专题12 概率与统计初步（讲义）-2026年新疆（三校生升高职考试）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026年新疆（“三校生升高职”考试）二轮复习《数学考纲专题练》依据新疆“三校生升高职”考试数学科目考试大纲及新疆历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是新疆（“三校生升高职”考试）二轮复习《数学考纲专题练》的第12个专题，内容为概率与统计初步。 2026年新疆（“三校生升高职”考试）《数学考纲专题练》 专题12 概率与统计初步 一、考纲解读 1.概率与统计初步 · (1) 了解随机现象和概率的统计定义； · (2) 理解随机事件的概率的性质； · (3) 了解古典概率模型的含义，理解古典概率公式； · (4) 了解n次独立重复试验模型 · (5)理解不同抽样方法的原理与适用场景 · (6)理解各特征量的统计意义，能计算并解释实际含义，能用样本特征估计总体特征 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2024 选择题 12 古典概型 3 （1）题型：集中在选择题、填空题、解答题。 （2）分值：分值一般在16--22分。 （3）内容：随机事件、古典概型、样本平均数与方差、抽样方法。 选择题 19 分层抽样 3 选择题 20 样本方差 3 填空题 30 样本均值性质 3 解答题 31 古典概型 10 2023 选择题 19 古典概型 3 填空题 25 随机事件判断 3 解答题 34 均值与方差应用 10 2022 选择题 2 样本平均数 3 选择题 11 简单随机事件的概率 3 填空题 23 古典概型 3 解答题 32 古典概率 10 三、考点预测 根据2022-2024年的真题考情，预估2026年新疆“三校生升高职”考试依然有5道题目考查函数的基本性质，题型设置为单项选择题、填空题、解答题，分值共22分。 具体考点可能涉及如下内容： · 随机事件 · 古典概型 · 样本平均数与方差 · 抽样方法 四、知识梳理 （一）概率 1.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：__0≤P(A)≤1__． (2)必然事件的概率：P(A)＝__1__． (3)不可能事件的概率：P(A)＝__0__． (4)概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝__P(A)＋P(B)__． (5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝__1__，P(A)＝__1－P(B)__． 2.古典概型的定义 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件_只有有限个__. (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性_相等__. 3.古典概型的概率公式 P(A)＝___. （二）统计 1. 随机抽样 （1）简单随机抽样的概念 （2）系统抽样 （3）分层抽样 2. 样本的均值和标准差 从总体中随机抽取一个容量为n的样本，若样本数据为，，…，，则称 为样本均值或平均数． 如果样本由n个数，，…，，组成，是这n个数的均值，则 称为样本方差． 样本标准差 五、10分钟小测验 1．从1，2，3．4，5这5个数中任取两个数做加法，得到的结果大于5的概率是（   ） A． B． C． D． 2．甲、乙、丙三个社区居民的人数之比为，新冠疫苗接种率分别为，，，则这三个社区的居民总体的新冠疫苗接种率为（    ） A． B． C． D． 3．甲、乙两套设备生产的同类型产品共件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为（    ）件. A．1800 B．1600 C．1900 D．1000 4．事件{某班45人中有2人生日相同}是 事件. 5．若样本数据的均值是6，则 . 6．某田径队6位运动员的体测成绩如下：甲78，乙86，丙64，丁77，戊83，己93．现从中挑选3位运动员参加集体赛，挑选条件为： ①丁一定要参加； ②3人的体测成绩总分要超过240（不含240）； ③3人的体测成绩方差要小． 那么参加集体赛3人名单应为 ． 7．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有50名，高二年级有30名.现用分层抽样的方法在这80名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了10名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 ． 参考答案 1．【答案】D 【知识点】写出基本事件、计算古典概型问题的概率 【分析】列举所有的情形，根据古典概型的计算公式可求解. 【详解】从1，2，3．4，5这5个数中任取两个数做加法， 总共有，，，，，，，，，，共10种情况， 得到的结果大于5的的情况有：，共有6种情况， 所以得到的结果大于5的概率. 故选：D 2．【答案】C 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、分层抽样的概率 【分析】设甲、乙、丙三个社区居民的人数分别为：3k，5k，2k，即可算出. 【详解】设甲、乙、丙三个社区居民的人数分别为：3k，5k，2k， 则新冠疫苗接种人数分别为：1.2k，1.3k，0.6k， 故这三个社区的居民总体的新冠疫苗接种率为, 故选：C. 3．【答案】A 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据题意结合分层抽样的定义即可得解. 【详解】样本容量为80，抽取的比例为， 又样本中有50件产品由甲设备生产，样本中30件产品由乙设备生产， 乙设备生产的产品总数为． 故选：. 4．【答案】随机 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据随机事件的定义分析即可. 【详解】事件{某班45人中有2人生日相同}， 即在45个人中有两个人的生日是同一天， 由于不能保证有两个人的生日是同一天， 所以事件A是随机事件，即可能发生也可能不发生. 故答案为：随机. 5．【答案】6 【知识点】平均数的概念与计算 【分析】根据题意，结合平均数的计算公式，即可求解. 【详解】因为样本数据的均值是6， 所以，解得. 故答案为：6. 6．【答案】乙、丁、戊. 【知识点】估计总体的方差、标准差 【分析】利用总成绩之和以及方差进行分析判断，即可得到答案. 【详解】因为丁77一定要参加，又3人的体测成绩总分要超过240分， 所以另外两人的成绩之和要超过163，有3种情况，因为3人的体测成绩方差要小， 所以分数较集中，故另外两人选择戊83，乙86. 所以参加集体赛3人名单应为乙、丁、戊. 故答案为：乙、丁、戊. 7．【答案】6 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可求解. 【详解】设样本容量为N，则，解得， 所以高二所抽人数为：. 故答案为：. 六、经典例题解析 【考试题型1】随机事件 【例1】三角形的内角和等于是 事件．（填“不可能”“必然”或“随机”） 【答案】必然 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据三角形内角和的概念和事件类型的概念即可求解. 【详解】三角形的内角和等于是必然事件. 故答案为：必然. 【例2】某数学兴趣小组有男生3人，女生2人，若从中任选两人去参加学校的数学竞赛，则至少选中一名女生的概率为 . 【答案】/ 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、组合数的计算 【分析】至少选中一名女生的对立事件是选中两名男生，由组合数公式计算可得从5名学生中任取2人和取出的2人都是男生的事件数，结合对立事件的概率公式可即可求解． 【详解】某数学兴趣小组有男生3人，女生2人， 从中任选两人去参加学校的数学竞赛的基本事件总数为， 至少选中一名女生的对立事件是选中两名男生， 所以至少选中一名女生的概率为. 故答案为： 【考试题型2】古典概型 【例3】抛掷一颗质地均匀的骰子，出现点数为偶数的概率为（  ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】写出基本事件、计算古典概型问题的概率 【分析】先确定基本事件总数和“出现点数为偶数”的基本事件个数，根据古典概型概率公式即可求解. 【详解】抛掷一颗质地均匀的骰子可能出现的点数为，共6种情况， 出现偶数有3种情况， 则出现点数为偶数的概率为， 故选：C. 【例4】某校对高一年级800名学生进行食堂满意度调查，得到如下调查结果： 男同学 女同学 满意 400 350 不满意 20 30 【例5】从这800名学生中随机抽取一人，则这个人是男同学且对食堂满意的概率为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据把男同学中满意的人数除以总人数即可求解. 【详解】由题意得，这个人是男同学且对食堂满意的概率为：. 故选：C. 【例6】高一军训时，某同学射击一次，命中 环， 环， 环的概率分别为 ，，． (1)求射击一次，命中 环或 环的概率； (2)求射击一次，至少命中 环的概率； (3)求射击一次，命中环数小于 环的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）利用互斥事件概率加法公式即可求解. （2）利用互斥事件概率加法公式即可求解. （3）利用对立事件概率公式即可求解 【详解】（1）设“射击一次，命中环”为事件（，且）， 且两两互斥，由题意得，，． 记“射击一次，命中环或环”的事件为， 那么． （2）记“射击一次，至少命中环”的事件为， 那么． （3）记“射击一次，命中环数小于环”的事件为， 则与是对立事件，所以． 【考试题型3】样本平均数与方差 【例7】已知一组样本数据分为甲、乙两小组，其中，甲小组有10个数，其平均数为60，方差为200；乙小组有40个数，其平均数为70，方差为300，则这组样本的平均数为 ，方差为 ． 【答案】 68 296 【知识点】分层抽样、平均数、极差、方差、标准差 【分析】根据平均数和方差的计算公式直接求解即可． 【详解】由题意，这组样本的平均数为， 方差为． 故答案为：68；296． 【例8】已知数据的样本方差为1，则数据的样本方差为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】极差、方差、标准差的概念与计算 【分析】根据题意，结合方差的定义、计算公式，及方差随该组数据变化的规律，即可求解. 【详解】因为数据的样本方差为1， 所以数据的样本方差为. 故选：B. 【例9】已知一组数据 ，，，，，，，的方差为2，则 ，，，，，，， 这组数据的方差为 . 【答案】8 【知识点】平均数的概念与计算、极差、方差、标准差的概念与计算 【分析】设原数据的平均数为，可得新数据的平均数为，根据方差公式并结合两组数据方差之间的关系可求解. 【详解】设数据 ，，，…，的平均数为，即， 所以数据 ，，，…， 的平均数为： . 解法一（对应人教版） 因为数据 ，，，…，的方差为， 所以， 所以数据，，，…， 的方差： . 解法二（对应高教版） 因为数据 ，，，…，的方差为， 所以， 所以数据，，，…， 的方差： . 故答案为： 【考试题型4】抽样方法 【例10】某班有男生30人，女生20人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该班学生中抽出一个容量为10的样本.如果样本按比例分配，那么男生应抽取（  ） A．4人 B．5人 C．6人 D．7人 【答案】C 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据题意求出抽样比，结合分层抽样的定义即可得解. 【详解】某班有男生30人，女生20人，则共有人， 抽出一个容量为10的样本，则抽样比为， 所以男生应抽取人， 故选：. 【例11】某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的中年职工为5人，则样本容量为（　　） A．7 B．15 C．25 D．35 【答案】B 【知识点】分层抽样的特征及适用条件 【分析】根据分层抽样的特点，即各层抽取的比例相同来求解样本容量. 【详解】已知单位有职工750人，其中中年职工250人，样本中的中年职工为5人. 设抽样比例为，则. 设样本容量为，总体人数为750人，因为抽样比例， 且，所以可得得到. 故选：B 七、专题归纳小结 一、统计 （一）、专题核心内容总结 1. 统计全流程“四步走” 统计活动遵循一个清晰的流程，理解该流程是解题的基础： 核心概念辨析： 总体 vs 样本：总体是研究对象的全体，样本是总体的一部分。任何结论都是关于样本的，用样本去估计总体。 简单随机抽样：从总体中逐个地、等概率地抽取个体。如抽签、随机数表法。 口诀：“总体是目标，样本是代表；抽样要随机，结论才可靠” 2. 数字特征“两大家族” 特征类型 代表成员 实际意义 集中趋势 平均数 数据的“平均水平” 中位数 数据的“中等水平”，不受极端值影响 众数 数据的“普遍水平” 离散程度 方差 衡量数据的波动大小 方差大，数据越分散 标准差 衡量数据的波动大小，单位与原数据一致 选择口诀：“平均水平看均值，极端值扰看中位；谁出现多看众数，波动大小看方差。” （二）、解题策略与技巧 “读、想、算、判”四步法 1. 统计图表题“读图三步曲” 统计图表是数据的可视化，读图能力是关键。 图表类型 看图要点 典型案例 频率分布直方图 1. 看组距：横坐标轴每段的长度。 2. 看高（频率/组距）：纵坐标高度。 3. 算频率：小长方形面积 = 频率。 求样本容量、特定范围内的频率、众数所在区间、中位数位置 扇形图（饼图） 1. 看比例：扇形的面积比例 ≈ 百分比。 2. 看角度：圆心角 = 360° × 百分比 求各部分的数量、比例 策略：“图表题，细观察；直方图，面积即频率；饼图看比例换算角。” 2. 数字特征题“选择与计算” 选择策略： 问“平均情况” → 平均数。 问“中等水平”或数据有极端值 → 中位数。 问“哪个最多” → 众数。 问“稳定性” → 方差/标准差（越小越稳定）。 （三）、易错点总结 易错类型 错因分析 纠错方案 总体与样本混淆 概念不清 记住：被抽取的才是样本，被调查的全体是总体 中位数计算错误 未排序或未取平均。 先排序！数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均值。 直方图频率算错 概念混淆 牢记：小长方形的面积 = 高 × 组距 = 频率 忽略方差单位 对公式理解不深 提醒：方差是标准差的平方，单位也是平方关系 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $