2.3.2等比数列的前n项和（教案）-人教版《数学 拓展模块一》（2023修订版）《上好课》

人教版《数学 拓展模块一》 第二章 数列 2.3.2等比数列的前n项和 一、教材 人民教育出版社《数学》（拓展模块一） 二、教学时长 2课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 《数列》是人民教育出版社《数学拓展模块一》中的核心内容，属于代数板块重要部分,承前启后作用显著.它以学生掌握的等比数列概念、通项公式及等差数列前n项和公式为基础，是数列从“单一项规律研究”向“多项和规律研究”的关键跨越，也是继等差数列求和后系统接触的重要求和模型.一方面，它深化前期知识：公式推导核心的“错位相减法”，建立在对等比数列项结构、指数运算的精准把握上，帮助学生构建“项与和”的关联，从“线性求和”拓展至“指数型数列求和”认知.推导中归纳猜想与演绎证明的融合，进一步巩固逻辑推理能力.另一方面，它为后续学习铺路：与等差数列求和公式类比，可构建完整特殊数列求和框架.实际应用中，复利计算、分期付款、病毒传播累计等实例，能打破抽象误区，提升数学建模素养.公式与等比数列定义、通项公式构成“三位一体”框架，深化“项与和转化”认知，为数列综合应用、极限学习及专业领域量化分析奠定基础. 五、学情分析 学生前期已掌握等比数列定义、通项公式及等差数列前n项和公式，熟悉“等差数列求和的倒序相加法”，且具备指数运算、方程求解等代数基础，这些为探究等比数列前n项和公式奠定知识根基.学科核心素养方面，通过等差数列学习，学生已形成一定类比探究意识，数学抽象、逻辑推理及运算能力得到初步提升.但薄弱点明显：对“错位相减法”的推导逻辑理解存在障碍，难以自主发现“乘公比后错位相减消项”的关键思路；易忽视公式中“公比q≠1”的限制条件，机械套用公式；面对复利、分期付款等实际问题时，建模转化能力较弱.教学需遵循“问题引领、方法拆解、实例赋能”原则，通过实际问题激发探究欲，分步拆解错位相减推导过程，对比q=1与q≠1的情况突破易错点，结合实际问题强化建模训练，提升核心素养，为后续综合应用筑牢基础. 六、教学目标 1.理解等比数列前n项和公式推导逻辑，熟记q=1和q≠1的公式的前n项和公式，能根据条件选择合适公式解决问题； 2.通过自主探讨、合作探究，归纳公式适用条件与结构，培养知识迁移和转化思想，提升数学运算严谨性、逻辑推理条理性及建模能力； 3.以“国际象棋麦粒”问题引入，体验探究乐趣并增强自信，感悟数学公式的简洁美，体会数学与生活、历史的联系，激发探究热情，培养严谨态度和协作意识. 七、教学重点 1.理解等比数列前n项和公式的推导逻辑，熟记公比q=1和q≠1时的公式形式，明确公式适用条件； 2.能根据首项、公比、项数等已知条件，准确选择对应公式计算前n项和，能结合通项公式解决“知三求二”等简单综合问题. 八、教学难点 面对含参数或公比隐含的问题，难以精准判断公比取值并选择公式. 九、教学方法 情境引入法：从学生熟悉的生活或数学实例出发，降低抽象概念的理解门槛，激发学习兴趣. 问题驱动教学法：教师围绕教学目标设计 “阶梯式问题链”（从基础到进阶、从具体到抽象），以问题为线索，引导学生主动思考、自主探究，最终通过解决问题掌握知识. 分层教学法：根据学生的数学基础、学习能力将学生分为不同层次，设计不同的 “教学目标、教学内容、作业任务”，确保每个层次的学生都能 “在原有基础上进步”. 多媒体辅助法：利用 PPT、几何画板、动画等工具，将数列的变化规律可视化，帮助学生理解抽象概念. 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 引入 回忆等比数列的通项公式及性质. 1.等比数列的定义式 2.等比数列的通项公式 3.等比数列的性质 怎样求等比数列 的前n项和? 教师出示问题并提问；随后抛出核心问题，引发学生思考 学生积极回应教师的提问；针对求和问题，尝试自主思考，也可与同桌交流，提出自己的想法 建立新旧知识的关联，为后续前 n 项和公式推导铺垫基础，符合学生的认知规律，降低新知学习的认知门槛 探索新知 很显然，当公比时，等比数列的前n项和（是数列的首项） 当公比 时，等比数列的前n项和 可以表示为：   ① 我们知道，等比数列中任意一项乘以公比，就能得到它后面相邻的一项。现在把①式的两边分别乘以公比q，可以得到：  ② 比较①②两式，我们看到①式的右边从第2项到最后一项，与②式右边的第1项到倒数第2项完全相同，于是将①式的两边分别减去②式的两边，可以消去相同的项，得到 用①式减去②式 ，可以得到： 当 时， ，把上面这个式子的两边同时除以，就能得出： 很显然，当 时，等比数列的前n项和 . 特别地，由于等比数列的通项公式，所以等比数列的前n项和公式也可以写成 等比数列的应用：，an，a1，n，q共有四个量，知道其中三个量可求另外一个量. 引导学生分析公比q=1的特殊情况，让学生观察此时数列的特征，得出； 聚焦的情况，提出问题，引导学生尝试推导 教师利用错位相减消法，逐步推导得出Sn，同时强调公式的适用条件 既符合 “由特殊到一般” 的数学探究逻辑，又能强化学生对公式适用条件的记忆，有效突破的教学难点 培养数学抽象、逻辑推理与运算能力，同时让学生体会 “转化与化归” 的数学思想 丰富学生对求和公式的认知，为后续的题目提供更便捷的解题思路，提升学生灵活运用公式的能力 例题讲解 【例1】求等比数列……的前8项的和. 解：因为 ，公比，， 所以 . 【练习1】根据下列各组条件，求相应的等比数列的： (1)； (2). 解 (1)由等比数列前n项和公式得 (2) 由等比数列前n项和公式 得 【练习2】求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和. 解：, 由等比数列的通项公式 得, 所以求该等比数列的第5项到第10项的和，实际上是求以 为首项，公比的等比数列的前6项和. 又由等比数列前 n 项和公式 得 【例2】等比数列的公比，前4项的和为，求它的首项. 解：根据等比数列前n项和公式及已知条件可得 解得，即首项为 解析：等比数列前 n项和的公式，包含四个变量和 n ，只要知道其中任意三个，就可以求出第四个. 【练习3】已知等比数列 ，求 q 和 . 解：由等比数列的通项公式 得 ，即 解得 . 当时， ; 当 时， . 【练习4】已知等比数列，求n 和 . 解：由等比数列的前n项和公式得 即 ，解得, 由得，解得 . 【练习5】在等比数列中，如果，求 ，q和 . 解：联立方程组得 ，解得：， 由等比数列的前n项和公式 . 【例3】已知等比数列的各项都是正数，若，则它的前5项的和是( B ) A．179　　B．211　　C．243　　D．275 解：因为 ，所以（负值舍去）， 所以. 【练习6】在等比数列中，若， ，则等于( A ) A．160　　B．480　　C．−160　　D．−480 【例4】设是等比数列的前n项和，若，则的值为( D ) A．−3　　B．3　　C．−5　　D．−7 解：由 ，得 . 【练习7】设等比数列的公比，前n项和为 ，则等于( B ) A．4　　B．　　C．2　　D． 解： ，故选B. 【例5】(2018年山东春季高考)已知在等比数列中， (1) 求数列的通项公式； (2) 若数列满足 ，求的前n项和 . 解： (1)设等比数列的首项为，公比为q， 因为 ， 所以 ，解得， ， 故数列的通项公式是 . (2)因为 ， 所以 . 教师引导学生分析题目中的条件，选择合适的求和公式进行解题示范，强调解题步骤的规范性 教师布置练习题，让学生独立完成，巡视过程中对学生的错误进行针对性指导 学生认真听讲例题的解题思路和步骤，记录解题关键； 教师布置练习题并巡视课堂 学生独立完成练习题，遇到问题先自主思考，无法解决时向教师或同学请教； 完成后与同桌互相对答案，订正错误，总结不同题型的解题方法 教师出示习题，引导学生提醒学生取舍问题 学生独立完成练习题，遇到问题先自主思考，无法解决时向教师或同学请教 教师引导学生分析题目中的条件，板书解题过程，强调解题步骤的规范性 学生独立完成练习题 教师在讲解过程中，针对“分组求和” 的问题，板书解题过程，强调解题步骤得规范性，总结解题思路和技巧 由浅入深、梯度递进，既帮助基础薄弱学生掌握公式基本用法 教师规范示范解题步骤，明确解题流程，为学生提供清晰的解题模板 能及时巩固所学知识，暴露解题中的易错点，通过同伴互助与教师针对性指导，快速纠正错误，提升解题准确率 能及时巩固所学知识，暴露解题中的易错点 教师规范示范解题步骤，明确解题流程，为学生提供清晰的解题模板 能及时巩固所学知识，暴露解题中的易错点 规范做题步骤，能及时巩固所学知识，暴露解题中的易错点 及时规范做题步骤，总结解题方法 为能力较强学生提供综合应用的训练，契合分层教学理念 课堂小结 1. 本节课推导等比数列前n项和公式使用了哪些数学思想与方法？ 分类讨论思想、错位相减法、分组求和法 2. 等比数列前n 项和公式： 当 q = 1时，. 当时，. 教师引导学生自主梳理本节课核心知识点，鼓励学生用自己的语言总结； 教师补充完善，形成结构化知识框架 帮助学生梳理知识脉络，强化记忆核心概念； 培养学生归纳总结能力，让学生形成系统的知识认知 当堂检测 1. 在等比数列中，已知，则从第5项至第10项的和为( C ) A．1000　　B．1002　　C．1008　　D．1004 2. 在等比数列中，若，则. 3．若等比数列的公比，且，则数列的前4项和等于. 4．已知为数列的前n项和，，则 . 5.(2021年山东春季高考)在数列中，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列前90项的和. 解：(1) ， 即数列是等比数列， 且， 故通项公式为 (2)， 数列是首项，公差的等差数列， 则 . 学生单人单桌进行当堂检测，小组互批，教师抽查，并进行针对性日清 检测学生本节课的知识掌握情况 作业布置 1. 书面作业 （1） 课后习题第×题写到作业本上。 （2） 完成《同步练习》2.3.2； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾 板书设计 2.3.2等比数列的前n项和 1、 等比数列的前n项和 练习 小结 练习 作业 十一、教学反思 教学反思包括5个方面，教学目标、教学内容、教学实施、教学评价、教学效果。所谓教学反思，是指教师对教育教学实践的再认识、再思考，并以此来总结经验教训，进一步提高教育教学水平。教学反思一直以来是教师提高个人业务水平的一种有效手段，教育上有成就的大家一直非常重视之。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $