段AB的中点坐标为(4,-2),求直线l的方程. 17.(15分)[2024全国甲卷理]记Sn为数列{an}的前n项和,已知4Sn=3an+4. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn=(-1)n-1nan,求数列{bn}的前n项和Tn. 18.(17分)[2025重庆南开中学、巴蜀中学等校高二期末]如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AE⊥CD,AB=AE=1,CD=3,把三角形DAE沿着AE翻折,得到如图所示的四棱锥D-ABCE,记二面角D-AE-C的平面角为θ.  (1)当θ=90°时,求证:CB⊥平面BDE. (2)当θ=60°时, (i)求点D到底面ABCE的距离; (ii)设M是侧棱DC上一点,若二面角D-BE-M的余弦值为,求的值. 19.(17分)【探索创新】[2024盐城中学高二期末]如图,已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,短轴上、下端点分别为A,B.若四边形AF1BF2为正方形,且AF1=. (1)求椭圆的离心率; (2)若C,D分别是椭圆长轴的左、右端点,动点M满足·=,P点在椭圆上,且满足=sin2θ+cos2θ,求·的值(O为坐标原点); (3)在(2)的条件下,试问在x轴上是否存在异于C点的定点N,使PD⊥MN,若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由. 参考答案 1.D　由题意可得a2=+1=1+1=2,a3=+1=4+1=5,a4=+1=25+1=26. 2.C　x-y-1=0可化为2x-2y-2=(求两平行直线间的距离,先将x,y的系数化为对应相等的形式),故这两条平行直线间的距离为d==. 3.B　根据S3=3a2=6得a2=2,根据S5=5a3=-5得a3=-1,所以{an}的公差d=a3-a2=-3,所以a6=a3+3d=-10,所以S6=S5+a6=-5-10=-15. 4.D　直线l的方向向量为u=(1,-2,2),a=(-1,1,2),则u·a=1,|u|==3,则向量a=(-1,1,2)在直线l上的投影向量的坐标为·=·(1,-2,2)=(,-,). 5.A　圆(x-a)2+y2=1的圆心为C1(a,0),半径为r1=1,圆x2+(y-2)2=25的圆心为C2(0,2),半径为r2=5.因为两圆有公共点,所以两圆相切或相交,则有r2-r1≤|C1C2|≤r2+r1,即4≤≤6,解得12≤a2≤32,又a≥0,所以2≤a≤4. 6.B　以拱形部分的顶点为坐标原点,过顶点的水平线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示.设抛物线方程为x2=-2py(p>0),由题意知点(,-12)在抛物线上,所以()2=-2p×(-12),所以p=,所以抛物线方程为x2=-y,所以焦点坐标为(0,-),所以绳子最合适的长度是+=≈5(m). 7.C　利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 解题路线　设△PF1F2的内切圆半径为r(r>0) |PF1|-|PF2|=2λc λ与a,c的关系式 2a2+3ac-2c2=0 关于λ的方程→结果. 设△PF1F2的内切圆半径为r(r>0)(三角形内心为内切圆圆心),因为=+λ,所以r|PF1|=r(|PF2|+2λc),可得|PF1|-|PF2|=2λc.因为点P为双曲线-=1(a>0,b>0)右支上一点,所以|PF1|-|PF2|=2a,可得2a=2λc,解得λ=.又|F1F2|=,所以2c=,整理得2a2+3ac-2c2=0,即2λ2+3λ-2=(左右两边同除以c2),解得λ=或λ=-2(舍去). 8.A　求空间向量的数量积+空间向量的加减运算 思路导引　连接AC与BD交于点O,连接OO1,记OO1的中点为G,AD,BC的中点分别为E,F,连接EF,利用空间向量的运算可得+++=4,则·(+++)可化为4(-),进而可得答案. 如图,连接AC与BD交于点O,连接OO1,记OO1的中点为G,AD,BC的中点分别为E,F,连接EF,则O为EF的中点,+++=(+)+(+)=2+2=2(+)=4.因为AA1=c,所以OO1=c,GO1=,所以·(+++)=·4=4(+)·(+)=4(+)·(-)=4(-)=4[-()2]=4(-),所以当P与G重合时,取得最小值0,此时·(+++)取得最小值,为-c2. 9.AC　A(√)根据题意,等比数列{an}的公比为q,由a8a9>1,知q>0,若a8a9+1<a8+a9,则a8a9+1-a8-a9<0,变形得(a8-1)(a9-1)<0,又q>0且0<a1<1,所以a8<1<a9,故q=>1. B(✕)结合A知a8a10=>1. C(√)T17=a1a2a3…a16a17=(a1a17)(a2a16)…a9=(a9)17>1. D(✕)因为q>1且0<a1<1,所以等比数列{an}为递增数列,而a8<1<a9,则Tn的最小值为T8. 10.BC　如图,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系A-xyz, 则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,0,0),B1(0,2,2),C1(2,0,2),A1(0,0,2),E(1,1,2). A(✕)=(1,1,2),所以AE=||==. B(√)=(2,0,-2),=(1,1,0),=(0,2,2),设平面A1CE的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则y=-1,z=1,所以n=(1,-1,1),所以·n=0,即⊥n,又AB1⊄平面A1CE,所以AB1∥平面A1CE( 取BC的中点F,连接AF,B1F,易知AF∥A1E,CE∥B1F,所以平面AB1F∥平面A1CE,又AB1⊂平面AB1F,所以AB1∥平面A1CE). C(√)=(1,1,2),=(2,0,-2),则·=-2,||=,||=2,所以|cos<,>|===,即异面直线AE与A1C所成角的余弦值为. D(✕)设平面ACE的法向量为m=(a,b,c),则令c=1,则a=0,b=-2,所以m=(0,-2,1),又=(2,-2,0),所以直线BC与平面ACE所成角的正弦值为|cos<,m>|===,故直线BC与平面ACE所成角的余弦值为=. 11.BD　由方程研究曲线的性质+椭圆 思路导引　将点(1,2)代入曲线方程的左侧判断A;由方程取y=0求点A,B的坐标,取x=0求点C,D的坐标,进而求直线y=与曲线的交点,由此判断B;求直线x=±1与曲线的交点并结合B选项,判断C;求到点C,D的距离和为2的点的轨迹,求该轨迹与已知曲线的交点,由此判断D. A(✕)将点(1,2)代入曲线E的方程的左侧可得12+(2-1)2=2≠1,所以点(1,2)不在曲线E上. B(√)由x2+(y-|x|)2=1,取y=0可得2x2=1,解得x=±,所以A(-,0),B(,0),所以|AB|=;取x=0,可得y2=1,故y=±1,所以C(0,-1),D(0,1);取y=,可得x2+(-|x|)2=1,所以2x2-2|x|+1=0,即(|x|-1)2=0,所以x=±,所以直线y=与曲线E交于点(±,).由曲线E:x2+(y-|x|)2=1可得y=|x|±,因为0≤1-x2≤1,所以设x=cos θ(θ∈R),当x≥0时,y=cos θ±sin θ=cos(θ±)≤,所以点P的纵坐标的绝对值的最大值为,所以△PAB面积的最大值为×|AB|×=××=1. C(✕)由x2+(y-|x|)2=1,取x=±1,可得y=1,所以直线x=1与曲线E交于点(1,1),直线x=-1与曲线E交于点(-1,1),结合B选项,可知曲线E经过整点(0,1),(0,-1),(1,1),(-1,1). D(√)坐标平面内到两定点C,D的距离和为2的点的轨迹为以C,D为焦点,长轴长为2的椭圆,设椭圆方程为+=1(a>b>0),由已知a=,又C(0,-1),D(0,1),故b2=3-1=2,所以椭圆方程为+=1.联立得+=2x2+y2-2|x|y,所以9x2+4y2-12|x|y=0,即(3|x|-2y)2=0,所以3|x|-2y=0,所以x2+(-|x|)2=1,解得x=±,故椭圆+=1与曲线E的交点为(-,),(,),即点P的坐标为(-,)或(,). 12.9　因为a⊥b,所以a·b=-8-2+2x=0,解得x=5,则2a+b=2(2,-1,2)+(-4,2,5)=(0,0,9),所以|2a+b|=9. 13.　圆与双曲线的综合+双曲线离心率的求解 思路导引　首先确定双曲线的渐近线方程,结合圆的方程可确定两渐近线被圆所截得的弦长相等,利用垂径定理可构造方程求得a的值,进而根据离心率e=可求得结果. 由双曲线方程,得渐近线方程为y=±x.由圆的方程知,圆心为(2,0),半径r=2.∵y=x与y=-x的图象关于x轴对称,圆也关于x轴对称,∴两条渐近线被圆所截得的弦长相等,不妨取y=x,即ax-2y=0,则圆心到直线ax-2y=0的距离d=,∴弦长为2=2=,解得a=,∴双曲线的离心率e======. 14.3,5,7,9　790　等差数列的前n项和+数列新定义 思路导引　根据题意依次代入即可求解a5;先根据性质P得a2=a3=a4=3,从第4项开始{an}是以3为首项,2为公差的等差数列,再根据等差数列求和公式即可求解. 第一空:当n=2时,a2=a1+2=3;当n=3时,a3=a1+2=3,或a3=a2+2=5,即a3=3,5;当n=4时,a4=a1+2=3,或a4=a2+2=5,或a4=a3+2=5,7,即a4=3,5,7;当n=5时,a5=a1+2=3,或a5=a2+2=5,或a5=a3+2=5,7,或a5=a4+2=5,7,9.综上所述,a5的所有可能取值为3,5,7,9. 第二空:因为{an}中恰有3项具有性质P,且这3项的积为27,a1=1,a2=3,可得a2=a3=a4=3,即a2,a3,a4具有性质P,可知从第4项开始是以3为首项,2为公差的等差数列,所以an=1+2×3+3×27+×2=790. 15.【解析】(1)A(0,3),B(4,-1),则线段AB的中点为(2,1),直线AB的斜率kAB==-1, 则线段AB的垂直平分线的斜率为=1,方程为y-1=x-2,即y=x-1.(2分) 由解得x=4,y=3,因此圆C的圆心为C(4,3),半径r=|AC|=4, 所以圆C的标准方程为(x-4)2+(y-3)2=16.(6分) (2)过原点且斜率不存在的直线为x=(不知道直线斜率是否存在时要注意讨论斜率不存在时的情况), 点C(4,3)到直线x=0的距离为4=r, 所以直线x=0与圆C相切;(9分) 当切线斜率存在时,设切线方程为y=kx,即kx-y=0,点C(4,3)到该直线的距离为=4, 解得k=-,因此切线方程为7x+24y=0.(12分) 所以过原点且与圆C相切的直线方程为x=0或7x+24y=0.(13分) 16.【解析】(1)由题意知动点M到点(6,0)的距离等于到直线x=-6的距离, 即动点M的轨迹是以(6,0)为焦点,x=-6为准线的抛物线, 所以轨迹C的方程为y2=24x.(6分) (2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),则 两式相减得-=24(x1-x2),整理可得=.(8分) 因为线段AB的中点坐标为(4,-2),所以y1+y2=2×(-2)=-4, 所以直线l的斜率k===-6, 故直线l的方程为y-(-2)=-6(x-4),即6x+y-22=0.(15分) 17.【解析】(1)第一步:根据数列中an和Sn的关系求数列{an}的递推关系 因为4Sn=3an+4,　① 所以当n≥2时,4Sn-1=3an-1+4,　②(1分) 则当n≥2时,①-②得4an=3an-3an-1,即an=-3an-1(数列中an和Sn的关系:当n≥2时,an=Sn-Sn-1;当n=1时,a1=S1 ).(3分) 第二步:求出a1 当n=1时,由4Sn=3an+4得4a1=3a1+4,所以a1=4≠0,(4分) 第三步:求数列{an}的通项公式 所以数列{an}是以4为首项,-3为公比的等比数列( 由an=-3an-1(n≥2)还不能说数列{an}是等比数列,必须说明其首项不为0才可以), 所以an=4×(-3)n-1(若一个数列{an}的前n项和Sn与an满足Sn=pan+r,且p≠0,p≠1,r≠0,则数列{an}是等比数列.所以由本题所给条件4Sn=3an+4,可以立刻判断出数列{an}是等比数列).(6分) (2)方法一(错位相减法)　第一步:求出数列{bn}的通项公式 因为bn=(-1)n-1nan=(-1)n-1n×4×(-3)n-1=4n·3n-1,(8分) 第二步:利用错位相减法求Tn 所以Tn=4×30+8×31+12×32+…+4n·3n-1, 所以3Tn=4×31+8×32+12×33+…+4n·3n,(10分) 两式相减得-2Tn=4+4(31+32+…+3n-1)-4n·3n=4+4×-4n·3n=-2+(2-4n)·3n,(13分) 所以Tn=1+(2n-1)·3n(若一个数列的通项为anbn的形式,其中数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列,则求数列{anbn}的 前n项和时,可以利用错位相减法).(15分) 方法二(裂项求和)　第一步:求出数列{bn}的通项公式 bn=(-1)n-1nan=(-1)n-1n×4×(-3)n-1=4n·3n-1,(8分) 第二步:利用待定系数法对bn进行裂项 令bn=(kn+b)·3n-[k(n-1)+b]·3n-1, 则bn=(kn+b)·3n-[k(n-1)+b]·3n-1=3n-1[3kn+3b-k(n-1)-b]=(2kn+2b+k)·3n-1, 所以解得 即bn=(2n-1)·3n-[2(n-1)-1]·3n-1=(2n-1)·3n-(2n-3)·3n-1,(13分) 第三步:求和 所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=1×31-(-1)×30+3×32-1×31+5×33-3×32+…+(2n-1)·3n-(2n-3)·3n-1 =(2n-1)·3n-(-1)×30=(2n-1)·3n+1.(15分) 18.【解析】(1)∵翻折前AE⊥CD,∴翻折后CE⊥AE,ED⊥AE, 由二面角的定义可知,二面角D-AE-C的平面角θ=∠CED.(1分) 方法一　当θ=90°时,∠CED=90°,即ED⊥CE,故ED,CE,AE两两垂直, 以点E为坐标原点,以,,的方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系, 则B(1,1,0),C(0,2,0),D(0,0,1),E(0,0,0),=(0,0,1),=(1,1,0),=(1,-1,0), 则·=(1,-1,0)·(0,0,1)=0,即CB⊥ED;(3分) ·=(1,-1,0)·(1,1,0)=0,即CB⊥EB.(4分) 又DE∩BE=E,DE,BE⊂平面BDE, ∴CB⊥平面BDE.(5分) 方法二　当θ=90°时,∠CED=90°,即ED⊥CE. 又∵DE⊥AE,且AE∩CE=E,AE,CE⊂平面ABCE, ∴DE⊥平面ABCE. ∵BC⊂平面ABCE,∴DE⊥BC.(3分) 又∵在△BCE中,易知BE=,BC=,CE=2, 满足BE2+BC2=CE2,∴CB⊥BE.(4分) 又DE∩BE=E,DE,BE⊂平面BDE, ∴CB⊥平面BDE.(5分) (2)当θ=60°时, (i)由(1)知CE⊥AE,ED⊥AE,DE∩CE=E,DE,CE⊂平面CDE, ∴AE⊥平面CDE,又∵AE⊂平面ABCE, ∴平面DCE⊥平面ABCE.(7分) 在平面DCE内,过点D作DO⊥CE,垂足为O, 又平面DCE∩平面ABCE=CE,故DO⊥平面ABCE, ∴DO即为点D到平面ABCE的距离. 在Rt△DOE中,∠CED=60°,DE=1,故DO=,即点D到底面ABCE的距离为.(9分) (ii)第一步:建系 由(i)知,可建立如图所示的空间直角坐标系.   (10分) 第二步:设=λ,分别求出平面DBE和平面BEM的法向量 故D(0,0,),E(0,-,0),B(1,,0),C(0,,0), 设M(0,y,z),=λ,则(0,y,z-)=λ(0,,-),即M(0,λ,(1-λ)).(11分) 设平面DBE的法向量为m=(x1,y1,z1), =(0,,),=(1,1,0), 则即 令x1=1,得y1=-1,z1=,即m=(1,-1,).(13分) 设平面BEM的法向量为n=(x2,y2,z2), =(0,λ+,(1-λ)),=(1,1,0), 则即 令x2=1,得y2=-1,z2=,即n=(1,-1,).(15分) 第三步:通过向量夹角公式即可求解λ的值,进而得 ∵二面角D-BE-M的余弦值为, ∴|cos<m,n>|===, 解得λ=,即=.(17分) 19.椭圆的离心率+定点问题 思路导引　(1)依题可得b=c且b2+c2=2,即可求出a,b,c,从而得解;(2)易知P,C,M三点共线,设CM的方程为y=k(x+),联立直线与椭圆方程,求出交点的横坐标,即可得到P点坐标,由·=,可得·=0,即MD⊥DC,从而求出M点坐标,即可求出·的值;(3)设N(n,0),表示出kPD,kMN,根据斜率之积为-1求出n即可. 【解析】(1)因为四边形AF1BF2为正方形,且AF1=,所以b=c且b2+c2=2,(2分) 又a=,所以b=c=1,a=,所以e===.(4分) (2)由(1)知,椭圆方程为+y2=1,如图所示, 因为=sin2θ+cos2θ,sin2θ+cos2θ=1,所以P,C,M三点共线.(5分) 依题意CM的斜率存在,设CM的方程为y=k(x+), 联立可得(1+2k2)x2+4k2x+4k2-2=0, 解得x1=-,x2=,(7分) 即所以P(,).(8分) 又·=,·(+)=,即+·=, 所以·=0,所以MD⊥DC.(10分) 联立解得所以M(,2k), 所以=(,2k),=(,), 所以·=+==2.(12分)   (3)假设存在N(n,0),使PD⊥MN,如图,连接MN, 则kPD==-,kMN=,(14分) 所以-·=-1,得=-n,故n=0, 即存在一点N(0,0)满足条件.(17分) 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $