专题05 双曲线与方程（6大题型）（期末真题汇编 山西专用）高二数学上学期

专题05 双曲线与方程（6大题型） 6大高频考点概览 考点01 双曲线的定义与方程 考点02 双曲线的离心率 考点03 直线与双曲线的位置关系 考点04 双曲线的弦长、中点弦相关问题 考点05 双曲线中的定点、定值、定直线县官问题 考点06 双曲线中与向量相关的问题 双曲线的定义与方程 地 城 考点01 1．（24-25高二上·山西晋中·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点，分别在的左、右两支上，且满足，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二上·山西太原·期末）已知分别是双曲线的左右焦点，点在该双曲线上，若，则（   ） A．4 B．4或6 C．3 D．3或7 3．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．7 D．8 4．（21-22高二上·山西运城·期末）已知点是双曲线的左､右焦点，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则（    ） A．与双曲线的实轴长相等 B．的面积为 C．双曲线的离心率为 D．直线是双曲线的一条渐近线 5．（20-21高三上·全国·阶段练习）已知，是圆上的点，点在双曲线的右支上，则的最小值为（    ） A．9 B． C．8 D．7 6．（19-20高二上·山西忻州·期末）已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点，在轴上，中心在原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（19-20高二上·山西运城·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且与x轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A、B两点，，若双曲线上存在一点P使得，则t的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线C以椭圆方程E：的焦点为顶点，以E的顶点为焦点，则双曲线C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 9．（22-23高二上·山西晋中·期末）与两圆及都外切的圆的圆心的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 10．（22-23高二上·山西太原·期末）有一条渐近线为且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 11．（21-22高二上·山西大同·期末）与椭圆焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·山西·期末）已知双曲线C：的两个焦点为，，双曲线C上有一点P，若，则 ． 13．（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 14．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，直线与双曲线在第一、三象限分别交于点，为坐标原点.有下列结论： ①四边形是平行四边形； ②若轴，垂足为，则直线的斜率为； ③若，则四边形的面积为； ④若△为正三角形，则双曲线的离心率为.其中正确命题的序号是 . 15．（23-24高二上·山西大同·期末）点，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，则的周长是 ． 16．（21-22高二上·山西朔州·期末）若，是双曲线与椭圆的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且为等腰三角形，则该双曲线的渐近线为 ． 17．（23-24高二上·山西长治·期末）在双曲线型冷却塔（如图）的建设过程中,人员、物料的运输一直是困扰施工的难题,经实践探索设计出“附墙升降机”,其结构如图所示,安装之后附着在冷却塔的外侧,通过升降吊笼完成输送任务.假设该冷却塔的最小半径为,上口半径为,下口半径为，高为.附墙升降机轨道在点以下与冷却塔贴合,从点到顶端点是竖直的,则长约为 （保留整数）.    18．（21-22高二上·山西吕梁·期末）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则 ． 地 城 考点02 双曲线的离心率 19．（24-25高二上·山西·期末）已知抛物线的准线与坐标轴的交点为，为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，当最大时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高二上·山西吕梁·期末）下面四个选项中，正确的是（    ） A．双曲线绕坐标原点O逆时针旋转得到曲线 B．曲线是由双曲线绕原点O顺时针旋转得到的 C．曲线的离心率为 D．曲线的渐近线方程是 21．（24-25高二上·山西运城·期末）已知双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为，且满足，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 22．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为，且满足，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 23．（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线的一个焦点为，其离心率，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高二上·山西太原·期末）已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 25．（24-25高二上·山西太原·期末）古希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中对圆锥曲线给出了统一定义，即到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.若方程表示的曲线是双曲线，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 26．（23-24高二下·山西长治·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点，若成等差数列，且，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 27．（23-24高二上·山西大同·期末）若椭圆的离心率和双曲线的离心率恰好是关于的方程的两个实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．（18-19高二上·山西运城·期末）已知双曲线（，）的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 29．（22-23高二上·山西临汾·期末）设双曲线的半焦距为，直线过两点，若原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 30．（24-25高二上·山西·期末）已知双曲线，则（   ） A．双曲线的实轴长为8 B．双曲线的虚轴长为3 C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线的斜率为 31．（24-25高二上·山西太原·期末）已知，，双曲线：与：，则下列结论正确的是（   ） A．它们的实轴长相等 B．它们的焦点相同 C．它们的离心率相等 D．它们的渐近线相同 32．（23-24高二上·山西·期末）已知为双曲线的左、右焦点，为平面上一点，若，则（    ） A．当为双曲线上一点时，的面积为4 B．当点坐标为时， C．当在双曲线上，且点的横坐标为时，的离心率为 D．当点在第一象限且在双曲线上时，若的周长为，则直线的斜率为 33．（23-24高二上·山西太原·期末）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线上一点，平分，且，，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的标准方程为 B． C．双曲线的焦距为 D．点到两条渐近线的距离之积为 34．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，椭圆的上顶点为，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率为，为与的一个公共点.若，则（    ） A． B． C． D． 35．（22-23高二上·山西太原·期末）已知双曲线为双曲线的左､右焦点，若直线过点，且与双曲线的右支交于两点，下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率为 B．若的斜率为2，则的中点为 C．周长的最小值为10 D．周长的最小值为16 36．（22-23高二上·山西朔州·期末）关于双曲线与双曲线，下列说法不正确的是（    ） A．实轴长相等 B．离心率相等 C．焦距相等 D．焦点到渐近线的距离相等 37．（21-22高二上·山西大同·期末）设，分别是双曲线E：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在E上，若线段的中点在y轴上，，则E的离心率为 ． 38．（20-21高二上·山西太原·期末）已知双曲线的离心率为，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的标准方程为 . 直线与双曲线的位置关系 地 城 考点03 39．（23-24高二上·山西太原·期末）已知直线与双曲线相交于两点，且两点的横坐标之积为，则该双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高二下·山西太原·阶段练习）已知斜率为3的直线l与双曲线C：交于A，B两点，直线l与直线交于点P（不与原点重合），且P恰好是AB的中点，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 41．（20-21高二上·山西运城·阶段练习）若直线与双曲线的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 42．（24-25高二上·山西晋城·期中）已知双曲线，的左、右焦点分别为，，斜率为的直线经过且与的右支交于，两点，为坐标原点，则（   ） A． B．若，则 C． D．若，则的面积为 43．（22-23高二下·山西晋中·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为、，点是双曲线上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（    ） A．过点有且仅有条直线与双曲线有且仅有一个交点 B．点关于双曲线的渐近线的对称点在双曲线上 C．若直线、的斜率分别为、，则 D．过点的直线与双曲线交于、两点，则的最小值为 44．（22-23高二上·山西太原·期末）直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 45．（22-23高二上·山西太原·期末）直线l交双曲线 于A、B两点，且为AB的中点，则l的斜率不可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 46．（24-25高二上·山西太原·期末）已知点，，直线PM与PN相交于点P，且它们的斜率之积为，记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的标准方程； (2)若直线l：交曲线C于A，B两点，点（不在直线l上），是否存在实数k，使得直线QA与QB的斜率之和为0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 47．（22-23高二上·山西太原·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，是上一点. (1)求双曲线的方程； (2)直线过点，与双曲线的右支交于两点，点与点关于轴对称，求证：两点所在直线过点. 地 城 考点04 双曲线的弦长、中点弦相关问题 48．（21-22高二上·山西朔州·期中）已知，是双曲线的左右焦点，过的直线与曲线的右支交于两点，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 49．（21-22高二下·山西朔州·阶段练习）双曲线的右焦点为，双曲线C的一条渐近线与以为直径的圆交于点（异于点O），与过F且垂直于轴的直线交于，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．3 C．5 D． 50．（21-22高二下·山西朔州·阶段练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为一条渐近线上的一点，且，则的面积为（    ） A． B． C．5 D． 51．（21-22高二上·山西朔州·阶段练习）我们把离心率的双曲线（a>0；b>0）称为黄金双曲线，给出以下说法： ①双曲线是黄金双曲线；②若=ac，则该双曲线是黄金双曲线； ③若F为双曲线的左焦点，B为双曲线虚轴的上端点，A为双曲线的右顶点，且∠FBA=90°，则该双曲线是黄金双曲线； ④若过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的右支交于M，N两点，∠MON=90°，其中O为坐标原点，则该双曲线是黄金双曲线.其中正确的说法是（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 52．（24-25高二上·山西·月考）已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线交C的右支于A，B两点，若，，则（    ）． A．C的离心率为2 B． C．的面积为4 D．的周长为18 53．（24-25高二上·山西·阶段练习）已知双曲线，分别是其左、右焦点，以下说法正确的是（    ） A．双曲线C的渐近线方程为 B．过焦点且与x轴垂直的弦长为 C．若在双曲线C的左支上存在一点P，满足，则 D．若P是双曲线C上一点，且，则的面积为4 54．（23-24高二上·山西吕梁·期中）已知双曲线过点且与双曲线共渐近线，直线与双曲线交于，两点，分别过点，且与双曲线相切的两条直线交于点，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的标准方程是 B．若的中点为，则直线的方程为 C．若点的坐标为，则直线的方程为 D．若点在直线上运动，则直线恒过点 55．（24-25高二上·山西太原·阶段练习）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是2，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点作直线与曲线相交于两点，点能否是线段的中点？若能，求直线的方程，若不能，请说明理由． 56．（22-23高二上·山西晋城·阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的右焦点为，点，过点的直线交双曲线于两点，且，求直线的方程. 57．（24-25高二上·山西太原·阶段练习）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求双曲线的方程； (2)的左、右焦点分别为，若过的直线与交于两点. 当两点均在的左支上时，求面积的取值范围. 58．（23-24高二上·山西太原·期末）已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合. (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为的直线经过右焦点，与双曲线的右支相交于，两点，双曲线的左焦点为，求的周长. 地 城 考点05 双曲线中的定点、定值、定直线县官问题 59．（21-22高二上·山西长治·期末）已知动点是双曲线上的点，点是的左、右焦点，是双曲线的左、右顶点，下列结论正确的是（ ） A．双曲线的离心率为 B．点在双曲线的左支时，的最大值为 C．点到两渐近线的距离之积为定值 D．若是△的面积，则为定值 60．（24-25高二下·山西晋中·开学考试）已知双曲线的右焦点为，离心率为． (1)求的标准方程； (2)已知点是上任意一点，直线是在点处的切线，点是上异于点的动点，且过点与（为坐标原点）平行的直线交于两点，定义为双曲线在点处的切割比，记为，求切割比． 61．（23-24高二下·山西长治·期末）已知双曲线的右顶点到的一条渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)设过点的直线交于两点，过且垂直于轴的直线与直线交于点，证明：以线段的中点为圆心且过坐标原点的圆还过其他定点. 62．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）已知动点P到点的距离等于其到直线距离的2倍，记点P的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知斜率为k的直线l与曲线交于点为坐标原点，若,证明：为定值． 63．（22-23高二上·山西太原·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，是上一点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线过原点，且与双曲线交于两点，为双曲线上一点（不同于）.求直线与直线的斜率之积. 64．（24-25高二上·山西晋城·期中）已知双曲线：（，）的右焦点为，右顶点为，直线：与轴交于点，且． (1)求的方程； (2)点为上不同于点的动点，直线交轴于点，过作的两条切线，分别交轴于，两点，交轴于，两点． ①证明：是的中点； ②证明：． 65．（23-24高二下·山西运城·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，是上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线的方程; (2)已知过点的直线交于两点（异于A，B），直线与直线交于点.求证:点在定直线上. 地 城 考点06 双曲线中与向量相关的问题 66．（21-22高二下·山西·期中）已知双曲线，过点的直线l与该双曲线两支分别交于M，N两点，设，． (1)若，点O为坐标原点，当时，求的值； (2)设直线l与y轴交于点E，，，证明：为定值． 67．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过，两点． (1)求C的方程； (2)设P，M，N三点在C的右支上，，，证明： （ⅰ）存在常数，满足； （ⅱ）的面积为定值． 68．（2021高二·全国·专题练习）设双曲线C： 与直线l：相交于两个不同的点A、B． （1）求实数a的取值范围； （2）设直线l与y轴的交点为P，若，求a的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 双曲线与方程（6大题型） 6大高频考点概览 考点01 双曲线的定义与方程 考点02 双曲线的离心率 考点03 直线与双曲线的位置关系 考点04 双曲线的弦长、中点弦相关问题 考点05 双曲线中的定点、定值、定直线县官问题 考点06 双曲线中与向量相关的问题 双曲线的定义与方程 地 城 考点01 1．（24-25高二上·山西晋中·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点，分别在的左、右两支上，且满足，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行关系利用对称性并结合双曲线定义，利用勾股定理构造方程可解得，可得其离心率. 【详解】连接，延长与双曲线交于点，连接，如下图所示： 由，根据对称性可知，又，所以四边形为矩形； 由可设，则; 由双曲线定义可知，所以，所以； 又，所以； 因为， 在中，，且， 所以，解得； 即，所以； 在中，，即， 解得，即. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据平行关系利用对称性，由双曲线定义和勾股定理计算得出的关系式，即可求解. 2．（21-22高二上·山西太原·期末）已知分别是双曲线的左右焦点，点在该双曲线上，若，则（   ） A．4 B．4或6 C．3 D．3或7 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义有，注意、范围，即可得结果. 【详解】双曲线中，， 由双曲线定义知：，而，又且， ∴3或7， 故选：D. 3．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．7 D．8 【答案】C 【分析】由双曲线定义等于到右焦点的距离 ，而的最小值是（是圆半径），由此可得结论． 【详解】记双曲线的右焦点为，所以 ， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，取到最小值． 故选：C． 4．（21-22高二上·山西运城·期末）已知点是双曲线的左､右焦点，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则（    ） A．与双曲线的实轴长相等 B．的面积为 C．双曲线的离心率为 D．直线是双曲线的一条渐近线 【答案】B 【分析】由题意及双曲线的定义可得，的值，进而可得A不正确，计算可判断B正确，再求出，的关系可得C不正确，求出，的关系，进而求出渐近线的方程，可得D不正确． 【详解】因为，又由题意及双曲线的定义可得：， 则，，所以A不正确； 因为在以为直径的圆上，所以， 所以，所以B正确； 在△中，由勾股定理可得， 即，所以离心率， 所以C不正确； 由C的分析可知：，故，所以渐近线的方程为， 即，所以D不正确； 故选：B． 5．（20-21高三上·全国·阶段练习）已知，是圆上的点，点在双曲线的右支上，则的最小值为（    ） A．9 B． C．8 D．7 【答案】C 【分析】根据题意作出示意图，利用双曲线的定义以及圆外的点到圆上点的最近距离计算方法，求解出的最小值. 【详解】如图所示：设圆心为，双曲线右焦点为，且，， 所以，当且仅当，，三点共线时取得等号． 故选：C. 【点睛】本题考查根据双曲线的定义求解线段和的最小值，难度一般.（1）求解和椭圆、双曲线有关的长度和的最值问题，都可以通过相应的圆锥曲线的定义去分析问题；（2）圆外一定点到圆上点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解. 6．（19-20高二上·山西忻州·期末）已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点，在轴上，中心在原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先画出图像，再结合双曲线第一定义，三角形三边关系，当点为与双曲线的交点时，取到最小值 【详解】如图，由双曲线第一定义得①， 又由三角形三边关系可得②（当点为与双曲线的交点时取到等号），①+②得：，故， 由双曲线为等轴双曲线，且焦距为8可得，，则，，， 则 故选：D 【点睛】本题考查利用双曲线第一定义求解到两定点之间距离问题，数形结合与转化思想，属于中档题 7．（19-20高二上·山西运城·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且与x轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A、B两点，，若双曲线上存在一点P使得，则t的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先由求出，然后求t的最小值要转化为求的最小值，在求的最小值时要用双曲线的定义将转化为，最后可得当点共线时，最小 【详解】 因为两条渐近线的方程为：，直线的方程为： 所以、 所以 由可知， 所以 所以   又因为 所以，可解得 因为双曲线上存在一点P使得 所以求t的最小值即为求的最小值 易得要使最小，点应在双曲线的右支上 由双曲线的定义可得： 所以 所以 由图可知，当点共线时，最小 最小值为 所以的最小值为 故选：D 【点睛】本题只要考查双曲线的定义、方程、几何性质和双曲线中的最值问题，属于较难题，双曲线中的最值问题一般要利用定义将双曲线上一点到两个焦点的距离相互转化. 8．（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线C以椭圆方程E：的焦点为顶点，以E的顶点为焦点，则双曲线C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出椭圆的顶点和焦点，即可得出双曲线方程. 【详解】∵椭圆方程E：的焦点坐标为，，上、下顶点为，. ∴设双曲线方程C：，则， ，∴设双曲线方程C：. 故选：C. 9．（22-23高二上·山西晋中·期末）与两圆及都外切的圆的圆心的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 【答案】B 【分析】设所求动圆圆心为，圆的半径为，根据圆与圆的位置关系结合双曲线的定义可得出结论. 【详解】圆的圆心为，半径为； 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 设所求动圆圆心为，圆的半径为，    由于动圆与圆、圆均外切，则， 所以，，因此动圆的圆心的轨迹为双曲线的一支. 故选：B. 10．（22-23高二上·山西太原·期末）有一条渐近线为且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的渐近线方程，设出双曲线方程，再将已知点代入计算作答. 【详解】依题意，双曲线的渐近线方程为，设所求双曲线的方程为， 因此，即有， 所以所求双曲线的标准方程为. 故选：B 11．（21-22高二上·山西大同·期末）与椭圆焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程求得c，离心率和焦点的位置，然后再根据椭圆与双曲线的关系求解． 【详解】由椭圆，得，，焦点在轴上． 由题意得双曲线，焦点在轴上，， 所以，， 所以． 所以双曲线方程为． 故选：D 12．（24-25高二上·山西·期末）已知双曲线C：的两个焦点为，，双曲线C上有一点P，若，则 ． 【答案】18 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义求解即可. 【详解】双曲线C：的实半轴，半焦距， 而，则，所以. 故答案为：18 13．（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】结合双曲线的定义与三角形三边关系可得，再根据定点到圆上一动点的距离最值的解法即可求解. 【详解】设双曲线E：的右焦点为，则，. 由双曲线定义可得，即. ， 当且仅当三点共线时，取得最大值. ∵点N是圆上的动点， ∴圆心设为，半径， ，. 故答案为：. 14．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，直线与双曲线在第一、三象限分别交于点，为坐标原点.有下列结论： ①四边形是平行四边形； ②若轴，垂足为，则直线的斜率为； ③若，则四边形的面积为； ④若△为正三角形，则双曲线的离心率为.其中正确命题的序号是 . 【答案】①②④ 【分析】对于①，利用双曲线的性质判断四边形的形状，对于②，利用斜率公式判断，对于③，由题意可判断四边形为矩形，从而可求出其面积，对于④，由△为正三角形，可表示出点A的坐标，代入双曲线方程化简可求出离心率. 【详解】对于①，因为双曲线的左，右焦点分别为， 直线与双曲线在第一、三象限分别交于点，所以， 所以四边形是平行四边形，所以①正确； 对于②，设，则,因为轴，垂足为，所以, 所以，，所以②正确； 对于③，因为，所以， 所以△是直角三角形，所以四边形为矩形， 设，则，所以， 因为，所以， 所以，所以四边形的面积为，所以③错误； 对于④，因为△为正三角形，，所以， 因为点在双曲线上， 所以，化简得， 所以，， 所以， 所以， 所以，所以④正确， 故答案为：①②④. 【点睛】思路点睛：考查双曲线的定义和几何性质的应用，结合双曲线的几何性质和题意找出等量关系，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 15．（23-24高二上·山西大同·期末）点，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，则的周长是 ． 【答案】 【分析】利用双曲线表达式求出焦距，结合余弦定理求出的值，即可求出的周长. 【详解】由题意， 在双曲线中，， ∴，， 由余弦定理的推论可得， 所以， 所以，， 所以，所以， 所以的周长为． 故答案为：. 16．（21-22高二上·山西朔州·期末）若，是双曲线与椭圆的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且为等腰三角形，则该双曲线的渐近线为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件求出两曲线的共同焦点，再由椭圆、双曲线定义求出a，b即可计算作答. 【详解】椭圆的焦点，由椭圆、双曲线的对称性不妨令点P在第一象限， 因为等腰三角形，由椭圆的定义知：，则，， 由双曲线定义知：，即，，， 所以双曲线的渐近线为：. 故答案为： 【点睛】易错点睛：双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为，而双曲线 (a>0,b>0)的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系. 17．（23-24高二上·山西长治·期末）在双曲线型冷却塔（如图）的建设过程中,人员、物料的运输一直是困扰施工的难题,经实践探索设计出“附墙升降机”,其结构如图所示,安装之后附着在冷却塔的外侧,通过升降吊笼完成输送任务.假设该冷却塔的最小半径为,上口半径为,下口半径为，高为.附墙升降机轨道在点以下与冷却塔贴合,从点到顶端点是竖直的,则长约为 （保留整数）.    【答案】 【分析】根据题意先建立直角坐标系,设双曲线的方程为,则,将代入双曲线方程得到与的关系,再利用高为求出,即可求出的距离. 【详解】根据双曲线的对称性,在冷却塔的轴截面所在平面建立如图所示的直角坐标系:    使小圆的直径在轴上，圆心与原点重合.此时上、下口的直径都平行于轴,且, 设双曲线的方程为，则， 因为直径是实轴，又两点都在双曲线上，所以 ，解得， 因为，所以， 解得， 所以双曲线方程为， 所以， 因为双曲线关于轴对称， 所以. 故答案为:. 18．（21-22高二上·山西吕梁·期末）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则 ． 【答案】或 【分析】首先判断渐近线的倾斜角，再求的值. 【详解】由条件可知双曲线的其中一条渐近线方程是， 因为两条渐近线的夹角是，所以直线的倾斜角是或， 即或. 故答案为：或 地 城 考点02 双曲线的离心率 19．（24-25高二上·山西·期末）已知抛物线的准线与坐标轴的交点为，为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，当最大时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由抛物线定义和两点间的距离公式，结合基本不等式可求得的最大值，以及点的坐标，再由双曲线的定义和离心率公式，可得所求值. 【详解】过点作准线的垂线交准线于点，则，由可得，设，则. 令，则， 当，即时，取到最大值，此时. 不妨设，因为双曲线的焦点坐标为， 所以可设双曲线的方程为，将代入上式，求得. 设该双曲线的离心率为，则，所以. 故选：B. 【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及双曲线的定义和性质，考查方程思想和运算能力. 20．（24-25高二上·山西吕梁·期末）下面四个选项中，正确的是（    ） A．双曲线绕坐标原点O逆时针旋转得到曲线 B．曲线是由双曲线绕原点O顺时针旋转得到的 C．曲线的离心率为 D．曲线的渐近线方程是 【答案】B 【分析】根据旋转变换公式求得逆时针旋转得到曲线判断A；求得旋转后的曲线方程为双曲线是可判断B，进而判断C；利用B中结论，根据双曲线的性质，结合对称性可判断D. 【详解】对于选项A，设双曲线上任一点， 点绕坐标原点O逆时针旋转后得到斜双曲线C上一点． 则：，即，代入双曲线得：．故A错误； 对于选项B，C，设为上任一点， 点绕坐标原点O逆时针旋转后得到双曲线 上一点．则：， ∴∴……① 又……② 把①②代入得：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 所以双曲线是 所以此双曲线的离心率 ， 即曲线的离心率为，故B正确，C错误； 对于选项D，因为的渐近线为， 设渐近线上一点绕原点O顺时针旋转后为， 则，同理可得渐近线绕原点O顺时针旋转后的渐近线为和，因为与关于y轴对称， 所以渐近线也关于y轴对称，故渐近线为和．故D错误， 故选：B． 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键有两个：一是对旋转变换公式的理解与灵活应用；二是在解析过程中，对复杂的计算一定细心. 21．（24-25高二上·山西运城·期末）已知双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为，且满足，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据求出，即可得到，再由离心率公式计算可得. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 因为两条渐近线的倾斜角分别为，且满足， 又，所以，所以， 所以的离心率. 故选：D 22．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为，且满足，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线渐近线的倾斜角的关系可求两条渐近线的倾斜角，结合离心率公式可得答案. 【详解】双曲线的两条渐近线方程分别为，易知. 又，解得.所以， 所以的离心率为. 故选：D. 23．（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线的一个焦点为，其离心率，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件求得，再根据焦点位置确定渐近线方程． 【详解】由题意，，，所以， 焦点在轴，则渐近线方程为， 故选：A． 24．（24-25高二上·山西太原·期末）已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可求得，结合可得出双曲线的离心率的值. 【详解】设点、，由题意可得， 因为点是的中点，则， 因为，这两个等式作差可得， 所以，， 因此，双曲线的离心率为. 故选：D. 25．（24-25高二上·山西太原·期末）古希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中对圆锥曲线给出了统一定义，即到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.若方程表示的曲线是双曲线，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把方程化为点到定点的距离与到定直线距离之比的形式后，由定义可得． 【详解】由得，即， 该方程表示双曲线，则，解得， 故选：B． 26．（23-24高二下·山西长治·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点，若成等差数列，且，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据条件表示出，然后结合求解出的关系式，则离心率可求. 【详解】设，所以， 又因为成等差数列，所以， 所以，所以， 因为，解得， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，化简可得，所以， 故选：A.    【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线离心率的常用方法： （1）定义法：根据已知条件列出方程组求解出的值，结合离心率计算公式求得结果； （2）齐次式法：根据已知条件得到关于的齐次方程，将其转化为关于离心率的方程，计算出结果即可； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值求得离心率. 27．（23-24高二上·山西大同·期末）若椭圆的离心率和双曲线的离心率恰好是关于的方程的两个实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据离心率得出，的范围，利用离心率恰好是关于的方程的两不等实根，即可得出实数的取值范围. 【详解】由椭圆与双曲线的性质可知，椭圆的离心率，双曲线的离心率， 关于的方程有两个不相等的实根，， 令，则解得：． 故选：D． 28．（18-19高二上·山西运城·期末）已知双曲线（，）的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线离心率可得，再结合即可得，代入渐近线方程即可得出结果. 【详解】由双曲线离心率为可得，即可得， 又，即可得； 由题意可得双曲线的渐近线方程为. 故选：C 29．（22-23高二上·山西临汾·期末）设双曲线的半焦距为，直线过两点，若原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式列出关于a，b，c的齐次式求解. 【详解】直线的方程为，即. 原点到直线的距离为，于是有， 所以，两边平方，得. 又，所以， 两边同时除以，得，解得，则. 所以双曲线的离心率为. 故选：A． 30．（24-25高二上·山西·期末）已知双曲线，则（   ） A．双曲线的实轴长为8 B．双曲线的虚轴长为3 C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线的斜率为 【答案】AD 【分析】由曲线方程得到，从而知道曲线的实轴、虚轴长和离心率及渐近线的斜率. 【详解】由得双曲线中， ∴， ∴实轴，虚轴，故A选项正确，B选项错误； 离心率，故C选项错误； 渐近线方程，则斜率为，故故D选项正确. 故选：AD. 31．（24-25高二上·山西太原·期末）已知，，双曲线：与：，则下列结论正确的是（   ） A．它们的实轴长相等 B．它们的焦点相同 C．它们的离心率相等 D．它们的渐近线相同 【答案】AC 【分析】根据双曲线的方程一一求出它们的实轴长、焦点位置、离心率和渐近线方程即可判断各选项． 【详解】对于A，由题意可知双曲线的长轴长均为，所以它们的实轴长相等，故A正确； 对于B，双曲线的焦点分别在轴和y轴上，所以它们的焦点不相同，故B错误； 对于C，双曲线的焦距均为，所以它们的离心率均为，即它们的离心率相等，故C正确； 对于D，双曲线的渐近线分别为和， 所以当即时，它们的渐近线不相同，故D错误. 故选：AC． 32．（23-24高二上·山西·期末）已知为双曲线的左、右焦点，为平面上一点，若，则（    ） A．当为双曲线上一点时，的面积为4 B．当点坐标为时， C．当在双曲线上，且点的横坐标为时，的离心率为 D．当点在第一象限且在双曲线上时，若的周长为，则直线的斜率为 【答案】ABD 【分析】依题意可得为直角三角形，设，，利用勾股定理及双曲线的定义求出，即可判断A，对称性可知为等腰直角三角形，即可求出，从而得到，即可判断B，曲线与双曲线的交点即为，联立双曲线方程，求出，即可求出，从而求出，即可判断C，由双曲线的定义及所给条件求出，即可得到为等边三角形，从而判断D. 【详解】因为为平面上一点，且，所以为直角三角形， 设，，在中由勾股定理可得①， 由双曲线的定义可得②， ②式的平方减①式可得，所以，故A正确； 由对称性可知为等腰直角三角形，因此，又且， 所以，故B正确； 因为，所以点在以为直径的圆上，所以该圆的圆心为原点，半径为， 即曲线与双曲线的交点即为，由， 则，即（负值舍去），所以， 所以离心率，故C错误； 由题意可知，，则， 所以，即为等边三角形，则直线的斜率为，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：本题关键是双曲线的定义及性质的应用，双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到，的关系．. 33．（23-24高二上·山西太原·期末）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线上一点，平分，且，，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的标准方程为 B． C．双曲线的焦距为 D．点到两条渐近线的距离之积为 【答案】BCD 【分析】不妨设为双曲线的右支上一点，延长交于点，根据三角形全等进而得，，再结合双曲线的定义，中位线定理得，由离心率求出可得双曲线方程可判断ABC；设，则，求出点到两条渐近线的距离之积可判断D. 【详解】对于A，不妨设点在双曲线的右支上，延长相交于点， 因为平分，且，所以， 在中，，所以， 所以，， 即为线段的中点，可得为的中位线， 根据双曲线的定义， 因为为的中位线，所以，即， 离心率为，可得，所以， 所以双曲线的标准方程为，故A错误； 对于B，因为为的中位线，，即，故B正确； 对于C，因为，所以双曲线的焦距为，故C正确； 对于D，双曲线的标准方程为， 所以渐近线方程为，即， 设，则，即， 点到两条渐近线的距离之积为，故D正确.    故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于延长相交于点，结合几何关系得到为的中点，进而求得双曲线的解析式. 34．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，椭圆的上顶点为，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率为，为与的一个公共点.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意为等腰直角三角形，继而可求得，则，在中，利用余弦定理即椭圆的定义列出方程，可求得，逐项判断即可. 【详解】因为，且，所以为等腰直角三角形. 设椭圆的半焦距为，则， 所以，则. 在中，， 设，双曲线的实半轴长为， 则（在中，由余弦定理可得）， 故，故， 又，所以， 即，故， 故选：BD. 35．（22-23高二上·山西太原·期末）已知双曲线为双曲线的左､右焦点，若直线过点，且与双曲线的右支交于两点，下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率为 B．若的斜率为2，则的中点为 C．周长的最小值为10 D．周长的最小值为16 【答案】BD 【分析】对A直接计算离心率即可判断，对B，直接得到直线方程，并联立曲线方程，利用韦达定理即可求出的中点坐标即可判断，对C和D，利用双曲线定义将三角形周长用弦长，则题目转化为求的最值，设线联立方程，再利用弦长公式即可得到答案. 【详解】对A，由双曲线方程得，故，则离心率，故A错误， 对B，由方程知，则直线的方程为， 联立双曲线方程化简得，设, 则，故，而， 则，故的中点为，故B正确， 对C和D，根据双曲线定义得， 两式相加得， 设的周长为，故 ， 则题目求周长的最小值转化为求弦长的最小值， 设直线的方程为，联立双曲线方程得 ，根据直线与双曲线有两个交点, 则，即，， 当直线与渐近线平行时，此时， 若要直线与双曲线交点在右支上，则， ， 设，则 令 ，则， 则当，即时，，此时直线方程为， 故的周长的最小值为16，故C错误，D正确， 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题对C,D选项的判断，首先要灵活运用双曲线定义从而得到，然后题目即转化为经典的弦长最值问题，常用的方法是设线法，联立双曲线方程，得到韦达定理式，再利用弦长公式表示出，设直线时因为直线所过定点在轴上，故为了简便运算引入参数，同时要注意双曲线较椭圆更为复杂，尤其是直线与渐近线平行时的特殊情况. 36．（22-23高二上·山西朔州·期末）关于双曲线与双曲线，下列说法不正确的是（    ） A．实轴长相等 B．离心率相等 C．焦距相等 D．焦点到渐近线的距离相等 【答案】ABD 【分析】利用双曲线的性质对每个选项逐个判断即可 【详解】双曲线中，实轴长为，虚轴长为，焦距长为，右焦点为， 所以离心率，渐近线方程为，不妨取即， 所以焦点到渐近线的距离为， 双曲线中实轴长为，虚轴长为，焦距长为，右焦点为， 所以离心率，渐近线方程为，不妨取即， 所以焦点到渐近线的距离为， 综上，两条双曲线只有焦距相等， 故选：ABD 37．（21-22高二上·山西大同·期末）设，分别是双曲线E：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在E上，若线段的中点在y轴上，，则E的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】根据条件可得轴，再由得，进而可得解. 【详解】因为线段的中点在y轴上， 所以轴，则轴， 所以， 因为， 所以， 即， 所以，因为 解得：. 故答案为：. 38．（20-21高二上·山西太原·期末）已知双曲线的离心率为，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的标准方程为 . 【答案】 【解析】先求出椭圆的焦点坐标，即可得双曲线焦点坐标，设双曲线的方程为，由可得，再利用可求得的值，即可得双曲线的标准方程. 【详解】在椭圆中，，所以， 所以焦点坐标为，， 设双曲线的方程为， 由题意可得 ，所以， 所以， 故双曲线的方程为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是求出椭圆的焦点可判断双曲线焦点在轴上，设出其方程，利用待定系数法可求双曲线的方程. 直线与双曲线的位置关系 地 城 考点03 39．（23-24高二上·山西太原·期末）已知直线与双曲线相交于两点，且两点的横坐标之积为，则该双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立解方程，求出交点横坐标，然后列式计算即可. 【详解】联立，消去得， 所以，此时方程的解为， 所以， 解得，符合， 所以双曲线的焦距为. 故选：B. 40．（23-24高二下·山西太原·阶段练习）已知斜率为3的直线l与双曲线C：交于A，B两点，直线l与直线交于点P（不与原点重合），且P恰好是AB的中点，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出直线的方程，求出点的坐标，再与双曲线方程联立，借助中点列式求解即得. 【详解】设直线的方程方程为，由解得，显然， 由消去y并整理得：， 显然，且， 由P恰好是AB的中点，得，解得， 所以双曲线C的离心率. 故选：B 41．（20-21高二上·山西运城·阶段练习）若直线与双曲线的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到，联立直线与曲线方程，设两交点为，，结合韦达定理，以及判别式，即可得出结果. 【详解】由消去得，整理得， 设直线与曲线的两交点为，， 其中，，则，解得， 又，解得， 综上，. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题主要考查由直线与双曲线位置关系求参数，研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式来判定，考查学生的计算能力，属于常考题型. 42．（24-25高二上·山西晋城·期中）已知双曲线，的左、右焦点分别为，，斜率为的直线经过且与的右支交于，两点，为坐标原点，则（   ） A． B．若，则 C． D．若，则的面积为 【答案】BCD 【分析】A选项，求出双曲线的两渐近线，数形结合得到的取值范围；B选项，根据，推出；C选项，由双曲线定义得到，求出，从而得到；D选项，由双曲线定义得到，结合余弦定理得到方程组，求出，求出三角形面积. 【详解】对于A，根据的渐近线方程为， 直线经过且与的右支交于，两点， 结合图象可得，所以A错误． 对于B，由题意得，解得，故， 在中，为的中点，且， 故， 因为， 所以，所以，所以B正确． 对于C，， 下面说明双曲线上右支上的点横坐标越小，越小， 设右支上的点为，， 则， 故随着的增大，增大， 由于与双曲线的右支交于两点，所以当与双曲线的渐近线平行时， 最小（不能达到）， 不妨设此时：，代入双曲线的方程得，解得， 所以， 则，所以C正确． 对于D，由，两边平方得①， 在中由余弦定理得， 即②，所以②－①得， 所以的面积为，所以D正确． 故选：BCD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 43．（22-23高二下·山西晋中·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为、，点是双曲线上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（    ） A．过点有且仅有条直线与双曲线有且仅有一个交点 B．点关于双曲线的渐近线的对称点在双曲线上 C．若直线、的斜率分别为、，则 D．过点的直线与双曲线交于、两点，则的最小值为 【答案】BC 【分析】根据直线与双曲线的位置关系可判断出A选项；求出点关于双曲线的渐近线的对称点的坐标，再将点的坐标带入双曲线的方程，可判断B选项；利用点差法可判断C选项；求出当直线的斜率为时的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，过点垂直于轴的直线、平行于渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点，所以至少有条，故A错误； 对于B选项，易得，双曲线的一条渐近线方程为， 设点关于的对称点为， 则，解得，所以， 又，即点在双曲线上，故B正确； 设，所以，即， 所以，故C正确； 当直线的斜率为时，，故D错误． 故选：BC. 44．（22-23高二上·山西太原·期末）直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】联立直线与双曲线的方程，由韦达定理结合方程根的情况列出不等式，求解可得的范围，判断选项即可. 【详解】联立，消去y得，. 因为直线与双曲线的左、右两支各有一个交点， 所以方程有一正一负根， 所以，整理得，解得. 所以的取值范围为，故A，D符合题意. 故选：AD. 45．（22-23高二上·山西太原·期末）直线l交双曲线 于A、B两点，且为AB的中点，则l的斜率不可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】ABC 【分析】设出点A，B的坐标，利用“点差法”求出直线l的斜率，再验证作答． 【详解】设，，因点A，B在双曲线 上， 则，，两式相减得：， 因P为AB中点，则，，于是得＝1，即直线l的斜率为1， 此时，直线l的方程为：， 由消去y并整理得：，， 即直线l与双曲线 交于两点， 所以直线l的斜率为1． 故选：ABC 46．（24-25高二上·山西太原·期末）已知点，，直线PM与PN相交于点P，且它们的斜率之积为，记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的标准方程； (2)若直线l：交曲线C于A，B两点，点（不在直线l上），是否存在实数k，使得直线QA与QB的斜率之和为0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)（） (2)存在实数，理由见解析 【分析】（1）设，运用直线的斜率公式，结合题意化简可得曲线C的方程； （2）假设存在实数k，使得直线QA与QB的斜率之和为0.设，，联立直线方程与双曲线方程、消元、利用韦达定理得到直线与双曲线交点坐标满足的关系式，再结合斜率公式与求解即可. 【详解】（1）设，由题意得直线PM斜率为（）， 直线PN斜率为（）， ∴， 化简，得曲线C的标准方程（）. （2）假设存在实数k，使得直线QA与QB的斜率之和为0.设，， 由得， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 当时，直线l的方程为，即l过点Q，不符合题意； 当时，则，，当时，符合题意； 综上所述，存在实数.    【点睛】方法点睛：直线与双曲线的综合应用的解题通法为：联立方程组、消元、利用韦达定理得到直线与双曲线交点坐标满足的关系式，再结合题中已知条件求解即可. 47．（22-23高二上·山西太原·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，是上一点. (1)求双曲线的方程； (2)直线过点，与双曲线的右支交于两点，点与点关于轴对称，求证：两点所在直线过点. 【答案】(1)； (2)证明负了解析. 【分析】（1）根据双曲线离心率可得，再将给定点代入计算作答. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理结合向量共线的坐标表示推理作答. 【详解】（1）双曲线的离心率，则，即， 又点在上，即，解得， 所以双曲线的方程为. （2）显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为：， 由（1）知，双曲线渐近线，而直线l与双曲线右支交于两点，则，即， 由消去x并整理得：， ，则，设，则， 于是，则， 而，有， 因此， 即，而有公共点，从而三点共线， 所以两点所在直线过点. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中动直线过已知定点问题，根据条件求出动直线与圆锥曲线的两个交点的坐标关系，再借助共线向量的坐标表示推理解决. 地 城 考点04 双曲线的弦长、中点弦相关问题 48．（21-22高二上·山西朔州·期中）已知，是双曲线的左右焦点，过的直线与曲线的右支交于两点，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义和性质，当弦垂直于轴时，即可求出三角形的周长的最小值. 【详解】 由双曲线可知： 的周长为. 当轴时,的周长最小值为 故选：C 49．（21-22高二下·山西朔州·阶段练习）双曲线的右焦点为，双曲线C的一条渐近线与以为直径的圆交于点（异于点O），与过F且垂直于轴的直线交于，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．3 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用直角三角形，渐近线的斜率，三角形的面积关系可得关于的方程，化简即可得出双曲线的离心率. 【详解】不妨设双曲线的一条渐近线方程为， 由题意知，又，，所以， 若，则，即， 在中，由勾股定理可得， 又，可得， 所以，化简可得，即， 所以， 故选：A 50．（21-22高二下·山西朔州·阶段练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为一条渐近线上的一点，且，则的面积为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】设，根据，可得，又，即可求得的面积 【详解】双曲线的渐近线方程，不妨设A在上，则，根据可得，且，解得，所以的面积为． 故选：B 51．（21-22高二上·山西朔州·阶段练习）我们把离心率的双曲线（a>0；b>0）称为黄金双曲线，给出以下说法： ①双曲线是黄金双曲线；②若=ac，则该双曲线是黄金双曲线； ③若F为双曲线的左焦点，B为双曲线虚轴的上端点，A为双曲线的右顶点，且∠FBA=90°，则该双曲线是黄金双曲线； ④若过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的右支交于M，N两点，∠MON=90°，其中O为坐标原点，则该双曲线是黄金双曲线.其中正确的说法是（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据题意依次判断即得. 【详解】对于①，因为，∴， ∴，故①正确； 对于②，由，得，可求得，故②正确； 对于③，由∠FBA=90°得，即，得，由②知，，故③正确； 对于④，若∠MON=90°，易知，又，∴，由②知，，故④正确. 故选：D 52．（24-25高二上·山西·月考）已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线交C的右支于A，B两点，若，，则（    ）． A．C的离心率为2 B． C．的面积为4 D．的周长为18 【答案】ABD 【分析】由双曲线方程可得，由，可得∽，据此可得题中所涉线段长度，即可判断选项正误. 【详解】如图所示，不妨设A在第一象限，则， 由于，得，， 由于，所以∽， 故，可得，故， 而，故，由，得， 对于A，C的离心率，故A正确； 对于B，由以上分析可知，故B正确； 对于C，在中，，，， 故，故C错误； 对于D，的周长为，故D正确. 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用相似三角形的判定定理和性质定理得到比例式. 53．（24-25高二上·山西·阶段练习）已知双曲线，分别是其左、右焦点，以下说法正确的是（    ） A．双曲线C的渐近线方程为 B．过焦点且与x轴垂直的弦长为 C．若在双曲线C的左支上存在一点P，满足，则 D．若P是双曲线C上一点，且，则的面积为4 【答案】AD 【分析】利用双曲线的标准方程求得渐近线方程判断A，利用通径公式判断B，利用双曲线上点到焦点的距离的最值判断C，利用双曲线的定义与勾股定理判断D，从而得解. 【详解】对于A，双曲线C的方程为，化为标准方程得，即， 因为，所以双曲线C的渐近线方程为，即，所以A正确； 对于B，因为过焦点且与x轴垂直的弦长为，所以B不正确； 对于C，因为，而点P在双曲线的左支上， 所以的最小值为，因为，所以C不正确； 对于D，因为，所以，又， 所以，即， 所以，所以D正确. 故选：AD. 54．（23-24高二上·山西吕梁·期中）已知双曲线过点且与双曲线共渐近线，直线与双曲线交于，两点，分别过点，且与双曲线相切的两条直线交于点，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的标准方程是 B．若的中点为，则直线的方程为 C．若点的坐标为，则直线的方程为 D．若点在直线上运动，则直线恒过点 【答案】BC 【分析】A选项，根据两双曲线共渐近线设出双曲线方程，代入点运算得解判断；B选项，运用点差法求得直线的斜率，即可得出直线方程可判断；C选项，设，将直线代入双曲线E方程，由，解得斜代回可得直线的方程；D选项，设出点，类比C选项，求出直线的方程，设出点代入直线，的方程比较可得直线的方程，从而得解. 【详解】因为双曲线与双曲线共渐近线， 所以可设双曲线的方程为，又双曲线过点， 所以，即，所以双曲线的标准方程是，故A错误； 设，，由，在双曲线上，得两式相减， 得，即， 又的中点为，所以，，所以， 直线的方程为，即，故B正确； 设直线，代入曲线E的方程得，，令，得 ，解得，则切线方程为， 即直线的方程为，故C正确； 设，由选项C同理可得直线的方程为，由点在直线上运动，可设， 因为点在与上，所以，因此直线的方程为， 即，令，解得， 所以直线恒过点，故D错误． 故选：BC． 55．（24-25高二上·山西太原·阶段练习）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是2，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点作直线与曲线相交于两点，点能否是线段的中点？若能，求直线的方程，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】（1）根据列出关于的方程，由此可知结果； （2）先根据点差法求得的斜率，然后可表示出的方程，联立的方程与曲线的方程，根据的结果作出判断. 【详解】（1）设，所以， 所以， 又斜率存在，所以， 所以. （2）假设是线段的中点，设，则， 所以，所以， 所以， 所以，即， 联立，可得， 所以，即与曲线没有两个交点， 所以假设不成立，即点不能是线段的中点. 56．（22-23高二上·山西晋城·阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的右焦点为，点，过点的直线交双曲线于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)，或或. 【分析】（1）根据题意得，进而解方程即可得答案； （2）由题知，进而先讨论直线的斜率不存在不满足条件，再讨论的斜率存在，设方程为，设，进而与双曲线方程联立得线段中点为，再结合题意得，进而再分和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：因为双曲线的渐近线方程为，且过点， 所以，，解得 所以，双曲线的标准方程为 （2）解：由（1）知双曲线的右焦点为， 当直线的斜率不存在时，方程为，此时， ， 所以，直线的斜率存在，设方程为， 所以，联立方程得 所以，且， 所以， 设， 则 所以， 所以，线段中点为， 因为， 所以，点在线段的中垂线上， 所以， 所以，当时，线段中点为，此时直线的方程为，满足题意； 当时，， 所以，，整理得，解得或，满足. 综上，直线的方程为，或或. 57．（24-25高二上·山西太原·阶段练习）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求双曲线的方程； (2)的左、右焦点分别为，若过的直线与交于两点. 当两点均在的左支上时，求面积的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）首先求出椭圆的焦点坐标，再表示出双曲线的渐近线方程，依题意得到、、的方程组，求出、即可得解； （2）设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由两点均在的左支求出，再由，利用换元法及函数的单调性计算可得. 【详解】（1）椭圆即，所以椭圆的焦点坐标为， 又双曲线的渐近线为， 故依题意可得，解得，所以双曲线的方程为； （2）依题意直线的斜率存在时不为，所以可设直线的方程为， 设，， 由，可得， 由得， 所以，， 则， ， 因为两点均在的左支上，所以，解得，即， 所以 ， 令，则，， 所以， 因为在上单调递减，所以，所以， 所以. 58．（23-24高二上·山西太原·期末）已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合. (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为的直线经过右焦点，与双曲线的右支相交于，两点，双曲线的左焦点为，求的周长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标得双曲线半焦距c，再求出即可. （2）求出直线的方程，与双曲线方程联立求出弦长，再借助双曲线定义求解即得. 【详解】（1）拋物线的焦点坐标为，则双曲线的半焦距，由，得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，直线的方程为，设，， 由，得，显然， 则，，， 因此， 所以的周长为.    地 城 考点05 双曲线中的定点、定值、定直线县官问题 59．（21-22高二上·山西长治·期末）已知动点是双曲线上的点，点是的左、右焦点，是双曲线的左、右顶点，下列结论正确的是（ ） A．双曲线的离心率为 B．点在双曲线的左支时，的最大值为 C．点到两渐近线的距离之积为定值 D．若是△的面积，则为定值 【答案】ACD 【分析】根据双曲线的方程，结合其离心率的求解、范围问题、定值问题的处理方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：因为双曲线，故可得， 则离心率，故A正确； 对B：因为，故可得， 则 ，因为，则， 令，故 ，，故当时，取得最大值. 故B错误； 对C：设点，则，又双曲线渐近线为， 故到两渐近线的距离之积为.故C正确； 对D：不妨设点在轴上方，则， 则， 又，， 故，又， 故；当点在轴下方时，同理可得. 故D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查双曲线离心率、范围问题，定值问题；处理问题的关键是把握双曲线的性质，充分利用双曲线定义，合理转化目标问题，属综合困难题. 60．（24-25高二下·山西晋中·开学考试）已知双曲线的右焦点为，离心率为． (1)求的标准方程； (2)已知点是上任意一点，直线是在点处的切线，点是上异于点的动点，且过点与（为坐标原点）平行的直线交于两点，定义为双曲线在点处的切割比，记为，求切割比． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的几何性质求的值，写出的标准方程； （2）先求出切线方程，结合两直线方程求出，再利用根与系数的关系、两点间距离公式求出、，根据切割比定义求解. 【详解】（1）因为双曲线的右焦点为，所以， 所以的离心率为，所以，， 故的标准方程为． （2）由题意知，显然在点处的切线的斜率存在， 设在点处的切线方程为，即， 代入，消去得， 因为与相切，所以，解得． 所以在点处的切线方程为． 易知直线的斜率， 可设直线的方程为，，． 由方程组，解得， 所以点的坐标为，所以． 由方程组，消去可得， 则， 所以，， 所以， 同理可得， 所以 ， 所以，即． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定值问题的解题步骤 （1）选取变量：设点的坐标、直线的方程，设直线方程时注意斜率不存在的情况； （2）代换变量：联立方程，写出判别式，得到根与系数的关系； （3）表达变量：根据所求定值问题，表示出斜率、弦长、面积等； （4）解出定值：最后通过消参得到所求定值． 61．（23-24高二下·山西长治·期末）已知双曲线的右顶点到的一条渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)设过点的直线交于两点，过且垂直于轴的直线与直线交于点，证明：以线段的中点为圆心且过坐标原点的圆还过其他定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意得出，再利用点到直线的距离求解b即可； （2）先证明圆心在直线上，再由圆的性质可以求出圆经过另一个定点. 【详解】（1）由于是右顶点，故. 而到渐近线的距离均为， 故由已知有. 所以，解得. 故的方程为. （2）如图所示，记，并设的中点为，设， 由于，假设的斜率不存在， 那么的方程是，该直线与只有一个公共点，矛盾； 所以的斜率存在，故可设其方程为. 将该直线与联立，得， 即. 所以该方程的两根之和为. 但，故此方程已有一根，从而另一根为. 又. 此时，由，知直线的方程为， 而过且垂直于轴的直线为，故. 这就得到的中点的坐标为. 由于 . 所以圆心在直线上， 设原点关于直线的对称点为, 则有，解得， 所以， 因为，点O在圆上，所以点T也在圆上， 故以线段的中点为圆心且过坐标原点的圆一定经过. 【点睛】关键点点睛：第（2）问关键在于知道圆心在直线上，又圆E经过原点，根据圆的性质可知，原点关于直线的对称点一定在圆E上. 62．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）已知动点P到点的距离等于其到直线距离的2倍，记点P的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知斜率为k的直线l与曲线交于点为坐标原点，若,证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用两点间距离公式计算即可； （2）设直线l的方程及点的坐标，联立方程利用韦达定理计算即可. 【详解】（1）设动点,则, 点P到直线的距离， 由题意知，即， 化简，得，即曲线的方程为． （2）证明：设直线l的方程为, 联立方程，得消去y并整理，得， 则，且, 所以， 所以 ． 因为,所以，即, 所以，所以， ， ， 所以 ， 即为定值．    【点睛】本题第二问难在计算，设线设点、联立方程、韦达定理计算是解决解析几何问题的常用三部曲，关键在于消元转化，需要多加练习提高计算能力即可. 63．（22-23高二上·山西太原·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，是上一点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线过原点，且与双曲线交于两点，为双曲线上一点（不同于）.求直线与直线的斜率之积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由双曲线的离心率求得，再利用点代入求得，从而得解； （2）根据题意设出的坐标，再利用点差法即可求得，由此得解. 【详解】（1）因为，所以，即， 所以，所以双曲线， 因为是双曲线上一点， 所以，解得，则 所以双曲线的方程为. （2）依题意，设， 因为直线过原点，且与双曲线交于两点， 所以由双曲线的对称性可得关于原点对称，则， 所以，， 因为为双曲线上的点，所以， 两式相减得， 所以. 所以直线与直线的斜率之积为. 64．（24-25高二上·山西晋城·期中）已知双曲线：（，）的右焦点为，右顶点为，直线：与轴交于点，且． (1)求的方程； (2)点为上不同于点的动点，直线交轴于点，过作的两条切线，分别交轴于，两点，交轴于，两点． ①证明：是的中点； ②证明：． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）利用双曲线的几何性质，分别得出c的取值、的长度表达式，根据题意建立等量关系从而求出a，b，c的值，最终得到双曲线的标准方程. （2）根据题意设出点B坐标，以及过B点与双曲线相切的直线方程，可得P，Q纵坐标表达式，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可得出两条切线斜率的关系，再表示出直线BF方程，可表示出R点坐标，进而结合中点坐标公式证得是的中点；同样可表示出坐标，进而得到各条线段长度表达式，代入后再结合前面的关系得证. 【详解】（1）如图所示， 由右焦点为得， 因为，所以， 若，则，即，无解； 若，则，即，所以， 故的方程为． （2）如图所示， 设，易知过点且与相切的直线斜率存在且不为， 设为，与联立消去整理得 ， 由， 整理得， 设两条切线，的斜率分别为，，则． ①因为，， 直线的方程为，则， 所以， 故是的中点． ②由题意，，，， 所以，， 由，得， 所以， 得证． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于正确表示出题干所述各点的坐标，利用直线与双曲线相切的关系，结合得出两条切线斜率的关系，再表示出各条线段长度，通过化简最终证得题中结论. 65．（23-24高二下·山西运城·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，是上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线的方程; (2)已知过点的直线交于两点（异于A，B），直线与直线交于点.求证:点在定直线上. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由可求，利用两点斜率公式表示，由条件列方程求，由此可得双曲线方程； （2）设的方程为， ，利用设而不求法可得， 求直线直线与直线的交点坐标，由此证明结论. 【详解】（1）由题意可知， 因为，所以. 设，则，所以， 又， 所以. 所以双曲线的方程为. （2）若直线的斜率为，则直线与双曲线交于点，与条件矛盾， 所以直线的斜率不能为0， 设的方程为. 联立，化简得 所以，所以， ， 直线AD的方程为， 直线BE的方程为. 联立直线AD与BE的方程，得， 所以， 所以， 所以 . 所以点的横坐标始终为1，故点在定直线上. 【点睛】方法点睛：（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 地 城 考点06 双曲线中与向量相关的问题 66．（21-22高二下·山西·期中）已知双曲线，过点的直线l与该双曲线两支分别交于M，N两点，设，． (1)若，点O为坐标原点，当时，求的值； (2)设直线l与y轴交于点E，，，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题知，进而设直线l的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理，向量数量积的坐标表示求解即可； （2）设直线l的方程为，进而结合向量的坐标表示得，，，，再结合M，N在双曲线上得，是方程的两根，进而得. 【详解】（1）解：当时，双曲线， 显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为， 与C联立得， 所以，， 由， 可得，所以， 所以． （2）证明：由题意可知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为，则． 由，得， 所以，，，． 又点M在双曲线C上，所以， 化简得， 同理． 故，是方程的两根，则，为定值． 67．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过，两点． (1)求C的方程； (2)设P，M，N三点在C的右支上，，，证明： （ⅰ）存在常数，满足； （ⅱ）的面积为定值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）设C的方程为，其中．由C过A，B两点，代入解得，即可. （2）（ⅰ）设，，，其中，，．因为，所以直线BM的斜率为，方程为． 联立结合韦达定理得到，． 同理，．再结合向量运算即可解决. （ⅱ）结合前面结论，运用点到直线距离公式，三角形面积公式可解. 【详解】（1）设C的方程为，其中． 由C过A，B两点，故，，解得，． 因此C的方程为． （2）（ⅰ）设，，，其中，，i＝0，1，2．    因为，所以直线BM的斜率为，方程为． 由，得， 所以， ． 因此． 同理可得直线AN的斜率为，直线AN的方程为． 由，得， 所以， ， 因此 ． 则，即存在，满足． （ⅱ）由（ⅰ），直线MN的方程为， 所以点P到直线MN的距离． 而， 所以的面积为定值． 【点睛】难点点睛：本题属于中难题，考查直线与双曲线．本题第（1）小问设问基础，但需要注意所设方程的形式；第（2）（ⅰ）小问在题干条件翻译上未设置较多障碍，但是对4个坐标分量的求解非常考验学生的代数基本功和计算能力，区分度较大． 68．（2021高二·全国·专题练习）设双曲线C： 与直线l：相交于两个不同的点A、B． （1）求实数a的取值范围； （2）设直线l与y轴的交点为P，若，求a的值． 【答案】（1）且；（2）． 【分析】（1）联立直线与双曲线方程，根据题设得，即可求a的范围； （2）设，由向量线性关系的坐标表示可得，结合（1）利用根与系数关系列方程求a的值. 【详解】（1）将代入双曲线方程 中得. 依题意，， ∴且． （2）设，由， ∴，得． 由于是方程的两根，且， ∴，，消去得． 由，解得． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $