专题07 三角函数的图像和性质、图像变换（讲义）-2026版陕西省（职教单招）二轮复习《数学考纲专题练》.docx

编写说明：2026版陕西省职教单招二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及陕西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版陕西省职教单招二轮复习《数学考纲专题练》的第7个专题，内容为三角函数的图像和性质、图像变换。 2026版陕西省职教单招 二轮复习《数学考纲专题练》 专题07 三角函数的图像和性质、图像变换 · 一、课标解读 · 掌握正弦函数、正弦型函数的图象和性质。 · 了解余弦函数的图象和性质。 · 熟练掌握三角函数图像的变换。 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2022 选择题 9 三角函数图像的交点 5 陕西职教单招真题中，本节考查呈现以下特点： （1）题型：集中在选择题。 （2）分值：几乎每年都有涉及，分值一般在5分左右。 （3）内容：主要考查三角函数的基本性质。 三、考点预测 预估2026年陕西省职教单招考试有1道选择题考查，分别考查“三角函数的图像和性质”等，共5分。 具体考点： · 三角函数的图像。 · 三角函数的性质。 · 三角函数的图形变换。 四、知识梳理 知识点一、三角函数的图像和性质 1、基本三角函数的图像与性质 函数 定义域 值域 单调性 [-+2kπ,]时，函数递增； [,]时，函数递减 [(2k-1)π,]，k∈Z上递增； 在[,(2k+1)π]k∈Z上递减 无最大值、无最小值 周期性 最小正周期  最小正周期  最小正周期 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 增区间： ； 减区间： 增区间： ； 减区间： 增区间： ；无减区间 对称性 对称轴：对称中心： 对称轴：；对称中心： 无对称轴； 对称中心： 说明：1、 2.   的单调区间时，需分两步： 确定 “内层函数” 的单调性时，t 随 x 递增，结合 “外层函数” 的单调性时，与单调性一致； 时，与 单调性相反， 3. 的对称轴满足 对称中心：满足，对称中心坐标为 。 2. 图像特征（一个周期内） （1）正弦函数（周期  关键点： （2）余弦函数（周期） 关键点： （3）正切函数（周期） 关键点： 图像形状：“渐近线型曲线”，在区间 内单调递增，图像无限接近渐近线（但不相交），过原点。 知识点二、三角函数的图像变换 对于： 1、参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 (1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响． (2)ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响． (3)A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响． 注意：平移变换或伸缩变换都是针对自变量x而言的，因此在用这样的变换法作图象一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。 五、10分钟小测验 1.函数的图象的对称中心为(    ) A. B. C. D. 2.已知方程在区间上有两个不相等的实数根，，则(    ) A. B. C. D. 3.方程在的解的个数为(    ) A. B. C. D. 4.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则(    ) A. B. C. D. 5.将函数的图像向右平移个单位长度后得到的图像，则(    ) A.    B. C. D. 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查正切函数的图象与性质，属于基础题． 根据题意，进行求解即可． 【解答】 解：令，， 得，， 函数的图象的对称中心为，． 故选B． 2.【答案】  【解析】解：因为，所以， 方程中两根，，应满足， 即． 故选C． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数与方程，属于基础题． 转化为和在的交点个数即可． 【解答】 解：方程在的解的个数， 即为和在的交点个数， 由图象可知，和在的交点个数为， 故方程在的解的个数为． 故选C． 4.【答案】  【解析】【分析】 利用函数的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题． 【解答】 解：将函数的图象向右平移个单位， 得到函数的图象． 故选：． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的图象变换规律，考查了诱导公式的应用，属于基础题． 由条件利用的图象变换规律，再结合诱导公式进行化简解析式，得出结论． 【解答】 解：将函数的图象向右平移个单位长度后， 得到的图象， 故选：． 六、经典例题解析 （一）函数零点类 【例1】（2022·陕西对口升学高考）设，则曲线与直线交点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【解析】步骤 1：联立方程，化简求解 联立，得移项化简： 步骤 2：在内求方程的解 我们知道，内的解为： 第一象限： 第二象限： 步骤 3：确定交点个数 方程有2 个解，因此曲线与直线的交点个数为2。 最终答案：C 【例2】函数在内的零点之和为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由函数，其中 令，即，所以或， 当时，可得或或， 当时，可得或或或， 所以的零点之和为． 故选：． 考点小结：核心方法：联立方程 + 解的范围分析 图像交点问题（如曲线与直线交点个数）： 步骤 1：联立函数与直线方程，化简得到三角函数方程； 步骤 2：结合给定区间，利用三角函数特殊值、找出所有解； 步骤 3：统计解的个数，即为交点个数。 （二） 【例1】.函数的定义域是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查正切函数的图象与性质，属于基础题． 结合正切函数的定义域得到关于的不等式，求解即可． 【解答】 解：由，， 得，， 所以定义域为． 故选D． 【例2】.函数的定义域为  (    ) A. ，． B. ，． C. ，． D. ，． 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查的是求函数的定义域和正弦函数的图象与性质，属于基础题． 根据二次根式的概念知：要使函数有意义需满足，再结合正弦函数的图象与性质求解即可． 【解答】 解：要使函数有意义则：， ， 解得：，， 所求函数的定义域为，． 故选A． 考点小结： （一）定义域求解 核心方法：紧扣三角函数有意义的条件 + 解三角不等式 （二）值域求解 【例1】.函数的最小正周期是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由题意可得． 故选： 【例2】在下面给出的四个函数中，是以为最小正周期的偶函数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了三角函数性质的应用，主要考查了三角函数的奇偶性与周期性，考查了逻辑推理能力，属于基础题． 分别从周期性和奇偶性两个方面对四个选项中的函数进行判断即可． 【解答】 解：四个选项中的函数定义域为， 对于，，，则函数是周期为的偶函数，故选项A正确； 对于，是周期为的偶函数，故选项B错误； 对于，是周期为的奇函数，故选项C错误； 对于，是周期为的偶函数，故选项D错误． 故选：． 考点小结：（一）周期性求解 核心方法：利用周期公式 + 化简函数 基本三角函数： 记住默认周期：周期为周期为。 （二）奇偶性判断 核心方法：定义法 定义域关于原点对称 （4） 【例1】已知函数，则(    ) A. 在单调递减 B. 在单调递增 C. 在单调递减 D. 在单调递增 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查诱导公式和三角函数的性质，属于基础题． 先用诱导公式化简得到，再将选项代入检验，求出正确答案． 【解答】 解：， 故当时，，所以不单调，AB错误 当时，，在上单调递增，故C错误，D正确， 故选D． 考点小结： 核心方法：复合函数单调性（“同增异减”）+ 内层函数分析 【例1】函数的图象的对称中心不可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由函数，令， 解得， 故选C． 【例2】函数图象的一条对称轴可以为 A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：令，，解得，， 取，则． 故选：． （一）对称轴求解（正弦型 / 余弦型函数） 核心方法：利用对称轴性质（函数在对称轴处取最值） （二）对称中心求解（正弦型 / 正切型函数） 核心方法：利用对称中心性质（函数在对称中心处函数值为k或无定义） 【例1】为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点(    ) A. 横坐标伸长到原来的倍，再向左平行移动个单位长度 B. 横坐标缩短到原来的，再向左平行移动个单位长度 C. 横坐标缩短到原来的，再向左平行移动个单位长度 D. 横坐标缩短到原来的，再向右平行移动个单位长度 【答案】C  【解析】解：将函数的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的，可得的图象， 再向左平行移动个单位长度，可得的图象， 故选：． 【例2】为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上(    ) A. 各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 B. 各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 C. 各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度 D. 各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了函数的图象的伸缩平移，属于基础题． 根据函数图象伸缩平移变换法则即可得到答案． 【解答】 解：图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到的图象， 再向左平移个单位长度得到的图象， 故选B． 考点小结： 核心方法：明确 “谁变到谁”+ 区分 “先平移后伸缩” 与 “先伸缩后平移” 途径 1：先平移，后伸缩 途径 2：先伸缩，后平移（关键：平移量为） 周期伸缩：横坐标缩短 / 伸长到原来的得； 相位平移：向左 / 向右平移个单位（而非），得； 七、专题归纳小结 一、核心内容梳理 1、基础三角函数： 2、定义域与值域、核心性质：周期性、奇偶性、单调性、对称性 3、图像变换规律： 4、核心类型：平移（左右平移 “左加右减”，上下平移 “上加下减”）、伸缩（横坐标伸缩影响周期，纵坐标伸缩影响振幅）。 二、解题策略与方法 由图像确定正弦型函数解析式： 步骤 1： 步骤 2： 步骤 3： 单调性与最值求解： 单调性：的单调区间，解出x；若，先利用诱导公式化为再求解。 最值：基本型直接用求；复合型换元转化，转化为二次函数在上的最值）。 图像变换问题： 明确变换路径：从 “原始函数” 到 “目标函数”，按 “平移 — 伸缩” 或 “伸缩 — 平移” 分步拆解。 零点与交点个数问题： 联立方程结合给定区间，利用三角函数特殊值与图像，统计解的个数。 三、易错点与避坑指南 1、忽视三角函数有界性； 2、单调性判断错误； 3、图像变换平移量混淆； 4、周期计算错误。 四、复习建议 1、熟记基础三角函数的图像、性质（可绘制 “性质对比表”，标注定义域、周期、单调区间等）； 2、默写正弦型函数参数意义与图像变换规律，用 “口诀记忆”（如 “奇变偶不变，符号看象限”“左加右减，上加下减”）强化记忆。 3、重点练习 “由图像求解析式” 和 “图像变换” 两类高频题，总结错题中 “求失误”“平移量计算错误” 等共性问题。 4、解题时养成 “画图辅助” 习惯（如判断单调性、求值域时，画出函数简图或单位圆），将抽象性质转化为直观图像。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $