专题01 集合与简易逻辑（6大题型）（期末真题汇编 山西专用）高一数学上学期

专题01 集合与简易逻辑（6大题型） 6大高频考点概览 考点01 集合的关系及运算 考点02 集合关系、运算中的求参数问题 考点03 集合新定义问题 考点04 充分条件与必要条件的判断 考点05 由充分条件与必要条件求参数 考点06 全称量词与存在量词 集合的关系及运算 地 城 考点01 1．（20-21高一上·山西长治·阶段练习）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果且，那么称k是集合A的一个“好元素”．给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】根据“好元素”的定义用列举法列举出满足条件的所有集合，即可得到答案. 【详解】根据“好元素”定义，可知由S中的3个元素构成的集合中，不含“好元素”，则这3个元素一定是相连的3个数， 所以不含“好元素”的集合共有，，，，，，共个. 故选：. 2．（25-26高一上·山西大同·月考）已知集合A满足 则满足条件的集合A的个数是（   ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】A 【分析】利用集合间的基本关系计算即可. 【详解】由题意可知若A中有三个元素，则，仅此1种情况； 若A中有四个元素，则在包含三数的前提下，还可包含1或2024或2026，有3种情况； 若A中有五个元素，则在包含三数的前提下，可包含或或，有3种情况； 综上所述满足条件的集合A的个数是7个. 故选：A 3．（25-26高一上·全国·单元测试）集合的非空子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】由题可得为4的倍数且满足，据此可得答案. 【详解】由题可得，因为，所以为4的倍数且满足，故，此时对应的，满足题意，故，非空子集为，共7个. 故选：B 4．（20-21高一上·山西运城·阶段练习）设函数，集合，设，则等于（   ） A．6 B．8 C．2 D．4 【答案】D 【分析】把所给的方程整理，得到三个一元二次方程，要使所给的方程出现正整数解集，可以列举出的值有三个，把其中两个相减找出差的最大值即可. 【详解】方程， 则，或，或， 因为正整数解集为，结合韦达定理可知任意方程的两个根的和均为6， 所以当时，或， 当时，或， 当时，， 符合正整数解集， 因为，所以， 所以， 故选：D. 5．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集个数确定是空集，然后由方程无实数解得参数范围，确定正确选项． 【详解】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得． 故选：C． 6．（24-25高一上·山西大同·月考）已知集合或，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】分、、三种情况讨论，求出集合，在时，直接验证即可；在、这两种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为集合或，，且，分以下几种情况讨论： （1）当时，，合乎题意； （2）当时，，则， 因为时，解得； （3）当时，，则， 因为，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 7．（22-23高一·全国·课堂例题）已知集合满足 ，则满足条件的集合的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据集合间的基本关系，利用集合中的元素个数即可求得满足条件的集合的个数. 【详解】由题意知中必有元素1，2，且至少含有3，4，5中的一个， 所以集合的个数等价于集合的非空子集的个数，即， 故选：C. 8．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用集合的交运算求集合. 【详解】由 . 故选：B 9．（24-25高一上·山西·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的基本运算可得结果. 【详解】∵，∴， ∵，∴. 故选：D. 10．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合间的关系，以及交并补运算的定义，结合选项即可逐一求解. 【详解】集合 ，，故选项A错误； 显然且，故选项B错误； ，故选项C正确； ，选项D错误. 故选：C 11．（22-23高一上·山西大同·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据补集、交集的定义计算可得. 【详解】因为， 所以，则 . 故选：C 12．（23-24高一上·山西朔州·期末）设全集，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用集合补集运算即可. 【详解】，， . 故选：A. 13．（2023·全国乙卷·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得的值，然后计算即可. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 14．（22-23高一上·山西阳泉·期末）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用交集定义即可求得. 【详解】 故选：C 15．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后可求. 【详解】，故， 故选：D 16．（21-22高一上·山西朔州·期末）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由集合的补集与交集的定义即可求解. 【详解】解：因为集合，，， 所以， 所以， 故选：A. 17．（25-26高一上·山西晋中·月考）我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用表示有限集合A中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，某校初一四班学生46人，寒假全都参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的人数为 . 【答案】4 【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后代入定义中求解即可. 【详解】设集合{参加足球队的学生}，集合{参加排球队的学生}， 集合{参加游泳队的学生}， 则，，，， ，，， 设三项都参加的有人，即， 由， 则，解得，即三项都参加的有4人. 故答案为：4. 18．（25-26高一上·山西临汾·月考）已知集合，则用列举法可表示为 . 【答案】/ 【分析】根据补集的定义即可求解. 【详解】由可得， 故答案为： 19．（25-26高一上·山西大同·月考）已知集合，，若，则a的值为 . 【答案】 【分析】根据集合的元素与集合的关系分类讨论可得. 【详解】由，得，所以 ①当，得，此时，，，不符合题意，舍去； ②当时，则. 当时，，，N中元素出现重复，所以舍去； 当时，，，，符合题意. 故答案为： 20．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）若集合，，则 ． 【答案】 【分析】根据集合的补集、交集的概念求解. 【详解】因为：，所以或. 又 所以或. 故答案为：或. 地 城 考点02 集合关系、运算中的求参数问题 21．（25-26高一上·全国·课前预习）设集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题干可知，再利用集合和集合的范围即可确定的取值范围. 【详解】，，又， 则，解得，故的取值范围是． 故选：. 22．（25-26高一上·山西大同·月考）已知集合，，且，则的值可以为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】ACD 【分析】根据已知条件，判断集合间的包含关系，进而根据集合中的元素情况进行分类讨论，求出参数范围. 【详解】由，可得， 由，得； 当时，，符合条件； 当时，，解得； 当时，，解得； 故选：ACD. 23．（25-26高一上·山西朔州·月考）已知集合，且，则实数的可能取值为（    ） A．0 B．2 C．−2 D．4 【答案】ABC 【分析】根据集合间的包含关系，结合元素的互异性，分类讨论即可求解. 【详解】因为，则必须是集合中的元素， 因为，由集合中元素的互异性，则 ， 则时，解得或； 当，则，满足； 当，则，满足； 时，解得或； 当，则，满足； 当，则，不满足集合中元素的互异性，舍去； 综上，实数的可能取值为2，，0. 故选：ABC. 24．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（    ） A．集合C的所有非空真子集个数是2 B．集合C的所有非空真子集个数是6 C．集合C的所有子集个数是4 D．集合C的所有子集个数是8 【答案】BD 【分析】计算得，根据题意得到，考虑和这两种情况，分别计算再结合子集及非空真子集即可. 【详解】由题意，， 因为， 所以， 当时，，合题意， 当时，，， 因为， 所以或，所以或， 故． 集合C的子集个数为，D选项正确，C选项错误， 集合C的非空真子集个数为，B选项正确，A选项错误. 故选：BD. 25．（25-26高一上·山西临汾·月考）已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，使得，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 【答案】AC 【分析】当时，求得，可判定A正确；当时，求得，可判定B错误；根据二次函数的图象与性质，结合和，可判定C正确，D错误. 【详解】由题意知，集合，可得. 对于A，若，则，所以，所以A正确； 对于B，若，则，即， 此时，所以B错误； 对于C，由，可得， 若，，使得，即 当时，，即，此时不满足，舍去； 当时，，即， 此时满足，符合题意； 当时，，即， 此时不满足，不符合题意，舍去， 综上可得，实数的取值范围为，所以C正确； 对于D，由，可得， 当时，可得，此时满足，符合题意； 当时，可得，此时不满足，不符合题意，舍去； 当时，可得，要使得，则， 解得，所以， 综上可得，实数的取值范围为，所以D错误. 故选：AC. 26．（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）已知集合M有2个元素，集合有4个元素，则集合N的子集个数可能是（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】ABC 【分析】根据题意可知集合N中最多有4个元素，最少有2个元素，即可求解. 【详解】由题意可知，集合N中最多有4个元素，最少有2个元素， 则集合N的子集个数可能是4，8，16. 故选：ABC. 27．（23-24高一上·山西运城·阶段练习）已知集合，，若，则的取值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AC 【分析】根据并集的概念及运算即可得到结果. 【详解】∵集合，， ∴，或. 故选：AC. 28．（25-26高一上·山西太原·月考）已知，则 【答案】或 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的互异性求解. 【详解】当时，，，与集合元素的互异性矛盾； 当时，，，此时集合为，符合题意； 当时，显然，则，，，此时集合为，符合题意， 所以或. 故答案为：或. 29．（25-26高一上·山西临汾·月考）已知，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】根据3是集合的元素进行分类讨论，注意验证集合的元素是否互异可得. 【详解】由，所以 ①当时，得，解得或， 但时，，集合里的元素出现重复，故舍去，所以. ②当时，得，解得或， 但时，，集合里的元素出现重复，故舍去，所以. 综上可知，实数的取值集合为， 故答案为： 30．（20-21高一·全国·课后作业）若集合与满足，则实数 ． 【答案】或或 【分析】根据集合间的运算结果分情况讨论的值. 【详解】由可得， 当时，，若，集合A不成立；若，，成立； 当时，，若，； 若，，均成立； 当时，或，若，成立； 若，集合A不成立； 故答案为：或或. 31．（19-20高一上·山西运城·月考）已知集合，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出集合 再由，运算可得解. 【详解】解：集合，，若，则， 即的取值范围是． 故答案为． 【点睛】本题考查了集合间的运算，属中档题. 32．（20-21高一上·山西朔州·阶段练习）已知集合，，若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由已知可求得，集合与集合有公共元素，即可求出实数a的取值范围. 【详解】由集合，可得， ，可得集合与集合有公共元素，. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了集合间的基本关系，属于基础题. 33．（24-25高一上·山西晋城·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据并集、交集的运算可得结果； （2）根据，分别讨论和的情况得到结果. 【详解】（1）当时，，又， 所以，. （2）因为， 当时，，解得，满足； 当时，，解得， 综上所述：的取值范围是或. 34．（21-22高一上·山西朔州·期末）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集的定义可求. （2）根据可求实数m的取值范围． 【详解】（1）时，故. （2）因为，故， 若即时，，符合； 若，则，解得， 综上，. 集合新定义问题 地 城 考点03 35．（20-21高一上·山西朔州·期末）对于非空数集，其所有元素的算术平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：①；②．则称为的一个“保均值子集”．据此，集合的“保均值子集”有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】D 【分析】根据集合和“保均值子集”的定义把集合的“保均值子集”列举出来，即可得到个数． 【详解】解：非空数集，2，3，4，中，所有元素的算术平均数， 集合的“保均值子集”有：，，，，，，1，，，2，，，5，2，，，2，3，4，共7个； 故选：． 36．（25-26高一上·山西大同·期中）用表示非空集合中的元素的个数，定义．已知，且，若的所有可能取值构成集合，则 ． 【答案】1 【分析】解方程得到，由定义知道的值，再分类讨论得出结果. 【详解】解得或，即， ∵，∴或， 当时，方程，只有实数根， 所以且，得； 当时，方程， 时，方程有个不等的实数根，分别为和， 0不是方程的实数根， 若是方程的实数根，则， 若，则方程整理为， 方程的实数根，分别为，，此时，不满足条件， 若，则方程整理为， 方程的实数根，分别为，，此时，不满足条件， 若不是方程的实数根， 所以方程有个相等的实数根，即，得， 由上可知不符合题意， 综上：符合题意，. 故答案为：1 37．（25-26高一上·山西大同·月考）已知集合为非空数集，定义集合，，记为集合中元素的个数. (1)若集合，求、和； (2)若集合，，且，求和的值； (3)若集合，且，求的最大值. 【答案】(1)； (2)， (3)1350 【分析】（1）直接根据新定义一一计算即可； （2）由题意利用集合与中的元素间的关系即可； （3）由题意建立集合间的关系，并列出不等式求集合元素个数的范围，即可求出最大值． 【详解】（1）解方程可得，由定义可知； （2）因为，，， 所以中最大的元素为，则， 即， 中余下的元素对应， 又，所以， 则 （3）设满足题意，其中， ∵， ∴， ∵，∴， ∵，∴， 而中最小的元素为0，最大的元素为， ∴， ∴， ∴， 实际当时满足题意，证明如下： 设， 则，， 由题意得， 即，故的最小值为675． 即时，满足题意， 综上所述，集合中元素的个数为个． 38．（25-26高一上·全国·单元测试）设集合为实数集的非空子集．若对任意，都有，，，则称为封闭集．以下结论正确的有（    ） A．为封闭集 B．若为封闭集，则一定有 C．若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集 D．存在集合，不为封闭集 【答案】ABD 【分析】对于A，设，，根据运算可验证，，；对于B，易得时，；对于CD，可举特例说明； 【详解】对于A，设，，其中，，，， 则，，，； ，，，； ， ，，．综上，为封闭集，故A正确； 对于B，若为封闭集，则对任意，，，取，得，即，故B正确； 对于C，取封闭集，当时，满足条件，但，不是封闭集，故C错误． 对于D，取，，不为封闭集，故D正确； 故选：ABD. 39．（24-25高一上·山西·期中）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.则下列结论正确的是（   ） A．若，，则是一个戴德金分割 B．若，，则是一个戴德金分割 C．若中有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 D．若中没有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 【答案】BCD 【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误. 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，故B正确； 对于C，设，，此时有最大元素1，没有最小元素，满足是一个戴德金分割，故C正确； 对于D，如B选项，此时没有最大元素，没有最小元素，满足是一个戴德金分割，故D正确. 故选：BCD. 40．（24-25高一上·山西朔州·阶段练习）若X是一个集合,是一个以X的某些子集为元素的集合,且满足：①X属于,空集属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于τ. 则称是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{,,},对于下面给出的四个集合： ①＝{,{},{},{,,}}； ②＝{,{},{},{,},{,,}}； ③＝{,{},{,},{,}}； ④＝{,{,},{,},{},{,,}}． 其中是集合X上的一个拓扑的集合的所有序号是 ． 【答案】②④. 【分析】根据新定义进行验证即可得． 【详解】①τ＝{∅,{a},{c},{a,b,c}},因为{a}∪{c}＝{a,c}∉τ,故①不是集合X上的一个拓扑； ②满足集合X上的一个拓扑的集合τ的定义； ③因为{a,b}∪{a,c}＝{a,b,c}∉τ,故③不是集合X上的一个拓扑； ④满足集合X上的一个拓扑的集合τ的定义. 故答案为：②④. 41．（22-23高一上·山西运城·期中）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（    ） A．满足戴德金分割 B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M没有最大元素，N没有最小元素 D．M有一个最大元素，N有一个最小元素 【答案】ABC 【分析】根据戴德金分割的定义可判断A；举例判断B;结合A中例子可判断C; 假设M有一个最大元素m，N有一个最小元素n,根据戴德金分割定义判断D. 【详解】对于A，满足戴德金分割的定义，A正确； 对于B,取，符合戴德金分割， M没有最大元素，N有一个最小元素，B正确； 对于C，取满足戴德金分割的定义， M没有最大元素，N没有最小元素，C正确； 对于D，假设M有一个最大元素m，N有一个最小元素n,根据戴德金分割定义， 必有，则无法满足，D错误， 故选： . 42．（20-21高一上·山西·阶段练习）设全集，U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如表示的是从左往右数第2个字符为1，第5个字符为1，其余均为0的6位字符串010010，并规定空集表示的字符串为000000. （1）若，则表示的6位字符串为 ； （2）若，集合表示的字符串为011011，则满足条件的集合B的个数为 . 【答案】 010011 4 【分析】（1）先求出，然后根据字符串的定义求解即可， （2）由已知可求得，而，从而可求出集合B 【详解】（1）因为，，所以，所以表示的6位字符串为010011. （2）因为集合表示的字符串为011011，所以，又，所以集合B可能为，，，，即满足条件的集合B的个数为4. 故答案为：（1）010011，（2）4 43．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知，．    (1)求和； (2)若记符号且，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出． 【答案】(1)，； (2)图见解析， 【分析】（1）利用数轴以及集合的交集、并集、补集运算法则即可求出结果； （2）根据的定义即可标出阴影，并根据其意义求得. 【详解】（1）由得，即； 或，； 所以，； （2）根据定义可知，集合如图中的阴影部分所示．    由于且，又，， 所以． 地 城 考点04 充分条件与必要条件的判断 44．（25-26高一上·山西朔州·月考）“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断得出结论. 【详解】显然，而当时，或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 45．（25-26高一上·山西临汾·月考）设，则“”时“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先化简得出等价条件，再结合充分必要条件定义判断即可求解. 【详解】设，则“”等价于或； “”等价于； 或不可以推出；可以推出于或； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 46．（25-26高一上·山西大同·月考）已知：，那么的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分不必要条件的定义，分析即可得答案. 【详解】要求命题的一个充分不必要条件， 只需要的真子集即可， 分析选项，只有C符合题意. 故选：C 47．（25-26高一上·全国·课后作业）集合，若“”是“”的充分不必要条件，则不能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由题意判断是的真子集，可得m的取值范围，结合选项可得答案. 【详解】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 可得,结合选项可知不能是2， 故选：A 48．（24-25高一上·山西大同·月考）设、，“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】当且时，，则“且”“”， 另一方面，当时，可取，， 则“且”“”， 因此，“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 49．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知p：“三角形是锐角三角形”，q：“三角形的内角中有锐角”，则p是q的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由锐角三角形的定义说明充分性成立，再由直角三角形或钝角三角形中也有锐角说明必要性不成立； 【详解】若三角形是锐角三角形，则其内角都是锐角； 但当三角形的内角中有锐角时，该三角形不一定是锐角三角形， 也可能是直角三角形或钝角三角形． 故是的充分不必要条件． 故选：B. 50．（2024高一·全国·专题练习）若非空集合A，B，C满足，且B不是A的子集，则（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分析题干所提供非空集合A，B，C条件，对三者关系进行判断． 【详解】解：由题意知，，且B中一定含有不属于A的元素，所以， “”是“”的必要不充分条件， 故选：B． 51．（23-24高一上·山西大同·月考）若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据集合关系考查充分性及必要性即可求解. 【详解】若，则，， 则“”是“”的充分条件； 若，则， 则时，不一定成立， 则“”是“”的充分不必要条件, 故选：A. 52．（25-26高一上·山西朔州·月考）下列命题中，是真命题的是（  ） A．是的充分条件 B．能被2整除的整数是偶数 C．空集是任何集合的子集 D．若，则 【答案】ABC 【分析】结合方程的解充分条件的概念判断A；利用偶数的概念判断B；由空集的性质判断C；举反例判断D. 【详解】对于A，“”可以推出“”， 而“”不能推出（如）， 所以“”是“”的充分不必要条件， A正确； 对于B，根据偶数的定义知：能被2整除的整数是偶数，B正确； 对于C，由空集的性质知，空集是任何集合的子集，C正确； 对于D，若满足，但是不满足，故由推不出，D错误. 故选：ABC 53．（25-26高一上·全国·单元测试）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出如下四个结论，正确的是（    ） A． B． C． D．“整数属于同一‘类’”的充要条件是“” 【答案】ACD 【分析】对于A求2026除以5的余数即可判断，对于B由即可判断，对于C整数集中的数被5除的余数为0，1，2，3，4，即可判断，对于D若两个数属于同一“类”，则对应的余数相同，则，当时，得，即进而求解. 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：因为整数集中的数被5除的余数为0，1，2，3，4，所以，故C正确； 对于D：若两个数属于同一“类”，则对应的余数相同，其差能被5整除，故； 当时，，所以，所以， 即整数属于同一“类”，故D正确． 故选：ACD. 54．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）指出下列哪些命题中是的充分条件（   ） A．在中，， B．已知，，， C．已知，， D．已知，， 【答案】ABD 【分析】根据充分条件的概念逐项判断即可. 【详解】在中，由大角对大边知，，所以是的充分条件，故A正确； 由，故是的充分条件，故B正确； 由，所以不是的充分条件，故C错误. ，故是的充分条件，故D正确. 故选：ABD 55．（25-26高一上·山西·月考）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】得到是的真子集，求出. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集， 所以. 故答案为： 56．（25-26高一上·山西太原·月考）设，集合，则是的 条件.（填充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件） 【答案】充要条件 【分析】利用集合相等的定义得到关于的方程组，推得充分性成立；再简单证得必要性也成立即可得解. 【详解】因为， 当时，则有，或， 若，显然解得； 若，两式相减，得到，进而推出， 所以或 把代入方程组，得，因为，方程无解； 把代入方程组，得，因为，方程无解， 所以方程组无解； 综上，时，有，即充分性成立； 当时，显然，即必要性成立； 所以“”是“”的充分必要条件. 故答案为：充要条件 57．（23-24高一上·山西晋中·阶段练习）“”是“”成立的 条件(填：“必要不充分”，“充分不必要”，“充要”，“既不充分也不必要”). 【答案】充分不必要 【分析】根据绝对值的意义，求得不等式的解为，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 地 城 考点05 由充分条件与必要条件求参数 58．（23-24高一上·全国·课后作业）已知p：或，q：或 ．若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由p是q的必要条件，有，列不等式组求实数a的取值范围. 【详解】∵p是q的必要条件，∴，则有，解得. 则实数a的取值范围为 故答案为： 59．（25-26高一上·山西大同·月考）已知全集，集合，. (1)若，求和； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】(1)；或 (2) 【分析】（1）当时，写出集合，再根据集合运算计算即可； （2）由题意知，集合是集合的真子集，分和两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，求解即可. 【详解】（1）当时，集合， 因为， 所以，或，或； （2）若“”是“”的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， 当时，，此不等式无解； 当时，，解得； 综上所述：若“”是“”的必要不充分条件，实数的取值范围为. 60．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）在A充分不必要条件，B必要不充分条件，C充要条件这三个条件中选择一个补充下面的问题，若问题中的存在，求的取值范围；若问题中的不存在，说明理由. 已知集合，，是否存在实数，使得是的________? 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】答案见解析 【分析】根据充分与必要条件的性质，确定是否为空集，再根据集合区间的取值范围求解即可. 【详解】选A：若是的充分不必要条件，则是的真子集， 故且等号不同时成立，即，无解， 故不存在实数，使得是的充分不必要条件. 选B：若是的必要不充分条件，则是的真子集， 当时，，解得，满足题意； 当时，，此时且等号不同时成立， 解得，故，综上有， 故若是的必要不充分条件，则. 选C：若是的充要条件，则，故，无解， 故不存在实数，使得是的充要条件. 61．（25-26高一上·山西晋中·期中）已知集合. (1)若，求和； (2)若“”是”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； 或 (2) 【分析】（1）根据集合的交集，补集运算即可求解； （2）将充分不必要条件转化为真子集关系，即可列不等式组求解. 【详解】（1）当时，， 或， 所以， 或， （2）由“”是“”的充分不必要条件， 可得：是的真子集， 因为，即不是空集， 所以，且等号不同时成立， 解得， 所以实数的取值范围. 62．（25-26高一上·山西太原·月考）已知集合，且. (1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意转化为，列出不等式组即可得解； （2）由题意转化为是的真子集，列出不等式组得解. 【详解】（1）因为，所以 命题是真命题，可知， 因为，， 或， 或 故的取值范围是. （2）若是的充分不必要条件，得是的真子集，， 则，解得，此时是的真子集， 故的取值范围是. 地 城 考点06 全称量词与存在量词 63．（24-25高一上·山西大同·期末）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得答案. 【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知： 命题“，”的否定是，. 故选：C 64．（24-25高一上·山西朔州·期末）命题p：，，则是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题p：，是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以是：，. 故选：C 65．（24-25高一上·山西吕梁·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据特称命题的否定是将存在改任意并否定原结论，即可得答案. 【详解】由特称命题的否定为全称命题，故原命题的否定为. 故选：A 66．（24-25高一上·山西·期末）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用含有一个量词的否定方法求解即可； 【详解】含量词的命题的否定是换量词，否定结论，故其否定为． 故选：D． 67．（24-25高一上·山西·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】含有一个量词的命题的否定，需要“改量词，否结论”. 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题“”的否定是“”. 故选：A. 68．（23-24高一上·山西吕梁·期末）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据命题的否定即可求解. 【详解】命题“，”的否定为：命题“，”． 故选：A． 69．（22-23高一下·山西大同·期末）命题“对任意，都有”的否定为（    ） A．对任意，都有 B．存在，使得 C．存在，使得 D．不存在，使得 【答案】B 【分析】改量词，否结论可得答案. 【详解】命题“对任意，都有”的否定为：存在，使得. 故选：B 70．（21-22高一上·山西吕梁·期末）命题“，是4的倍数”的否定为（    ） A．，是4的倍数 B．，不是4的倍数 C．，不是4的倍数 D．，不是4的倍数 【答案】B 【分析】根据特称量词命题的否定是全称量词命题即可求解． 【详解】因为特称量词命题的否定是全称量词命题， 所以命题“，是4的倍数”的否定为“，不是4的倍数”． 故选：B 71．（24-25高一上·山西晋城·期末）下列命题中是真命题的是（    ） A．， B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．若n为整数，则是偶数 D．若，则 【答案】AC 【分析】举例判断A，根据菱形定义判断B，根据整数性质判断C，因式分解判断D. 【详解】对于A，当时，，所以，为真命题. 对于B，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，为假命题. 对于C，，相邻两个整数必有一个奇数，一个偶数，乘积为偶数，为真命题. 对于D，若，则，所以或，假命题. 故选：AC 72．（21-22高一上·山西运城·期末）命题“，”的否定是 . 【答案】，/ 【分析】根据全称量词命题的否定即可得出结果. 【详解】由题意知， 命题“”的否定为： . 故答案为：. 73．（23-24高一上·山西长治·期末）已知命题． (1)写出命题的否定； (2)判断命题的真假，并说明理由． 【答案】(1) (2)假命题，理由见解析 【分析】（1）根据全称量词命题的否定的知识写出命题的否定. （2）根据二次函数的知识进行判断. 【详解】（1）由命题， 可得命题的否定为； （2）命题为假命题，理由如下： 因为，当时，， 故命题为假命题． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与简易逻辑（6大题型） 6大高频考点概览 考点01 集合的关系及运算 考点02 集合关系、运算中的求参数问题 考点03 集合新定义问题 考点04 充分条件与必要条件的判断 考点05 由充分条件与必要条件求参数 考点06 全称量词与存在量词 集合的关系及运算 地 城 考点01 1．（20-21高一上·山西长治·阶段练习）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果且，那么称k是集合A的一个“好元素”．给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 2．（25-26高一上·山西大同·月考）已知集合A满足 则满足条件的集合A的个数是（   ） A．7 B．8 C．15 D．16 3．（25-26高一上·全国·单元测试）集合的非空子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 4．（20-21高一上·山西运城·阶段练习）设函数，集合，设，则等于（   ） A．6 B．8 C．2 D．4 5．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 6．（24-25高一上·山西大同·月考）已知集合或，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 7．（22-23高一·全国·课堂例题）已知集合满足 ，则满足条件的集合的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·山西·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高一上·山西大同·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·山西朔州·期末）设全集，则等于（    ） A． B． C． D． 13．（2023·全国乙卷·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 14．（22-23高一上·山西阳泉·期末）设集合，则（    ） A． B． C． D． 15．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若集合，则（    ） A． B． C． D． 16．（21-22高一上·山西朔州·期末）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高一上·山西晋中·月考）我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用表示有限集合A中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，某校初一四班学生46人，寒假全都参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的人数为 . 18．（25-26高一上·山西临汾·月考）已知集合，则用列举法可表示为 . 19．（25-26高一上·山西大同·月考）已知集合，，若，则a的值为 . 20．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）若集合，，则 ． 21．（25-26高一上·全国·课前预习）设集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高一上·山西大同·月考）已知集合，，且，则的值可以为（   ） A． B． C．0 D． 23．（25-26高一上·山西朔州·月考）已知集合，且，则实数的可能取值为（    ） A．0 B．2 C．−2 D．4 24．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（    ） A．集合C的所有非空真子集个数是2 B．集合C的所有非空真子集个数是6 C．集合C的所有子集个数是4 D．集合C的所有子集个数是8 25．（25-26高一上·山西临汾·月考）已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，使得，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 26．（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）已知集合M有2个元素，集合有4个元素，则集合N的子集个数可能是（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 27．（23-24高一上·山西运城·阶段练习）已知集合，，若，则的取值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 28．（25-26高一上·山西太原·月考）已知，则 29．（25-26高一上·山西临汾·月考）已知，则实数的取值集合为 . 30．（20-21高一·全国·课后作业）若集合与满足，则实数 ． 31．（19-20高一上·山西运城·月考）已知集合，，，则的取值范围是 ． 32．（20-21高一上·山西朔州·阶段练习）已知集合，，若，则实数a的取值范围是 ． 33．（24-25高一上·山西晋城·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围. 34．（21-22高一上·山西朔州·期末）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数m的取值范围． 集合新定义问题 地 城 考点03 35．（20-21高一上·山西朔州·期末）对于非空数集，其所有元素的算术平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：①；②．则称为的一个“保均值子集”．据此，集合的“保均值子集”有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 36．（25-26高一上·山西大同·期中）用表示非空集合中的元素的个数，定义．已知，且，若的所有可能取值构成集合，则 ． 37．（25-26高一上·山西大同·月考）已知集合为非空数集，定义集合，，记为集合中元素的个数. (1)若集合，求、和； (2)若集合，，且，求和的值； (3)若集合，且，求的最大值. 8．（25-26高一上·全国·单元测试）设集合为实数集的非空子集．若对任意，都有，，，则称为封闭集．以下结论正确的有（    ） A．为封闭集 B．若为封闭集，则一定有 C．若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集 D．存在集合，不为封闭集 39．（24-25高一上·山西·期中）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.则下列结论正确的是（   ） A．若，，则是一个戴德金分割 B．若，，则是一个戴德金分割 C．若中有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 D．若中没有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 40．（24-25高一上·山西朔州·阶段练习）若X是一个集合,是一个以X的某些子集为元素的集合,且满足：①X属于,空集属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于τ. 则称是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{,,},对于下面给出的四个集合： ①＝{,{},{},{,,}}； ②＝{,{},{},{,},{,,}}； ③＝{,{},{,},{,}}； ④＝{,{,},{,},{},{,,}}． 其中是集合X上的一个拓扑的集合的所有序号是 ． 41．（22-23高一上·山西运城·期中）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（    ） A．满足戴德金分割 B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M没有最大元素，N没有最小元素 D．M有一个最大元素，N有一个最小元素 42．（20-21高一上·山西·阶段练习）设全集，U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如表示的是从左往右数第2个字符为1，第5个字符为1，其余均为0的6位字符串010010，并规定空集表示的字符串为000000. （1）若，则表示的6位字符串为 ； （2）若，集合表示的字符串为011011，则满足条件的集合B的个数为 . 43．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知，．    (1)求和； (2)若记符号且，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出． 44．（25-26高一上·山西朔州·月考）“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 45．（25-26高一上·山西临汾·月考）设，则“”时“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 46．（25-26高一上·山西大同·月考）已知：，那么的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 47．（25-26高一上·全国·课后作业）集合，若“”是“”的充分不必要条件，则不能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 48．（24-25高一上·山西大同·月考）设、，“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 49．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知p：“三角形是锐角三角形”，q：“三角形的内角中有锐角”，则p是q的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 50．（2024高一·全国·专题练习）若非空集合A，B，C满足，且B不是A的子集，则（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 51．（23-24高一上·山西大同·月考）若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 52．（25-26高一上·山西朔州·月考）下列命题中，是真命题的是（  ） A．是的充分条件 B．能被2整除的整数是偶数 C．空集是任何集合的子集 D．若，则 53．（25-26高一上·全国·单元测试）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出如下四个结论，正确的是（    ） A． B． C． D．“整数属于同一‘类’”的充要条件是“” 54．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）指出下列哪些命题中是的充分条件（   ） A．在中，， B．已知，，， C．已知，， D．已知，， 55．（25-26高一上·山西·月考）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 ． 56．（25-26高一上·山西太原·月考）设，集合，则是的 条件.（填充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件） 57．（23-24高一上·山西晋中·阶段练习）“”是“”成立的 条件(填：“必要不充分”，“充分不必要”，“充要”，“既不充分也不必要”). 58．（23-24高一上·全国·课后作业）已知p：或，q：或 ．若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为 ． 59．（25-26高一上·山西大同·月考）已知全集，集合，. (1)若，求和； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 60．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）在A充分不必要条件，B必要不充分条件，C充要条件这三个条件中选择一个补充下面的问题，若问题中的存在，求的取值范围；若问题中的不存在，说明理由. 已知集合，，是否存在实数，使得是的________? 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 61．（25-26高一上·山西晋中·期中）已知集合. (1)若，求和； (2)若“”是”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 62．（25-26高一上·山西太原·月考）已知集合，且. (1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 63．（24-25高一上·山西大同·期末）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 64．（24-25高一上·山西朔州·期末）命题p：，，则是（   ） A．， B．， C．， D．， 65．（24-25高一上·山西吕梁·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 66．（24-25高一上·山西·期末）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 67．（24-25高一上·山西·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 68．（23-24高一上·山西吕梁·期末）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 69．（22-23高一下·山西大同·期末）命题“对任意，都有”的否定为（    ） A．对任意，都有 B．存在，使得 C．存在，使得 D．不存在，使得 70．（21-22高一上·山西吕梁·期末）命题“，是4的倍数”的否定为（    ） A．，是4的倍数 B．，不是4的倍数 C．，不是4的倍数 D．，不是4的倍数 71．（24-25高一上·山西晋城·期末）下列命题中是真命题的是（    ） A．， B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．若n为整数，则是偶数 D．若，则 72．（21-22高一上·山西运城·期末）命题“，”的否定是 . 73．（23-24高一上·山西长治·期末）已知命题． (1)写出命题的否定； (2)判断命题的真假，并说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $