7.2 正弦、余弦（教学课件）数学苏科版九年级下册

该初中数学课件聚焦锐角三角函数中的正弦、余弦，通过小明沿坡道行走的情境导入，借助相似三角形性质引导学生发现锐角确定时对边与斜边、邻边与斜边比值的确定性，逐步构建从具体实例到抽象定义的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以数学眼光观察现实情境抽象概念，通过相似推理和性质推导培养数学思维，用符号表达、表格归纳及“知一求二”题型总结强化数学语言。采用情境探究、典例辨析、题型分类的教学方法，课堂小结系统梳理定义、性质及应用，助力学生发展抽象能力和推理意识，也为教师提供高效备课资源。

苏科版·九年级下册 7.2 正弦、余弦 第七章 锐角三角函数 章节导读 学 习 目 标 1 2 利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数 - sin A、cos A 理解锐角的正弦值或余弦值的增减性 3 理解互余两锐角的正、余弦值之间的关系及同角关系式 新知探究 实 践 如图，小明沿着某坡道向上行走了13m，他的位置沿垂直方向上升了5m。 如果小明沿着该坡道行走了20m，那么他的位置沿垂直方向上升了多少？行走了a m呢？ 解：由相似三角形的性质，得 = ，解得：h1 = ( m )； 由相似三角形的性质，得 = ，解得：h2 = ( m )。 新知探究 如图，一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出Rt△AB1C1、Rt△AB2C2、Rt△AB3C3 …… 那么有Rt△AB1C1 ∽ Rt△AB2C2 ∽ Rt△AB3C3 …… 根据相似三角形性质，得 = = = …… = = = …… 可知，当直角三角形的一个锐角的大小确定，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也就确定。 新知探究 正弦、余弦： 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°， 我们把∠A的对边a与斜边c的比，叫做∠A的正弦，记作sin A， sin A = = ； 我们把∠A的邻边b与斜边c的比，叫做∠A的余弦，记作cos A， cos A = = 。 知识要点 新知探究 辨 析 判断对错： ( 1 ) 如图，cos A = （　　） ( 2 ) 如图，sin A = （　　） ( 2 ) ( 1 ) A B C A B C × 余弦是在直角三角形中定义的 × sin A = = 新知探究 注意：与正切类似 ( 1 ) 正、余弦也是在Rt△中定义的，初中阶段，也只研究锐角的正、余弦； ( 2 ) sin A、cos A也是一个完整的符号，分别表示∠A的正、余弦，不要误以为是“sin”דA”或“cos”דA”； ( 3 ) 正弦的正确记法：sin A、sin∠BAC、sin∠1； 余弦的正确记法：cos A、cos∠BAC、cos∠1； ( 4 ) sin A、cos A的大小也只与∠A的大小有关，与直角Rt△的边长无关 (我们只是利用边长计算数值而已)； ( 5 ) sin A、cos A也没有单位。 知识要点 新知探究 锐角三角函数： 如图，在Rt△ABC中，、和的值都随∠A的大小变化而变化， 都随∠A的大小确定而唯一确定。 ∠A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数。 知识要点 典例分析 解：过点A作AD⊥BC，垂足为D。 由题意知，BD = BC = AB。 在Rt△ABD中， cos B = = 。 典例1 如图，在等边三角形ABC，求cos B。 C A B D 方法技巧 解题关键：线段长未知时，也可根据线段之间的比例关系求cos邻比斜。 新知探究 思 考 解：如图，由典例1可知，BD = AB， sin∠BAD = = ，即sin 30° = ； 在Rt△ABD中，根据勾股定理，得 AD = = AB = AB， sin B = = ，即sin 60° = ； cos∠BAD = = ，即cos 30° = 。 由典例1可知，cos 60°= ，求sin 60°、sin 30°、cos 30°的值。 C A B D 新知探究 操 作 如图，当一个点从原点O出发，沿着15°线移动了1个单位长度到点P时，这个点在垂直方向上升了约0.26个单位长度，在水平方向前进了约0.97个单位长度。 于是，可知sin 15° ≈ 0.26，cos 15° ≈ 0.97。 你能写出sin 75°、cos 75°的近似值吗？ 解：由图可知：sin 75° ≈ 0.97，cos 75° ≈ 0.26。 新知探究 操 作 先完成下表，再回答问题：随着锐角θ的值增大，sin θ与cos θ的值怎样变化？ θ sin θ 15° 30° 60° 75° θ cos θ 15° 30° 60° 75° 解：随着锐角θ的值增大，sin θ的值增大，cos θ的值减小。 0.26 0.5 0.87 0.97 0.97 0.87 0.5 0.26 新知探究 锐角的正、余弦值的增减性： 锐角的正弦值会随着锐角的增大而增大； 锐角的余弦值会随着锐角的增大而减小。 知识要点 典例分析 解：( 1 ) 依次按键 ， 显示结果为0.965 925 826 3，即sin 75° ≈ 0.97； ( 2 ) 依次按键 ， 显示结果为0.258 819 045 1，即cos 75° ≈ 0.26； ( 3 ) 依次按键 ， 显示结果为0.394 298 367 5，即sin 23°13′ 20′′ ≈ 0.39。 典例2 用计算器求下列正弦值或余弦值( 精确到0.01 ) ( 1 ) sin 75°； ( 2 ) cos 75°； ( 3 ) sin 23°13′ 20′′。 典例分析 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 AB = = = = 13， 根据正弦、余弦的定义，得 sin A = = ，cos A = = ， sin B = = ，cos B = = 。 典例3 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，BC = 5。求sin A、cos A、sin B、cos B的值。 C A B 典例分析 典例4 在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 15°， BC = 6。求AB的长( 精确到0.01 )。 C A B 解：由题意知，sin A = ， 则AB = = 。 用计算器计算，得AB ≈ 23.18。 方法技巧 解题关键： 在Rt△中，已知一锐角+该锐角的对边的长度，可利用该锐角的正弦值求斜边的长度。 新知探究 思 考 解：∵sin A = ，cos B = ；cos A = ，sin B = ， ∴sin A = cos B，cos A = sin B。 1. 在Rt△ABC ( ∠C = 90° )中，sin A与cos B、cos A与sin B的值有什么关系？ C A B 新知探究 思 考 解：∵sin A = ，cos A = ，BC2 + AC2 = AB2， ∴sin2 A + cos2 A = + = = = 1； ∵sin B = ，cos B = ，BC2 + AC2 = AB2， ∴sin2 B + cos2 B = + = = = 1。 2. 在Rt△ABC ( ∠C = 90° )中，sin A与cos A、sin B与cos B的值有什么关系？ C A B sin2 A = sin A · sin A 新知探究 思 考 解：( 1 ) ∵sin A = ，cos A = ，tan A = ， ∴ = = = tan A ； ( 2 ) ∵sin B = ，cos B = ，tan B = ， ∴ = = = tan B。 3. 在Rt△ABC ( ∠C = 90° )中， ( 1 ) sin A、cos A与tan A的值有什么关系？ ( 2 ) sin B、cos B与tan B的值有什么关系？ C A B 新知探究 互余两锐角的正、余弦值： 如图，sin A = cos B，cos A = sin B。 知识要点 C A B 新知探究 同角关系式： 如图，( 1 ) sin2 A + cos2 A = 1，sin2 B + cos2 B = 1； ( 2 ) tan A = ，tan B = 。 知识要点 C A B 题型探究 【例1】在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3，则sin A的值是________。 已知线段长求正/余弦值 题型一 解：如图， ∵∠C = 90°，AC = 4，BC = 3， ∴AB = 5， ∴sin A = = 。 C A B 题型探究 【例2】Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 3BC，则cos B的值为__________。 已知线段比例关系求正/余弦值 题型二 解：如图， ∵∠C = 90°，AC = 3BC， ∴AB = BC， ∴cos B = = = 。 C A B 题型探究 【例3】在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 26，sin A = ，那么BC的长为__________。 已知正/余弦值求线段长 题型三 10 C B A 解：如图， ∵∠C = 90°，AB = 26，sin A = = ， ∴ = ，解得：BC = 10。 题型探究 【例4】在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 6，cos B = ，那么AC的长为__________。 已知正/余弦值求线段长 题型三 解：如图， ∵∠C = 90°，BC = 6，cos B = = ， ∴ = ，解得：AB = 8， ∴AC = 2。 C A B 2 题型探究 【例5】由小正方形组成的网格如图，A，B，C三点都在格点上， 则∠ABC的正弦值为________，余弦值为________。 构造直角三角形求正/余弦值 题型四 解：如图，连接AC， 由图可知：AC = BC = ， 取AB中点D，连接CD， 则CD⊥AB，即∠BCD = 90°， 由图可知：CD = ，BD = 2， ∴sin∠ABC = = = ，cos∠ABC = = = 。 A B C D 题型探究 【例6】在Rt△ABC中，∠C = 90°，cos A = ，则sin B = ________。 根据互余关系求三角函数值 题型五 解：∵在△ABC中，∠C = 90°， ∴∠A + ∠B = 90°， ∴sin B = cos A = 。 题型探究 【例7】 + 2tan 20°·tan 70° = ________。 根据互余关系完成计算 题型六 解：∵sin 36° = cos 54°，tan 20°·tan 70° = 1， ∴原式 = 1 + 2 × 1 = 3。 3 题型探究 【例8】用不等号“ > ”或“ < ”连接：sin 50° ________ cos 50°。 根据互余关系与三角函数值的 增减性比较三角函数的大小 题型七 解：∵cos 50° = sin 40°，且sin 50° > sin 40°， ∴sin 50° > cos 50°。 > 题型探究 方法技巧 根据例题总结——比较sin A与cos A的大小： 先将cos A转化为sin ( 90° - ∠A )， 再根据正弦值的增减性比较大小。 题型探究 【例9】x为锐角，sin x = ，求cos x、tan x的值。 根据同角关系式求三角函数值 题型八 解：法一：公式法 ∵sin2 x + cos2 x = 1，sin x = ， ∴cos x = = = ， ∵tan x = ， ∴tan x = = 。 法二：数形结合 如图， 由勾股定理可知：x的邻直角边长为， ∴cos x = ，tanx = = 。 x 3 题型探究 【例10】x为锐角，tan x = 2，求sin x、cos x的值。 根据同角关系式求三角函数值 题型八 解：法一：公式法 ∵tan x = = 2， ∴sin x = 2cos x， ∵sin2 x + cos2 x = 1， ∴4cos2 x + cos2 x = 1， 解得：cos x = ， ∴sin x = 2cos x = 。 法二：数形结合 如图， 由勾股定理可知：x的斜边长为， ∴sin x = = ，cos x = = 。 2 1 x 题型探究 方法技巧 根据例题总结——已知锐角三角函数中的其中一个值，即可求出另外两个值(简称“知一求二”) 法一：公式法——同角关系式； 法二：数形结合——画直角三角形。 课堂小结 正弦、余弦：如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°， 我们把∠A的对边a与斜边c的比，叫做∠A的正弦，记作sin A，sin A = = ； 我们把∠A的邻边b与斜边c的比，叫做∠A的余弦，记作cos A，cos A = = 。 注意：与正切类似 ( 1 ) 正、余弦也是在Rt△中定义的，初中阶段，也只研究锐角的正、余弦； ( 2 ) sin A、cos A也是一个完整的符号，分别表示∠A的正、余弦， 不要误以为是“sin”דA”或“cos”דA”； ( 3 ) 正弦的正确记法：sin A、sin∠BAC、sin∠1；余弦的正确记法：cos A、cos∠BAC、cos∠1； ( 4 ) sin A、cos A的大小也只与∠A的大小有关，与直角Rt△的边长无关 (我们只是利用边长计算数值而已)； ( 5 ) sin A、cos A也没有单位。 课堂小结 锐角三角函数： 如图，在Rt△ABC中，、和的值都随∠A的大小变化而变化， 都随∠A的大小确定而唯一确定。∠A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数。 锐角三角函数的增减性： 锐角的正弦值会随着锐角的增大而增大； 锐角的余弦值会随着锐角的增大而减小； 锐角的正切值会随着锐角的增大而增大。 互余两锐角的三角函数值： 如图，sin A = cos B，cos A = sin B，tan A · tan B = 1。 同角关系式： 如图，( 1 ) sin2 A + cos2 A = 1，sin2 B + cos2 B = 1；( 2 ) tan A = ，tan B = 。 感谢聆听! $