专题06 抛物线与方程（5大题型）（期末真题分类汇编 陕西专用）高二数学上学期

丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06 抛物线与方程 (5大题型) ☆5大高频考点概览 考点01抛物线的定义与方程 考点02直线与抛物线的位置关系 考点03抛物线的弦长、焦点弦、切线问题 考点04抛物线中的定点、定值问题 考点05抛物线中的向量问题 抛物线的定义与方程 目目 考点01 1.(24-25高二上陕西咸阳期末)若抛物线y2=2px(p>0)上一点P到焦点的距离与到y轴的距离之差为1， 则p=(） A.1 B.2 C.3 D.4 2.(24-25高二上·陕西榆林第一中学·期末)己知抛物线x2=8y的焦点是F,若拋物线上的点P到F的距离为4， 则点P到x轴的距离为() A.2 B.3 C.4 D.5 3.(22-23高二上·陕西宝鸡教育联盟期末)两抛物线x2=V2y与y2=-x的焦点间的距离为() A.9 B.9 c.月 D.9 4.(20-21高二上陕西渭南富平县期末)已知抛物线x2=4y的焦点为F,点P在抛物线上且纵坐标为4，则 IPF=() A.2 B.3 C.5 D.6 5.(22-23高二下·陕西榆林·期末)己知抛物线Cy2=4x的焦点为F,点M在抛物线C上，若M到直线x=-3的 距离为7，则MF=() A.4 B.5 C.6 D.7 6.(22-23高二上·陕西部分名校·期末)已知P为抛物线C:x2=-16y上一点，F为焦点，过P作C的准线的垂线， 垂足为H,若△PFH的周长不小于30，则点P的纵坐标的取值范围是() A.(-0,-5] B.(-0,-4] C.(-∞，-2] D.(-0,-1] 7.(21-22高二上·陕西宝鸡金台区·期末)如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准 1/13 丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 线于点A,B,C,若|BC|=2IBF,且IAF=4,则抛物线的方程为(） A.y2=x B.y2=2x C.y2=3x D.y2=4x 8.(20-21高二下陕西商洛期末)已知P为曲线C:x=3少上一点，T(0,,A(3,3),则PT1+PA的最小值为 () A.6 B.号 C.5 D. 9.(24-25高二上陕西宝鸡金台区期末)抛物线x2-10y=0的焦点到准线的距离是() A.月 B.5 c.9 D.10 10.(6425高二上陕西西安铁一中学期末已知双曲线2-兰=1(a>0)的右焦点与抛物线y2=8的焦点重 合，则此双曲线的渐近线方程是() A.y=±5x B.y=±x C.y=±3x D.y=±x 11.(21-22高二上陕西西安周至县第四中学期末)抛物线y=-子x2的准线方程为（) A.x=法 B.x=-1 C.y=1 D,y=-2 12.(24-25高二上陕西西安新城区·期末)设抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,P(xo,4)为抛物线上一点，若 IPF1=5,则p的值为 13,(24-25高二上·陕西西安博爱国际学校·期末)抛物线y=4x2的焦点到准线的距离是 14.(24-25高二上陕西汉中多校期末)已知M(xoyo)是抛物线C:x2=4y上的一点，F为抛物线C的焦点，若 IMF1=10,则yo的值为一 15.(24-25高二上·陕西榆林八校联考·期末)抛物线x2=-4y的焦点到准线的距离为· 16.(23-24高二上陕西成阳期末已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上，MN垂直x轴于点N若1MF1 2/13 丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 =6,则NFI= 17.(23-24高二上陕西西安周至县第六中学期末)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1y1),B (x2y2)两点，若|AB=12,那么x1+x2= 18.(21-22高二上陕西西安周至县第四中学期末)抛物线y2=8x,过焦点的弦AB长为8，则AB中点M的 横坐标为 19.(20-21高二上陕西延安延安新区·调研)设抛物线y=2px(p>0)的焦点为F,P(1,m)为抛物线上一点， 若1PF川=2，则p=一 20.(22-23高二下.陕西师范大学附属中学期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4， 点M(1,Nx22)在抛物线C上，若01-2y01+2y)=48,则=一 直线与抛物线的位置关系 目目 考点02 21.(54-25高二上陕西西安铁一中学期末)如图所示，己知抛物线C1y2=2px过点(2,4)，圆C2x2+y2 -4x+3=0.过圆心C2的直线l与抛物线C1和圆C2分别交于P、Q、M、N,则1PM+91QW的最小值为() A.22 B.24 C.21 D.23 22.(23-24高二上陕西西安阎良区教育局期末)过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线交于A(x1y1) B(x2y2)两点，则品+=（) 1 A.? B.p2 c D. 23.(22-23高二上陕西西安长安区第一中学期末设经过点F(3,0)的直线与抛物线y2=12x相交于A,B两点， 若线段AB中点的横坐标为9，则AB=() A.18 B.24 C.30 D.36 24.设0为坐标原点，直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点，若0D⊥0E,则C的焦点坐 3/13 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 标为() A.(G0 B.(,0) C.(1,0) D.(2,0) 25.(18-19高二·陕西华阴期末)己知F是抛物线y2=4x的焦点，过点F的直线与抛物线交于不同的两点A,D, 与圆(x-1)2+y2=1交于不同的两点B,C(如图)，则|AB·|CD1的值是 A.22 B.2 C.1 D. 2 26,如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线AB交抛物线于点A,B,交抛物线的准线 于点C,若阳=5则AB= A.4 B.5 C.6 D.7 27.(17-18高二上陕西西安中学期末)设F为抛物线C:y2=8x的焦点，过F作倾斜角为30°的直线交C于A、 B两点，则AB引= A号 B.16 C.32 D.4V3 28.过点(0,2)与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有() A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 29,(22-23高二上陕西榆林府谷中学期末)过抛物线x2=-2py(p>0)的焦点F的直线l与抛物线相交于A,B 两点，O是坐标原点，则△ABO的形状是 30,己知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线1与x轴交于点M,点P在抛物线上，直线PF与抛物线交于 另一点A,设直线MP,MA的斜率分别为k,k,则k+k的值为一· 31.己知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点，若LAMB=90°， 4/13 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 则k= 32.(24-25高二上陕西安康期末)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,A(-2,0),B(-1,0),过点A,B作两条互相平 行的直线l1,l2,其中l1与C切于点D,l2与C交于两点G,H,则() A.1的斜率为士号 B.IGHI=86 C.DF=3 D.△DGH的面积为2 33.(24-25高二上陕西榆林期末)若过点C可以作抛物线的两条切线，切点分别是A,B,则称△ABC为阿基 米德三角形”，已知抛物线E:y2=8x的焦点为F,过F的直线交E于A,B两点，以A,B为顶点的阿基米德三角 形”为△ABC,则() A.点C的横坐标为-2 B.LAGB=月 C.IBCI2>IAB·IBFI D.△ABC面积的最小值为16 34.(23-24高二上陕西西安铁一中学期末)已知A、B为抛物线y=x2上两点，以A,B为切点的抛物线的 两条切线交于点P,设以A,B为切点的抛物线的切线斜率为kA,ka,过A,B的直线斜率为kAB,则以下 结论正确的有() A.kA,kAB,kB成等差数列 B,若点P在抛物线的准线上，则△ABP不是直角三角形 C.若点P在直线y=2x-2上，则直线AB恒过定点 D.若点P在抛物线x2=y+1上，则△ABP面积的最大值为2 35.(24-25高二上陕西西安第八十五中学期末)如图，0为坐标原点，过点P(2,0)且斜率为k的直线1与抛 物线y2=2x分别交于M(x1y1),N(x2y2)两点. P2.0) (1)求证：x1x2为定值； (2)求证：OM10N. 36.(54-25高二上陕西西安铁一中学期末)己知抛物线C1y2=4x和C2:x2=2py(p>0)的焦点分别为F1,F2, 点P(-1,-1),且F1F2⊥0P(0为坐标原点). 5/13 丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 (1)求抛物线C2的方程，焦点坐标，准线方程： (2)过点O的直线交C1的下半部分于点M,交C2的左半部分于点N,求△PMN面积的最小值. 37.(21-22高二上陕西铜川阳光中学期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),直线x=my+1 交抛物线C于A(x1y1),B(x2y2)两点，线段AB的中点为M,0为坐标原点，且直线0M的斜率为， (1)求抛物线C的方程； (2)求实数m的值 38.(20-21高二上陕西延安延安新区调研)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线与y轴的交点为 M,动点A（异于原点O)在抛物线C上，当AF与y轴垂直时，|AF=2. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线AF与抛物线C交于另一点B,证明：直线AM的斜率与直线BM的斜率互为相反数 39.(21-22高二上陕西咸阳秦都区·期末)已知点P(2,2)在抛物线C:y2=2px上 (1)求抛物线C的方程： (2)若直线l与抛物线C交于M(x1y1),N(x2,y2)两点，y1y2<0,且OM.0N=8(其中0为坐标原点)，求Iy1l +2y2的最小值 40.21-22高二上·陕西渭南富平县·期末)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线l1交抛物线C 于A,B两点，且AB=8,线段AB的中点到y轴的距离为3. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l2y=kx+m与圆0x2+y2=和抛物线C均相切，求实数m的值. 目目 考点03 抛物线的弦长、中点弦、切线问题 41.(24-25高二上陕西师范大学附属中学·期末)已知斜率为k(k>0)的直线过抛物线「：y2=2px(p>0)的焦 点F,与抛物线Γ交于A、B两点，又直线与圆x2+y2-px=0交于C、D两点.若|AB=31CDl,则k的值为 () A.2 B. 3 C. D.2 42.过抛物线y2=4x的焦点的直线交抛物线于P(x1y1)、Q(x2,y2)两点，如果x1+x2=6,则PQ1=(） A.9 B.6 C.7 D.8 43.(20-21高二上·陕西渭南韩城期末)设F为抛物线Cy2=4x的焦点，过点F的直线l交C于A(x1y1),B(x2y2) 两点，若AB=8,则y+y=() 6/13 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 A.8 B.12 C.16 D.24 44.(22-23高二上陕西西安长安区第一中学期末)设经过点F(1,0)的直线与抛物线y2=4x相交于A,B两点， 若线段AB中点的横坐标为3，则AB=() A.6 B.8 C.10 D.12 45.(20-21高二上陕西西安期末)已知抛物线M:y=2px2(p>0)的焦点为F,过点F且斜率为的直线与抛 物线M交于A(点A在第二象限)，B两点，则=（） A.月 B. C.4 D.5 46.(21-22高二上陕西西安长安区第一中学期末)已知F为抛物线C:y2=6x的焦点，过F作两条互相垂直 的直线l1,L2,直线L1与C交于A、B两点，直线L2与C交于D、E两点，则AB+DE的最小值为() A.24 B.22 C.20 D.16 47.(20-21高二下陕西安康期末)过抛物线y2=4V2x焦点F的直线与抛物线交于A,B两点，AF=3FB, 抛物线的准线1与x轴交于点C,则△ABC的面积为() A.8 B.8/3 3 c.曾 D.163 3 48.(17-18高二上陕西安康期末)己知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,直线过点F交抛物线于A,B两点， 若|FA=3,|FB|=1,则p= A.1 B.2 c. D.3 49.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线1,12，直线1与C交于A、B两点， 直线2与C交于D、E两点，则ABDE的最小值为 A.16 B.14 C.12 D.10 50.设F为抛物线Cy2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，则1AB= A.30 B.6 C.12 D.7V3 3 51.(22-23高二下·陕西汉中·期末)过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的 通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆(x+1)2+(y-2)2=4的一条 通径与抛物线y2=2px(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则p=(） A.月 B.1 C.2 D.4 52.(20-21高二上陕西安康期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M(yo)为该抛物线上一点， 7/13 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 以M为圆心的圆与C的准线相切于点A,∠AMF=120°，则MF=() A.1 B.月 C.2 D.} 53.(18-19高二陕西渭南合阳县期末过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且|AF=3BF|, 则直线AB的斜率为() A.v2 B.3 C.V2或-2 D.V3或-V3 54.(24-25高二上陕西渭南大荔县期末)用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行 于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于 它的焦点用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴 重合，顶点与原点重合.若抛物线C:y2=4x的焦点为F,O为坐标原点，一条平行于x轴的光线l1从点M射 入，经过C上的点A(x1y1)反射，再经过C上另一点B(x2y2)反射后，沿直线L2射出，则(） 水壶 太阳光 反射镜 支架 A.C的准线方程为x=-1 B.y1y2=-4 C.若点M(2,1,则AB= D.设直线AO与C的准线的交点为N,则点N不在直线l2上 55.(23-24高二上陕西韩城期末)过抛物线Cy2=4x的焦点F分别作两条相互垂直的直线L1,l2,若直线1 与抛物线C交于A(x1y1),B(x2,y2)两点，直线2与抛物线C交于D(x1,m),E(x2,n)两点，且：1<x2,则四 边形ADBE的面积为 56.(21-22高二上·陕西渭南白水县期末)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线C的准线与y轴 交于点A,点M(V3,yo)在抛物线C上，MF1=空，则△MAF的面积为一 57.(20-21高二上陕西宝鸡金台区·期末)斜率为-1的直线经过抛物线y2=一4x的焦点，与抛物线相交于A,B 两点，则AB= 58.(20-21高二上陕西宝鸡·期末)直线y=2x-2被抛物线C:y2=4x截得的弦长为 59.(20-21高二上陕西西安长安区第一中学.期末)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点 A、B,A在B点的上方，若|AFI=4纠BFI,则直线AB的斜率为 8/13 丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 60.(18-19高二上陕西西安西安中学期末)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2, y2),如果x1十x2=8,则AB= 目目 考点04 抛物线中的定点、定值问题 61.(23-24高二上陕西汉中汉台区·期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点(1，-2)，直线l与抛物线C交于A,B 两点，0为坐标原点，0A10B. (1)求抛物线C的方程； (2)求证：直线过定点； (3)在x轴上是否存在点T,使得直线TA与直线TB的斜率之和为0？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请 说明理由， 62.(22-23高二下·河南商丘·月考)在平面直角坐标系x0y中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线C经 过点(2,4) (1)求C的方程； (2)若C关于x轴对称，焦点为F,过点(4,2)且与x轴不垂直的直线交C于M,N两点，直线MF交C于另一点A, 直线NF交C于另一点B,求证：直线AB过定点 63.(22-23高二上陕西西安长安区第一中学期末)已知动圆过定点A(0,3),且在x轴上截得的弦长为6. (1)求动圆圆心M的轨迹方程； (②)设不与x排垂直的直线与点M的轨迹交于不同的两点P(xw,Q(x22)若号+号=4，求证：直线7过定 点 64.(22-23高二上·陕西宝鸡渭滨区期末)已知抛物线C:y2=2px的焦点坐标为F(1,0). (1)求抛物线C的方程； (2)已知定点P(1,2),A、B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明： 直线AB过定点. 65.(21-22高二上·陕西渭南韩城新蕾中学·月考)已知过点P(2,2)的抛物线C的顶点在原点，焦点在y轴上. (1)求抛物线C的方程； (2)设直线L:y-4=k(x+2)与抛物线C相交于A(x1y1),B(x2y2)两点，记直线PA与PB的斜率分别为k1和 k2求证：k1k2为定值，并求出此定值 66.(20-21高二下陕西西安阎良区期末)已知抛物线C:x2=2py的焦点为F,点N(t,1)在抛物线C上，且WF列 9/13 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 (1)求抛物线C的方程； (2)过点M(0,1)且斜率存在的直线l交抛物线C于不同的两点A,B,设0为坐标原点，直线0A,0B的斜率分别为k1 k2,求证：k1k2为定值 67.(20-21高二下·陕西汉中校际联考·期末)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(4,m)(m>0)是抛物 线C上一点，且IPF川=5 (1)求抛物线C的方程； (2)若A(x1y1),B(x2y2)为抛物线C上异于点P的两点，且PA1PB,设直线PA的方程为x-4=t(y-m),点 A,B到直线y=-4的距离分别为a,b,求证：ab为定值 68.(20-21高二上·陕西西安阎良区·期末)已知抛物线C:x2=2py(p>0),直线1经过抛物线C的焦点，且垂 直于抛物线C的对称轴，直线1与抛物线C交于M,N两点，且IMN|=4. (1)求抛物线C的方程； (②)已知点P(2,1),直线m:y=k(x+2)与抛物线C相交于不同的两点A,B,设直线PA与直线PB的斜率分 别为k1和k2,求证：k1·k2为定值. 69.己知抛物线的方程是y2=4x,直线1交抛物线于A,B两点，设A(x1y1),B(x2y2) (1)若弦AB的中点为(3,3)，求直线1的方程， (2)若y1y2=-12,求证：直线1过定点. 70.(20-21高二·第三章圆锥曲线的方程（基础过关）-)已知点M到点F(1,0)和直线x=-1的距离相 等，记点M的轨迹为C. (1)求轨迹C的方程； (2)过点F作相互垂直的两条直线、2，曲线C与l1交于点PP,与交于点O、2,试证明：P,P 1 +00a=4 71.(19-20高二上·陕西西安·期末)己知抛物线C的顶点为坐标原点O,对称轴为x轴，其准线过点 (-2,-1) (1)求抛物线C的方程； (②)过抛物线焦点F作直线1，使得抛物线C上恰有三个点到直线1的距离都为2V2,求直线1的方程 72.(19-20高二上陕西西安中学期末)一个圆经过点F(2,0),且和直线x+2=0相切. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程： (2)己知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P、Q,若x轴是∠PBQ的角平分线， 证明直线过定点. 10/13 专题06 抛物线与方程 （5大题型） 5大高频考点概览 考点01 抛物线的定义与方程 考点02 直线与抛物线的位置关系 考点03 抛物线的弦长、焦点弦、切线问题 考点04 抛物线中的定点、定值问题 考点05 抛物线中的向量问题 抛物线的定义与方程 地 城 考点01 1．(24-25高二上·陕西咸阳·期末)若抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用抛物线定义即可求解. 【详解】设，根据抛物线定义可知，， 又点到焦点的距离与到轴的距离之差为1， 则，解得. 故选：B 2．(24-25高二上·陕西榆林第一中学·期末)已知抛物线的焦点是，若拋物线上的点到的距离为4，则点到轴的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】设点，由抛物线的焦半径公式得，则到轴的距离可求． 【详解】设点，准线方程为，由抛物线定义可得，得， 所以点到轴的距离为2. 故选：A. 3．(22-23高二上·陕西宝鸡教育联盟·期末)两抛物线与的焦点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出两抛物线的焦点坐标，即可得出焦点间的距离. 【详解】由题意， 抛物线与的焦点坐标分别为， ∴两抛物线的焦点间的距离为． 故选：B 4．(20-21高二上·陕西渭南富平县·期末)已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上且纵坐标为4，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 点P在抛物线上，等于点P到准线的距离，点P纵坐标为4，则. 故选：C 5．(22-23高二下·陕西榆林·期末)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若到直线的距离为7，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据题意转化为点到准线的距离为，结合抛物线的定义，即可求解. 【详解】由抛物线的焦点为，准线方程为，如图，    因为点在上，且到直线的距离为， 可得到直线的距离为，即点到准线的距离为， 根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于点到准线的距离， 所以. 故选：B 6．(22-23高二上·陕西部分名校·期末)已知为抛物线上一点，为焦点，过作的准线的垂线，垂足为，若的周长不小于30，则点的纵坐标的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，设点的坐标，准线与轴的交点为A，根据抛物线的定义和勾股定理可得的周长为，令，利用换元法可得，解之即可求解. 【详解】如图，设点的坐标为 ，准线与轴的交点为A， 则， 所以的周长为. 得，令，则， 有，即，解得(舍去)或， 所以，由解得. 故选：A. 7．(21-22高二上·陕西宝鸡金台区·期末)如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点，若且，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得，进而根据，利用比例线段的性质可求得，则抛物线方程可得. 【详解】如图分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点， 设，则由已知得：，由定义得：，故 在直角三角形中，， ，，从而得 ， ，求得，所以抛物线的方程为． 故选：D 8．(20-21高二下·陕西商洛·期末)已知为曲线上一点，，，则的最小值为（    ） A．6 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义知等于到准线的距离，则最小值为到准线的距离，即可求的最小值. 【详解】 由题意知：曲线是抛物线的右半部分且是焦点， ∵为曲线上一点，若到准线的距离为，则， ∴，要使其值最小，则即为到准线的距离， ∴的最小值为. 故选：D 9．(24-25高二上·陕西宝鸡金台区·期末)抛物线的焦点到准线的距离是（   ） A． B．5 C． D．10 【答案】B 【分析】根据题意，化简抛物线的方程为，结合抛物线的几何性质，即可求解. 【详解】由抛物线，可得，则，可得， 所以物线的焦点到准线的距离是. 故选：B. 10．(54-25高二上·陕西西安铁一中学·期末)已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出抛物线焦点坐标即可得，进而求出双曲线渐近线方程. 【详解】抛物线的焦点坐标为，依题意，，解得， 所以双曲线的渐近线方程是. 故选：C 11．(21-22高二上·陕西西安周至县第四中学·期末)抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将题中抛物线的方程转化为标准方程，从而得解. 【详解】由，可得， 所以准线方程为， 故选：C 12．(24-25高二上·陕西西安新城区·期末)设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】根据抛物线的焦半径公式可求得结果. 【详解】因为为抛物线上一点，， 所以，解得. 故答案为：2. 13．(24-25高二上·陕西西安博爱国际学校·期末)抛物线的焦点到准线的距离是 【答案】/ 【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而得解. 【详解】抛物线，即，所以焦点坐标为，准线方程为， 所以焦点到准线的距离为. 故答案为： 14．(24-25高二上·陕西汉中多校·期末)已知是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，若，则的值为 . 【答案】9 【分析】利用抛物线的焦半径公式，即可求得结果. 【详解】由题意得，，解得： 故答案为：9 15．(24-25高二上·陕西榆林八校联考·期末)抛物线的焦点到准线的距离为 ． 【答案】2 【分析】由抛物线方程可得抛物线的焦点和准线，即可得解. 【详解】由题意知该抛物线的焦点为，准线方程为， 故焦点到准线的距离为2． 故答案为：2. 16．(23-24高二上·陕西咸阳·期末)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则 ． 【答案】4 【分析】设点坐标，利用抛物线的定义求解即可. 【详解】由抛物线方程，得其焦点坐标为，准线方程为， 由抛物线的定义知，点在抛物线上，点到焦点的距离等于其到准线的距离， 设点，得： ，即， 因为垂直轴于点，所以点的横坐标也为， 则. 故答案是：. 17．(23-24高二上·陕西西安周至县第六中学·期末)过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，那么 ． 【答案】10 【分析】由焦半径公式求得焦点弦长. 【详解】由题设抛物线焦点坐标为， 则由抛物线定义易知：， 故. 故答案为：10 18．(21-22高二上·陕西西安周至县第四中学·期末)抛物线，过焦点的弦AB长为8，则AB中点M的横坐标为 . 【答案】2 【分析】利用梯形中位线定理，结合抛物线的定义，先求出弦的中点到准线的距离，最后求出弦的中点的横坐标. 【详解】抛物线的准线的方程为：，焦点为,分别过， 作，垂足为，在直角梯形中，， 由抛物线的定义可知：，因此有， 所以点的横坐标为. 故答案为：2. 19．(20-21高二上·陕西延安延安新区·调研)设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则 . 【答案】2 【分析】由抛物线的焦半径公式可得. 【详解】因在抛物线上，所以，故， 故答案为：2 20．(22-23高二下·陕西师范大学附属中学·期末)已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，点，在抛物线C上，若，则 . 【答案】 【分析】先求得抛物线C的方程，再利用抛物线定义和题给条件即可求得的值. 【详解】抛物线的焦点F到准线的距离为4， 则，则抛物线， 由点，在抛物线C上，可得，， 由，可得， 即，则， 又， 则，则 故答案为：4 直线与抛物线的位置关系 地 城 考点02 21．(54-25高二上·陕西西安铁一中学·期末)如图所示，已知拋物线过点，圆．过圆心的直线与抛物线和圆分别交于、、、，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点在抛物线上求出，分析可知，直线不与轴，设、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出的值，结合焦半径公式以及基本不等式可求得的最小值. 【详解】由题设，，则，故抛物线的标准方程，则焦点， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 若直线与轴垂直，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设点、，设直线的方程为， 联立可得，， 由韦达定理可得，，则， 结合图象可知，，， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：由韦达定理得出为解题的关键，结合基本不等式求最值. 22．(23-24高二上·陕西西安阎良区教育局·期末)过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立方程得出韦达定理结合抛物线焦半径计算即可. 【详解】由题意，直线的斜率不为0，设过焦点的直线方程为，， 直线方程与抛物线方程联立，消去并整理得， 由韦达定理得， ， ，故C正确． 故选:C． 23．(22-23高二上·陕西西安长安区第一中学·期末)设经过点的直线与抛物线相交于，两点，若线段中点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与抛物线的位置关系以及韦达定理、弦长公式求解即可. 【详解】因为经过点的直线与抛物线相交于，两点， 所以该直线的斜率不等于0，所以可假设直线方程为， 设， 联立，整理得， 所以 所以， 因为线段中点的横坐标为， 所以，所以， 所以， 故选：B. 24．设为坐标原点，直线与抛物线C： 交于，两点，若，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中所给的条件，结合抛物线的对称性，可知，从而可以确定出点的坐标，代入方程求得的值，进而求得其焦点坐标，得到结果. 【详解】因为直线与抛物线交于两点，且， 根据抛物线的对称性可以确定，所以， 代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目. 25．(18-19高二·陕西华阴·期末)已知是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于不同的两点，与圆交于不同的两点（如图），则的值是 A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据抛物线性质：设直线的倾斜角为 ，据抛物线的性质 然后表示出AB，CD，计算得出结果． 【详解】由题意：抛物线的焦点，圆的圆心，半径 设设直线的倾斜角为，根据抛物线性质得 故选：C 【点睛】本题目主要考查了直线与抛物线，直线与圆的位置关系，以及抛物线的焦点弦的性质的运用． 26．如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线AB交抛物线于点A，B，交抛物线的准线于点C，若，则    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】设直线AB的倾斜角为，，，过点B作准线的垂线，垂足为D，由抛物线的定义可得，由几何关系可得，易得，即可求出直线AB的方程，再与抛物线方程联立，即可求得故，根据抛物线的性质即可求出结果. 【详解】设直线AB的倾斜角为，，，过点B作准线的垂线，垂足为D， 则， 那么，易得， 于是直线AB的方程为， 代入，得，故， 所以．故选B． 【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，抛物线的焦点弦(过焦点的弦)为、,则有如下结论：(1) ;(2)， . 27．(17-18高二上·陕西西安中学·期末)设为抛物线：的焦点，过作倾斜角为30°的直线交于、两点，则 A． B．16 C．32 D． 【答案】C 【分析】写出直线方程，联立抛物线方程消元，可根据弦长公式求出弦长. 【详解】由题意知，AB所在直线方程为 ，联立消元得，设，则，所以，故选C. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，弦长公式，属于中档题. 28．过点与抛物线只有一个公共点的直线有 (    ) A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】C 【详解】因为点在抛物线外面，与抛物线只有一个交点的直线有2条切线，1条和对称轴平行，故3条． 29．(22-23高二上·陕西榆林府谷中学·期末)过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点,是坐标原点,则的形状是 ． 【答案】钝角三角形 【分析】先求出焦点坐标,设直线方程及两点坐标,固定在第四象限,在第三象限,联立方程组,韦达定理求出,写出的式子,由抛物线的图像可知,判断的形状只需判断的大小,找到与直线倾斜角之间的关系,进而找到与之间关系,判断其正负,即可判断的形状. 【详解】解:由题知直线过焦点且与抛物线相交于两点, 抛物线开口向下, 故直线斜率存在, 因为, 不妨设,, 记点在第四象限,点在第三象限, 即, 联立:, 可得:, 所以, , 记,, 直线的倾斜角为,直线的倾斜角为, 则有, 则 , 所以为钝角, 即为钝角三角形. 故答案为:钝角三角形 30．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴交于点M，点P在抛物线上，直线PF与抛物线交于另一点A，设直线MP，MA的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的值为 ． 【答案】0 【分析】设过的直线交抛物线于，，，，， 联立方程组，利用韦达定理可得. 【详解】设过的直线交抛物线于，，，，， 联立方程组，得：， 于是，有：，， ， 又， . 故答案为：０ 31．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则 ． 【答案】2 【分析】方法一：利用点差法得到AB的斜率，结合抛物线定义可得结果. 【详解】［方法一］：点差法 设，则，所以 所以， 取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为 因为,， 因为为AB中点，所以平行于x轴， 因为M(-1,1)，所以，则即． 故答案为：2. ［方法二］：【最优解】焦点弦的性质 记抛物线的焦点为F，因为，则以为直径的圆与准线相切于点M，由抛物线的焦点弦性质可知，所以． ［方法三］： 焦点弦性质+韦达定理 记抛物线的焦点为F，因为，则以为直径的圆与准线相切于点M，记中点为N，则，设，代入中，得，所以，得，所以． ［方法四］：【通性通法】暴力硬算 由题知抛物线的焦点为，设直线的方程为，代入中得，设，则，同理有，由，即．又，所以，得． ［方法五］：距离公式+直角三角形的性质 设直线为，与联立得，则从而，可得的中点，所以． 又由弦长公式知． 由得，解得，所以． ［方法六］：焦点弦的性质应用 由题可知，线段为抛物线的焦点弦，，由于以抛物线的焦点弦为直径的圆必与准线相切，又点M恰为抛物线准线上的点，因此，以为直径的圆必与准线相切于点M． 过点M作平行于轴的直线交于点N，则N为圆心． 设，则． 又因为，所以联立解得．将的值代入中求得． 因为抛物线C的焦点，所以． 【整体点评】方法一：根据点差法找出直线的斜率与两点纵坐标的关系，再根据抛物线定义求出中点坐标，从而解出； 方法二：直接根据焦点弦的性质解出，是该题的最优解； 方法三：根据焦点弦性质可知，直线过点，再根据韦达定理求出直线的斜率； 方法四：直接设出直线方程，联立运算，属于解决直线与抛物线位置关系问题的通性通法，思路直接，运算复杂； 方法五：反设直线，再通过联立，利用直角三角形的性质求解，运算较复杂； 方法六：利用焦点弦的性质直接求出其中一点的坐标，再根据斜率公式求出． 32．(24-25高二上·陕西安康·期末)已知抛物线的焦点为，过点作两条互相平行的直线，其中与切于点与交于两点，则（    ） A．的斜率为 B． C． D．的面积为2 【答案】ACD 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立求解判断AC；求出直线的方程，与抛物线方程联立，结合弦长公式求解判断BD. 【详解】设直线方程为，由消去得，， 解得，，点， 对于A，的斜率，A正确； 对于C，，C正确； 对于BD，由对称性不妨令点，则直线， 由消去得，设， 则，， 点到直线的距离，的面积，B错误，D正确. 故选：ACD 33．(24-25高二上·陕西榆林·期末)若过点可以作抛物线的两条切线，切点分别是，则称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，以为顶点的“阿基米德三角形”为，则（    ） A．点的横坐标为 B． C． D．面积的最小值为16 【答案】ABD 【分析】设出直线的方程，代入抛物线，写出韦达定理，利用导数求得切线，联立求交点，可得A的正误；通过两直线垂直的斜率性质，可得B、C的正误，利用圆锥曲线中的弦长公式以及两点之间距离公式，结合三角形的面积公式，可得D的正误. 【详解】对于A，，设，代入， 整理可得，设（不妨设）， 则. 由抛物线，整理可得函数，则， 设过点A的切线斜率为，易知，则切线方程为，即，同理可得：过点的切线方程为， 联立可得，解得，即故； 所以点的横坐标为，故A正确； 对于B，由A可知：直线，直线， 由，则，即，故B正确； 对于C，由选项A可知，则直线的斜率， 由，则.由选项B可知， 所以，得，即，故C错误； 对于D，由C可得：， ， ， 则，当时，取得最小值为16，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 34．(23-24高二上·陕西西安铁一中学·期末)已知、为抛物线 上两点，以 为切点的抛物线的两条切线交于点 ，设以 为切点的抛物线的切线斜率为，，过 的直线斜率为 ，则以下结论正确的有（    ） A．，，成等差数列 B．若点在抛物线的准线上，则不是直角三角形 C．若点在直线上，则直线恒过定点 D．若点在抛物线上，则面积的最大值为2 【答案】AC 【分析】首先利用导数求，，并求直线方程，代入点的坐标后，利用韦达定理，表示，即可证明A；利用的值，即可判断B；利用直线的斜率，以及表示直线的方程，即可判断C；利用韦达定理表示弦长，以及点到直线的距离，即可判断的面积，即可判断D. 【详解】设，，由，得， 故，， 所以切线的方程为，即， 同理，切线的方程为， 设点坐标为，所以，， 从而为方程的两根，故，， , 故，，成等差数列，故A正确； 若点在抛物线的准线上，则，，故两切线垂直， 则为直角三角形，故B错误； 若点在直线上，则， 直线的方程为，即， 由于，故直线的方程为，即， 从而直线恒过定点，故C正确； 由点满足， 且由A选项可知，，， 所以， 且直线的方程为， 点到直线的距离， 所以的面积为， 所以面积的为定值2，故D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题A选项是关键，由A可判断直线的斜率，以及直线方程，对其他选项的判断都有帮助. 35．(24-25高二上·陕西西安第八十五中学·期末)如图，O为坐标原点，过点且斜率为k的直线l与抛物线分别交于，两点． (1)求证：为定值； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设直线：，代入抛物线方程，消去，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理可得为定值. （2）根据（1）的结论，通过求证得. 【详解】（1）由题可设直线l的方程为（）， 与抛物线方程联立得 消去y可得， 其中， 由根与系数的关系得，即为定值． （2）因为，，所以． 又因为，所以． 设，的斜率分别为，， 则，，有，则． 36．(54-25高二上·陕西西安铁一中学·期末)已知抛物线和的焦点分别为，点，且（为坐标原点）． (1)求抛物线的方程，焦点坐标，准线方程； (2)过点的直线交的下半部分于点，交的左半部分于点，求面积的最小值． 【答案】(1)，焦点，准线：. (2)8 【分析】（1）根据，可求，确定抛物线的方程，再求其焦点坐标和准线方程. （2）设直线的方程为（），表示出，的坐标，求出及点到直线的距离，表示出的面积，结合基本不等式与二次函数的性质求面积的最小值. 【详解】（1）由抛物线的方程为，可得，抛物线：的焦点为：. 因为，所以，即 . 所以抛物线的方程为：，焦点坐标为，准线方程为：. （2）如图：    设直线的方程为：（）. 由，得，即. 由，得，即. 所以， 又点到直线的距离为：， 所以 ， 设（），则， 所以，当且仅当（）即时取 “”. 所以，（）， 所以当时，面积最小，为. 37．(21-22高二上·陕西铜川阳光中学·期末)已知抛物线的焦点为，直线交抛物线C于两点，线段的中点为为坐标原点，且直线的斜率为． (1)求抛物线C的方程； (2)求实数m的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据焦点坐标即可求解，进而可得抛物线方程， （2）联立直线与抛物线方程，得韦达定理，由中点坐标公式和斜率公式即可求解. 【详解】（1）抛物线C的焦点为， ，即． ∴抛物线C的方程为． （2）由消去得，此时， ． ． 点M坐标为． ，解得或．    38．(20-21高二上·陕西延安延安新区·调研)已知抛物线的焦点为F，准线与y轴的交点为M，动点A（异于原点O）在抛物线C上，当与y轴垂直时，. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线与抛物线C交于另一点B，证明：直线的斜率与直线的斜率互为相反数. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出点坐标，进而由得出抛物线C的方程； （2）设直线，代入抛物线C的方程，结合韦达定理以及斜率公式求解即可. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 当AF与y轴垂直时，易得，即， ∴抛物线C的方程为.    （2）证明：由（1）知，，， 设点，， 设直线，代入抛物线C的方程得，， 则，， ∴.    39．(21-22高二上·陕西咸阳秦都区·期末)已知点在抛物线：上 (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于，两点，，且（其中为坐标原点），求的最小值 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）将点的坐标代入可求得抛物线方程. （2）设直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和向量数量积坐标运算，可求得，利用基本不等式求最值. 【详解】（1）将点代入抛物线：中， 可得，得， ∴抛物线的方程为. （2）由（1）知，抛物线的方程为， 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，， 联立，整理可得， 则，，， 故. ∴， ∵，∴， 即，∴，， 解得， ∴， ∴，当且仅当时取等号. ∴的最小值为8. 40．(21-22高二上·陕西渭南富平县·期末)设抛物线 的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，且，线段的中点到轴的距离为3. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与圆和抛物线均相切，求实数的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设出A、B点坐标，由已知可得，又易得，即可解出； （2）根据直线与圆相切，可得；联立直线与抛物线，根据直线与抛物线相切可得，即可推得.联立两式，即可解出实数的值. 【详解】（1）设，，. 则线段的中点坐标为， 由题意知，则， 如图，分别过点、作准线的垂线，垂足为、，根据抛物线的定义可知，，， 又，所以，所以， 所以，抛物线的方程为：. （2）因为圆圆心为，半径为，直线，即与圆相切， ，即有① 联立直线与抛物线的方程，可得， 因为直线与抛物线相切， 所以，得②， 联立①②，解得或， 即实数的值为. 地 城 考点03 抛物线的弦长、中点弦、切线问题 41．(24-25高二上·陕西师范大学附属中学·期末)已知斜率为的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于、两点，又直线与圆交于、两点．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出直线方程为与抛物线方程联立方程组，设、，方程组消元后求得，再由焦点弦长公式表示出弦长，圆心就是抛物线的焦点，圆半径是，则，代入已知条件可求得． 【详解】圆的标准方程为，则圆的圆心为，半径为， 所以，，故， 易知直线的方程为，设点、， 联立可得， 则，所以，，    所以，， 因为，解得. 故选：A. 42．过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，如果，则（    ） A．9 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】由定义法求抛物线的焦点弦长即可得解. 【详解】由题意抛物线的准线为， 过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，如果， 所以. 故答案为：D. 43．(20-21高二上·陕西渭南韩城·期末)设为抛物线的焦点，过点的直线交于两点，若，则（    ） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】D 【分析】由抛物线的定义可得，结合在抛物线上，即可得解. 【详解】由抛物线可知， 由抛物线的定义可得，即， 又在抛物线上，， . 故选：D. 44．(22-23高二上·陕西西安长安区第一中学·期末)设经过点的直线与抛物线相交于两点，若线段中点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线焦点弦长公式直接求解即可. 【详解】由抛物线方程知：为抛物线的焦点； 设， 线段中点的横坐标为，， 直线过抛物线的焦点，. 故选：B. 45．(20-21高二上·陕西西安·期末)已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于A（点A在第二象限），两点，则（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】求出焦点坐标，设出直线方程，与抛物线方程联立，设，则，，从而利用焦半径公式和焦点弦公式求出，得到答案. 【详解】抛物线方程为，故焦点坐标为，则直线方程为， 与联立得：， 即， 设， 则，， ， 则，， 所以. 故选：A 46．(21-22高二上·陕西西安长安区第一中学·期末)已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A、B两点，直线与C交于D、E两点，则的最小值为（    ） A．24 B．22 C．20 D．16 【答案】A 【分析】由抛物线的性质：过焦点的弦长公式计算可得. 【详解】设直线，的斜率分别为， 由抛物线的性质可得，， 所以， 又因为，所以， 所以， 故选：A. 47．(20-21高二下·陕西安康·期末)过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，，抛物线的准线l与x轴交于点C，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设，表示出，，，利用抛物线知求出m，即可求解三角形面积. 【详解】如图， 设抛物线的准线为l，过A作于M，过B作于N，过B作于K，设，则，，， ∴，∴， ∴ ∴ ∴的面积为． 故选：D 48．(17-18高二上·陕西安康·期末)已知抛物线的焦点为，直线过点交抛物线于两点，若，，则 A．1 B． C． D．3 【答案】C 【详解】设直线：， ，得，所以， ，得，所以， 得，所以．故选C． 点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系．本题中联立直线和抛物线，得到韦达定理，由弦长公式得到方程组，解得．解析几何问题要熟悉综合题型的基本解题套路，利用通法解决问题． 49．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A 【详解】设，直线的方程为，联立方程，得，∴ ，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知 ，当且仅当（或）时，取等号. 点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以 . 50．设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：由题意，得．又因为，故直线AB的方程为，与抛物线联立，得，设，由抛物线定义得， ，选C． 考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义． 51．(22-23高二下·陕西汉中·期末)过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆的一条通径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据圆的通径的右端点就是抛物线通径的上端点，可得抛物线经过点，从而可得答案. 【详解】因为圆的一条通径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边， 而抛物线的通径与轴垂直， 所以圆的这条通径与轴垂直， 且圆的通径的右端点就是抛物线通径的上端点， 因为圆的圆心为，半径为，所以该圆与轴垂直的通径的右端点为， 即抛物线经过点，则，即. 故选：C.    52．(20-21高二上·陕西安康·期末)已知抛物线的焦点为F，为该抛物线上一点，以M为圆心的圆与C的准线相切于点A，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据抛物线方程求得点的坐标，根据轴、列出方程，解方程求得的值. 【详解】不妨设在第一象限，由于在抛物线上，所以， 由于以为圆心的圆与的准线相切于点， 根据抛物线的定义可知，,且轴，又. 由于，所以直线的倾斜角为， 所以，解得， 所以抛物线的方程为，由抛物线的定义可得 故选：C 【点睛】关键点睛：本题主要考查抛物线的定义，考查直线的斜率，解答本题的关键是由题意，得到直线的倾斜角为，从而，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题 53．(18-19高二·陕西渭南合阳县·期末)过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且，则直线AB的斜率为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当点A在第一象限，通过抛物线定义及,可设BF=m,,|AB|=4m，|BC|=2m,通过直角三角形的边之间的关系，计算可得结论． 【详解】如图，当点A在第一象限时． 过A、B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D、E， 过A作EB的垂线，垂足为C， 则四边形ADEC为矩形． 由抛物线定义可知，， 又， ，， 在中，， 直线l的斜率为； 当点B在第一象限时，同理可知直线l的斜率为． 故选D． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，注意数形结合、抛物线定义的应用，属于中档题． 54．(24-25高二上·陕西渭南大荔县·期末)用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合.若抛物线：的焦点为F，为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过上的点反射，再经过上另一点反射后，沿直线射出，则（    ）    A．的准线方程为 B． C．若点，则 D．设直线与的准线的交点为N，则点N不在直线上 【答案】ABC 【分析】由抛物线准线定义即可判断A；设，与抛物线方程联立并结合韦达定理即可求解判断B；求出点A、B，结合弦长公式即可求解判断C；由直线求出点A坐标，接着由求出点B纵坐标即可判断D. 【详解】对于A，因为抛物线：，所以抛物线C准线方程为，故A正确； 对于B， ，故可设，联立， ，，故，故B正确； 对于C，若点，则，则， 故，故C正确； 对于D，由题可得，令得， 所以，又由B可知，故点N在直线上，故D错误；    故选：ABC 55．(23-24高二上·陕西韩城·期末)过抛物线的焦点F分别作两条相互垂直的直线，，若直线与抛物线C交于，两点，直线与抛物线C交于，两点，且，则四边形ADBE的面积为 ． 【答案】 【分析】设出两直线的方程，求出、，表示出四边形面积，即可得出答案. 【详解】抛物线的焦点， 因为和的横坐标相同且在抛物线上，易知关于x轴对称且夹角为， 所以直线的斜率为，则直线的斜率为，显然直线和的斜率都存在， 则设直线的方程为，直线的方程为， 联立方程组，消元得，则， 即，同理， 所以四边形的面积为：， 故答案为：. 56．(21-22高二上·陕西渭南白水县·期末)已知抛物线的焦点为F，抛物线C的准线与y轴交于点A，点在抛物线C上，，则的面积为 . 【答案】/ 【分析】由抛物线的性质以及，可得的值，进而解出三角形的面积． 【详解】解：由抛物线的定义及其性质可知，， ， ， ，即， ，，，， ， 故答案为： 57．(20-21高二上·陕西宝鸡金台区·期末)斜率为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，则 . 【答案】8 【解析】由点斜式求出直线AB的方程，将其与抛物线方程联立，可得，再根据抛物线定义可求出结果. 【详解】设，，焦点，， 则直线的方程为，与抛物线方程联立 整理得， 所以，由抛物线定义可得 . 故答案为：8. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，抛物线的焦点弦(过焦点的弦)为、,则有如下结论：. 58．(20-21高二上·陕西宝鸡·期末)直线被抛物线截得的弦长为 ． 【答案】. 【解析】根据直线与圆锥曲线的弦长公式，即可求解. 【详解】联立方程组，整理得，可得， 设直线与抛物线的交点为， 由弦长公式，可得， 即截得的弦长为. 故答案为：. 59．(20-21高二上·陕西西安长安区第一中学·期末)过抛物线的焦点的直线交抛物线于点在点的上方，若，则直线的斜率为 . 【答案】 【解析】如图所示，设在准线上的射影分别为交抛物线的准线于点，设，求出即得解. 【详解】如图所示，设在准线上的射影分别为交抛物线的准线于点， 设，则 ， 解得， 又， 故直线的斜率为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：类似这种直线和抛物线相交的计算问题，要注意以下知识的综合应用：（1）抛物线的定义；（2）平面几何的相似；（3）直角三角函数. 60．(18-19高二上·陕西西安西安中学·期末)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2=8，则|AB|= ； 【答案】10 【分析】先根据题意求出，再利用抛物线的焦点弦代入得出答案即可. 【详解】抛物线y2=4x中， 过焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2=8， 则焦点弦 故答案为10 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质以及焦点弦，属于基础题. 地 城 考点04 抛物线中的定点、定值问题 61．(23-24高二上·陕西汉中汉台区·期末)已知抛物线过点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，． (1)求抛物线的方程； (2)求证：直线过定点； (3)在轴上是否存在点，使得直线与直线的斜率之和为0？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，点 【分析】（1）根据抛物线过点，代入运算得解； （2）设直线，与抛物线联立方程组，得到根与系数关系，结合，坐标运算得解； （3）假设存在满足条件的点，使得，利用根与系数关系进行坐标运算求得的值. 【详解】（1）抛物线过点， ，即， 抛物线的方程为． （2）证明：不妨设，， 联立，消去并整理得， 此时， 由韦达定理得， ， 又， ，即， ，解得或（舍）， 直线的方程为，即直线过定点． （3）假设存在满足条件的点，使得， ， ， 即，解得或， 存在点，使得直线与直线的斜率之和为0． 【点睛】思路点睛：本题第二，三问是考查圆锥曲线中的定点问题.第二问，设直线，与抛物线方程联立，得根与系数关系，由得，代入运算可得，得解；第三问，由，得，代入根与系数关系化简运算得解. 62．(22-23高二下·河南商丘·月考)在平面直角坐标系中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线经过点. (1)求的方程； (2)若关于轴对称，焦点为，过点且与轴不垂直的直线交于，两点，直线交于另一点，直线交于另一点，求证：直线过定点. 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）根据待定系数法，代入点的坐标即可求解， （2）利用抛物线方程分别可设的坐标，进而可根据两点坐标求解斜率，即可得直线的方程， 结合直线经过的点，即可代入化简求解. 【详解】（1）若的焦点在轴上，设抛物线的方程为， 将点代入，得，解得，故的方程为； 若的焦点在轴上，设抛物线的方程为， 将点代入，得，解得，故的方程为； 综上所述：的方程为或. （2）由（1）知抛物线的方程为，则其焦点， 若直线不过点，如图，    设，，，， 由题意可知：直线的斜率存在且不为0， 则直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 同理直线，的方程分别为， 由直线过定点，可得， 由直线，过焦点，可得， 对于直线的方程为， 由，得， 整理得， 又因为，所以， 令，解得， 故直线恒过定点 若直线过点，直线即为直线， 其方程为，即， 显然直线过点； 综上所述：直线过定点. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 技巧：若直线方程为,则直线过定点; 若直线方程为 (为定值),则直线过定点 63．(22-23高二上·陕西西安长安区第一中学·期末)已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为6. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)设不与轴垂直的直线与点的轨迹交于不同的两点，.若，求证：直线l过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设动圆圆心为，利用垂径定理列方程即可得轨迹方程； （2）设，将其和轨迹C联立，得到根与系数的关系，代入，可得的关系，代入，即可找到定点． 【详解】（1）设动圆圆心为，，到x轴距离为，x轴截得半弦长为3, 则，化简得； 所以动圆圆心M的轨迹方程为. （2）易知直线l的斜率存在，设，则 由，得， , 由韦达定理有：，. 从而， 即，则, 则直线， 故直线过定点. 64．(22-23高二上·陕西宝鸡渭滨区·期末)已知抛物线的焦点坐标为． (1)求抛物线的方程； (2)已知定点，、是抛物线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为2，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由焦点坐标可得，据此可得答案； （2）设直线AB方程为，将其与抛物线方程联立，设， 由直线的斜率与直线的斜率之和为2结合韦达定理可得，后可证明结论. 【详解】（1）∵抛物线的焦点坐标为，∴， ∴抛物线方程为． （2）证明：设，将的方程与联立得，由题， 设，，则，，∴，同理：∴，由题意：， ∴，∴，∴，∴， 则直线的方程为，故直线恒过定点． 65．(21-22高二上·陕西渭南韩城新蕾中学·月考)已知过点的抛物线的顶点在原点，焦点在轴上. (1)求抛物线的方程； (2)设直线：与抛物线相交于，两点，记直线与的斜率分别为和.求证：为定值，并求出此定值. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）设抛物线为，代入点坐标得到答案. （2）联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，计算，，化简得到答案. 【详解】（1）设抛物线：，又抛物线过点，，即. 抛物线的方程为. （2）联立方程，消去得， 恒成立，，， ，， . 故为定值，且该定值为. 66．(20-21高二下·陕西西安阎良区·期末)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)过点且斜率存在的直线交抛物线于不同的两点，设为坐标原点，直线的斜率分别为，求证：为定值． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式求出，即可得解； （2）设直线，联立方程，利用韦达定理求得，再结合斜率公式即可得出结论. 【详解】（1）解：点在抛物线上，且， ，解得， 抛物线的方程为； （2）证明依题意，设直线， 联立，得， 则， 故为定值． 67．(20-21高二下·陕西汉中校际联考·期末)设抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若，为抛物线上异于点的两点，且，设直线的方程为，点，到直线的距离分别为，，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）首先可得抛物线的焦点坐标与准线方程，再焦半径公式求出，即可得解； （2）首先求出点坐标，设，，联立直线与抛物线，即可求出，从而求出，再将用代入，可求得，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的焦点，准线方程为， 因为是抛物线上一点，， ，即， 抛物线的方程为， （2）证明是抛物线上一点， ， ， ， 设，， 又直线的方程， 联立直线与抛物线方程，化简整理可得，，即， ， 点到直线的距离为， ， 又， 用代入，可得，， ，即为定值． 68．(20-21高二上·陕西西安阎良区·期末)已知抛物线，直线l经过抛物线C的焦点，且垂直于抛物线C的对称轴，直线l与抛物线C交于M，N两点，且． (1)求抛物线C的方程； (2)已知点，直线与抛物线C相交于不同的两点A，B，设直线PA与直线PB的斜率分别为和，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将用表示，得出的值，进而得抛物线方程； （2）联立直线与抛物线的方程，根据斜率计算公式结合韦达定理即可得结果. 【详解】（1）由题意可得，得， ∴抛物线. （2）证明：，联立，得． 由，得或， 设，，则，， ∴ . 69．已知抛物线的方程是，直线l交抛物线于A，B两点，设，. (1)若弦AB的中点为(3，3)，求直线l的方程; (2)若，求证:直线l过定点. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】（1）利用点差法可求出直线斜率，即可得出直线方程； （2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理可得出，即可求出定点. 【详解】(1)因为抛物线的方程为，则有， 因为弦AB的中点为(3，3)，所以x1≠x2. 两式相减得， 所以， 所以直线l的方程为，即； (2)当l的斜率存在时，设l的方程为， 联立直线与抛物线方程，得， ，则， l的方程为，过定点(3，0). 当l的斜率不存在时，，则，l过定点(3，0). 综上，l过定点(3，0). 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为形式； （5）代入韦达定理求解. 70．(20-21高二·第三章圆锥曲线的方程（基础过关）-·)已知点M到点F（1，0）和直线x＝﹣1的距离相等，记点M的轨迹为C． （1）求轨迹C的方程； （2）过点F作相互垂直的两条直线l1、l2，曲线C与交于点P1、P2，与l2交于点Q1、Q2，试证明：． 【答案】（1）y2＝4x；（2）证明见解析. 【解析】（1）利用点M到点F（1，0）和直线x＝﹣1的距离相等，由抛物线的定义可知：点M的轨迹是抛物线，即可得出结论； （2）设l1的方程为y＝k（x﹣1），代入抛物线方程，利用弦长公式求出|P1P2|，以﹣代入，可得|Q1Q2|，代入可得结论． 【详解】（1）∵点M到点F（1，0）和直线x＝﹣1的距离相等， 由抛物线的定义可知：点M的轨迹是抛物线， 设方程为y2＝2px（p＞0），∵＝1，∴p＝2． ∴轨迹C的方程为y2＝4x． （2）证明：设l1的方程为y＝k（x﹣1），代入抛物线方程，整理可得k2x﹣（2k2+4）x+k2＝0， 设P1、P2的横坐标分别为x1、x2，则x1+x2＝， ∴|P1P2|＝x1+x2+p＝， 以﹣代入，可得|Q1Q2|＝4+4k2， ∴． 【点睛】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 71．(19-20高二上·陕西西安·期末)已知抛物线C的顶点为坐标原点O，对称轴为x轴，其准线过点. (1)求抛物线C的方程； (2)过抛物线焦点F作直线l，使得抛物线C上恰有三个点到直线l的距离都为，求直线l的方程. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由题意得，抛物线的焦点在轴上，设抛物线C的方程为，由准线过点，可得，从而求解. （2）求出抛物线C的焦点为，分类讨论直线l的斜率不存在时，验证不合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P到直线l的距离为，过点P的直线平行直线且与抛物线C相切，设该切线方程为，代入抛物线方程，使判别式等于零，再利用两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】(1)由题意得，抛物线的焦点在轴正半轴上，设抛物线C的方程为， 因为准线过点，所以，即. 所以抛物线C的方程为. (2)由题意可知，抛物线C的焦点为. 当直线l的斜率不存在时，C上仅有两个点到l的距离为，不合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P到直线l的距离为， 过点P的直线平行直线且与抛物线C相切. 设该切线方程为， 代入，可得. 由，得. 由，整理得， 又，解得，即. 因此，直线l方程为. 【点睛】本题考查了抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系，同时考查了两条平行线间的距离，考查了学生的计算能力以及分类讨论的思想，属于中档题. 72．(19-20高二上·陕西西安中学·期末)一个圆经过点，且和直线相切． （1）求动圆圆心的轨迹的方程； （2）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，若轴是的角平分线，证明直线过定点． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】（1）圆心到定点与到定直线的距离相等，可知圆心的轨迹是以点为焦点的抛物线，求出方程即可； （2）易知直线斜率存在且不为零，可设直线，设，，联立直线与抛物线方程，可得关于的一元二次方程，由轴是的角平分线，可得，整理可求得，再结合韦达定理，从而可求得的值，进而可求得直线过定点. 【详解】（1）由题意，圆心到定点与到定直线的距离相等， 根据抛物线的定义可知，圆心的轨迹是以点为焦点的抛物线，其方程为. （2）由题可知，直线与C有两个交点且不垂于于轴， 所以直线斜率存在且不为零，设直线，，， 联立，可得， 则，且，， 又，，轴是的角平分线， 所以，整理可得， 所以，即，此时满足，故：， 所以，直线PQ过定点. 【点睛】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查直线恒过定点问题，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 73．(19-20高二上·陕西咸阳·期末)已知是抛物线上一点过抛物线的焦点作条直线，直线与抛物线交于不同的两点，，在点处作抛物线的切线在点处作抛物线的切线. （1）求的值及焦点的坐标； （2）设切线的斜率为，切线的斜率为，求证：. 【答案】（1）；焦点的坐标为（2）证明见解析 【解析】（1）代值计算，可得结果. （2）利用导数，分别用点的横坐标表示，，联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理，可得结果. 【详解】解：（1）将代入中， 可得，， ∴抛物线的标准方程为， 故焦点的坐标为. （2）显然，直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立，消去得，， 则， 由，得， ，， . 【点睛】本题考查抛物线的概念，还考查了直线与抛物线的几何关系，对这种题型，重在于计算，联立方程，使用韦达定理，同时也会融合导数等知识，属中档题. 74．(18-19高二上·陕西咸阳·期末)已知抛物线E：的焦点为F，是抛物线E上一点，且． 1求抛物线E的标准方程； 2设点B是抛物线E上异于点A的任意一点，直线AB与直线交于点P，过点P作x轴的垂线交抛物线E于点M，设直线BM的方程为，k，b均为实数，请用k的代数式表示b，并说明直线BM过定点． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】1利用抛物线的定义与性质求p的值，即可写出抛物线方程；2设点，，由直线BM的方程和抛物线方程联立，消去y，利用根与系数的关系和A，P，B三点共线，化简整理可得BM的方程，从而求出直线BM所过的定点． 【详解】解：1根据题意知，，① 因为，所以，② 联立①②解得，； 所以抛物线E的标准方程为； 2设，； 又直线BM的方程为，代入，得； 由根与系数的关系，得，；③ 由轴及点P在直线上，得， 则由A，P，B三点共线，得， 整理，得； 将③代入上式并整理，得， 由点B的任意性，得，即，     所以； 即直线BM恒过定点． 【点睛】本题考查抛物线的性质和直线与抛物线的位置关系，以及直线过定点问题，是中档题． 地 城 考点05 抛物线中的向量问题 75．(21-22高二上·陕西西安博爱国际学校·期末)已知焦点为的抛物线：（）上一点到的距离是4. (1)求抛物线的方程. (2)若不过原点的直线与抛物线交于，两点（，位于轴两侧），的准线与轴交于点，直线，与分别交于点，，若，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由抛物线的定义可知，从而求出的值，得到抛物线的方程． （2）由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为，,，,，联立直线与抛物线方程，由韦达定理可得，，直线的方程为，令可得，同理，由可求出的值，从而证得直线过定点． 【详解】（1）由抛物线的定义可知， ， 抛物线的方程为． （2）证明：由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为，,，,， 联立方程，消去得， ，， 抛物线的准线方程为，， 直线的斜率为，直线的方程为， 令得，， 同理可得， ， ， 直线的方程为， 故直线恒过定点． 76．(22-23高二上·陕西榆林第十中学·期末)已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴上，且抛物线上的点到焦点的距离是5. (1)求该抛物线的标准方程； (2)若过点的直线与该抛物线交于，两点，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设抛物线方程为（），根据焦半径公式列式求出即可得解； （2）直线的方程为：，联立直线与抛物线方程，得到和，再根据可得结果. 【详解】（1）∵抛物线焦点在轴上，且过点， ∴设抛物线方程为（）， 由抛物线定义知，点到焦点的距离等于5， 即点到准线的距离等于5， 则，∴， ∴抛物线方程为. （2）显然直线的斜率不为0，又由于直线过点，所以可设直线的方程为：， 由，化简并整理得，恒成立， 设，，则，则， ∴. 所以为定值. 77．已知直线l与抛物线交于A，B两点． (1)若直线l的斜率为-1，且经过抛物线C的焦点，求线段AB的长； (2)若点O为坐标原点，且，求证：直线l过定点． 【答案】(1)8 (2)证明见解析 【分析】（1）联立直线与抛物线的方程，根据抛物线的焦点弦公式结合韦达定理即可得解； （2）直线AB方程为：，由向量数量积公式结合韦达定理可得的值，进而可得结果. 【详解】（1）抛物线为， ∴焦点坐标为，直线AB斜率为，则直线AB方程为：， 设，，由得：，可得， 由抛物线定义可得， ∴． （2）设直线AB方程为：，设，， ∵，∴，∴， 由得：， ∴；；∴，解得或， 当时，直线AB过原点，不满足题意；当时，直线AB过点． 故当时，直线AB过定点． 78．(20-21高二上·陕西西安长安区第一中学·期末)已知抛物线的焦点为为坐标原点，点是抛物线上异于点的两个不同的动点，当直线过点时，的最小值为. （1）求抛物线的方程； （2）若，证明：直线恒过定点. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）由已知得直线的斜率一定不为，不妨设直线的方程为，代入得，，设，得出根与系数的关系，再由抛物线的定义可求得抛物线的方程. （2）由题意设直线的方程为，与抛物线的方程联立，整理得.得出根与系数的关系，再运用向量垂直的坐标表示可得证. 【详解】（1）解：抛物线的焦点坐标为，若直线过点，则直线的斜率一定不为，不妨设直线的方程为， 代入得，，设，则，. 所以. 所以，当时，，所以. 所以抛物线的方程为. （2）证明：由题意设直线的方程为，联立，得. 由题意得. 所以. 因为，所以 所以，（不符合题意，故舍去） 所以直线的方程为，所以直线恒过定点. 【点睛】关键点点睛：本题考查求直线与抛物线的位置关系中的直线过定点的问题．本题中直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理表示出，求得参数，再代入所设的直线方程中，运用直线恒过点的方法求解．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题． 79．(23-24高二上·陕西西安西北工大附中·月考)已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的纵坐标为8，且． (1)求抛物线E的方程； (2)若点M是抛物线E准线上的任意一点，过点M作直线与抛物线E相切于点N，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用抛物线的准线方程及抛物线的定义即可求解； （2）根据已知条件做出图形，利用导数的几何意义及直线的点斜式方程，结合向量的数量积的坐标表示即可求解. 【详解】（1）由题意可知，抛物线的准线方程为， 又因为点P的纵坐标为8，且， 所以，解得， 故抛物线E的方程为. （2）由题意可知，作出图形如图所示 设点，， ， 切线方程为，即， 令，可得，， 又，，， ， ，即. 80．(23-24高二上·陕西咸阳实验中学·月考)已知抛物线：上一点到它的准线的距离为，直线与抛物线C交于A、B两点，O是坐标原点 (1)求抛物线C的方程； (2)已知点，直线不与坐标轴重直，证明：___________． ①若，则直线过定点． ②若直线过定点，则． 在①②中任选一个补充在上面横线上，并证明结论成立． （注：如果选择两个命题分别证明，按第一个证明计分） 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据到准线的距离为，列式求出，即得抛物线方程. （2）设直线方程，与C的方程联立，选①，由已知结合斜率互为相反数求出值即可；选②，代入，推理计算得出斜率和为0即得. 【详解】（1）抛物线 的准线为， 由点到准线的距离为，得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）设，，设直线方程为 ， 由消去x并整理得：，有， 于是，， 选①，由，得直线的斜率满足，即， 整理得，即， 整理得，即，解得，显然， 所以直线：过定点. 选②，由直线过定点，得，直线的斜率， 此时，，， 则 ，即， 所以.      81．(22-23高二上·陕西咸阳·期末)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与圆：（）的圆心重合，上一点到焦点的距离. (1)求抛物线的方程； (2)过焦点的直线与抛物线和圆从左向右依次交于，，，四点，且满足，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆心即抛物线焦点位置，设抛物线标准方程为，再利用点在抛物线上和抛物线定义建立方程组，解出与即可； （2）由为圆的直径，、为圆的半径，将化为，再设直线方程，与抛物线方程联立后，根据，坐标利用抛物线定义进行求解. 【详解】（1）∵，∴圆：（）的圆心在轴正半轴， ∴设抛物线的标准方程为，准线方程为， ∵在抛物线上，∴ 又∵到焦点的距离，∴到准线的距离， ∴，∵，∴解得， ∴抛物线的方程为. （2）由（1），圆：， 由题意，为圆的直径，，、为圆的半径，， ∵，∴， ∴， 设，，由抛物线定义，，， ∴，即， 由题意，直线的斜率存在，∴设直线的方程为， 由，消去，整理得（）， ∴，. ∴，解得. ∴直线的方程为. 【点睛】在解决抛物线焦点弦有关的问题时，常常会使用抛物线的定义.本题利用已知条件中圆的半径和直径，将转化为即，再根据抛物线定义转化为，从而使问题可以通过联立直线与抛物线方程解决. 82．(22-23高二下·陕西安康·)已知点在抛物线C：上. (1)求抛物线C的焦点到其准线的距离； (2)设直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，且，求面积的最小值. 【答案】(1)4； (2)64. 【分析】（1）代入点坐标，即可求出的值，得到抛物线的方程，求出焦点、准线，即可得出答案； （2）联立直线与抛物线的方程，可得，根据韦达定理得出.由，得出，代入坐标即可求出.然后表示出的面积，即可得出答案. 【详解】（1）将点代入抛物线方程，可得，解得， 所以，抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 所以抛物线的焦点到其准线的距离为. （2）设，，直线的方程为. 联立直线与抛物线的方程，消去整理得， 则，由韦达定理可得. 又，所以，即，即， 代入可得，解得或（不符合题意，舍去）， 此时恒成立. 所以， 所以，当时，面积有最小值64. 83．(22-23高二上·陕西咸阳乾县第二中学·)已知抛物线上一点到其准线的距离为3，直线与在第二象限和第一象限分别交于两点，为坐标原点． (1)求的方程； (2)若，求与轴的交点坐标； (3)设的焦点为，若，且与轴的交点为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线上的点到准线的距离即可求解， （2）根据向量垂直的坐标运算即可联立方程，代入韦达定理求解. （3）联立直线与抛物线方程，可得，进而可由两点坐标求直线的方程，结合向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】（1）由已知可知抛物线的准线为， 点到准线的距离为，解得， 的方程为． （2）易知的斜率存在，设． 联立整理得， 由，得，解得或（舍去）， 与轴的交点坐标为． （3）易知，设所在直线的方程为在第二象限，． 联立整理得，解得或，则， 直线的斜率，于是直线的方程为． 联立,整理得，解得或， 则 ，解得或（舍去）． 故直线的方程为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $