6.4数列的综合与应用内蒙古2026年对口招生《数学考点双析卷》第55卷 教师讲解卷

编写说明：内蒙古2026年对口招生《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考数学真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是内蒙古2026年对口招生《数学考点双析卷》的第55卷，主要考查数列的综合与应用的掌握情况。 内蒙古2026年对口招生《数学考点双析卷》 第55卷 数列的综合与应用 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知数列的通项公式为，则该数列前5项的和（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合数列的通项公式，可得，利用裂项相消法，即可求得数列前5项的和. 【详解】因为数列的通项公式， 所以. 故选：A. 2．若等差数列满足，且，则数列的前2024项和（   ） A． B． C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】首先求出的通项公式，再根据裂项相消法求解即可. 【详解】因为，所以， 故. 故选：A. 3．设数列的通项公式为 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的定义，可知数列是以首项为，公差为2的等差数列，先判断的符号，并去绝对值后，再利用等差数列的求和公式可求解. 【详解】因为，且， 所以数列是以首项为，公差为2的等差数列. 令，可得，即从第4项起为正数， 所以，原式 . 故选：A 4．在数列中，已知，且，则正整数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将化简为，然后运用裂项相消法代入，即可求解. 【详解】已知，且， 则， 即，得， 所以. 故选：A. 5．已知等差数列，，，则数列的前100项和（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等差数列的通项公式求出，然后利用裂项相消法求和即可. 【详解】因为为等差数列且，， 故， 故， 故数列的前100项和为： ， 故选：A． 6．某工厂2018年全年产值为万元. 因工厂进行了技术革新，从2019年起每年产值比上一年增加，则该工厂2024 年全年产值为（    ） A．万元 B． 万元 C．万元 D． 万元 【答案】D 【分析】利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】因为2018年全年产值为万元.，从2019年起每年产值比上一年增加， 则该工厂的年产值构成等比数列，且首项， 2018年为第一项，则2024年为数列的第七项， 所以该工厂2024 年全年产值为. 故选：D. 7．我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（年）所著．程少年时，读书极为广博，对书法和数学颇感兴趣.岁起便在长江中下游一带经商，因商业计算的需要，他随时留心数学，遍访名师，搜集很多数学书籍，刻苦钻研，时有心得，终于在他岁时，完成了《算法统宗》这本著作．该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”根据诗词的意思，可得塔的最底层共有灯（    ） A．盏 B．盏 C．3盏 D．1盏 【答案】A 【分析】将每层塔的灯数看成等比数列，再由等比数列的前项和公式列方程求解出顶层的灯的数量，再由等比数列的通项公式求值即可. 【详解】由题意，设这个塔顶层有盏灯， 则每层塔的灯数为一个首项为，公比为2的等比数列， 且其前7项和为，所以， 解得，所以这个塔的最底层有（盏）． 故选：A. 8．某林场1999年造林200公顷，计划每年比上一年多造林，那么2010年应造林的公顷数为（    ）． A．239.02 B．243.80 C．248.67 D．253.65 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质，得到等比数列的通项公式，再求解. 【详解】设从1999年起，经过年，林场造林的面积为公顷. 令1999年造林数为，则 2000年造林数为，2001年造林数为，…，2010年造林数为. 由题意可知，，公比，. 故2010年应造林的公顷数为. 故选：C. 9．已知数列的通项公式为，则它的前30项积是（    ） A． B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据题意先把前30项表达出来，再根据对数的换底公式进行化简即可. 【详解】因为， 所以前30项积是. 故选：B 10．数列的前项和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合错位相减法即可得解. 【详解】设的前项和为，则①， 所以②， ①②，得， 所以． 故选：. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．数列中，，，，则 ． 【答案】 【分析】化简得到数列是等比数列并得到其通项，再根据错位相减法即可求值． 【详解】， ， 设，即， ，，所以， 数列是以为首项，公比为2的等比数列， ，， ， 即， ， 故答案为：． 12．已知，那么 . 【答案】1 【分析】利用分组求和法，结合等差数列的通项公式与求和公式即可得解. 【详解】因为， 所以， 因为是首项为，末项为，公差为的等差数列， 则，解得， 则，即，解得. 故答案为：1. 13．数列满足，则 . 【答案】2035 【分析】利用等比数列的求和公式及分组求和法计算. 【详解】 . 故答案为：2035. 14．小王同学学习英语单词，第一天学会了8个，以后每一天都比前一天多学会3个，小王同学20天共学会 个英语单词． 【答案】 【分析】将实际数学问题转化成等差数列模型,利用等差数列前项求和公式易得答案. 【详解】由题意得第一天学会了8个,所以, 以后每一天都比前一天多学会3个,所以, 所以小王同学20天共学会的英语单词为. 故答案为:. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知等差数列的公差为2，且恰为等比数列的前3项． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目条件列出等式，求出等边数列的通项公式. （2）首先求出数列的通项公式，再根据等差数列与等边数列的前n项和公式求解. 【详解】（1）已知等差数列的公差为2，则，. 因为恰为等比数列的前3项，可得， 化简得，解得.所以， 则等比数列的首项，公比. 根据等比数列通项公式，可得. （2）由（1）可知，又， 所以. . 其中，. 所以. 16．如图所示，用长度相等的小木棒搭“塔式三角形”，搭第一个三角形需要3根小木棒，记为，搭第2个三角形需要9根小木棒，记为，搭第个三角形需要根小木棒，由此得到数列.    (1)求：的值； (2)写出与的关系式，并求出； (3)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过观察图形找出规律，求出. （2）根据（1）中的规律，归纳出递推公式，通过化简求出通项. （3）将（2）中的通项代入中，再由错位相减法求和即可. 【详解】（1）已知，通过观察可得， ， 则， ， . （2）由（1）可知，， 又，， ， ， ， 所以. （3）由（2）可知，， 则， 则， 则， 两式相减，得， 其中， 所以， 所以. 17．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年更换10000辆燃油性公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换为电力型和混合动力型公交车，今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力性公交车400辆，计划以后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型公交车每年比上一年多投入a辆， (1)求经过n年，该市被更换的公交车总数； (2)若该市计划7年内完成全部更换，求a的最小值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列前项和公式与等差数列前项和公式可求； （2）令（1）中所得式子中求解即可. 【详解】（1）设，分别为第年投入的电力型公交车，混合动力型公交车数量， 由题可知，因为今年初投入了电力型公交车128辆，以后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%， 则为首项为，公比为的等比数列， 混合动力性公交车400辆，混合动力型公交车每年比上一年多投入a辆， 则为首项为，公差为的等差数列， 则的前项和， 则的前项和， 则经过n年，该市被更换的公交车总数； （2）若计划年内完成全部更换， 则， 所以， 由计算器解得，，因为， 则， 若该市计划7年内完成全部更换，a的最小值为. 18．一张纸片，第一次将其撕成4小片，以后每次只将其中的一片撕成更小的4片，如此进行下去，问： (1)撕5次，共可得到多少张纸片？ (2)能否将纸片撕成片？说明理由. 【答案】(1)撕5次得到片纸片. (2)可以，理由见解析 【分析】（1）根据题中规律写出通项即可解得. （2）根据已知通项公式将已知值代入，若求出的值为整数则可以. 【详解】（1）由题，第一次撕纸片的片数为片， 第二次撕纸片的片数为片， 第三次撕纸片的片数为片， 根据规律可得，第次撕纸片的片数为片， 则第五次撕纸片的片数为片. （2）由（1）可知第次撕纸片的片数为片， 则，解得， 故能将纸片撕成片. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古2026年对口招生《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考数学真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是内蒙古2026年对口招生《数学考点双析卷》的第55卷，主要考查数列的综合与应用的掌握情况。 内蒙古2026年对口招生《数学考点双析卷》 第55卷 数列的综合与应用 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知数列的通项公式为，则该数列前5项的和（   ）． A． B． C． D． 2．若等差数列满足，且，则数列的前2024项和（   ） A． B． C．2024 D．2025 3．设数列的通项公式为 ，则 （   ） A． B． C． D． 4．在数列中，已知，且，则正整数（    ） A． B． C． D． 5．已知等差数列，，，则数列的前100项和（    ） A． B． C． D． 6．某工厂2018年全年产值为万元. 因工厂进行了技术革新，从2019年起每年产值比上一年增加，则该工厂2024 年全年产值为（    ） A．万元 B． 万元 C．万元 D． 万元 7．我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（年）所著．程少年时，读书极为广博，对书法和数学颇感兴趣.岁起便在长江中下游一带经商，因商业计算的需要，他随时留心数学，遍访名师，搜集很多数学书籍，刻苦钻研，时有心得，终于在他岁时，完成了《算法统宗》这本著作．该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”根据诗词的意思，可得塔的最底层共有灯（    ） A．盏 B．盏 C．3盏 D．1盏 8．某林场1999年造林200公顷，计划每年比上一年多造林，那么2010年应造林的公顷数为（    ）． A．239.02 B．243.80 C．248.67 D．253.65 9．已知数列的通项公式为，则它的前30项积是（    ） A． B．5 C．6 D． 10．数列的前项和等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．数列中，，，，则 ． 12．已知，那么 . 13．数列满足，则 . 14．小王同学学习英语单词，第一天学会了8个，以后每一天都比前一天多学会3个，小王同学20天共学会 个英语单词． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知等差数列的公差为2，且恰为等比数列的前3项． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 16．如图所示，用长度相等的小木棒搭“塔式三角形”，搭第一个三角形需要3根小木棒，记为，搭第2个三角形需要9根小木棒，记为，搭第个三角形需要根小木棒，由此得到数列.    (1)求：的值； (2)写出与的关系式，并求出； (3)记，求数列的前项和. 17．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年更换10000辆燃油性公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换为电力型和混合动力型公交车，今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力性公交车400辆，计划以后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型公交车每年比上一年多投入a辆， (1)求经过n年，该市被更换的公交车总数； (2)若该市计划7年内完成全部更换，求a的最小值； 18．一张纸片，第一次将其撕成4小片，以后每次只将其中的一片撕成更小的4片，如此进行下去，问： (1)撕5次，共可得到多少张纸片？ (2)能否将纸片撕成片？说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $