大题专项05 立体几何（B卷·能力提升）-江西省（三校生对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》（原卷版+解析版）

编写说明：2026年江西省三校生对口升学考试二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及江西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年江西省三校生对口升学考试二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第5个专题，内容为立体几何。 2026年江西省三校生对口升学考试《数学考纲专题练》 大项专题5 立体几何 （B卷·能力提升） 班级 姓名 学号 成绩 一、解答和证明题 1．如图，在棱长为的正方体中，、分别是和的中点．求：    (1)异面直线和的距离； (2)异面直线与所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过正方体性质找到与两直线垂直且有交点的垂线段，公垂线段长度即两异面直线距离. （2）通过找平行直线将问题转换成找共面直线夹角，再将角放在直角三角形里面，通过边的关系找角的大小即可. 【详解】（1）由正方体的性质得，，， ，， ∴为异面直线和的公垂线段， ，即和的距离为． （2）    取的中点，连接、， 如图∵是的中点，∴． ∵，∴即为异面直线与所成的角． 由正方体的性质得，，， 且，平面，平面， ∴平面． ∵、分别是、的中点，∴，∴平面． ∵平面，∴，∴为直角三角形． 在中，， ∴，即异面直线与所成角的大小为． 2．如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，、分别是、的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析. 【详解】证明：取中点，连， 因为是中点，所以， 因为在中，且， 因为是中点，所以，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面平面，所以平面. 3．如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面，为的中点，． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角的大小． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）由底面，可得，根据线面垂直的定义结合已知条件即可求解. （2）取F为直线的中点，连接，根据线面角的定义可知为直线与平面所成的角，在直角三角形中，根据已知条件即可求解. 【详解】（1）因为四边形是边长为2的菱形，所以， 又因为底面，且底面， 所以， 因为，平面， 所以平面. （2）如图，取F为直线的中点，连接， 因为为的中点， 所以为三角形的中位线， 所以. 又因为底面， 所以底面. 又底面， 所以， 所以为直线与平面所成的角. 因为四边形是边长为2的菱形， 所以O为AC的中点，F为直线的中点， 所以为三角形的中位线，所以， 所以在直角三角形中，， 又，所以. 4．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，M为PB的中点． (1)求证：平面PDC； (2)求证：平面平面PBD． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）如图：是的中位线，则，再利用线面平行的判定定理即可证得答案； （2）利用线面垂直的判定定理可得平面PAC，再由面面垂直的判定定理即可证明. 【详解】（1）证明：在中，O、M分别为BD、PB的中点， ， 又平面PDC，平面PDC， 平面PDC. （2）在正方形ABCD中，， 又平面ABCD，平面ABCD， ， 又平面PAC，平面PAC，， 平面PAC， 又平面PBD， 平面平面PBD． 5．如图所示，平面，在中，，，，．求：    (1)点到直线的距离； (2)直线与平面所成的角的大小； (3)二面角的正切值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知可证平面,从而,即为所求,在中可求解; （2）由于平面,故在平面的射影为,即为所求,在中求得，从而可求解; （3）由（1）可知,且,故是平面与平面所成角,在中可求解. 【详解】（1）∵平面,平面, ∴． ∵,即． ∵,平面,平面, ∴平面． ∵平面, ∴, ∴即为点到直线的距离∴． （2）∵平面, ∴为在平面内的射影, ∴为与平面所成的角． ∵, ∴在中，, ∴，即直线与平面所成的角的大小为． （3）由（1）得,, ∴为二面角的平面角． 在中，． 6．如图所示，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，是的中点，底面，. (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，得到线线垂直，进而得到线面垂直，再根据线面垂直证明面面垂直. （2）由三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1） 如图所示，连接BD， 由是菱形，且知，是等边三角形， 因为是的中点，所以， 又因为，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）因为平面，所以平面， 所以是三棱锥的高， 在等边三角形中，因为，所以， 所以， 所以. 7．如图，已知三棱锥，平面平面，且，． (1)求证：平面； (2)若，与平面所成角为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明过程见解析. (2)1. 【分析】（1）根据面面垂直证明线面垂直，再利用线面垂直证明线线垂直，即可证明平面. （2）根据线面角的定义求出与平面所成角，再结合已知条件即可求解. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 且，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面. （2）由（1）知，因为平面，平面，所以， 所以点到平面的距离为线段的长度，则在平面的投影为线段， 所以与平面所成角为，即， 因为，所以， 所以点到平面的距离为1. 8．如图所示，直四棱柱的底面为梯形，．    (1)证明：平面； (2)若直四棱柱的体积为36，求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）通过证明面面平行，再证明平面即可. （2）过点作于，连接，通过线面垂直证明线线垂直，得出二面角，再求出结果即可. 【详解】（1）证明：因为,平面， 平面,所以平面. 又因为,平面,平面 所以平面. 因为平面, 平面,所以平面平面. 因为平面,所以平面. （2）    过点作于，连接. 在中,. 所以. 因为四棱柱的体积为， 所以. 因为平面平面， 所以. 又因为平面， 所以平面. 因为平面,所以. 由此可知为二面角的平面角. 故. 9．在三棱柱中，是等边三角形，平面，分别为的中点．    (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面； (3)求证：平面 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）找出棱柱的底面积和高，计算体积. （2）利用直线与平面平行的判定定理证明. （3）利用直线与平面垂直的判定定理证明. 【详解】（1）解：是等边三角形，为的中点， ， ． 又平面，且， ． （2）证明：连接，由于是的中点，所以与相交与点．   为的中点，又为的中点， ． 平面平面， 平面． （3）证明：连接   在Rt中，， 在Rt中，． 为等腰三角形． 又为的中点，所以． 在Rt中，， 在Rt中，． 为等腰三角形． 又为的中点，所以． 因为平面平面，所以平面． 10．正方体的棱长为a． (1)求证：平面； (2)设P为中点，求点P到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，证明平面即可. （2）先证平面，即点D到平面的距离为所求距离，再求解即可. 【详解】（1）在正方体中，平面ABCD，平面ABCD， 又在正方形ABCD中， ，平面，平面， 平面． （2）在正方体中，， 平面平面， 平面， 点P到平面的距离即为直线到平面的距离， 也就是D到平面的距离，连接BD交AC于点O， 由（1）知平面，则DO的长度是点D到平面的距离 ，到平面的距离为. 11．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，． (1)求SA与BC所成角的余弦值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）将异面直线转化为相交直线，利用余弦定理即可求解. （2）先证明线面垂直，再由线面垂直的性质定理可证明线线垂直. 【详解】（1）在正方形ABCD中，， 为SA与BC所成角 在中，， 则 ， 与BC所成角的余弦值为. （2）平面平面ABCD，平面平面， 在正方形ABCD中，， 平面SAD， 又平面SAD， ． 12．如图，四棱锥中，面ABCD，，E为PD的中点，且.求证： (1)平面PCD； (2)平面PBC. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）利用线面垂直的判定与性质定理依次证得平面PAD，，从而结合三线合一即可得证； （2）构造平行四边形证得，再利用线面平行的判定定理即可得证. 【详解】（1），E为PD的中点，， 又平面ABCD，平面ABCD，， 又，平面PAD，平面PAD， 平面PAD，又平面PAD，， 又， 又，平面PCD，平面PCD， 平面PCD. （2）取PC的中点F，连接EF、FB在中，E、F分别为PD、PC中点， 且， 又且， 且， 四边形为平行四边形，， 又平面PBC，平面PBC， 平面PBC. 13．已知直三棱柱的所有棱长都相等，、分别是棱、的中点，如图所示：    (1)求证：平面 (2)求DE与平面ABC所成角的正切值 【答案】(1)证明见详解 (2)2 【分析】（1）取的中点，连接，可证明四边形是平行四边形，从而，由线面平行的判定定理可证明； （2）由知，与平面ABC所成角就是与平面ABC所成角，即为所求，在中可求解. 【详解】（1）    取的中点，连接， 在中，、分别是棱、的中点， 故且， 在直三棱柱中，是棱的中点， 所以且， 故且. 故四边形是平行四边形， 所以， 又平面， 平面， 所以平面； （2）由（1）知，， 所以与平面ABC所成角等于与平面ABC所成角， 因为平面ABC， 所以在平面ABC内的射影为， 故为所求. 因为直三棱柱的所有棱长都相等， 所以在中，. 14．如图，在四棱锥中，底面是的菱形，且底面，点是棱的中点，求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】连接，证明平面中的直线平面即可． 【详解】连接，如图 ∵底面，平面， ∴． ∵底面为菱形，， ∴为等边三角形． ∵点是棱的中点， ∴． ∵，平面，平面， ∴平面． ∵平面，∴平面平面． 15．如图，在三棱锥中，、、分别是、、的中点，是上一点，连接，是与的交点，连接，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】根据中位线判断直线平行，再根据线线平行证明线面平行，再根据线面平行证明面面平行，最后根据面面平行的性质定理判断线线平行. 【详解】∵、分别是、的中点， ∴． ∵平面，平面， ∴平面． ∵、分别是、的中点， ∴． ∵平面，平面， ∴平面． ∵，平面，平面， ∴平面平面． ∵平面平面，平面平面， ∴． 16．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点，是的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由线与线垂直,即可得到线与面垂直; （2）由线与线平行,即可得到线与面平行. 【详解】（1）证明：∵平面,平面, ∴． ∵底面是菱形, ∴． ∵,平面,平面, ∴平面． （2）证明：∵、分别为、的中点,则且, ∴四边形为平行四边形, ∴． ∵平面,平面, ∴平面． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $编写说明：2026年江西省三校生对口升学考试二轮复习《数学考纲专题练》依据《中 等职业学校数学课程标准》及江西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考 试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系， 每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年江西省三校生对口升学考试二轮复习《数学考纲专题练》大题专 【项的第5个专题，内容为立体几何。 2026年江西省三校生对口升学考试《数学考纲专题练》 大项专题5立体几何 (B卷·能力提升) 班级 姓名 学号 成绩 一、 解答和证明题 1.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A,B,C,D,中，E、F分别是BD和B,C的中点. 求： D B D (1)异面直线AB和AD的距离： (2)异面直线EF与CD所成角的大小. 2.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，M、N分别是PC、 AB的中点.求证：MN∥平面PAD. N 试卷第1页，共3页 3.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，PD⊥底面ABCD,E为PC 的中点，PD=2. B (I)求证：AC⊥平面PBD; (2)若∠BCD=60°，求直线OE与平面ABCD所成的角的大小. 4.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PC⊥平面ABCD,M为 PB的中点. M B (1)求证：OM∥平面PDC: (2)求证：平面PAC⊥平面PBD. 5.如图所示，PC⊥平面ABC,在ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=3V5, PC=6.求： 试卷第1页，共3页 B (I)点P到直线AB的距离； (2)直线PA与平面ABC所成的角的大小； (3)二面角P-AB-C的正切值， 6.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BCD=60°，E 是CD的中点，PA⊥底面ABCD,PA=4. P D B (1)求证：平面PBE⊥平面PAB; (2)求三棱锥E-PBC的体积. 7.如图，已知三棱锥S-ABC,平面SAC⊥平面ABC,且SA⊥AC,AB⊥BC. (1)求证：BC⊥平面SAB; (2)若SB=2,SB与平面ABC所成角为30°，求点S到平面ABC的距离. 试卷第1页，共3页 8.如图所示，直四棱柱ABCD-A,B,C,D的底面ABCD为梯形， AB //CD,AB L AD,AB=2,AD=3,DC=4. A D (1)证明：A,B/平面DCC,D; (2)若直四棱柱ABCD-A,B,CD,的体积为36，求二面角A,-BD-A的正切值. 9.在三棱柱ABC-A,B,C,中，ABC是等边三角形，AB=2,AA⊥平面 ABC,AB=V2BB1,E,F,M分别为A,C,AB,BC的中点. B --- B (1)求三棱锥B,-ABM的体积； (2)求证：EFII平面BB,CC; (3)求证：AB,⊥平面EFM 10.正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为a. 试卷第1页，共3页 D C A P D B (1)求证：BD⊥平面ACC4; (2)设P为D,D中点，求点P到平面ACC4,的距离. 11.如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面SAD⊥平面ABCD SA=SD=2,AB=3. S D A B (1)求SA与BC所成角的余弦值； (2)求证：AB⊥SD. 12.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD,PA=AD,E为PD的中点， AB11CD且AB=CD,AB⊥AD.求证： 2 E A B (1)AE⊥平面PCD: (2)AEII平面PBC. 试卷第1页，共3页 13.已知直三棱柱ABC-A,B,C,的所有棱长都相等，D、E分别是棱AB、AC的中 点，如图所示： B D B (1)求证：DE/1平面BCC,B, (2)求DE与平面ABC所成角的正切值 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠A=60°的菱形，且PD⊥底面 ABCD,点M是棱AD的中点，求证：平面PMB⊥平面PAD. D M: B 15.如图，在三棱锥P-ABC中，D、E、F分别是PA、PB、PC的中点，M是 AB上一点，连接CM,N是PM与DE的交点，连接FN,求证：FN∥CM. 试卷第1页，共3页 B 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形，E为CD 的中点，F是AB的中点. D D (1)求证：BD1平面PAC; (2)求证：CF/平面PAE. 试卷第1页，共3页 公共基础课，考纲专题练 今A职教 》 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！