专题06 抛物线与方程（5大题型）（期末真题汇编 山西专用）高二数学上学期

专题06 抛物线与方程（5大题型） 5大高频考点概览 考点01 抛物线的定义 考点02 抛物线的方程 考点03 直线与抛物线的位置关系 考点04 抛物线的弦长、焦点弦相关问题 考点05 抛物线中的定点、定值、定直线问题 抛物线的定义 地 城 考点01 1．（24-25高二上·山西·期末）已知抛物线的准线与坐标轴的交点为，为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，当最大时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山西运城·期末）抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点.现有一束光线从抛物线的焦点射出，经抛物线上一点反射后，反射光线所在直线经过点，若，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山西太原·期末）设抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，且点，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．5 4．（23-24高二上·山西太原·期末）如图，直线经过抛物线：的焦点，与抛物线交于点，与准线交于点，且，则直线的斜率为（    ）    A． B．2 C．3 D． 5．（22-23高三上·山西阳泉·期末）已知点P为抛物线上一动点，点Q为圆上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若的最小值为2，则（    ） A． B．1 C．3 D．4 6．（21-22高二上·山西晋中·期末）若动圆的圆心在抛物线上，且恒过定点，则此动圆与直线（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 7．（21-22高三上·山西朔州·期末）已知是抛物线的焦点，过焦点的直线交抛物线的准线于点，点在抛物线上且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·山西·期末）已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为 . 9．（23-24高二上·山西太原·期末）已知是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，为坐标原点.当时，，则 . 10．（2023·山西·一模）已知抛物线的焦点为，点，为抛物线上一动点，则周长的最小值为 . 11．（24-25高二上·山西吕梁·期末）抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A． B． C． D． 12．（22-23高二上·山西太原·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 13．（22-23高二上·山西晋中·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 14．（22-23高二上·山西太原·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 15．（21-22高二上·山西朔州·期末）抛物线的焦点为F，A，B是拋物线上两点，若，若AB的中点到准线的距离为3，则AF的中点到准线的距离为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 16．（20-21高二上·山西晋中·期末）抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A．1 B．2 C． D． 17．（20-21高二上·山西长治·期末）的焦点坐标为（    ） A． B． C．(1，0) D． 18．（22-23高二上·山西太原·期末）已知点为抛物线上一点，为抛物线的焦点，则下列结论正确的是（    ） A．点的坐标为 B．点到准线的最小距离为1 C．若点到焦点的距离为5，则点的纵坐标是4 D．若点的坐标为，则的最小值为5 19．（24-25高二上·山西运城·期末）抛物线的焦点到准线的距离是 ． 20．（24-25高二上·山西阳泉·期末）抛物线的焦点到准线的距离是 . 21．（23-24高二下·山西长治·期末）已知抛物线的焦点为，点为上可相互重合的点，且，则的取值范围是 ，的最小值是 . 22．（23-24高二上·山西太原·期末）抛物线的焦点坐标为 . 23．（23-24高二上·山西大同·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，且点在第一象限，若，则 ． 24．（22-23高二上·山西长治·期末）过抛物线的焦点F作直线PQ，MN分别与抛物线C交于P，Q和M，N，若直线PQ，MN的斜率分别为，，且满足，则的最小值为 ． 直线与抛物线的位置关系 地 城 考点03 25．（24-25高二上·山西运城·期末）已知点是抛物线上的一个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 26．（22-23高二上·山西运城·期末）已知抛物线，过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，且A在x轴上方，D是抛物线准线上的一点，AD平行于x轴，O为坐标原点，若，则直线l的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 27．（22-23高二上·山西·期末）设F为抛物线的焦点，过F的直线交抛物线C于A，B两点，且，O为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 28．（21-22高二上·山西大同·期末）已知直线l经过点，与抛物线交于A，B两点，且A，B位于x轴的同侧，若（O为坐标原点），则（    ） A． B． C．1 D．2 29．（20-21高二上·山西吕梁·期末）设有下面四个命题： ：抛物线的焦点坐标为； ：，方程表示圆； ：，直线与圆都相交； ：过点且与抛物线有且只有一个公共点的直线有2条． 那么，下列命题中为真命题的是（    ） A． B． C． D． 30．（20-21高二上·山西长治·期末）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点(点在第一象限)，若直线的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 31．（24-25高二上·山西太原·期末）已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与抛物线C相切 C．当时，直线l与抛物线C有两个公共点 D．当直线l与抛物线C无公共点时，或 32．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．点F的坐标为 C．直线AQ与抛物线相切 D． 33．（21-22高二·全国·课后作业）经过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，设，，则下列说法中正确的是（    ） A．当与轴垂直时，最小 B． C．以弦为直径的圆与直线相离 D． 34．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知抛物线，点是抛物线准线上的一点，过点作抛物线的切线，切点分别为，，直线，的斜率分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B． C． D．的面积最小值为 35．（22-23高二上·山西·期末）已知抛物线的焦点为F、准线为l，过点F的直线与抛物线交于，两点，点P在l上的射影为，则（    ） A．若，则 B．以为直径的圆与准线l相切 C．设，则 D．过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条 36．（24-25高二上·山西·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，圆，过圆的圆心的直线与抛物线交于点，与圆交于点，其中在第一象限，若，则直线的斜率为 ． 37．（23-24高二上·山西朔州·期末）直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则 . 38．（22-23高二上·山西运城·期末）已知F是抛物线的焦点，点，抛物线上两点A，B满足，则与（其中O为坐标原点）面积之和的最小值是 ，此时的值是 ． 39．（22-23高二上·山西临汾·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，且，为坐标原点，则的面积为 . 40．（23-24高二上·山西太原·期末）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，过点的直线交抛物线于、两点，求证：. 41．（22-23高二上·山西运城·期末）已知抛物线，其上一点到焦点的距离为． (1)求的标准方程； (2)若直线与抛物线交于、两点，且以为直径的圆与轴相切，求该圆的方程． 42．（21-22高二上·山西长治·期末）在平面直角坐标系中，动点到定点的距离比到轴的距离大，设动点的轨迹为曲线，分别过曲线上的两点，作曲线的两条切线，且交于点，与直线交于两点 (1)求曲线的方程； (2)求面积的最小值. 43．（21-22高二上·山西大同·期末）已知抛物线，点A，B在抛物线上且位于x轴两侧，若（O为坐标原点），则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 44．（20-21高二上·山西吕梁·期末）过抛物线=的焦点作直线交抛物线于，若=，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 45．（20-21高二上·山西长治·期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线交于点，与抛物线的准线交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 46．（20-21高二上·山西运城·期末）过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，且，在直线上的射影分别为，，则（     ） A．30° B．45° C．60° D．90° 47．（23-24高二上·山西吕梁·期末）设抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上不同的两点，且，则（　　） A． B．以线段为直径的圆必与准线相切 C．线段的长为定值 D．线段的中点到轴的距离为定值 48．（22-23高二上·山西太原·期末）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线的焦点为，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．与之间的距离为4 49．（24-25高二上·山西太原·期末）已知过抛物线C：（）的焦点F且斜率为的直线与C相交于A，B两个不同点，若，则（O是坐标原点）的面积为 . 50．（22-23高二上·山西晋城·期末）已知抛物线，点在抛物线上且位于x轴两侧，若（O为坐标原点），则面积的最小值为 . 51．（21-22高二上·山西太原·期末）已知过抛物线的焦点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，直线OA（O为坐标原点）与抛物线C的准线相交于点D，则△面积的最小值为 ． 52．（20-21高二上·山西晋中·期末）过抛物线：的焦点作两条相互垂直的弦，，分别交于，，，，则的最小值为 . 53．（20-21高二上·山西太原·期末）已知点，为抛物线：上不同于原点的两点，且，则的面积的最小值为 . 54．（24-25高二上·山西运城·期末）已知点是抛物线上的动点，过向轴作垂线段，垂足为，记垂线段的中点为． (1)求点的轨迹方程； (2)不过坐标原点的直线与点的轨迹相交于两点，且以线段为直径的圆过点，求的面积． 55．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知点是抛物线上的动点，过向轴作垂线段，垂足为，记垂线段的中点为. (1)求点的轨迹方程； (2)不过坐标原点的直线与点的轨迹相交于两点，且以线段为直径的圆过点，求的面积. 56．（22-23高二上·山西晋中·期末）抛物线的焦点到准线的距离为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过焦点的直线（斜率存在且不为0）交抛物线于两点，线段的中垂线交抛物线的对称轴于点，求. 57．（22-23高二上·山西太原·期末）已知抛物线为坐标原点，过抛物线焦点的直线交抛物线于两点. (1)若直线的斜率为1，求； (2)若与的面积之差的绝对值为，求直线的方程. 地 城 考点05 抛物线中的定点、定值、定直线问题 58．（19-20高二上·山西太原·期末）已知直线与抛物线相交于两个不同点.若线段的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 59．（24-25高二上·山西太原·阶段练习）已知曲线与直线有3个公共点，点是曲线上关于轴对称的两动点（点A在第一象限），点是轴上关于原点对称的两定点（点在轴正半轴上），若为定值，则该定值为 . 60．（20-21高二上·山西吕梁·期末）已知抛物线的方程是，直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若，则直线AB必过定点 ． 61．（23-24高二上·山西大同·期末）在平面直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为，倾斜角为的直线与交于，两点． (1)求的方程； (2)以为直径的圆能否经过坐标原点？若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由． 62．（22-23高二下·山西太原·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线方程为，其顶点到焦点的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)若点，设直线与抛物线交于A、B两点，且直线、的斜率之和为0，证明：直线必过定点，并求出该定点． 63．（22-23高二上·山西运城·期中）已知抛物线上一动点G，过点G作x轴的垂线，垂足为D，M是上一点，且满足. (1)求动点M的轨迹C； (2)若为曲线C上一定点，过点P作两条直线分别与抛物线交于A，B两点，若满足，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标. 64．（21-22高二上·山西吕梁·期末）已知焦点为F的抛物线上一点到F的距离是4． (1)求抛物线C的方程． (2)若不过原点O的直线l与抛物线C交于A，B两点（A，B位于x轴两侧），C的准线与x轴交于点E，直线与分别交于点M，N，若，证明：直线l过定点． 65．（21-22高二上·山西运城·期末）已知抛物线的焦点为，过点且垂直于轴的直线交于，两点，为坐标原点，. (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，求证：为定值. 66．（21-22高二上·山西太原·期末）已知定点，动点，线段MF的垂直平分线与直线相交于点P． (1)求动点P的轨迹方程； (2)过的直线，分别与点P的轨迹相交于点M，N（均异于点Q），记直线，的斜率分别为，，若，求证：直线MN的斜率为定值． 67．（21-22高二上·山西太原·期末）已知定点，动点到点F的距离比它到y轴的距离大1． (1)求动点P的轨迹方程； (2)过的直线，分别与点P的轨迹相交于点M，N（均异于点Q），记直线，的斜率分别为，，若，求证：直线MN的斜率为定值． 68．（20-21高二上·山西太原·期末）已知抛物线：，斜率为1的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，且. （1）求抛物线的方程； （2）设点，过点作直线，与抛物线相切，切点分别为，，若，求的值. 69．（20-21高二上·山西太原·期末）已知抛物线：，斜率为1的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，且. （1）求抛物线的方程； （2）设点，过点作直线，与抛物线相切，切点分别为，，证明：. 70．（20-21高二上·山西吕梁·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线上一点到抛物线焦点F的距离为5． （1）求抛物线的方程及实数a的值； （2）假设过点的任一不垂直于y轴的直线l交抛物线C于M、N两点，则在x轴上是否存在一点A满足x轴平分？若存在，求出点A的坐标；若不存在，也请说明理由． 71．（20-21高二上·山西长治·期末）已知点在抛物线上. （1）求抛物线的标准方程； （2）过点的直线交抛物线于两点，，设斜率为，斜率为，判断是否为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 抛物线与方程（5大题型） 5大高频考点概览 考点01 抛物线的定义 考点02 抛物线的方程 考点03 直线与抛物线的位置关系 考点04 抛物线的弦长、焦点弦相关问题 考点05 抛物线中的定点、定值、定直线问题 抛物线的定义 地 城 考点01 1．（24-25高二上·山西·期末）已知抛物线的准线与坐标轴的交点为，为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，当最大时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由抛物线定义和两点间的距离公式，结合基本不等式可求得的最大值，以及点的坐标，再由双曲线的定义和离心率公式，可得所求值. 【详解】过点作准线的垂线交准线于点，则，由可得，设，则. 令，则， 当，即时，取到最大值，此时. 不妨设，因为双曲线的焦点坐标为， 所以可设双曲线的方程为，将代入上式，求得. 设该双曲线的离心率为，则，所以. 故选：B. 【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及双曲线的定义和性质，考查方程思想和运算能力. 2．（24-25高二上·山西运城·期末）抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点.现有一束光线从抛物线的焦点射出，经抛物线上一点反射后，反射光线所在直线经过点，若，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义求出即可得解. 【详解】根据抛物线的光学性质可知与轴平行， 所以由抛物线定义可知， 解得， 所以抛物线的标准方程为， 故选：D 3．（23-24高二上·山西太原·期末）设抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，且点，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】设点到准线的距离为，当三点共线时，取得最小值，即可求解. 【详解】解：抛物线的焦点是，准线方程为：， 设点到准线的距离为，则， 如图所示：    当三点共线时，取得最小值， 故选：C 4．（23-24高二上·山西太原·期末）如图，直线经过抛物线：的焦点，与抛物线交于点，与准线交于点，且，则直线的斜率为（    ）    A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，利用抛物线的定义以及直角三角函数可求. 【详解】过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可得， 在直角三角形中，，， 所以. 故选：A.    5．（22-23高三上·山西阳泉·期末）已知点P为抛物线上一动点，点Q为圆上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若的最小值为2，则（    ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】D 【分析】数形结合，结合抛物线定义可得，从而可得当共线，且在线段之间时，最短，即可求解. 【详解】作图如下， 圆的圆心,半径， 抛物线的焦点， 根据抛物线的定义可知， 所以， 由图可知，当共线，且在线段之间时， 最短，而， 故有， 即解得， 故选:D. 6．（21-22高二上·山西晋中·期末）若动圆的圆心在抛物线上，且恒过定点，则此动圆与直线（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【分析】根据题意得定点为抛物线的焦点，为准线，进而根据抛物线的定义判断即可. 【详解】解：由题知，定点为抛物线的焦点，为准线， 因为动圆的圆心在抛物线上，且恒过定点， 所以根据抛物线的定义得动圆的圆心到直线的距离等于圆心到定点，即圆心到直线的距离等于动圆的半径， 所以动圆与直线相切. 故选：B 7．（21-22高三上·山西朔州·期末）已知是抛物线的焦点，过焦点的直线交抛物线的准线于点，点在抛物线上且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据，结合抛物线的定义，求出点坐标，得到点坐标，进而可得直线斜率. 【详解】因为点在抛物线上，且，点在抛物线的准线上， 由抛物线的定义可知，直线，设， 则，解得，所以，故， 故，又， 所以直线的斜率为. 故选:A 8．（23-24高二上·山西·期末）已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为 . 【答案】 【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，过点作垂直准线交于点，由抛物线的定义可得，即可得到平行于轴时取最小值，从而求出点坐标. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 过点作垂直准线交于点，则， 所以，当且仅当、、三点共线时取等号， 即平行于轴时取最小值，此时，则，即， 所以. 故答案为： 9．（23-24高二上·山西太原·期末）已知是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，为坐标原点.当时，，则 . 【答案】 【分析】过作准线的垂线，过作的垂线，垂足分别为，结合条件及抛物线的定义可求得，在中，利用余弦定理即可求出结果. 【详解】由抛物线的对称性，不妨设在第一象限， 过作准线的垂线，过作的垂线，垂足分别为．如图所示， 由题意知，，因为，易知， 又点到准线的距离为：，解得， 在中，，， 由余弦定理得， 所以，    故答案为：. 10．（2023·山西·一模）已知抛物线的焦点为，点，为抛物线上一动点，则周长的最小值为 . 【答案】/ 【分析】过作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为，进而结合抛物线的定义求解即可. 【详解】解：由题知，准线方程为. 如图，过作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为， 所以周长，当且仅当为与抛物线的交点时等号成立. 故答案为： 地 城 考点02 抛物线的方程 11．（24-25高二上·山西吕梁·期末）抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的方程直接求解即可. 【详解】，焦点到准线的距离是. 故选：A 12．（22-23高二上·山西太原·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线方程直接求出焦点坐标作答. 【详解】抛物线的焦点在x轴上，其坐标为. 故选：D 13．（22-23高二上·山西晋中·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把抛物线方程化为标准方程，由此可得焦点坐标． 【详解】因为抛物线的标准方程为，，，，所以焦点坐标为， 故选：A． 14．（22-23高二上·山西太原·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线的方程即可确定焦点位置和焦点坐标． 【详解】由抛物线的方程可知，抛物线的焦点位于轴正半轴，由，可得：，即焦点坐标为． 故选：B． 15．（21-22高二上·山西朔州·期末）抛物线的焦点为F，A，B是拋物线上两点，若，若AB的中点到准线的距离为3，则AF的中点到准线的距离为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合抛物线的定义求得，由此求得线段的中点到准线的距离． 【详解】抛物线方程为，则， 由于中点到准线的距离为3，结合抛物线的定义可知， 即， 所以线段的中点到准线的距离为. 故选：C． 16．（20-21高二上·山西晋中·期末）抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的方程求解. 【详解】因为抛物线的方程为， 所以焦点到准线的距离是， 故选：B. 17．（20-21高二上·山西长治·期末）的焦点坐标为（    ） A． B． C．(1，0) D． 【答案】B 【分析】先将抛物线方程化为标准式，再求焦点坐标. 【详解】方程化为标准式得，，故其焦点坐标为. 故选：B. 18．（22-23高二上·山西太原·期末）已知点为抛物线上一点，为抛物线的焦点，则下列结论正确的是（    ） A．点的坐标为 B．点到准线的最小距离为1 C．若点到焦点的距离为5，则点的纵坐标是4 D．若点的坐标为，则的最小值为5 【答案】BD 【分析】根据给定的抛物线，求出焦点坐标、准线方程判断AB；利用抛物线定义求出点P的横坐标判断C；利用抛物线定义结合几何图形推理计算判断D作答. 【详解】设抛物线上点，，而抛物线的焦点，准线的方程，A错误； 对于B，点P到准线距离为，当且仅当时取等号，即点到准线的最小距离为1，B正确； 对于C，点到焦点的距离为5，即，解得，则，解得，C错误； 对于D，如图，作，垂足分别为，交抛物线于点，连接， 则，当且仅当点重合时取等号， 所以，D正确. 故选：BD 19．（24-25高二上·山西运城·期末）抛物线的焦点到准线的距离是 ． 【答案】/0.25 【分析】由抛物线的解析式求出，即可求解. 【详解】抛物线即，其图象是由抛物线的图象向上平移一个单位得到， 由，得焦点到准线的距离是. 故答案为：. 20．（24-25高二上·山西阳泉·期末）抛物线的焦点到准线的距离是 . 【答案】/ 【分析】由抛物线的解析式求出，即可求解. 【详解】抛物线即，其图象是由抛物线的图象向上平移一个单位得到， 由，得焦点到准线的距离是. 故答案为：. 21．（23-24高二下·山西长治·期末）已知抛物线的焦点为，点为上可相互重合的点，且，则的取值范围是 ，的最小值是 . 【答案】 【分析】利用焦半径公式表示，进而利用抛物线上点的范围求解第一空，利用焦半径公式结合基本不等式求解第二空即可. 【详解】第一空，如图，设，，，，    故，，， 而，故， 可得，，即有， 由，所以， 所以，所以. 第二空，，故， 而，故，即， 又， 故， 即，，故得的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题考查求解析几何，解题关键是合理运用焦半径公式结合基本不等式，然后找到取等条件，得到所要求的最值即可． 22．（23-24高二上·山西太原·期末）抛物线的焦点坐标为 . 【答案】 【分析】确定抛物线的标准方程，即可求得答案. 【详解】由抛物线方程，可知抛物线标准方程为， 其焦准距，焦点在x轴负半轴上， 故其焦点坐标为， 故答案为： 23．（23-24高二上·山西大同·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，且点在第一象限，若，则 ． 【答案】9 【分析】求出焦点坐标，可得直线方程，与抛物线方程联立求出，，再利用得解. 【详解】抛物线的焦点为， 代入得， 联立可得， 化简得，又点在第一象限， 解得，． 由，得， 即，解得． 故答案为：9. 24．（22-23高二上·山西长治·期末）过抛物线的焦点F作直线PQ，MN分别与抛物线C交于P，Q和M，N，若直线PQ，MN的斜率分别为，，且满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】求出直线方程，再与抛物线联立，利用弦长公式分别求出弦，再利用基本不等式即可得出答案. 【详解】抛物线的焦点， 则直线的方程为， 联立，消得， 设， 则， 则， 所以， 同理可得， 所以， 由， 得， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 直线与抛物线的位置关系 地 城 考点03 25．（24-25高二上·山西运城·期末）已知点是抛物线上的一个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】直线与抛物线相切时，切点到直线的距离即为最小值，由此可求解． 【详解】设直线与抛物线相切于点，显然切点位于第一象限， 在第一象限内，由，得，则， 所以，即，所以点的坐标为， 所以的最小值为点到直线的距离，即. 故选：A. 26．（22-23高二上·山西运城·期末）已知抛物线，过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，且A在x轴上方，D是抛物线准线上的一点，AD平行于x轴，O为坐标原点，若，则直线l的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【分析】设直线的方程为，设点，则点，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，计算直线和的斜率得知，三点共线，再由已知条件得出，代入韦达定理可得出的值，从而求出直线的斜率. 【详解】解：设点，则点， 抛物线的焦点为，设直线的方程为， 将直线的方程与抛物线的方程联立， 得， 由韦达定理得， 直线的斜率为， 直线的斜率为， 所以，三点共线，，则，所以，， 则，得， ， 结合图形可知，直线的斜率为正数，所以，， 因此，直线的斜率为,倾斜角为. 故选：B. 27．（22-23高二上·山西·期末）设F为抛物线的焦点，过F的直线交抛物线C于A，B两点，且，O为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线的方程，与抛物线的方程联立，利用韦达定理及由得到的，求出直线的斜率，即可求解三角形的面积. 【详解】由已知得焦点坐标为， 由题意可知直线的斜率存在且不为0， 因此设直线的方程为，， 与抛物线的方程联立，化简得， 设，则 因为，故， 则，解得， 因此. 故选：D. 28．（21-22高二上·山西大同·期末）已知直线l经过点，与抛物线交于A，B两点，且A，B位于x轴的同侧，若（O为坐标原点），则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由已知可设可设其方程为,与抛物线方程联立，根据，利用平面向量的数量积的坐标运算公式和韦达定理得到关于实数的方程，求得的值，并根据做出取舍. 【详解】显然直线的斜率不为零，又∵直线l经过点，故可设其方程为, 代入抛物线方程整理得, 设，则, 由得, ∵,, ∴, ， ， ，解得或， 又∵A，B位于x轴的同侧，∴,∴, ∴， 此时判别式有解， 故选：A 29．（20-21高二上·山西吕梁·期末）设有下面四个命题： ：抛物线的焦点坐标为； ：，方程表示圆； ：，直线与圆都相交； ：过点且与抛物线有且只有一个公共点的直线有2条． 那么，下列命题中为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于：求出的焦点坐标，可判断命题的真假；对于：当时，方程为表示圆，故命题为真命题；对于：由于直线过定点，此点在圆外，可判断命题的真假；对于：由题意得点在抛物线上，所以过该点与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条，一条是过该点的切线，一条是过该点且与对称轴平行的直线．故可判断的真假． 【详解】对于：求出的焦点坐标为 ，则命题为真命题； 对于：当时，方程为表示圆，故命题为真命题； 对于：由于直线过定点， 由，所以此点在圆外，故直线与圆不一定相交，所以命题为假命题； 对于：由题意得点在抛物线上， 所以过该点与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条，一条是过该点的切线，一条是过该点且与对称轴平行的直线．所以命题为真． 所以为假命题，为真命题，为假命题，为假命题. 故选：B 30．（20-21高二上·山西长治·期末）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点(点在第一象限)，若直线的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件求得直线l的方程为，与抛物线联立，求得A，B的坐标，利用定义求得即可. 【详解】设，，有题知直线l的方程为， 与抛物线联立得，解得，， 则，， 则由抛物线定义知 故选：D 31．（24-25高二上·山西太原·期末）已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与抛物线C相切 C．当时，直线l与抛物线C有两个公共点 D．当直线l与抛物线C无公共点时，或 【答案】BD 【分析】直接代入点的坐标到直线方程验证后判断A；利用特例判断C；由直线方程与抛物线方程组成方程组，由方程组的解的情况判断BD． 【详解】选项A，因为，因此不是直线所过定点，A错； 选项B，时，直线方程为，代入抛物线方程得，解得，从而， 又直线与抛物线的对称轴不平行，所以直线与抛物线相切，切点为，B正确； 选项C，时，直线方程为，它与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个公共点，C错； 选项D，由得，， 由，得或，D正确． 故选：BD． 32．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．点F的坐标为 C．直线AQ与抛物线相切 D． 【答案】AC 【分析】将代入抛物线可得，即可判断ABD,根据直线与抛物线联立后判别式为0，即可求解. 【详解】将代入中可得，故，,A正确，B错误， ,则AQ方程为，则，，故直线AQ与抛物线相切，C正确， 由于轴，所以不成立，故D错误， 故选：AC 33．（21-22高二·全国·课后作业）经过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，设，，则下列说法中正确的是（    ） A．当与轴垂直时，最小 B． C．以弦为直径的圆与直线相离 D． 【答案】ABD 【分析】先设直线的方程，联立抛物线，可得D. 用抛物线焦点弦公式表示，可得A. 利用抛物线定义，可表示，可证B. 利用抛物线定义，结合图像位置关系可判断C. 【详解】    如图，设直线为， 联立， 得，即， 所以，， 故D正确， ， 将代入得， 故当时，取得最小值，此时直线与轴垂直，故A正确， ， 代入，， 得，故B正确， 设的中点为，则以弦为直径的圆的圆心为，半径为 分别过作抛物线的垂线，垂足分别为, 由抛物线的定义知，， 则, 故以弦为直径的圆与直线相切，C错误， 故选：ABD 34．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知抛物线，点是抛物线准线上的一点，过点作抛物线的切线，切点分别为，，直线，的斜率分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B． C． D．的面积最小值为 【答案】ACD 【分析】利用导数可得切线方程，进而可得直线方程，即可判断A选项；联立直线与抛物线，结合韦达定理可得与，判断BC选项；利用弦长公式，结合点到直线的距离可判断D选项. 【详解】设，，，因为，所以，， 所以在点处的切线方程为，即， 同理可得，在点处的切线方程为，所以，， 故直线的方程为，直线恒过定点，故A选项正确； 由，得，所以，， 所以，，故B选项错误，C选项正确； ，点到直线的距离， 所以的面积，所以，故D选项正确． 故选：ACD． 35．（22-23高二上·山西·期末）已知抛物线的焦点为F、准线为l，过点F的直线与抛物线交于，两点，点P在l上的射影为，则（    ） A．若，则 B．以为直径的圆与准线l相切 C．设，则 D．过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条 【答案】ABC 【分析】利用抛物线焦点弦长公式可判断A选项；设N为中点，点N在l上的射影为，可得即可判断B选项；利用抛物线的定义结合三点共线可判断C选项；求出过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线的方程，可判断D选项． 【详解】对于A，因为，所以，又，所以，故A正确； 对于B，设N为中点，点N在l上的射影为，点Q在l上的射影为，则由梯形性质可得，故B正确； 对于C，因为，所以，（当P，M，F三点共线时取等号），故C正确； 对于D，显然直线与抛物线只有一个公共点， 当直线的斜率存在且不为0时，设过M的直线为， 联立，可得， 令，则，所以直线与抛物线也只有一个公共点， 所以过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条，故D错误， 故选：ABC． 36．（24-25高二上·山西·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，圆，过圆的圆心的直线与抛物线交于点，与圆交于点，其中在第一象限，若，则直线的斜率为 ． 【答案】或 【分析】先计算抛物线方程，再设直线的方程，代入抛物线方程，根据韦达定理及抛物线的焦点弦公式，即可求得，根据题意即可求得直线的斜率. 【详解】 因为抛物线经过点，所以，所以， 圆的圆心为，半径为， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 代入可得， 设、，则， 所以， 所以， 所以， 所以，所以，即得 解得. 故答案为：或. 37．（23-24高二上·山西朔州·期末）直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则 . 【答案】2 【分析】联立直线与抛物线方程，得到两根之和，从而得到方程，求出或，舍去不合要求的根. 【详解】若，此时与抛物线只有1个交点，不合题意， 故， 联立，整理得， 由0，解得， 设， 则 因为中点的横坐标为2，则， 故，解得（舍去）或， 所以. 故答案为：2 38．（22-23高二上·山西运城·期末）已知F是抛物线的焦点，点，抛物线上两点A，B满足，则与（其中O为坐标原点）面积之和的最小值是 ，此时的值是 ． 【答案】 【分析】设，根据，可得三点共线，，设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，不妨令，再计算即可得解. 【详解】， 设， 因为， 所以三点共线，且， 即， 可设直线的方程为， 联立，消得， 则， ， ， 因为与面积之和的最小值，则只能， 不妨令， 则，， 故， 当且仅当，，即时取等号， 此时， 所以与面积之和的最小值为. 故答案为：；. 39．（22-23高二上·山西临汾·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，且，为坐标原点，则的面积为 . 【答案】/ 【分析】根据条件先求出抛物线的标准方程，设直线AB的方程，与抛物线的方程联立，韦达定理，利用向量的坐标运算求出直线的斜率，再用求出面积 【详解】由题知，所以，抛物线方程为， 易得直线的斜率存在，设的直线方程为，代入抛物线方程，得， 设，则，. 因为，所以，所以， 所以，故，即 所以， 故答案为：. 40．（23-24高二上·山西太原·期末）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，过点的直线交抛物线于、两点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式，可求得p的值，即得答案； （2）设出直线CD的方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系式，化简，即可证明结论. 【详解】（1）由题意点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且. 得，解得， 故抛物线的方程为. （2）证明：设直线的方程为，，， 由，得，，.   ， ，即直线关于x轴对称， 故. 41．（22-23高二上·山西运城·期末）已知抛物线，其上一点到焦点的距离为． (1)求的标准方程； (2)若直线与抛物线交于、两点，且以为直径的圆与轴相切，求该圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入抛物线方程，得到，再根据抛物线的定义及求出的值，即可得解； （2）设，，圆心，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可得到，从而得到，由弦长公式求出的值，从而求出圆心坐标，即可得解. 【详解】（1）解：将代入抛物线的方程得，∴， 由抛物线得定义得，解得或， 因为，所以（舍去）， 所以的标准方程为． （2）解：由题意得，，消去得， 由，解得， 设，，圆心， 所以，， 则，， 由题意知圆的半径，， 又，得， 解得，满足，所以， 所以，即圆心， 所以圆的方程为． 42．（21-22高二上·山西长治·期末）在平面直角坐标系中，动点到定点的距离比到轴的距离大，设动点的轨迹为曲线，分别过曲线上的两点，作曲线的两条切线，且交于点，与直线交于两点 (1)求曲线的方程； (2)求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得化简可得答案； （2）求出、方程并得到、点坐标，再联立，方程求出交点和、点到的距离，可得 ， 设，与抛物线方程联立利用韦达定理得到，设，记，利用导数可得答案.. 【详解】（1）由题意可知：， 即：化简得：； （2）由题意可知：，，， 过点的切线斜率为，方程为：①， 令，，则， 同理：方程为：②，， 联立①②得：，的交点，， 点到的距离， 所以  ③， 设： ，则，整理得， 所以， 由韦达定理得：，， 代入③式得：， 设，记，则， 令得（舍负）， 时，单调递减： 时，单调递增， 所以，当且仅当时的最小值为. 地 城 考点04 抛物线的弦长、焦点弦相关问题 43．（21-22高二上·山西大同·期末）已知抛物线，点A，B在抛物线上且位于x轴两侧，若（O为坐标原点），则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线AB方程为，代入抛物线，设，由，结合韦达定理与弦长公式求得面积的表达式，即可判断最小值． 【详解】设直线AB方程为，代入抛物线得 设 由， 又得 所以 点直线AB的距离为 所以面积为 当时，取 故选：A 44．（20-21高二上·山西吕梁·期末）过抛物线=的焦点作直线交抛物线于，若=，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线方程为，与抛物线方程联立，根据=，即，利用抛物线的定义得到，再结合韦达定理求解. 【详解】设直线方程为，与抛物线方程联立得 ， 设 ，则 ， 因为 =， 所以, 由抛物线的定义得：， 解得， 所以， 即， 解得， 所以， 故选：C 45．（20-21高二上·山西长治·期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线交于点，与抛物线的准线交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线定义，相似三角形对应线段成比例即可求解． 【详解】解：如图所示：分别过点，作准线的垂线，垂足为，， 再过点作，由抛物线的定义可得：，， 设，，，则， 显然，，所以 ， 所以，即，解得， 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是，根据抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，从而利用三角形相似的性质求解. 46．（20-21高二上·山西运城·期末）过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，且，在直线上的射影分别为，，则（     ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】D 【分析】根据抛物线的性质，表示出，的坐标，再由向量即可求出. 【详解】由题意得，即，因此焦点的坐标为， 设，，则，， 因过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，故， 又因，，所以，故. 故选：D. 【点睛】本题主要考查抛物线焦点弦的二级结论. 47．（23-24高二上·山西吕梁·期末）设抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上不同的两点，且，则（　　） A． B．以线段为直径的圆必与准线相切 C．线段的长为定值 D．线段的中点到轴的距离为定值 【答案】AD 【分析】根据题意，求得抛物线及焦点，结合抛物线的几何性质，逐项判定，即可求解.， 【详解】对于A中，由抛物线的准线为，可得，解得， 所以抛物线的焦点为 且，所以A正确； 对于B中，如图，当线段过焦点时，过作， 取的中点作，可得， 此时以线段为直径的圆与准线相切， 因为直线不一定过抛物线的焦点，则不一定成立，故B错误. 对于C中，设， 由抛物线得的定义得，所以， 当直线过原点时，设，则，此时，可得， 当直线为时，可得，不妨设，可得， 所以的长不是定值，所以C错误； 对于D中，由，则线段的中点到轴的距离为，所以D正确. 故选：AD. 48．（22-23高二上·山西太原·期末）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线的焦点为，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．与之间的距离为4 【答案】ABC 【分析】由抛物线的光学性质可知，直线过焦点，设直线，代入，由韦达定理得可判断A；点与均在直线上，于是可求出点的坐标，再结合可得点的坐标，然后利用斜率公式即可判断B；根据抛物线的定义可知，可判断C；由于与平行，所以与之间的距离，可判断D． 【详解】由抛物线的光学性质可知，直线过焦点，设直线，代入得，则，故A正确； 点与均在直线上，则点的坐标为，由得，则点的坐标为，则，故B正确； 由抛物线的定义可知，，故C正确； 与平行，与之间的距离，故D错误， 故选：ABC． 49．（24-25高二上·山西太原·期末）已知过抛物线C：（）的焦点F且斜率为的直线与C相交于A，B两个不同点，若，则（O是坐标原点）的面积为 . 【答案】1 【分析】设直线方程为，设，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理结合弦长公式求得，再求出到直线的距离后，由面积公式计算． 【详解】由题意，直线方程为，设， 由得， 所以， 又， 所以，解得（负值舍去），即直线方程为， 所以到直线的距离为， ， 故答案为：1. 50．（22-23高二上·山西晋城·期末）已知抛物线，点在抛物线上且位于x轴两侧，若（O为坐标原点），则面积的最小值为 . 【答案】 【分析】设直线的方程为：，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得，由可得，，进而可得，由求解即可. 【详解】解：由题意可得直线不与轴平行， 设直线的方程为：， 由，可得， 则有， 设 则有， 所以， 所以， 解得：(舍)，， 所以直线的方程为：， 所以， 所以， 所以当时，取最小值为：. 故答案为： 【点睛】方法点睛：对于直线与圆锥曲线类的题，常用的方法是联立直线与圆锥曲线方程，再结合韦达定理求解即可. 51．（21-22高二上·山西太原·期末）已知过抛物线的焦点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，直线OA（O为坐标原点）与抛物线C的准线相交于点D，则△面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】令： ， ，根据已知条件求坐标且可得轴，由，进而用参数k表示，再得到△面积关于k的函数式，应用换元法、导数求面积最小值. 【详解】由题设，直线斜率不为0，令： ，联立抛物线， ∴，不妨设 ， ∴，，又抛物线准线方程为，直线， ∴，又，则， ∴，即轴， 综上，，， 而，则， 由，则， ∴，令 ， ∴，令，则， 当时，，则递增；当时，，则递减； ∴，故最小值为，此时(由对称性最小值也成立). 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：设直线及交点坐标，联立抛物线，结合直线与准线、抛物线交点求证轴，根据，进而得到面积关于参数的函数式，应用导数求其最小值. 52．（20-21高二上·山西晋中·期末）过抛物线：的焦点作两条相互垂直的弦，，分别交于，，，，则的最小值为 . 【答案】16 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，消元，写出两根之和； 根据焦点弦公式求出弦和，从而利用基本不等式求的最小值. 【详解】易知直线AB的斜率存在且不为， 所以设直线的方程为，，， 直线AB的方程与抛物线方程联立，消，得：， ∴，， 同理， ∴，当且仅当时等号成立. 故答案为：16. 53．（20-21高二上·山西太原·期末）已知点，为抛物线：上不同于原点的两点，且，则的面积的最小值为 . 【答案】 【解析】设，，利用可得即可求得，利用两点间距离公式求出、，面积，利用基本不等式即可求最值. 【详解】设，， 由可得， 解得：， ， ， ， ， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的面积的最小值为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是设，坐标，采用设而不求的方法，将转化为，求出参数之间的关系，再利用基本不等式求的最值. 54．（24-25高二上·山西运城·期末）已知点是抛物线上的动点，过向轴作垂线段，垂足为，记垂线段的中点为． (1)求点的轨迹方程； (2)不过坐标原点的直线与点的轨迹相交于两点，且以线段为直径的圆过点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点的坐标为，，则的坐标为，代入抛物线方程计算即可； （2）联立，借助韦达定理及，求得。进而求得面积. 【详解】（1）设点的坐标为，则点的坐标为， 又点在抛物线上，所以，化简得， 所以点的轨迹方程为 （2）设， 由，得， 由，得， ， 所以， 因为以为直径的圆过点，所以，即， 所以，解得，或（舍去）. 所以， 又原点到直线的距离为， 所以的面积. 55．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知点是抛物线上的动点，过向轴作垂线段，垂足为，记垂线段的中点为. (1)求点的轨迹方程； (2)不过坐标原点的直线与点的轨迹相交于两点，且以线段为直径的圆过点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点的坐标为，，则的坐标为，代入抛物线方程计算即可； （2）联立，借助韦达定理及，求得，进而利用弦长求得面积. 【详解】（1）设点的坐标为，则点的坐标为， 又点在抛物线上，所以，化简得， 所以点的轨迹方程为 （2）设， 由，得， 由，得， ， 所以， 因为以为直径的圆过点，所以，即，    所以，解得，或（舍去）. 所以， 又原点到直线的距离为， 所以的面积. 56．（22-23高二上·山西晋中·期末）抛物线的焦点到准线的距离为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过焦点的直线（斜率存在且不为0）交抛物线于两点，线段的中垂线交抛物线的对称轴于点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义即可得解； （2）不妨取抛物线的方程为，设直线的方程为，、，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出，再求出中垂线方程，即可求出点坐标，即可求出，从而得解. 【详解】（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以， 根据建系方案的不同，抛物线的标准方程有四种可能， 分别是，，，. （2）在平面直角坐标系中，抛物线的位置并不影响的取值，因此不妨取抛物线的方程为，此时焦点， 根据题意，直线的斜率存在且不为，因此设直线的方程为， 与抛物线联立，得关于的一元二次方程， 则，设、， 则，，， ， 则， 线段的中点坐标为，中垂线方程为， 令，解得，即中垂线与轴交于， 所以，则.    57．（22-23高二上·山西太原·期末）已知抛物线为坐标原点，过抛物线焦点的直线交抛物线于两点. (1)若直线的斜率为1，求； (2)若与的面积之差的绝对值为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据题意得到直线的方程，再联立抛物线方程得到的值，从而利用弦长公式即可得解； （2）假设直线为，联立抛物线方程得到的值，再分别求得与的面积关于的表达式，进而得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】（1）依题意，设， 因为抛物线的焦点为， 又直线的斜率为1，所以直线方程为， 联立，消去，得， 则， 所以. （2）易知直线斜率为时，与抛物线只有一个交点，不合题意； 设直线方程为， 联立，消去，得， 则， 因为，， 所以，解得， 所以直线的方程为或，即或. 地 城 考点05 抛物线中的定点、定值、定直线问题 58．（19-20高二上·山西太原·期末）已知直线与抛物线相交于两个不同点.若线段的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，然后利用点差法，即可求出，再根据点斜式即可求出结果. 【详解】设， 所以 又线段的中点坐标为，所以， 所以，所以直线的方程为，即. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了直线和抛物线的位置关系，熟练掌握点差法是解题的关键. 59．（24-25高二上·山西太原·阶段练习）已知曲线与直线有3个公共点，点是曲线上关于轴对称的两动点（点A在第一象限），点是轴上关于原点对称的两定点（点在轴正半轴上），若为定值，则该定值为 . 【答案】 【分析】由已知结合直线与曲线的公共点个数先求出，然后结合抛物线的定义即可求解. 【详解】曲线表示抛物线与， 由得， 因为，所以， 可得抛物线与直线有两个交点， 曲线与直线有3公共点， 则直线与抛物线相切， 把代入得， 则，解得， 由对称性可知，设与轴的交点为， 则， 若为定值，则为定值， 则点分别为抛物线与的焦点， 此时为抛物线上一点到轴距离 与其焦点距离差的2倍，即. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.（2）直接推理､计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 60．（20-21高二上·山西吕梁·期末）已知抛物线的方程是，直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若，则直线AB必过定点 ． 【答案】 【分析】依题可知直线斜率存在，设，，而，再联立直线与抛物线方程可得，代入上式即可解出，从而求出定点． 【详解】当直线斜率不存在时，显然直线与抛物线没有两个交点，不符合题意， 所以直线斜率存在，设，， 而，，即①， 由得，，所以②，将②代入①得，，解得，即，故直线AB必过定点． 故答案为：． 61．（23-24高二上·山西大同·期末）在平面直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为，倾斜角为的直线与交于，两点． (1)求的方程； (2)以为直径的圆能否经过坐标原点？若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】（1）根据题意利用距离相等列出等式，化简可得的方程为； （2）联立直线和抛物线方程，利用垂直关系的向量表示可得，由方程无解可得结论. 【详解】（1）设，则， 化简得． 所以的方程为． （2）设直线的方程为，，，如下图所示： 联立可得， 所以，解得． 由韦达定理得， 假设以为直径的圆能经过坐标原点，则， 即，可得， 又， 所以，此时方程无实数解． 所以以为直径的圆不能经过坐标原点． 62．（22-23高二下·山西太原·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线方程为，其顶点到焦点的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)若点，设直线与抛物线交于A、B两点，且直线、的斜率之和为0，证明：直线必过定点，并求出该定点． 【答案】(1)； (2)详见解析； 【分析】（1）根据题意求出抛物线的焦点坐标，可求得的值，进而可求得抛物线的方程； （2）设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据直线、的斜率之和为求得实数的值，即可求得直线所过定点的坐标. 【详解】（1），且抛物线的顶点到焦点的距离为， 则该抛物线的焦点坐标为，，解得， 因此，该抛物线的方程为； （2）设点、， 将直线的方程与抛物线的方程联立，消去并整理得， 由韦达定理得，. 直线的斜率为，同理直线的斜率为， 由题意得， 上式对任意的非零实数都成立，则，解得， 所以，直线的方程为，该直线过定点. 【点睛】设而不求，联立方程，利用韦达定理解题是本类题目常用思路.本题中表示出是解题关键，也是计算难点. 63．（22-23高二上·山西运城·期中）已知抛物线上一动点G，过点G作x轴的垂线，垂足为D，M是上一点，且满足. (1)求动点M的轨迹C； (2)若为曲线C上一定点，过点P作两条直线分别与抛物线交于A，B两点，若满足，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1)； (2)证明见解析，. 【分析】（1）利用相关点代入法，设，由已知向量关系可得，代入原方程即可得解； （2）设方程为：，代入抛物线方程可得，在的情况下，可得，由，代入求得和的关系即可得解. 【详解】（1）设，则， 由，得，代入得， 所以动点的轨迹. （2）易得的斜率存在，设， ， 由联立可得：， ①， ② 将①代入②得：， 所以， 所以直线恒过定点. 64．（21-22高二上·山西吕梁·期末）已知焦点为F的抛物线上一点到F的距离是4． (1)求抛物线C的方程． (2)若不过原点O的直线l与抛物线C交于A，B两点（A，B位于x轴两侧），C的准线与x轴交于点E，直线与分别交于点M，N，若，证明：直线l过定点． 【答案】(1)； (2)证明过程见解析. 【分析】（1）利用抛物线的定义进行求解即可； （2）设出直线l的方程，与抛物线方程联立，根据一元二次方程的根与系数关系进行求解证明即可. 【详解】（1）该抛物线的准线方程为，因为点到F的距离是4， 所以有，所以抛物线C的方程为：； （2）该抛物线的准线方程为， 设直线l的方程为：， 与抛物线方程联立，得， 不妨设，因此， 直线的斜率为：，所以方程为：， 当时，，即，同理， 因为，所以有，而， 所以有，所以直线l的方程为：，因此直线l恒过. 【点睛】关键点睛：把直线l的方程为：，利用一元二次方程根与系数关系是解题的关键. 65．（21-22高二上·山西运城·期末）已知抛物线的焦点为，过点且垂直于轴的直线交于，两点，为坐标原点，. (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得点和点的坐标，再根据，利用平面向量数量积的坐标运算公式，即可求出，进而求出结果； （2）由题意可知直线，斜率存在且不为0，直线的方程为将其与抛物线方程联立，由韦达定理可得的表达式，再根据抛物线的性质可得，又因为，所以将换成，得，进而求出为定值. 【详解】（1）解：抛物线的焦点坐标为，将代入，得， 所以点和点的坐标为，. 所以， 所以，所以（舍去）. 所以的方程为. （2）证明：由（1）知，，由于直线，均与交于两点， 所以直线，斜率存在且不为0. 设直线的方程为，，， 联立得， 恒成立. 所以， 所以. 因为，所以将换成，得， 所以， 所以为定值. 66．（21-22高二上·山西太原·期末）已知定点，动点，线段MF的垂直平分线与直线相交于点P． (1)求动点P的轨迹方程； (2)过的直线，分别与点P的轨迹相交于点M，N（均异于点Q），记直线，的斜率分别为，，若，求证：直线MN的斜率为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题设易知且在x轴非负方向上，利用两点距离公式可得，整理即可得轨迹方程. （2）根据题设令、，为，为，联立抛物线方程求的坐标，再应用两点式求即可证结论. 【详解】（1）由题设知：且在x轴非负方向上， 令，即，则，又， ∴，故动点P的轨迹方程为. （2）由题设，令为，为， 联立抛物线，可得：，若，， ∴，则，同理可得，则， ∴，为定值. 67．（21-22高二上·山西太原·期末）已知定点，动点到点F的距离比它到y轴的距离大1． (1)求动点P的轨迹方程； (2)过的直线，分别与点P的轨迹相交于点M，N（均异于点Q），记直线，的斜率分别为，，若，求证：直线MN的斜率为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用两点距离公式可得，整理即可得轨迹方程. （2）根据题设令、，为，为，联立抛物线方程求的坐标，再应用两点式求即可证结论. 【详解】（1）由题设，，则，又， ∴，故动点P的轨迹方程为. （2）由题设，令为，为， 联立抛物线，可得：，若，， ∴，则，同理可得，则， ∴，为定值. 68．（20-21高二上·山西太原·期末）已知抛物线：，斜率为1的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，且. （1）求抛物线的方程； （2）设点，过点作直线，与抛物线相切，切点分别为，，若，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设直线的方程为：，、，联立直线与抛物线的方程消，利用韦达定理可得，再利用焦点弦长公式即可求的值，进而可得抛物线方程； （2）过点且与抛物线相切的直线方程为：与抛物线方程联立可得，即可求解. 【详解】（1）由抛物线：可得抛物线焦点， 设直线的方程为：，、， 由可得， 所以，， 所以， 即，解得， 抛物线的方程为； （2）设直线过点且与抛物线相切， 直线方程为：， 由消去可得， 由直线与抛物线相切可得：， 即， 因为 则，即，解得. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用过焦点的弦长公式求参数，第（2）的关键是设出切线方程与抛物线方程联立，利用，可求的方程，由 即可. 69．（20-21高二上·山西太原·期末）已知抛物线：，斜率为1的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，且. （1）求抛物线的方程； （2）设点，过点作直线，与抛物线相切，切点分别为，，证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）设直线的方程为：，、，联立直线与抛物线的方程消，利用韦达定理可得，再利用焦点弦长公式即可求的值，进而可得抛物线方程； （2）过点且与抛物线相切的直线方程为：与抛物线方程联立可得，即可求证. 【详解】（1）由抛物线：可得抛物线焦点， 设直线的方程为：，、， 由可得， 所以，， 所以， 即，解得， 抛物线的方程为； （2）设直线过点且与抛物线相切，直线方程为：， 由消去可得， 由直线与抛物线相切可得：， 即，解得或， 因为， 所以过点且与抛物线相切的直线. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用过焦点的弦长公式求参数，第（2）的关键是设出切线方程与抛物线方程联立，利用可求得值，得出即可证明切线垂直. 70．（20-21高二上·山西吕梁·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线上一点到抛物线焦点F的距离为5． （1）求抛物线的方程及实数a的值； （2）假设过点的任一不垂直于y轴的直线l交抛物线C于M、N两点，则在x轴上是否存在一点A满足x轴平分？若存在，求出点A的坐标；若不存在，也请说明理由． 【答案】（1）；或；（2）存在，. 【解析】（1）根据抛物线上一点到抛物线焦点F的距离为5，利用抛物线的定义，由求解. （2设A的坐标为，MN方程为，与联立，根据x轴平分，则，然后结合韦达定理求解. 【详解】（1）由抛物线定义可得：， 所以，所以抛物线方程为， 所以，解得或； （2）点A在x轴上，设其坐标为，直线MN过， 设直线MN方程为，与联立，， 消去x得， 设，， ，，① x轴平分，， 即， ， 即， ， 将①代入得， 即， ，要使方程成立， ， 存在满足题意． 【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意． 71．（20-21高二上·山西长治·期末）已知点在抛物线上. （1）求抛物线的标准方程； （2）过点的直线交抛物线于两点，，设斜率为，斜率为，判断是否为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由. 【答案】（1）；（2）是定值，定值为0. 【分析】（1）点的坐标代入抛物线方程求解，然后推出抛物线方程． （2）设，，，，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及斜率的倒数求和，化简转化即可得到结果． 【详解】解：（1）由题，即，所以抛物线的方程为. （2）是定值为0，证明如下： 设，直线的方程为，由，得，所以，，因为 ，，所以 ，得证. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $