专题05 双曲线与方程（6大题型）（期末真题分类汇编 陕西专用）高二数学上学期

丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 专题05 双曲线与方程 (6大题型) ☆6大高频考点概览 考点01双曲线的定义与方程 考点02双曲线的离心率 考点03直线与双曲线的位置关系 考点04双曲线的弦长、中点弦、切线问题 考点05双曲线中的定点、定值问题 考点06双曲线中的向量问题 双曲线的定义与方程 目目 考点01 1.(425高=上陕西宝鸡金台区期未双面线号若=1a>0的两个焦点分别是F1、F2,焦距为8，M是 双曲线上的一点，且MF1=5,则MF2=() A.9 B.1 C.9或1 D.5-47 2.(2425高二上陕西榆林第一中学期末)已知双曲线c答若=1〔a>0)的左，右焦点分别为P1,P2,以线段 F1F2为直径的圆与双曲线C在第二象限内的交点为M若sin-MF1F2=,则原点0到直线MF2的距离为() A.月 B.1 c. D.2 3.2425高二上陕西安康期末)已知双曲线c塔是=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为P1P2,第一象限 内的点P在C上，且PF2=FF2l=PF1,则C的离心率为() A.昌 B.月 c. D.3 4Q2,23高二上陕西西安周至县第六中学期未已知双曲线二。号=1的两焦点分别为F1、P2,双曲线上 点P到F,的距离为7，则P到F2的距离为() A号 B.月 c. D. 5.(21-22高二上陕西渭南华阴·期末)一动圆P过定点M(-4,0),且与己知圆N:(x-4)2+y2=16相切，则 动圆圆心P的轨迹方程是() A.学+若=1 B.苦+=1 1/14 丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 c等品=1 D.品=1 6.(21-2高二上陕西西安中学期末已知F是双曲线-号=1的左焦点，4(1,4，P呢双曲线右支上的动点， 则PFI+IPA的最小值为() A.9 B.8 C.7 D.6 7.(24-25高二上陕西咸阳期末)已知双曲线C经过点(0，V3,离心幸为，则双曲线C的标准方程为() 3 A.2-苦=1 B.若y2=1 c.y2-号=1 D.x2=1 8.1011高二上陕西宝鸡金台区期末)若方程号+二=1表示双曲线，则实数k的取值范围是《)） A.k<1 B.1<k<3 C.k>3 D.k<1或k>3 9.(②3-24高二上陕西西安莲湖区期末)已知F(23,0)为双曲线C:-上=1的一个焦点，则C的渐近线的方程 4 m 为() A.x±V2y=0 B.V2x±y=0 C.2x±y=0 D.x±2y=0 10.2,23高二上陕西西安鄂邑区期末)双曲线的标准方程为x2-苦=1，则下列说法正确的是《) A.该曲线两顶点的距离为23 B.该曲线与双曲线y2-号=1有相同的渐近线 C.该曲线上的点到右焦点距离的最小值为1 D.该曲线与直线y=V3(x-2)有两个公共点 1.22-23高二上陕西榆林期末)已知双曲线C:x2-三=1的一个焦点为(-5,0)，则双曲线C的一条渐近 线方程为() A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0 C.x+2y=0 D.2x+y=0 12.Q12高=上陕西渭南富平县期末已知命题pk∈(1,2)，方程，。片=1都表示双曲线，命题q: 抛物线y=8x2的焦点坐标为(2,0)，则下列判断正确的是（) A,p是假命题 B,q是真命题 2/14 丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 C.pA(q)是真命题 D.pVq是假命题 13.2122高二上陕西渭南富平县期末已知命题p:vk∈(1,2②，方程，片=1都表示双曲线；命题g: 抛物线y=8x2的焦点坐标为(2,0).则下列命题是真命题的是() A.p B.pAq C.(p)vq D.pA(q) 14.Q2,23高二上山西智城第二中学校月考)者方程，千=1表示焦点在)轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为() A.(-∞，-2) B.(-2,-1) C.(-2,2) D.(-1,1) 15。(2021高二上院西延安宝塔区第四中学期末)设P是双曲线誉号=1上的动点，则点P到该双曲线两个 焦点的距离之差的绝对值为 16。Q1,2高二上陕西西北农林科技大学阴属中学期末)若方程二+二=1表示焦点在)轴上的双曲线， 则实数k的取值范围是· 17.(23-24高二上陕西宝鸡渭滨区期末)已知Rt△ABC中，AB=3,AC=1,∠A-7,以B、C为焦点的双 曲线器兰=1(a>0b>0)经过点4，且与AB边交于点D,则0的值为一· 18.21-2高二上陕西西安周至县第四中学期末双曲线名号=1右支上的一点P到右焦点的距离为12， 则P点到左焦点的距离为 19.(Q2-23高二下陕西安康汉滨区七校期末)设户1，F2为双曲线号片=1的两个焦点，点P在双曲线上，且 满足PF1⊥PF2,则△F1PF2的面积是」 20.(22-23高二上陕西宝鸡金台区期末)设F1,F2为双曲线号-y2=1的两个焦点，关于原点对称的两点P,Q 都在双曲线上，且满足|PQ1=|F1F2引，则四边形F1PF2Q的面积为 目目 考点02 双曲线的离心率 21.Q425高二下陕西威阳期末)已知双曲线Cx2-是=1b>0)的离心率为3，则双曲线C的焦点到商近线 的距离为() A.V2 B.2 C.4 D.5 3/14 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 2.(2425高二上陕西汉中普通高中十校联盟期未)已知双曲线站荒=1(b>0)的离心率为，则该 双曲线的渐近线方程为() A.y=±x B.y=±3x C.y=士V3x Dy=± 23.2425高=上陕西榆林期末若圆C:x2+0-232=4与双曲线E器-若=1(a>0,b>0)的蒲近线相切， 则E的离心率为() A.12 B.3 C.2V2 D.2V3 24.23-24高二上陕西西安铁一中学期末如图，过双曲线若=1〔a>0,b>0)的左焦点F(-c,0（c>0) 引圆x2+y2=a的切线，切点为T,延长FT交双曲线右支于P点，M为线段FP的中点，0为坐标原点，若 IMO-|MT=3a-c,则双曲线的离心率为() M F A.晋 B.3 C.vo D.5 3 25.23-24高二上陕西西安鄂邑区期末)已知双曲线号。千4=1(a>0)的离心率为2，则该双曲线的海近 线方程为() A.y=士3x B.y=±V2x C.y=±2x D.y=±V3x 26.(20-21高二上陕西渭南韩城期末)双曲线c塔-卡=1(Q>0,6>0)的左、右焦点分别为Pr1(-c,0,P2(c,0), 过Fz作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A,若△AF1F2的面积为c,则双曲线C的离心率为() A.9 B.2 C.2 D.月 27.(20-21高二上陕西渭南富平县期末)已知双曲线C:2-片=1b>0)的左、右焦点分别为F1、P2,过F2 的直线分别交双曲线C的两条渐近线于点M、N若点M是线段F2N的中点，且NF1⊥NF2,则双曲线C的 离心率为() A.3 B.23 C.2 D.4 4/14 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 28.已知双曲线-茶=1(a>0,b>0)的离心率为5，其中一条海近线与圆(x-2P+0y-3=1交于4，B 两点，则AB=（) A.月 B.⑤ C.2⑤ 5 D.45 5 29.(22-23高二上·陕西宝鸡渭滨区·期末)若直线y=x-1与双曲线x2-my2=1的一条渐近线平行，则该双曲 线的离心率为() A.v2 B.2 C.2W2 D,3 30.22-23高二上陕西部分名校期末)已知双曲线若=1(Q>0,b>0)的一条南近线方程为3x+4y=0, 则该双曲线的离心率是() A.青 B. c D.9 31.(21-22高二上陕西渭南华阴期末)中心在坐标原点，离心率为三的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近 线方程为() A.y=± B.y= C.y=- D.y=± 32.(6425高=上陕西西安铁一中学期未)已知FF2分别为双曲线C塔若=1(a>0,b>0的左，右焦点， 过点F1的直线与双曲线C的左支交于P,Q两点，记△PF1F2的内切圆半径为m,△QF1F2的内切圆半径为n, 若mn=3a2,则双曲线C的离心率为一， 3。Q3-24高二上陕西西安周至县第四中学期末)双曲线片-二=1的离心率为号，则其斋近线方程是 3 34.(23.24高二上陕西西安周至县第六中学期末)已知双曲线然若=1(a>0,b>0)的一条商近线的倾斜角 为，则该双曲线的离心率为 35.(2324高二上陕西宝鸡金台区期末)已知双曲线写茶=1与直线y=相交于M、N两点，且M、N两 点的纵坐标之积为-2，则该双曲线的离心率为 36.(22-23高二上陕西西安长安区第一中学.期末)如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚 轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为55米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处 塔口半径25米，塔底部塔口半径为20W5米，则该双曲线的离心率为 5/14 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 34- 37.《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容 异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等 已知双曲线c塔-票=1(a>0,b>0)的右焦点到海近线的距离记为d,双曲线G的两条渐近线与直线y=1, y=-1以及双曲线C的右支围成的图形（如图中阴影部分所示）绕y轴旋转一周所得几何体的体积为5dcπ (其中c2=a2+b2),则双曲线C的离心率为 直线与双曲线的位置关系 目目 考点03 38.(20-21高二上陕西宝鸡金台区期末)如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4只有一个交点，则符合条件 的直线有() A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 39.(7-18高二上陕西西安长安区第一中学期末)已知双曲线C卡=1(a>0,b>0)与直线k3 x+y+m=0交于M(x1y1),N(x2y2),其中x1>0,y1>0,x2>0,y2<0,若0M+00=0,且∠MWQ=30°， 则双曲线C的渐近线方程为() A.y=±x B.y=士x C.y=±2x D.y=±V2x 40.Q425高二上陕西西安交通大学附属中学月考)已知双曲线c:号益=1〔a>0,过右焦点P的直线1与 双曲线C交于A,B两点.且|AB=16,这样的直线有4条，则实数a的取值范围是() A.（264) B.(2,64) c.(o,) D.(0,64) 41.设4，B为双曲线x2_=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是() 6/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.(1,1) B.(-1,2) C.(1,3) D.(-1,-4) 42.Q1,2高=上陕西宝鸡长岭中学)双曲线号-苦=1的被点P2,)平分的弦所在的直线方程为《) A.8x-9y=7B.8x+9y=25 C.4x+9y=6 D.不存在 43.(24-25高二上陕西榆林·期中)已知双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反 射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点 与两焦点连线的夹角已知F1、P2分别为双曲线C:号苦=1的左、右焦点，过C右支上一点4(oyo)(x0>2) 作双曲线C的切线交x轴于点M,交y轴于点N,则() A.双曲线C的离心率为 B.直线MN的方程为4xox-5yoy=20 C.过点F1作F1H⊥AM,垂足为H,O为原点，则OH=2 D.四边形AFNF2面积的最小值为6 4.(23-24高二上陕西威阳永寿县中学月考)已知双曲线C:-y2=1,则下列说法正确的是() A.双曲线C的焦点到渐近线的距离是V3 B.若直线与双曲线交于A,B两点，点P(1,1)是AB的中点，则k=} C.若直线：y=kx-1与双曲线交于两点，则k的取值范(-号， D.若点(x)在双曲线上，则3x2-2的最小值是智 45.(22-23高二上陕西宝鸡教育联盟期末)设动点P(x,y)与点F(V10,0)之间的距离和点P到直线：x=的距 离的比值为V2,记点P的轨迹为曲线C (1)求曲线C的方程； (2)若0为坐标原点，直线y=+1交曲线C于A,B两点，求△0AB的面积 46.(18-19高二上陕西咸阳西北农林科技大学附中.期末)直线m:y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于 A,B两点，直线1过点P(-2,0)和线段AB的中点. (1)求k的取值范围： (2)是否存在k值，使1在y轴上的截距为1，若存在，求k值；若不存在，说明理由， 47.(25-26高二上陕西威阳实验中学)已知双曲线C层若=1〔a>0,b>0)的焦距为45，其海近线方程为 7/14 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 y=±2x (1)求双曲线C的方程； (2)若过点M(1,6)的直线与双曲线C相交于A,B两点，且M为线段AB的中点，求直线AB的方程 48.(2425高二上陕西西安交通大学附属中学，月考)设动点M到定点F(3,0)的距离与它到定直线x=的距 离之比为号 (1)求点M的轨迹E的方程； (2)过F的直线与曲线E交右支于P、Q两点(P在x轴上方)，曲线E与x轴左、右交点分别为A、B,设直线AP 的斜率为k1,直线BQ的斜率为k2,试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由. 49.设双曲线C:三茶=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F,F,商近线分别为，，过F,作渐 近线的垂线，垂足为P,且△OPF,的面积为 (1)求双曲线C的离心率； (2)动直线1分别交直线1,12于A,B两点(A,B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8，是否存 在总与直线1有且只有一个公共点的双曲线C,若存在，求出双曲线C的方程；若不存在，说明理由. 目目 考点04 双曲线的弦长、中点弦、切线问题 50.(18-19高二上陕西钥川王益区期末)已知斜率为1的直线1与双曲线至y2=1的右支交于4，B两点， 若AB=8,则直线1的方程为() A.y=x+21 B.y=x-21 C.-3 D.=+39 51.(24-25高二上陕西汉中.期中)在平面直角坐标系x0y中，双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点分别为F1、 F2,过双曲线C上的一点A作两条渐近线的垂线，垂足分别为M、N,则() A.双曲线C的离心率为V2 B.焦点到渐近线的距离为 C.四边形OMAN可能为正方形 D.四边形OMAN的面积为定值彭 52.(Q324高=上陕西汉中汉台区期末已知双曲线C层。号=1的左，右焦点分别为F,F,P(0%)是双曲 线C上的一个动点，下列结论正确的有() A.若△PF1F2的面积为20，则0=8B.双曲线C的离心率为 8/14 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.PF的最小值为1 D.若△PF1F2为直角三角形，则S△PFF2=9 53.(23-24高二上陕西咸阳实验中学)已知双曲线C:x2-y2=1的左，右焦点分别为F1,F2,过点F2作斜率为 V3的直线交双曲线C的右支于A,B两点，则△AF1B的内切圆半径为 54.(23-24高二上陕西成阳永寿县中学月考)已知双曲线号号=1，F1,P2分别是双曲线的左右焦点，点M 在双曲线上且∠F1MF2=120°，则△F1MF2的面积是 5.(20-21高二上陕西成阳期末)已知双曲线c爱兰=1〔a>0,b>0)的两条海渐近线与直线x=-1所围成 的三角形的面积为4，则双曲线C的离心率为 56.(19-20高二上陕西西安中学·期末)已知双曲线的渐近线方程为y=±2x,且过点(-3,4V2. (1)求双曲线的方程； (2)若直线4x-y-6=0与双曲线相交于A、B两点，求1AB的值， 57.(24-25高二上陕西渭南富平县·期末)己知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d,且0P2=λ+ d2,其中，均为常数，动点P的轨迹称为（入，曲线. (1)判断(2，-3)曲线为何种圆锥曲线？ (2)若（几，）曲线为双曲线，试问2，应满足什么条件？ (3)设曲线C为(3,4)曲线，斜率为1的直线1过曲线C的右焦点，且与曲线C交于A,B两个不同的点，求 IABI. 58.(24-25高二上·陕西西安新城区西安中学·月考)彗星是太阳系大家庭里特殊的一族成员，它们以其明亮 的尾巴和美丽的外观而闻名，它的运行轨道和行星轨道很不相同，一般为极扁的植圆形、双曲线或抛物 线.它们可以接近太阳，但在靠近太阳时，由于木星、土星等行星引力的微绕造成了轨道参数的偏差，使 得它轨道的离心率由小于1变为大于或等于1，这使得少数彗星会出现逃逸现象，终生只能接近太阳一次， 永不复返.通过演示，现有一颗彗星已经“逃逸”为以太阳为其中一个焦点，离心率为2的运行轨道，且彗 星距离太阳的最近距离为1. (1)若焦点的位置在x轴，求彗星“逃逸”轨道C的标准方程； (2)设直线过C的一个焦点，且与C交于A,B两点，当0A·OB=0时，求AB的值， 59.(2425高二上陕西榆林期中)已知双曲线C:三-杀=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距 离为1，离心率为设直线交双曲线G的右支于A、B两点，交轴于点D,且线段AB的中点为M4,1),0为 原点 (1)求双曲线C的方程： 9/14 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 (②)求直线的方程； (3)求△OAB的面积 60.(2324高二下陕西榆林)已如双曲线C:兰兰=1(a>0,b>0)经过点(22，且其离心率为5. (1)求双曲线C的方程； (②)设双曲线C的左，右焦点分别为F1,F2,C的一条渐近线上有一点P,满足PP2恰好垂直于这条渐近线，求 △PF1F2的面积. 61.(22-23高二上陕西西安未央区期末)已知双曲线的中心在原点，焦点F1,F2在坐标轴上，离心率为V2, 且过点P(4,-V10) (1)求双曲线方程； (2)若点M(3,m)在双曲线上，求证：MF1·MF2=0; (3)在(2)的条件下，求△F1MFz的面积. 62.设F1F2是双曲线Cx2-号=1的两个焦点，0为坐标原点，点P在C上且0P=2,则△PF1F,的面积为 () A.月 B.3 c. D.2 63.(2-23高=下陕西榆林期未已知A,B为双曲线x2-号=1上两点，且线段AB的中点坐标为(-1，-4，则 直线AB的斜率为() A.月 B. c.- D. 64.己知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A,B两点，且AB的中点为 N(-12,-15),则E的方程式为 A若=1B.÷苦=1 c.g5=1 D.￥=1 54 65.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F(V7,0),直线y=x-1与其相交于M,N两点，若MN中点的横 坐标为-子则此双曲线的方程是 A号苦=1 B苦=1 c.若苦-1 D.苦=1 6.已知双曲线2-号=1，过点P(2,1)作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜 10/14 专题05 双曲线与方程 （6大题型） 6大高频考点概览 考点01 双曲线的定义与方程 考点02 双曲线的离心率 考点03 直线与双曲线的位置关系 考点04 双曲线的弦长、中点弦、切线问题 考点05 双曲线中的定点、定值问题 考点06 双曲线中的向量问题 双曲线的定义与方程 地 城 考点01 1．(24-25高二上·陕西宝鸡金台区·期末)双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据的值，可得出的值，然后利用双曲线的定义结合的范围可得出的值. 【详解】由题意可知，，则，解得，所以，双曲线的方程为， 由双曲线的定义可得，解得或， 设点，则或，且，易知点， 所以，， 当时，； 当时，. 综上所述，，故. 故选：A. 2．(24-25高二上·陕西榆林第一中学·期末)已知双曲线的左，右焦点分别为，以线段为直径的圆与双曲线在第二象限内的交点为.若，则原点到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据题意先确定，记双曲线的焦距为，再由，表示出和，根据双曲线定义以及题中所给双曲线方程，求出，得到；最后根据点到直线的距离是点到直线距离的一半，即可求出结果. 【详解】由题意可得，， 因为，记双曲线的焦距为， 则，所以， 根据双曲线定义可得，，即，则， 又，解得，所以， 因为点是的中点，所以点到直线的距离是点到直线距离的一半， 即原点到直线的距离为； 故选：C 3．(24-25高二上·陕西安康·期末)已知双曲线的左，右焦点分别为，第一象限内的点在上，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】求出，，根据双曲线定义得到关于a，c的方程，求出. 【详解】由题意得，故，， 由题意结合双曲线定义知，故. 故选：B 4．(22-23高二上·陕西西安周至县第六中学·期末)已知双曲线的两焦点分别为、，双曲线上一点到的距离为，则到的距离为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】讨论点的位置，结合双曲线的定义列关系式求. 【详解】设双曲线的实半轴长为，半焦距长为， 因为双曲线的方程为， 所以，， 当点在双曲线的左支时，，， 又，所以， 当点在双曲线的右支时，，， 解得，矛盾，不存在点满足条件. 故选：A. 5．(21-22高二上·陕西渭南华阴·期末)一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两圆相切分析可知，符合双曲线的定义，可得，，根据双曲线中a，b，c的关系，即可求出动圆圆心的轨迹方程. 【详解】解：已知圆：圆心，半径为4， 动圆圆心为，半径为， 当两圆外切时：，所以； 当两圆内切时：，所以； 即，表示动点P到两定点的距离之差为常数4，符合双曲线的定义， 所以P在以M、N为焦点的双曲线上，且，， ， 所以动圆圆心的轨迹方程为：， 故选：C. 6．(21-22高二上·陕西西安中学·期末)已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】由双曲线方程求出，再根据点在双曲线的两支之间，结合可求得答案 【详解】由，得，则， 所以左焦点为，右焦点， 则由双曲线的定义得， 因为点在双曲线的两支之间， 所以， 所以，当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为9， 故选：A 7．(24-25高二上·陕西咸阳·期末)已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得出，，即可求出双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线经过点，所以双曲线经的焦点在轴上， 且，又因为离心率为， 即，解得：， 又因为，所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 8．(10-11高二上·陕西宝鸡金台区·期末)若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据双曲线方程的特征，列式求解. 【详解】若方程表示双曲线， 则，得. 故选：B 9．(23-24高二上·陕西西安莲湖区·期末)已知为双曲线的一个焦点，则的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求，即可得渐近线方程. 【详解】由题意可知：，且焦点在x轴上，可得， 所以的渐近线的方程为，即. 故选：B. 10．(22-23高二上·陕西西安鄠邑区·期末)双曲线的标准方程为，则下列说法正确的是（    ） A．该曲线两顶点的距离为 B．该曲线与双曲线有相同的渐近线 C．该曲线上的点到右焦点距离的最小值为1 D．该曲线与直线有两个公共点 【答案】C 【分析】对A、B、C：根据双曲线的方程与性质逐项分析判断；对D：联立直线与双曲线的方程求解判断交点个数，即可判断. 【详解】由双曲线的标准方程可得，且焦点在x轴上， 对A：该曲线两顶点为，则两顶点间的距离，A错误； 对B：双曲线的渐近线为， 由双曲线的标准方程可得，且焦点在y轴上，则其渐近线为，B错误； 对C：当点在双曲线的右支时，该点到右焦点距离的最小值为； 当点在双曲线的左支时，该点到右焦点距离的最小值为； 综上所述：该曲线上的点到右焦点距离的最小值为1，C正确； 对D：联立方程，消去y得，解得， 故该曲线与直线有且仅有1个公共点，D错误. 故选：C. 11．(22-23高二上·陕西榆林·期末)已知双曲线C：的一个焦点为，则双曲线C的一条渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，，双曲线的焦点在轴上，进而求得，再求渐近线方程即可得到答案． 【详解】题知，，双曲线的焦点在轴上， 则， 所以双曲线C的渐近线方程为． 故选：D． 12．(21-22高二上·陕西渭南富平县·期末)已知命题，方程都表示双曲线；命题：抛物线的焦点坐标为．则下列判断正确的是（    ） A．是假命题 B．是真命题 C．是真命题 D．是假命题 【答案】C 【分析】根据双曲线知识判断出是真命题；根据抛物线知识判断出是假命题，进而可判断出和的真假. 【详解】当时，，，所以方程表示焦点在轴上的双曲线，故是真命题；故A不正确； 由，得，所以抛物线的焦点坐标为，故是假命题，故B不正确； 因为是假命题，所以是真命题，又是真命题，所以是真命题，故C正确； 因为是真命题，是假命题，所以是真命题，故D不正确. 故选：C 13．(21-22高二上·陕西渭南富平县·期末)已知命题，方程都表示双曲线；命题：抛物线的焦点坐标为.则下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先判断命题和的真假，再根据复合命题的真假性质进行判断即可． 【详解】方程表示双曲线，则有，解得， 故命题，方程都表示双曲线为真命题； 抛物线化成标准方程为，焦点坐标为， 故命题：抛物线的焦点坐标为是假命题； 所以为假，为假，为假，为真. 故选：D 14．(22-23高二上·山西晋城第二中学校·月考)若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原方程可变形为，根据已知有，解出即可. 【详解】因为方程表示焦点在y轴上的双曲线， 可变形为. 所以有，即，解得. 故选：A. 15．(20-21高二上·陕西延安宝塔区第四中学·期末)设是双曲线上的动点，则点到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为 . 【答案】4 【分析】根据双曲线方程可得，由双曲线的定义可得点到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值. 【详解】双曲线， ， 又点P在双曲线上， 点到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值. 故答案为：4. 16．(21-22高二上·陕西西北农林科技大学附属中学·期末)若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题可得，即求. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 则，解得. 故答案为：. 17．(23-24高二上·陕西宝鸡渭滨区·期末)已知中，，，，以B、C为焦点的双曲线经过点A，且与边交于点D，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义，建立方程，求解线段长，从而可求解 【详解】如图，双曲线的焦点为，，    由双曲线的定义可得， 设，双曲线的定义可得， 又因为， 所以在中， 即，解得， 所以，则. 故答案为：. 18．(21-22高二上·陕西西安周至县第四中学·期末)双曲线右支上的一点P到右焦点的距离为12，则P点到左焦点的距离为 . 【答案】20 【分析】根据条件，利用双曲线的定义即可求出结果. 【详解】因为双曲线方程为，所以， 又双曲线右支上的一点P到右焦点的距离为12，所以P点到左焦点的距离为， 故答案为：. 19．(22-23高二下·陕西安康汉滨区七校·期末)设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，则的面积是 【答案】 【分析】由双曲线定义和勾股定理可得，可得. 【详解】   如图： 由得，， ，， 由题意：，， ， 所以， 故答案为： 20．(22-23高二上·陕西宝鸡金台区·期末)设为双曲线的两个焦点，关于原点对称的两点都在双曲线上，且满足，则四边形的面积为 ． 【答案】2 【分析】根据已知先判断四边形的形状，然后根据双曲线定义结合勾股定理可解. 【详解】如图，记，则 由题可知，，所以 则，即 所以 故答案为：2 地 城 考点02 双曲线的离心率 21．(24-25高二下·陕西咸阳·期末)已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得双曲线的方程，得出焦点坐标和渐近线方程，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由双曲线的离心率为， 可得，解得，即双曲线， 则双曲线的右焦点为，其中一条渐近线方程为，即， 所以双曲线的焦点到渐近线的距离为. 故选：A. 22．(24-25高二上·陕西汉中普通高中十校联盟·期末)已知双曲线的离心率为 则该双曲线的渐近线方程为（     ） A． B．y=±3x C． D． 【答案】C 【分析】利用离心率公式求出的值，即可求得该双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意可得，故，， 因此，该双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 23．(24-25高二上·陕西榆林·期末)若圆与双曲线的渐近线相切，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出渐近线方程，由圆心到渐近线距离等于半径，得到方程，求出. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 圆的圆心，半径为2， 由对称性，圆心到渐近线的距离， 由题意得，故， 所以离心率. 故选：B 24．(23-24高二上·陕西西安铁一中学·期末)如图，过双曲线的左焦点 引圆 的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为线段的中点， 为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义，结合几何图形，转化为，再消去后，即可求得双曲线的离心率. 【详解】如图，双曲线的右焦点为，连结，连结，则， 因为点分别是的中点， 所以， 中，，，则， 所以， 即，又， 所以，即， ，解得：， 所以双曲线的离心率为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用几何图形，分析出. 25．(23-24高二上·陕西西安鄠邑区·期末)已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据双曲线离心率求出a的值，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意得双曲线离心率，解得，（负值舍）， 则，故双曲线的渐近线方程为. 故选：D 26．(20-21高二上·陕西渭南韩城·期末)双曲线的左､右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先利用点到直线的距离公式求出，再可求得，则，而，再结合的面积为，可求出的关系，从而可求出离心率. 【详解】双曲线的渐近线为，由双曲线的对称性，不妨取，即，则 ， 所以， 所以， 因为的面积为，， 所以，得， 所以离心率， 故选：C    27．(20-21高二上·陕西渭南富平县·期末)已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，过的直线分别交双曲线C的两条渐近线于点M、N.若点M是线段的中点，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据三角形中位线得，又M是线段的中点，又可得，则可得渐近线的倾斜角为，从而求得的值，即可得双曲线离心率. 【详解】双曲线C：的渐近线方程为，    因为O是线段的中点，M是线段的中点，所以 又，所以，所以， 所以 所以渐近线的倾斜角为，则，又， 所以，则离心率. 故选：C. 28．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，再借助点到直线距离公式求出弦心距，进而求出弦长作答. 【详解】圆的圆心，半径， 由双曲线的离心率为，得，解得， 于是双曲线的渐近线方程为，即，    当渐近线为时，点到此直线距离，即直线与已知圆相离，不符合要求， 当渐近线为时，点到此直线距离，则直线与已知圆相交， 所以弦长. 故选：D 29．(22-23高二上·陕西宝鸡渭滨区·期末)若直线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】求出双曲线的渐近线方程，由平行关系得到方程，求出，得到离心率. 【详解】的渐近线方程为， 因为与渐近线平行，所以，故， 则双曲线的方程为，故，故， 故离心率为. 故选：A 30．(22-23高二上·陕西部分名校·期末)已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的值，然后利用离心率公式可求出双曲线的离心率. 【详解】由双曲线的渐近线方程为可知直线的斜率为， ， 双曲线的离心率为. 故选：C. 31．(21-22高二上·陕西渭南华阴·期末)中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在轴上，则它的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线方程，根据已知得到，即可得到渐近线的方程. 【详解】由已知可设双曲线的标准方程为 . 由已知可得，所以，则，所以. 所以，双曲线的渐近线方程为. 故选：D. 32．(54-25高二上·陕西西安铁一中学·期末)已知分别为双曲线的左，右焦点，过点的直线与双曲线的左支交于两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】先根据双曲线的定义及内切圆的概念，判断与内切圆圆心在直线上，判断，表述出两内切圆的半径，根据可求双曲线的离心率. 【详解】如图： 设的内切圆圆心为，与各边的切点分别为，，， 根据切线长定理，可得，，， 根据双曲线的定义：， 所以 ， 又，所以， 所以点坐标为，即为双曲线的左顶点. 即在直线上. 设的内切圆圆心为，同理可得点在直线上. 根据内切圆的概念，可得、分别平分、，所以. 设，则. 因为，所以， 同理. 所以. 又，所以， 因为，所以 . 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于根据双曲线的概念和内切圆的定义，先判断出与的内切圆圆心在直线上. 33．(23-24高二上·陕西西安周至县第四中学·期末)双曲线的离心率为，则其渐近线方程是 . 【答案】 【分析】由题意可得出，求出的值即可求出其渐近线方程. 【详解】由可得：且， 所以， 所以，解得：， 所以双曲线，则其渐近线方程为：. 故答案为：. 34．(23-24高二上·陕西西安周至县第六中学·期末)已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】借助渐近线的定义及离心率的定义计算即可得. 【详解】因，故，则. 故答案为：. 35．(23-24高二上·陕西宝鸡金台区·期末)已知双曲线与直线相交于M、N两点，且M、N两点的纵坐标之积为，则该双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】联立方程组，消去，得到关于的一元二次方程，结合韦达定理即可求出，即可得到双曲线C的离心率． 【详解】联立方程组，消去，得， 由题意， ,得， 即双曲线， 故双曲线C的离心率. 故答案为：． 36．(22-23高二上·陕西西安长安区第一中学·期末)如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为55米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为米，则该双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】设双曲线的标准方程，利用条件确定，进而利用离心率公式求解即可. 【详解】如图， 以冷却塔的轴截面所在平面建立的平面直角坐标系， 设双曲线的标准方程为， 则由题知，点横坐标为，， 点的横坐标分别为， 则设点的坐标为， 所以，解得，， 因冷却塔总高度为55米， 所以，， 所以， 故所求双曲线的离心率为：. 故答案为： 37．《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知双曲线的右焦点到渐近线的距离记为，双曲线的两条渐近线与直线，以及双曲线的右支围成的图形（如图中阴影部分所示）绕轴旋转一周所得几何体的体积为（其中），则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】先利用条件求出，直线与渐近线及双曲线的交点，从而求出截面积，再利题设所给信息建立等量关系，从而求出结果. 【详解】由题意知渐近线方程为，右焦点为，所以， 由，得， 由，得， 所以截面面积为， 由题知，阴影部分绕y轴转一周所得几何体的体积等于底面积与截面面积相等，高为2的圆柱的体积， ∴，即， 所以，即， ∴，解得，所以. 故答案为：. 直线与双曲线的位置关系 地 城 考点03 38．(20-21高二上·陕西宝鸡金台区·期末)如果直线与双曲线只有一个交点，则符合条件的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【解析】直线方程与双曲线方程联立方程组，由方程组只有一解确定． 【详解】由，得， 若，即， 时，，方程组只有一解；时，，方程组只有一解； 时，，，此时方程组也只有一解． 方程组只有一解，即直线与双曲线只有一个交点．因此这样的直线有4条． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：直线与曲线的交点问题，可能通过解方程组确定，直线与曲线方程组成的方程组的解的个数就是它们交点的个数．这是代数方法．也可从几何角度考虑，如本题直线与双曲线相切的有两条，与渐近线平行的有两条共4条直线与双曲线只有一个交点． 39．(17-18高二上·陕西西安长安区第一中学·期末)已知双曲线与直线交于，其中，若，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及斜率的定义，再利用向量的运算及两点的斜率公式，将直线与方程联立，利用韦达定理及点在直线上；结合焦点在轴上的双曲线的渐近线方程即可求解. 【详解】由题意知，，因为， 所以， 因为，，所以， 所以， 由，消去，整理得， 因为，所以， 所以， 即，解得，即. 所以双曲线的渐近线方程为. 故选: B. 40．(24-25高二上·陕西西安交通大学附属中学·月考)已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．且，这样的直线有4条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①直线只与双曲线右支相交，②直线与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，可得答案． 【详解】设，令，则， 过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点， 如果在同一支上，则有， 如果在两支上，则有， 因为这样的直线有4条， 所以，解得， 故选：B 41．设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断. 【详解】设，则的中点， 可得， 因为在双曲线上，则，两式相减得， 所以. 对于选项A： 可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D：，则， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线有两个交点，故D正确； 故选：D. 42．(21-22高二上·陕西宝鸡长岭中学·)双曲线的被点平分的弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】D 【分析】将直线方程代入双曲线方程并化简，进而通过根与系数的关系求得答案. 【详解】容易判断弦所在直线的斜率存在，故设方程为：，则…①， 设交点为，将直线代入双曲线方程得：，…②， 由①②得：…③， 因为点P为线段AB的中点，结合根与系数的关系可知：，①代入得， ，容易验证不符合③，即该直线不存在. 故选：D. 43．(24-25高二上·陕西榆林·期中)已知双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.已知、分别为双曲线：的左、右焦点，过右支上一点（）作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，则（） A．双曲线的离心率为 B．直线的方程为 C．过点作，垂足为，为原点，则 D．四边形面积的最小值为6 【答案】AC 【分析】对于A，用离心率的计算公式即可求解；对于B，联立直线方程和双曲线方程，由判别式等于0可求出斜率，进而可知直线的方程；对于C，由双曲线的光学性质可知,平分，进而垂直平分，利用三角形中位线及双曲线的定义即可求解；对于D，求出的坐标，，结合不等式即可求解面积的最小值. 【详解】对于A，,故A正确； 对于B，设直线的方程为, 联立方程组,消去y整理得： ， ,化简整理得， 又因为，代入上式并化简得：， 因为 所以方程有两个相等的实根，解得， 所以直线的方程为,即，故B错误； 对于，由双曲线的光学性质可知,平分，延长与的延长线交于点E， 则垂直平分,即为的中点，又是中点, 所以，故C正确; 对于D，由直线的方程为，令,得,则， ， 当且仅当,即时等号成立， 所以四边形面积的最小值为，故D错误. 故选：AC. 44．(23-24高二上·陕西咸阳永寿县中学·月考)已知双曲线：，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的焦点到渐近线的距离是 B．若直线与双曲线交于A，B两点，点是的中点，则 C．若直线：与双曲线交于两点，则的取值范围 D．若点在双曲线上，则的最小值是 【答案】BD 【分析】求出焦点坐标和渐近线方程，再根据点到直线的距离公式即可判断A；利用点差法即可判断B；联立直线方程，由题意可得且二次项系数不等于零，即可判断C；将用表示，再结合二次函数的性质即可判断D. 【详解】双曲线的焦点为，渐近线方程为， 则焦点到渐近线的距离为，故A错误； 对于B，设，则 则，两式相减得， 即， 所以，即， 经检验符合题意，故B正确； 对于C，联立，消得， 因为直线：与双曲线交于两点， 所以，解得且， 所以的取值范围，故C错误； 对于D，因为点在双曲线上，所以且， 则， 所以当时，取得最小值，故D正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法： （1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解. 45．(22-23高二上·陕西宝鸡教育联盟·期末)设动点与点之间的距离和点到直线的距离的比值为，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若为坐标原点，直线交曲线于两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合距离公式列出方程，整理即可得到曲线的方程； （2）联立方程组，设，利用弦长公式和点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：由动点与点之间的距离和到直线：的距离的比值为， 可得，整理得， 即曲线的方程为. （2）解：联立方程组，整理得， 设，，可得，， 所以， 又由点到直线的距离， 所以的面积. 46．(18-19高二上·陕西咸阳西北农林科技大学附中·期末)直线和双曲线的左支交于A，B两点，直线l过点和线段AB的中点． （1）求的取值范围； （2）是否存在值，使l在轴上的截距为1，若存在，求值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 【分析】（1）联立直线与双曲线方程，消去，设直线和双曲线的交点为），．依题意可得解得即可； （2）设线段AB的中点为M，则点．假设存在直线，则M在直线上，由l在轴上的截距为1，即可求出，再与（1）中的取值范围检验即可； 【详解】解：（1）由方程消去y，整理得． 设直线和双曲线的交点为），． 由题意知即，解得． （2）设线段AB的中点为M，则点． 假设存在直线，则M在直线上， 故， 即，代入， 得 ． 令则， 解得或，而 ，故不存在． 【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线综合问题，本题要注意的取值范围，属于中档题． 47．(25-26高二上·陕西咸阳实验中学·)已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，进而求解即可； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点差法求解即可. 【详解】（1）由题意知，， 解得，故双曲线的方程为. （2）①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点， 则点必在轴上，这与矛盾； ②当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为， 设，因为点为线段的中点， 所以， 因为在双曲线上，所以， 则， 所以， 则所求直线方程为，即. 经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 48．(24-25高二上·陕西西安交通大学附属中学·月考)设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值，且定值为 【分析】（1）根据点到直线的距离以及点到点的距离公式，即可列方程化简求解， （2）由题意，设直线的方程为，将直线方程与双曲线方程联立，结合条件求出即可． 【详解】（1）设，到定直线的距离为则， 故，平方后化简可得， 故点的轨迹的方程为： （2）由题意，, 设直线的方程为，,，,， 由，可得， 所以，． 则，， 所以 ； 当直线的斜率不存在时，，此时， 综上，为定值．    49．设双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，渐近线分别为l1，l2，过F2作渐近线的垂线，垂足为P，且△OPF1的面积为． (1)求双曲线C的离心率； (2)动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、四象限），且△OAB的面积恒为8，是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线C，若存在，求出双曲线C的方程；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由△OPF1的面积为，可得a，b的比值，再求离心率即可， （2）先求得A，B的坐标，及△OAB的面积恒为8，得直线l的方程，再联立双曲线的方程，得△＝0，即可求得双曲线的方程． 【详解】（1），双曲线的渐近线方程为， 由双曲线的对称性不妨取渐近线，则点到其的距离为 ， 则， 得， 解得， 所以双曲线C的离心率． （2）由 （1）得渐近线l1：y＝2x，l2：y＝−2x，设双曲线得方程为， 依题意得直线l的斜率不为零， 因此设直线l的方程为， 设直线l交x轴于点C（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立 得，同理得． 由△OAB的面积， 得， 即t2＝4|1−4m2|＝4（1−4m2）＞0， 联立 得（4m2−1）y2+8mty+4（t2−a2）＝0，， 因为，所以，直线l与双曲线只有一个公共点当且仅当Δ＝0， 即， 化简得， 将（1）式代入可得， 解得， 因此双曲线的方程为， 因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线，双曲线C的方程为． 地 城 考点04 双曲线的弦长、中点弦、切线问题 50．(18-19高二上·陕西铜川王益区·期末)已知斜率为1的直线l与双曲线y2＝1的右支交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为（    ） A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x 【答案】B 【分析】设斜率为1的直线的方程为，联立双曲线的方程可得的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得，检验，可得所求直线方程． 【详解】解：设斜率为1的直线的方程为， 联立双曲线方程，可得， 设，，，，可得，， 则， 解得，由于直线与双曲线的右支交于两点，可得， 则直线的方程为． 故选：． 【点睛】本题考查双曲线的方程和运用，考查直线方程和双曲线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简运算能力，属于中档题． 51．(24-25高二上·陕西汉中·期中)在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为、，过双曲线上的一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为、，则（   ） A．双曲线的离心率为 B．焦点到渐近线的距离为 C．四边形OMAN可能为正方形 D．四边形的面积为定值 【答案】ACD 【分析】根据双曲线方程写出对应参数值及离心率判断A；应用点线距离判断B；注意为双曲线顶点情况即可判断C；应用点线距离和矩形面积公式判断D. 【详解】由题设，双曲线中，则离心率为，A对； 焦点，，渐近线为，则焦点到渐近线的距离，B错； 当为双曲线顶点时，四边形OMAN可能为正方形，C对； 令，则到的距离，到的距离， 所以四边形的面积为，D对. 故选：ACD 52．(23-24高二上·陕西汉中汉台区·期末)已知双曲线的左，右焦点分别为是双曲线上的一个动点，下列结论正确的有（    ） A．若的面积为20，则 B．双曲线的离心率为 C．的最小值为1 D．若为直角三角形，则 【答案】BC 【分析】根据双曲线的性质、两点距离公式及三角形面积公式计算一一判定选项即可. 【详解】由题意可知，即， 若的面积为20，则，故A错误； 根据双曲线方程可知的离心率，故B正确； 易知， 则， 又或，所以时有，或时， 故，时取得等号，故C正确； 若为直角三角形，易知当时，此时， 则，故D错误. 故选：BC 53．(23-24高二上·陕西咸阳实验中学·)已知双曲线的左，右焦点分别为，过点作斜率为的直线交双曲线的右支于两点，则的内切圆半径为 . 【答案】/ 【分析】首先联立直线与双曲线方程，利用韦达定理表示弦长，求，再结合双曲线的定义，可求周长，并求三角形的面积，并利用三角形的周长和内切圆的半径表示面积，即可求内切圆的半径. 【详解】由双曲线方法可知，，所以，， 过点，斜率为的直线方程为， 联立，得， 得，， 所以， 根据双曲线定义，可知，所以， 所以的周长为， 点到直线的距离为， 所以的面积， 设内切圆的半径为， 则，即， 所以.    故答案为： 54．(23-24高二上·陕西咸阳永寿县中学·月考)已知双曲线，，分别是双曲线的左右焦点，点在双曲线上且，则的面积是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用双曲线定义、余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算作答. 【详解】如图， 双曲线的实半轴长，半焦距，有， 在中，由余弦定理得， 即有， 因此，解得， 所以的面积为. 故答案为： 55．(20-21高二上·陕西咸阳·期末)已知双曲线(，)的两条渐近线与直线所围成的三角形的面积为4，则双曲线C的离心率为 . 【答案】 【解析】求出双曲线的渐近线方程，求解时，的值，然后求解三角形的面积，推出离心率即可． 【详解】双曲线的渐近线方程为， 将代入中，解得， 故，故， 故双曲线的离心率． 故答案为： 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出的值再代离心率的公式求解）；（2）方程法（根据已知找到关于离心率的方程再解方程得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解. 56．(19-20高二上·陕西西安中学·期末)已知双曲线的渐近线方程为，且过点 求双曲线的方程； 若直线与双曲线相交于A、B两点，求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可知：设所求双曲线的方程为：，将点，代入双曲线方程，求得的值，求得双曲线方程； （2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式，即可求出弦的值. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 所以设所求双曲线的方程为： 把代入方程，整理得：， 解得， 所以双曲线的方程为； 由题意可知：设，， 则由整理得：， 由韦达定理得：， 由弦长公式可知：， 的值为. 【点睛】本题考查双曲线的方程和几何性质，考查直线和双曲线的位置关系，韦达定理及弦长公式的应用，属于中档题. 57．(24-25高二上·陕西渭南富平县·期末)已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中均为常数，动点P的轨迹称为曲线． (1)判断曲线为何种圆锥曲线？ (2)若曲线为双曲线，试问应满足什么条件？ (3)设曲线C为曲线，斜率为1的直线l过曲线C的右焦点，且与曲线C交于A，B两个不同的点，求． 【答案】(1)椭圆 (2)，且． (3) 【分析】（1）设，根据曲线的定义，可得的坐标满足的方程，分析可得结果. （2）将整理为，根据双曲线方程的特点分析可得结果. （3）先根据为曲线可得曲线的方程，利用双曲线的性质及弦长公式易得结果. 【详解】（1）设，由，得， 当时，，即，所以曲线为椭圆. （2）由，得. 若曲线为双曲线，则， 所以可化为， 所以，则； 故应满足且曲线为双曲线. （3）由，得曲线的方程为， 则的右焦点坐标为，所以直线的方程为. 联立得. 设，则若，则 则. 58．(24-25高二上·陕西西安新城区西安中学·月考)彗星是太阳系大家庭里特殊的一族成员，它们以其明亮的尾巴和美丽的外观而闻名，它的运行轨道和行星轨道很不相同，一般为极扁的植圆形、双曲线或抛物线．它们可以接近太阳，但在靠近太阳时，由于木星、土星等行星引力的微绕造成了轨道参数的偏差，使得它轨道的离心率由小于1变为大于或等于1，这使得少数彗星会出现“逃逸”现象，终生只能接近太阳一次，永不复返．通过演示，现有一颗彗星已经“逃逸”为以太阳为其中一个焦点，离心率为2的运行轨道，且彗星距离太阳的最近距离为1． (1)若焦点的位置在轴，求彗星“逃逸”轨道C的标准方程； (2)设直线过C的一个焦点，且与C交于两点，当时，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）设彗星“逃逸”轨道的方程为，由题意可得，，求解可得，进而可求得，可求彗星“逃逸”轨道的标准方程； （2）设直线过双曲线左焦点的直线方程为，与双曲线方程联立方程组，利用根与系数的关系，可得，由已知可得，由弦长公式可求得. 【详解】（1）由题意知，彗星“逃逸”轨道的标准方程为双曲线， 双曲线的焦点在上，设其方程为， 因为双曲线的离心率为2，可得，即， 又因为彗星距离太阳的最近距离为1，可得， 解得，可得， 所以彗星“逃逸”轨道的标准方程. （2）不妨设直线过双曲线左焦点的直线方程为， 联立，消去得，， 当时，由韦达定理可得， 所以 又，所以，解得，经检验， 所以. 59．(24-25高二上·陕西榆林·期中)已知双曲线：（，）的一个焦点到一条渐近线的距离为1，离心率为.设直线交双曲线的右支于、两点，交轴于点，且线段的中点为，为原点. (1)求双曲线的方程； (2)求直线的方程； (3)求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用点到直线的距离即可求出，结合离心率可以求出； （2）中点弦问题利用点差法求解即可； （3）运用弦长公式求出，再利用点到直线的距离求出三角形的高，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）不妨设双曲线的一个焦点为，双曲线的一条渐近线为，即， 依题意，结合，化简得， 又离心率，所以所以双曲线C的方程为. （2）设，由题意得， 又，，两式相减得， 所以， 又直线l过点,所以直线l的方程为,即，经验证此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. （3）联立，消去y得， 所以， 所以， 又点到直线l的距离， 所以的面积.    60．(23-24高二下·陕西榆林·)已知双曲线：（，）经过点，且其离心率为． (1)求双曲线的方程； (2)设双曲线的左，右焦点分别为，，的一条渐近线上有一点，满足恰好垂直于这条渐近线，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据所给条件得到关于、、的方程组，解得、，即可求出双曲线方程； （2）首先求出焦点坐标与渐近线方程，利用距离公式求出，由勾股定理求出，即可求出，从而得解. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以双曲线方程为. （2）由（1）可知左，右焦点分别为，， 双曲线的渐近线为， 不妨取其中一条渐近线为， 则到直线的距离， 所以， 所以， 又，所以. 61．(22-23高二上·陕西西安未央区·期末)已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点． (1)求双曲线方程； (2)若点在双曲线上，求证：； (3)在（2）的条件下，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)6 【分析】 （1）首先根据离心率设出双曲线方程，再代入点的坐标，即可求解； （2）首先将点代入双曲线方程求，再根据斜率公式或是数量积公式，证明垂直； （3）根据（1）（2）的结果，代入面积公式，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以可设双曲线方程为． 因为过点，所以，即． 所以双曲线方程为，即 （2）由（1）可知，双曲线中，所以，不妨设，分别为双曲线的左右焦点， 则，． 方法一：，， 因为点在双曲线上， 所以，， 所以, 所以，所以． 方法二：因为， ， 所以． 因为点在双曲线上， 所以，即， 所以．    （3）的底边长， 的高， 所以． 62．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入 中计算即可. 【详解】由已知，不妨设， 则，因为， 所以点在以为直径的圆上， 即是以P为直角顶点的直角三角形， 故， 即，又， 所以 ， 解得，所以 故选：B 【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 63．(22-23高二下·陕西榆林·期末)已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出，利用点差法即可求出结果. 【详解】设，则有，， 两式相减得到， 又线段的中点坐标为， 所以，得到， 所以的斜率为. 故选：B. 64．已知双曲线的中心为原点， 是的焦点，过F的直线 与相交于A，B两点，且AB的中点为 ,则的方程式为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵kAB==1, ∴直线AB的方程为y=x-3. 由于双曲线的焦点为F(3,0), ∴c=3,c2=9. 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0), 则-=1.整理,得 (b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2==2×(-12), ∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2. 又a2+b2=9, ∴a2=4,b2=5. ∴双曲线E的方程为-=1.故选B. 65．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点差法得，再根据焦点坐标得，解方程组得，，即得结果. 【详解】设双曲线的方程为，由题意可得，设，，则的中点为，由且，得 ， ，即，联立，解得，，故所求双曲线的方程为．故选D． 【点睛】本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题. 66．已知双曲线，过点作一直线交双曲线于、两点，并使为的中点，则直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】设点、，利用点差法可求得直线的斜率. 【详解】设点、，则，即， 由已知条件可得，两个等式作差得， 即，即， 所以，直线的斜率为. 故答案为：. 67．(19-20高二上·陕西西安·期末)双曲线的右焦点分别为F，圆M的方程为.若直线l与圆M相切于点，与双曲线C交于A，B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为 . 【答案】 【解析】设直线l的斜率为k，则，求得，由点在圆上，可求出，设点，，则，，两式相减化简可得，从而可求出的值，进而可得双曲线C的方程 【详解】设直线l的斜率为k，则，所以， 因为点在圆上， ，即， 设点，，则，. 两式相减，得 则，即， 所以双曲线C的方程为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，考查计算能力，解题的关键是利用点差法表示出直线的斜率，属于中档题 68．(23-24高二上·陕西榆林五校联考·月考)已知点是离心率为的双曲线上的三点, 直线的斜率分别是点分别是线段的中点,为坐标原点，直线的斜率分别是.若则 【答案】3 【分析】设点，作差，计算得出结合离心率为，求得同理求得代入问题计算即可. 【详解】因为双曲线的离心率为 所以 不妨设因为点在上，所以 两式相减,得, 因为点是的中点，所以, , 所以 即所以 同理 因为所以 故答案为：3. 69．(24-25高二上·陕西商洛洛南中学·期中)已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点、，，的长半轴与的实半轴之差为，离心率之比为. (1)求这两条曲线的方程； (2)求曲线以点为中点的弦所在直线的方程； (3)若为两条曲线的交点，求的余弦值. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，进而可求得、的值，由此可得出两曲线的方程； （2）利用点差法可求得曲线以点为中点的弦所在直线的方程，然后再将所求直线方程与曲线的方程联立，计算即可结论； （3）设，，利用椭圆和双曲线的定义可求出、的值，再利用余弦定理可求得的余弦值. 【详解】（1）设椭圆方程为，双曲线方程为，. 则，解得，，则，， 因此，椭圆方程为，双曲线方程为. （2）曲线以点为中点的弦的两端点分别为、， 则，， 若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 因为，这两个等式作差可得， 所以，，可得， 所以，直线的方程为，即， 检验：联立可得，则，合乎题意， 因此，曲线以点为中点的弦所在直线的方程为. （3）不妨设、分别为两曲线的左、右焦点，是两曲线在第一象限的交点， 设，，由椭圆和双曲线的定义可得，解得， 所以，. 70．(23-24高二上·陕西宝鸡金台区·期末)已知双曲线的渐近线方程是，实轴长为2. (1)求双曲线的方程; (2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用渐近线方程、实轴长求出可得答案； （2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理可得答案. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程是，实轴长为2， 所以，， 所以双曲线的方程为； （2）双曲线的渐近线方程为，由双曲线关于坐标轴的对称性可知， 若线段的中点为，则直线的斜率存在， 设为，且，， 可得直线的方程为， 与双曲线方程联立， 可得， 设， 则， 解得，经检验符合题意. 71．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据题意求出即可； （2）利用点差法求解即可. 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线与直线垂直， 且直线的斜率为， 且双曲线的渐近线为，则，可得， 所以，双曲线的渐近线方程为，即， 因为右顶点到该条渐近线的距离为，所以， 解得，所以，所以双曲线的方程为； （2）设、， 则， 则，所以， 化简得， 因为线段的中点为，所以，， 所以，所以， 即直线的斜率为， 经检验符合题意， 所以直线的斜率为. 72．(22-23高二上·陕西咸阳实验中学·月考)已知双曲线的右焦点为，虚轴长为． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且线段的中点为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求出，即可得双曲线的方程； （2）将点坐标代入双曲线方程后做差，再将中点坐标代入可得斜率，进而可得直线方程. 【详解】（1）双曲线的右焦点为，虚轴长为， ，解得， 双曲线的方程为； （2）线段的中点为， , 点都在双曲线上， ，即， ． 直线的方程为，即． 联立，消去得，该方程有解， 故直线的方程为. 地 城 考点05 双曲线中的定点、定值问题 73．(25-26高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中)已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴、轴于、两点.当点运动时，点的轨迹为曲线. (1)当时，求点的坐标； (2)求曲线的方程，并说明它是什么曲线；如果将双曲线推广到双曲线，你能得到什么相应的结论?（只需写出推广的结论，不需要证明）. (3)设点，若过点的直线与曲线的右支交于、两点，证明：直线和直线的斜率乘积为定值． 【答案】(1)或 (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）联立得，再根据有唯一公共点，解得，再代入方程求点坐标即可； （2）根据直线与曲线由唯一公共点求出与的关系，再根据过点且与直线垂直的直线分别交轴，轴求出点坐标及轨迹方程； （3）设，，联立得到，再计算即可判断． 【详解】（1）根据题意， 则，， ，， 解得， 当时，，， 解得，此时， 当时，，， 解得，此时， 当时，点的坐标为或； （2），， ，，即， 故，即，其中， 故过点且与直线垂直的直线为， 可得，， ，， 故点的轨迹方程为， 其轨迹为：双曲线（去掉两个顶点）， 如果推广到一般的等轴双曲线，点的轨迹方程为. （3）证明：由题可知直线的斜率不为零，设，， ，， ，，， ， ，解得， ， ， 所以直线和直线的斜率乘积为定值．    74．(24-25高二上·陕西科技大学附属中学·月考)双曲线经过点，一条渐近线的倾斜角为，直线过双曲线的右焦点，交双曲线于，两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据题意列方程组求得，即可求得答案； （2）先考虑直线l的斜率存在时，设，设出直线方程，根据可得到对任意的总成立，联立直线l与双曲线方程，得到根与系数关系，结合恒成立可求得的值，得到结论，再验证直线斜率不存在时的情况也适合题意，即可得到结论. 【详解】（1）由题意可知双曲线的渐近线方程为， 因为一条渐近线的倾斜角为，所以， 双曲线经过点，则， 联立，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）由（1）知双曲线的右焦点为， 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 设，，， 因为，所以， 即， 整理得①， 由，得到， 因为直线l与双曲线有两个不同的交点， 故且， 所以， 由题设有①对任意的总成立， 因为， 所以①可转化为， 整理得到对任意的总成立， 故，解得，故所求的定点的坐标为． 当直线l的斜率不存在时，则，此时或， 当时，此时或， 都满足； 综上，定点的坐标为． 【点睛】方法点睛：（1）解决求圆锥曲线的方程问题时，一般是由题意列出关于参数的方程组，即可求得答案；（2）解决关于直线和圆锥曲线的位置关系问题时，比如定点定值问题，一般要注意考虑直线的斜率是否存在，存在时设直线方程，并联立圆锥曲线方程，得到根与系数的关系，要结合题设条件进行化简，即可得结论，关键就是化简以及计算比较复杂，要求十分细心,计算要准确. 75．(23-24高二下·陕西西安工业大学附属中·期中)已知双曲线经过点，右焦点为，且成等差数列. (1)求的方程； (2)过的直线与的右支交于两点（在的上方），的中点为在直线上的射影为为坐标原点，设的面积为，直线的斜率分别为，试问是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由. 【答案】(1) (2)是定值，定值为 【分析】（1）根据题意和可得，然后根据点在双曲线上即可求解； （2）依题意可设PQ：，将直线方程与圆锥曲线方程联立得到，利用韦达定理和已知条件求出的表达式，然后求出的表达式，化简即可求证. 【详解】（1）因为，，成等差数列，所以， 又，所以. 将点的坐标代入C的方程得，解得， 所以，所以C的方程为. （2）依题意可设PQ：， 由，得,    设，，，则. ，， 则 ， 而， 所以 ， 所以是定值，定值为. 【点睛】关键点点睛： （1）本题的关键是根据题目条件得到等式，解方程组； （2）本题的关键是把目标转化成两根之和以及两根之积的形式，然后代入韦达定理化简. 76．(23-24高二上·陕西西安西安中学·)已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程; (2)如图，若直线与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且.求证:为定值； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率以及经过的点，联立即可求解； （2）联立直线与双曲线方程，可得交点坐标，即可根据两点距离公式代入化简求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以双曲线的方程为，即 因为点在双曲线上，所以，所以 所以所求双曲线的方程为即 （2）由题意可得直线OP的斜率存在，可设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为， 由 ，得，所以 同理可得，， 所以 77．(22-23高二上·陕西咸阳实验中学·月考)已知双曲线：的一条渐近线的斜率为，右焦点到其中一条渐近线的距离为1. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线（斜率存在且不为0）与双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为，若，，三点共线，证明：直线经过轴上的一个定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得到关于的方程，解之即可得解； （2）联立直线与双曲线方程，得到，，再由三点共线得到，代入即可得解. 【详解】（1）∵双曲线的方程为：， ∴双曲线的渐近线方程为，设右焦点的坐标为， 则，解得，， ∴双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的右焦点， 设直线与轴交于点，直线的方程为，，，则， 联立，消去得， 显然有且， 化简得且， 则，， 故，， ∵，，三点共线， ∴，则， ∴， 又，∴， ∴， ∴，化简得，经检验符合题意， ∴直线的方程为：， ∴直线经过轴上的一个定点， 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 78．(23-24高二上·陕西咸阳礼泉县·期中)已知双曲线C：的右顶点为，且双曲线C的一条渐近线恰好与直线垂直. (1)求双曲线C的方程 (2)若直线：与双曲线C的右支交于A，B两点，点F为双曲线C的右焦点，点D在双曲线C上，且轴.求证：直线过点F. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由双曲线的定义和渐近线的方程求出即可； （2）画出图像，设，，直曲联立，得到用纵坐标表示的韦达定理，再用坐标写出向量，，利用向量共线的充分必要条件证明三点共线即可. 【详解】（1）由右顶点为，得， 由双曲线C：的一条渐近线恰好与直线垂直， 得，即，∴， ∴双曲线C的方程为. （2）    由（）可知，右焦点F的坐标为（2，0）， 由题意可知直线的斜率存在且不为0，∴， 设，，则， 由（）可知，双曲线的渐近线方程为， 又直线与双曲线的右支交于A，B两点，则，即，且直线过定点作出图像如上， 联立消去得， 则，得， ，，则， 又，∴，， ∴， ∴，又，有公共点F， ∴B，F，D三点共线，∴直线过点F 【点睛】第一问由双曲线的性质和渐近线的定义直接得到；第二问先根据直线过定点且与双曲线有两个交点确定直线的大致位置，在设出，，坐标，直曲联立得到关于的韦达定理，然后再由向量共线的充分必要条件证明点在直线上. 79．(21-22高二·卷10选择性必修第一册高二上期中考试总复习检测1（易）-·期中)已知双曲线过点，且离心率 (1)求该双曲线的标准方程： (2)如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）根据双曲线的离心率及双曲线过点可得方程； （2）设点与点的坐标，根据直线与直线的斜率互为相反数，可得直线的斜率. 【详解】（1）由题意，解得，， 故双曲线方程为 （2）设点，， 设直线的方程为， 代入双曲线方程，得， ，，， 同理， . 80．(17-18高二上·陕西师范大学附属中学·期中)已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为，右焦点，双曲线的实轴为，为双曲线上一点（不同于，），直线，分别与直线交于，两点． (1)求双曲线的方程． (2)证明为定值． 【答案】(1)； (2)详见解析. 【分析】（1）由题可得，即得； （2）由题可得、、，设，，利用共线向量的坐标运算,可得的坐标，进而可表示出，结合双曲线的方程即得. 【详解】（1）依题意可设双曲线方程为：， 则， 解得， ∴所求双曲线方程为； （2）由题可得、、， 设，，则，， ∵、、三点共线， ∴， ∴，即， 同理得， 所以，， 则， ∵， ∴， ∴， 即（定值）． 地 城 考点05 双曲线中的向量问题 81．(19-20高二上·陕西西安交大二附中·期末)经过双曲线的右焦点作倾斜角为45°的直线，交双曲线于，两点，设为坐标原点，则等于（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【解析】先依题意写出直线的方程， 联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合向量的数量积运算计算即得结果. 【详解】由双曲线的方程可知，右焦点坐标为， 的直线方程可设为， 设，，则， 联立可得， ，， ， ． 故选：B． 82．已知双曲线的离心率为，F为右焦点，点A，B在右支上，设D为A关于原点O的对称点，且．若，则 ． 【答案】 【分析】设，得到，且，根据题意和双曲线的定义，得到，结合双曲线的对称性，得到，求得，同理得出，即可求解. 【详解】由双曲线的离心率为， 设，（其中），则，可得， 再设为双曲线的左焦点，且， 因为，可得，根据双曲线的定义，可得， 又由双曲线的对称性，可得四边形为矩形，所以， 即，解得， 连接，设，则，由于 即，解得， 因为，解得． 故答案为：. 83．(24-25高三上·陕西商洛·一模)已知双曲线的左、右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3． (1)求双曲线的标准方程； (2)斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若，求点到直线的距离的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直线的斜率之积为3，构造方程求出，再将点代入方程即可；（2）设直曲联立，借助韦达定理，由，所以，结合韦达定理，求出，再用点到直线距离计算即可. 【详解】（1）由题意可得， 则直线的斜率，直线的斜率． 因为直线的斜率之积为3，所以，解得． 因为点在双曲线上，所以，解得． 故双曲线的标准方程为． （2）设直线 联立整理得 则 所以． 因为，所以， 所以 即 化简得，故． 由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离． 因为，所以，所以， 即点到直线的距离的最大值是． 84．(23-24高二上·陕西西安高新第一中学·)已知双曲线的左、右焦点分别为，左顶点为，点M为双曲线上一动点，且的最小值为18，O为坐标原点．    (1)求双曲线C的标准方程； (2)如图，已知直线与x轴交于点T，过点T的直线交双曲线C右支于点B，D，直线AB，AD分别交直线l于点P，Q，若，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的方程可得，根据题意结合双曲线的定义，运算求解即可得结果； （2）设直线，根据题意求的坐标，由题意可得，结合韦达定理运算求解. 【详解】（1）设， 不妨设M为双曲线右支上一动点，则， 则，即， 可得， 注意到，则， 由题意可得：，即， 则， 因为的对称轴为，则在上单调递增， 故， 则，解得或（舍去）， 可得，故双曲线C的标准方程为． （2）由题意可得，设直线， 联立方程，消去y得， 则， 直线，令，则，即点， 同理可得点， 由，则可得， ， 注意到，且点P，Q位于同一象限， 即，可得， 故， 整理得， 则， 整理得，解得或（舍去）， 故实数m的值为． 【点睛】方法定睛：解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为端点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程(组)求解． 85．(19-20高二上·陕西西安交大二附中·期末)已知双曲线及直线． （1）若与有两个不同的交点，求实数的取值范围． （2）若与交于，两点，且线段中点的横坐标为，求线段的长． 【答案】（1）且；（2）． 【解析】（1）联立直线与双曲线方程，利用方程组与两个交点，求出k的范围． （2）设交点A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可． 【详解】（1）联立y=2可得． ∵与有两个不同的交点， ． 且， 且． （2）设，． 由（1）可知，． 又中点的横坐标为． ， ， 或． 又由（1）可知，为与有两个不同交点时，． ． ． 86．已知中心在原点的双曲线的右焦点为,右顶点为. （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中为坐标原点)，求实数取值范围. 【答案】（1）－y2＝1 （2）(－1，－)∪(，1) 【详解】(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)． 由已知得a＝，c＝2，再由c2＝a2＋b2得b2＝1， 所以双曲线C的方程为－y2＝1． (2)将y＝kx＋代入－y2＝1中，整理得(1－3k2)x2－6kx－9＝0， 由题意得 ， 故k2≠且k2<1　①． 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝，xAxB＝， 由·>2得xAxB＋yAyB>2， xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2＝(k2＋1)·＋k·＋2＝， 于是>2，即>0，解得<k2<3　②． 由①②得<k2<1， 所以k的取值范围为(－1，－)∪(，1)． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $