专题02 不等式的基本性质及解法（讲义）-2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及山西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第2个专题，内容为不等式的基本性质及解法。 2026版山西省（对口升学）《数学考纲专题练》 专题02 不等式的基本性质及解法 一、考纲解读 内容 要求 难易度 说明 不等式 1.掌握实数大小的基本性质和不等式性质 A A对应容易；B对应较易；C对应较难；D对应难 2.掌握一元二次不等式、绝对值不等式的解法 B 3.了解对数不等式和指数不等式的解法 B 4.会解一些简单的不等式并正确表示其解集 C 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 无 无 无 （1）题型：解答题 （2）分值：6分 （3）内容：以解绝对值不等式、一元二次不等式、不等式组为主要考查内容 2024 解答题 23 不等式组的解法及解集（考查绝对值不等式和一元一次不等式） 6 2023 无 无 无 三、考点预测 根据2023-2025年的真题考情，预估2026年山西省对口升学考试可能有1道题目考查不等式，题型可能是单选题、填空题也可能是解答题。 具体考点可能涉及如下内容： · 不等式的基本性质 · 解绝对值不等式 · 解一元二次不等式 · 一元一次不等式或不等式组 四、知识梳理 （一）两个实数比较大小的方法 (1)作差法：构造通过因式分解、配方、通分等手段凑成易判断正负的形式： (2)作商法:构造通过约分化简比值凑成与1对比的形式： (二)不等式性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔ b<a　 ⇔ 传递性 a>b，b>c⇒ a>c　 ⇒ 可加性 a>b⇔ a＋c>b＋c　 ⇔ 可乘性 　 注意c 的符号 　 同向可加性 　 ⇒ 同向同正 可乘性 　 ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒ an>bn　 (n∈N，n≥1) a，b同 为正数 可开方性 a>b>0⇒> (n∈N，n≥2) a，b同为正数 （三）一元二次不等式 (1) 一元二次不等式的解法 ①将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)． ②计算相应的判别式. ③当Δ≥时，求出相应的一元二次方程的根． ④利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． (2) 三个二次之间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实 根x1，x2 (x1<x2) 有两相等　 实根x1＝x2 ＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 　 R　 ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 　 ∅　 ∅　 （四）绝对值不等式 （1）含绝对值的不等式的解集 不等式 （2）型不等式的解法 ① ② （五）分式不等式 分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔ （六）指数不等式与对数不等式 指数不等式的解法与对数不等式的解法 （1）指数不等式的同解变形 ：时，；时，． （2）对数不等式的同解变形 ：时，；时，． （七）区间及有关概念 （1）一般区间表示：设,且，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 开区间 左闭右开区间 左开右闭区间 闭区间 （2）特殊区间的表示 定义 符号 五、10分钟小测验 1.若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B.C. D. 【答案】D 【分析】根据不等式基本性质即可判断 【解析】由不等式性质知两边同加上一个数，不等式方向不变，所以有一定成立.答案选D 2.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解出不等式组，根据其在数轴上的表示方法即可得到答案. 【解析】解出不等式组得，则其解集在数轴上表示只有A符合题意. 故选：A. 3.不等式的解集是（　　） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义求解即可． 【解析】，得，或， 得，或， 故选：C． 4.不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求解不等式，再用区间表示. 【解析】方程的两根分别为和， 所以不等式，得， 解集用区间表示为. 故选：A 5.不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】转化为求解即可. 【解析】，即，即，解得或. 故选：D. 六、经典例题解析 （一）不等式 【考试题型1】不等式性质的应用 【例1】（2025届·山西省朔州市怀仁市云洲职业中学高三第四次模拟）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】利用不等式的性质判断即可. 【详解】A选项，若，则，故A选项错误； B选项，若，则，故B选项错误； C选项，因为，所以，C选项正确； D选项，若，则，，即，故D选项错误； 故选：C. 【考试题型2】解不等式 角度1：解不含参数的绝对值不等式 【例2】（2024届·山西省晋中市太谷区职业中学校（高考班）高三期末） 已知全集，不等式的解集的补集是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【知识点】补集的概念及运算、解不含参数的含绝对值的不等式 【分析】先解出的解集，再利用补集的运算即可得解. 【详解】的解为， 所以不等式的解集的补集是. 故选：B. 【例3】（2025届·浙江省职教高考研究联合体高三下学期第五次联合考试）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解不含参数的含绝对值的不等式 【分析】根据绝对值不等式的性质求解即可. 【详解】不等式的解集为或， 解得或. 故选：B. 角度2：解含参数的绝对值不等式 【例4】（2022年·河北省普通高等学校对口招生文化考试数学试题）不等式的解集为，则（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】D 【知识点】解含有参数的含绝对值的不等式 【分析】将含绝对值不等式求解即可. 【详解】， 当时，， 又因为不等式的解集为， 则，解得； 当时，， 则 ， 前后不一致，故舍. 所以 故选：D 角度3：解不含参数的一元二次不等式 【例5】（2025届·陕西省宝鸡市千阳县千阳县职业中等专业学校高三模拟）不等式 的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次不等式求解即可. 【详解】因为， 即， 解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 【例6】（2025届·安徽省中职五校联盟高三第四次联考）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求得. 【详解】原不等式可化为，即， 而，所以原不等式解集为. 故选：A. 角度4：解含参数的一元二次不等式 【例7】（2025届·山西省朔州市怀仁市云洲职业中学高三第四次模拟）若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由一元一次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据一元一次不等式的解集可得且，代入整理后直接求解即可. 【详解】关于x的不等式的解集是， 则有，即，， 代入不等式中，得， 化为，解得， ∴所求不等式的解集为. 故选：C. 【例8】（2024届·湖南省永州市高考高职对口高三下学期一模）若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、区间的定义与表示、解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系求解. 【详解】因为不等式的二次项系为， 对应的一元二次方程的两根为和，且， 所以不等式的解集为. 故选：A 角度5：解分式不等式 【例9】（2025届·山西省中等职业学校高三第一次对口升学模拟联考）不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】根据分式的意义，一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】由题意得，不等式 等价于，解得或. 即不等式 的解集为. 故选：B. 【例10】（2020年·云南省高等职业技术教育招生考试数学试题）不等式的解集是 . 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】先将不等式的右边化成0，然后转化为分式不等式，由此解得不等式得解集，注意分母不为零. 【详解】不等式可转化为， 即， 则， 解得， 故不等式的解集为：. 故答案为：. 角度6：解不等式组 【例11】（2024年·山西省对口升学考试）解不等式组 【答案】 【知识点】解不含参数的一元一次不等式、解不含参数的含绝对值的不等式 【分析】根据含有绝对值的不等式、一元一次不等式组的解法求解即可. 【详解】：因为， 所以，原不等式等价于 ∴ ∴原不等式的解集为 【例12】（2025届·山西省中等职业学校高三第一次对口升学模拟联考）不等式组的解集是 ． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元一次不等式、解不含参数的含绝对值的不等式 【分析】根据含有绝对值的不等式、一元一次不等式组的解法求解即可. 【详解】因为， ， 所以不等式组， 所以不等式组的解集为：. 故答案为：. 七、专题归纳小结 （1）解一元二次不等式的一般思路 一元二次不等式解题步骤 01 变 将不等式变形为二次项系数大于零且一端为0的形式 02 判 计算对应方程的根的判别式 03 求 当时，求出对应的一元二次方程的根 04 写 根据二次函数图象写出不等式的解集 （2）不等式单选题的解题策略 单选题属于“小灵通”题，其解题过程可以说是“不讲道理”，所以其解题的基本策略是充分利用题干所提供的信息作出判断和分析，先定性后定量，先特殊后一般，先间接后直接，尤其是对选择题可以先进行排除，缩小选项数量后再验证求解． 【典例】不等式的解为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】B （解法一：常规解法） 【分析】将一元二次不等式因式分解，求解即可. 【解析】，解得或 故选：B 【缺点分析】：对计算能力要求较高，需要一定时间 （解法二：特殊值法） 【分析】利用题干和选项提供的信息，寻找几个特殊值代入验证即可 【解析】根据选项A和C的特征，取，代入不等式得矛盾，故排除A,C,观察B和D,取，，代入不等式矛盾，故排除D, 故选：B 【优点分析】：恰当地使用特殊值法能快速解题，简化解题过程，节省时间。 （3）易错点总结 易错场景 典型错误 避坑指南 分式不等式分母为零 解集包含使分母为零的点 解整式不等式后 剔除分母零点 参数讨论漏临界 a=0 时二次不等式退化为一次未讨论 明确参数分类标准（优先检查 a=0） （4）复习备考建议 复习建议 1.专题训练重点 强化 含参讨论的规范性（明确分类标准，书写区间合并） 2.学生能力培养 数形结合习惯：解不等式必画图（二次函数图象、数轴标根） 3.真题演练方向 错题归因训练：建立"易错类型-错误原因-正确解法"三栏表格 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $