5.4.1 抛体运动的规律 讲义 -2025-2026学年高一物理同步重难点突破分层练（人教版必修第二册）

本高中物理讲义聚焦抛体运动规律核心知识点，系统梳理平抛运动的速度分解（水平匀速vₓ=v₀、竖直自由落体vᵧ=gt）、位移公式（x=v₀t、y=½gt²）及轨迹推导（抛物线方程），延伸至斜抛运动的分解规律，构建从基础分解到推论应用的学习支架。 资料以科学思维培养为特色，通过平抛运动两个推论（速度反向延长线过水平位移中点、tanθ=2tanα）的推导过程强化模型建构与科学推理，结合青蛙跳跃、飞镖投掷等实例设计题型专练与分层训练，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

鼎力物理 https://shop.xkw.com/650102 必修第二册人教版(2019) 第4节 抛体运动的规律 目录 【知识要点】 1 一、平抛运动的速度 1 二、平抛运动的位移与轨迹 1 三、一般的抛体运动 2 【题型专练】 2 一、平抛运动的速度、位移和轨迹 2 二、平抛运动的两个推论 4 三、斜抛运动 7 【分层训练】 9 一、平抛运动的速度 以速度v0沿水平方向抛出一物体，以抛出点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系。 1.水平方向：不受力，加速度是0，水平方向为匀速直线运动，vx＝v0。 2.竖直方向：只受重力，由牛顿第二定律得到mg＝ma。所以a＝g，又初速度为0，所以竖直方向为自由落体运动，vy＝gt。 3.平抛运动的速度 (1)大小：v＝＝ (2)方向：与水平方向夹角满足tan θ＝＝ 二、平抛运动的位移与轨迹 1.平抛运动的位移 (1)水平方向：x＝v0t (2)竖直方向：y＝gt2 (3)合位移：①大小l＝ ②方向与水平方向夹角满足：tan α＝＝ 2.平抛运动的轨迹 (1)根据x＝v0t求得，t＝，代入y＝gt2得y＝x2。 (2)这个量与x、y无关，满足数学中y＝ax2的函数形式，所以平抛运动的轨迹是一条抛物线。 三、一般的抛体运动 1.定义：初速度沿斜向上或斜向下方向的抛体运动。 2.初速度：vx＝v0cosθ，vy＝v0sinθ。 3.性质：斜抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛或竖直下抛运动的合运动。 一、平抛运动的速度、位移和轨迹 1．平抛运动的研究方法 (1)由于平抛运动是匀变速曲线运动，速度、位移的方向时刻发生变化，无法直接应用运动学公式，因此研究平抛运动问题时采用运动分解的方法，“化曲为直”法是我们解决所有曲线运动问题的一个重要方法。 (2)将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。这是我们解决平抛运动问题的基本方法。 2．平抛运动的规律 （1）分解速度：设平抛运动的初速度为v0，在空中运动的时间为t，则平抛运动在水平方向的速度为：vx＝v0，在竖直方向的速度为：vy＝gt，合速度为：v＝，合速度与水平方向的夹角为：θ＝arctan. （2）分解位移：平抛运动在水平方向的位移为：x＝v0t，在竖直方向的位移为：y＝gt2，对抛出点的位移(合位移)为：s＝. (3)平抛运动的几个有用的结论： ①运动时间t＝，即平抛物体在空中的飞行时间仅取决于下落的高度，与初速度v0无关． ②落地的水平距离x＝v0，即水平距离与初速度v0和下落的高度h有关，与其他因素无关． ③速度变化量：平抛运动中，任意两个时刻的速度变化量Δv＝gΔt，方向竖直向下．另外v0、Δv、vt三个速度矢量构成的三角形一定是直角三角形．如图所示． 【例题1】如图所示，有三片荷叶伸出水面，一只青蛙要从荷叶c跳到低处荷叶上。若青蛙离开荷叶c时的速度为v1，则经过时间t1，青蛙恰好落到荷叶a的中心，且末速度方向与水平方向的夹角为θ1；若青蛙离开荷叶c时的速度为v2，则经过时间t2，青蛙恰好落到荷叶b的中心，且末速度方向与水平方向的夹角为θ2。将青蛙的跳跃均视为平抛运动，已知荷叶a中心与荷叶b中心的高度相同，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】AB．由平抛运动规律得因为两次平抛运动下落的高度相同，所以，故AB错误； C．由平抛运动规律得，因为c到b的水平分位移更大，所以，故C错误； D．因为，由 可知，所以，故D正确。 故选D。 【变式1】垒球比赛中，若不计空气阻力，垒球以的初速度做平抛运动，从击出开始计时，经过时间后，垒球位移大小为，位移方向与水平面夹角为，速度方向与水平面夹角的正切值，重力加速度取，则速度大小和时间分别为（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】垒球做平抛运动，则有 根据三角函数规律有， 垒球位移大小为，则有， 根据平抛运动规律有， 解得， 故选D。 二、平抛运动的两个推论 1.速度的反向延长线过水平位移的中点 （1）从速度的分解来看，速度偏向角的正切值：tanθ＝＝。① （2）将代表速度矢量v的箭头反向延长，速度偏向角的正切值还可以用长度之比来表示，即 tanθ＝＝，② 联合①②解得＝v0t＝xA， 2.tanθ＝2tanα （1）速度偏向角的正切值：tanθ＝，① （2）由图知位移偏向角的正切值：tanα＝＝＝。② 比较①②可得tanθ＝2tanα。 【例题2-1】如图，某人从点对准正前方竖直靶上的点，分别将两支飞镖水平掷出，飞镖打在靶上、两点，且与竖直方向的夹角分别为与，忽略空气阻力，则（　　） A．两飞镖击中靶的速度大小相同 B．ab间距为ac间距的一半 C．两飞镖在空中运动时间相同 D．两飞镖离开手时速度大小相同 【答案】A 【详解】B．根据平抛运动推论，速度方向的反向延长线过水平位移的中点可得，联立得故B错误； A．飞镖打在靶上b点时的竖直分速度为飞镖打在靶上b点时速度飞镖打在靶上c点时的竖直分速度为飞镖打在靶上c点时速度故A正确； C．平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动，则有两飞镖在空中下落的高度不同，可知在空中运动时间不相同，故C错误； D．水平方向做匀速直线运动，根据两飞镖在空中通过的水平位移相同，但运动时间不同，可知两飞镖离开手时，速度大小不相同，故D错误。故选A。 【变式2-1】如图所示，xOy是平面直角坐标系，Ox水平、Oy竖直，一质点从O点开始做平抛运动，P点是轨迹上的一点。质点在P点的速度大小为v，方向沿该点所在轨迹的切线方向。M点为P点在Ox轴上的投影，P点速度方向的反向延长线与Ox轴相交于Q点。已知，，重力加速度g取，则下列说法正确的是（　　） A．平抛的初速度为 B．质点在P点的速度大小为 C．OP连线与水平方向的夹角为30° D．若平抛初速度加倍，则质点下落到与P点同一高度所用时间将减半 【答案】A 【详解】A．设OP与x轴之间的夹角为α，则由则可得根据平抛在竖直方向做自由落体运动有解得解得故A正确； B．质点在P点的速度大小为故B错误；C．由可知故C错误； D．平抛运动竖直方向上是自由落体运动，若平抛初速度加倍，则质点下落到与P点同一高度所用时间不变，故D错误。故选A。 【例题2-2】地球和月球上有两个足够长、倾角为的山坡，若分别从两个山坡上以相同初速度各水平抛出一个小球，小球落到山坡上时，速度方向与斜面的夹角分别记为、。地球表面重力加速度大小是月球表面的6倍，不计阻力，下列选项正确的是（　　） A． B． C． D．与无确定关系 【答案】C 【详解】因为两个小球在相同大小的速度v0水平抛出，且都落到倾角为θ的斜面，因此两个小球的位移与水平方向夹角是相同的都为θ，根据平抛的角度推论可知，速度角正切值是位移角正切值的两倍，因此两个球落地时的速度角也相等，因此速度方向与斜面的夹角也相等。 故选C。 【变式2-2】如图所示，从倾角为θ的固定斜面上的某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，不计空气阻力，则（　　） A．当v1>v2时，α1>α2 B．当v1>v2时，α1<α2 C．无论v1、v2关系如何，均有α1=α2 D．α1、α2的关系与斜面倾角θ有关 【答案】C 【详解】小球从斜面上的某点水平抛出后落到斜面上，小球的位移方向与水平方向的夹角等于斜面倾角θ，即小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角的正切值故可得只要小球落到斜面上，位移方向与水平方向的夹角就总是θ，则小球的速度方向与水平方向的夹角也总是，故速度方向与斜面的夹角总是相等，与v1、v2的关系无关。故选C。 3、 斜抛运动 1.受力特点：斜抛运动是忽略了空气阻力的理想化运动，因此物体仅受重力，其加速度为重力加速度g。 2.运动特点：物体具有与水平方向存在夹角的初速度，仅受重力，因此斜抛运动是匀变速曲线运动，其轨迹为抛物线。 3.速度变化特点 (1)水平方向：速度不变。 (2)竖直方向：加速度为g，速度均匀变化，故相等的时间内速度的变化相同，即Δv＝gΔt，方向均竖直向下。 (3)最高点的速度：不为零且等于水平方向的分速度。 4.分析技巧 (1)斜上(下)抛运动问题可用运动的合成与分解进行分析，即分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上(下)抛运动。 (2)对斜上抛运动 ①运动时间及射高由竖直分速度决定，射程由水平分速度和抛射角决定。 ②由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析。 【例题3】不计空气阻力，物体以初速度v0斜向上抛出，某时刻速度方向与水平方向夹角为30°，水平分速度为，竖直分速度方向向上（）。则该物体的理论最大射程为（　　） A．15m B．20m C．25m D．30m 【答案】A 【详解】设物体抛出时初速度与水平方向的夹角为，则物体在空中运动的时间为 物体的射程为当时，射程最大；由于物体的水平分速度保持不变，则有解得则最大射程为故选A。 【变式3】某选手在跳台项目中，起跳速度大小，不计空气阻力（），起跳点与落点在同一水平面，下列说法错误的是（　　） A．理论最大射程为6.4m（抛射角45°时） B．若抛射角，总运动时间为0.8s C．若考虑空气阻力，实际射程会小于理论值 D．抛射角时的射高与时的射高相等 【答案】D 【详解】A．选手在跳台项目中，起跳后看作斜抛运动，设抛射角为，斜抛运动的竖直方向初速度斜抛运动的时间为斜抛运动的水平方向初速度斜抛运动的射程为当时，，代入，得最大射程，故A正确，不符合题意； B． 时，得总运动时间，故B正确，不符合题意； C．空气阻力会减小水平速度和飞行时间，实际射程必然小于理论值，故C正确，不符合题意； D．射高为，时，射高为，时，射高为两者不等，故D错误，符合题意。故选D。 1．投掷飞镖是一种常见的娱乐活动。如图所示，圆形靶盘竖直放置，其中心为O点。在P点正对靶盘将飞镖以一定速度水平投出，经0.3s击中O点正下方的A点。已知P、O两点等高且相距3m，g取。则（　　） A．飞镖水平投出的速度为 B．O点和A点间距为0.45m C．投出速度足够大就可击中O点 D．投出速度越大则飞行时间越长 【答案】B 【详解】A．飞镖做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，则 解得 故A错误； B．在竖直方向 故B正确； C．因为存在竖直位移，不可能击中O点，故C错误； D．在水平方向做匀速直线运动，则 整理可得 所以，投出速度越大则飞行时间越短，故D错误。 故选B。 2．某实验小组为了研究平抛运动，从空中同一点沿水平方向同时抛出可视为质点的甲、乙两个小球，小球运动轨迹如图所示，不计一切阻力。下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两球同时落地 B．甲球比乙球先落地 C．甲球速度的变化量小于乙球速度的变化量 D．甲球的落地速度大于乙球的落地速度 【答案】A 【详解】AB．两球在竖直方向做自由落体运动，根据 竖直高度相同，可知运动时间相同，即甲、乙两球同时落地，选项A正确，B错误； C．根据 可知甲球速度的变化量等于乙球速度的变化量，选项C错误； D．根据 可知甲的初速度小于乙的初速度，根据 可知甲球的落地速度小于乙球的落地速度，选项D错误。 故选A。 3．农民用手抛撒谷粒进行水稻播种，一颗谷粒被水平抛出后运动的轨迹如图所示，O为抛出点，A、B为轨迹上的两点，且谷粒在OA间与AB间运动的时间相等。忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．谷粒在OA间水平方向的位移大小小于AB间水平方向的位移大小 B．谷粒在B点的速度大小是在A点时的2倍 C．谷粒在OA间速度变化量等于AB间速度变化量 D．谷粒在OA间与AB间竖直方向的位移大小之比为1∶4 【答案】C 【详解】A．谷粒在空中做平抛运动，水平方向上做匀速直线运动，谷粒在OA间与OB间运动的时间相等，在水平方向上 可知谷粒在OA间水平方向的位移大小等于OB间水平方向的位移大小，故A错误； B．谷粒在OA间与OB间运动的时间相等，则， 谷粒在B点的速度大小小于在A点时的2倍，故B错误； C．谷粒在运动过程中只受重力，根据牛顿第二定律可知，加速度为重力加速度不变，根据 又因为谷粒在OA间与OB间运动的时间相等，所以谷粒在OA间速度变化量等于AB间速度变化量，故C正确； D．谷粒在竖直方向做自由落体运动，且谷粒在OA间与OB间运动的时间相等，根据初速度为零的匀加速直线运动的推论可知，谷粒在OA间与OB间竖直方向的位移大小之比为1∶3，故D错误。 故选C。 4．小强用水枪给放在地面上的水桶灌水，已知水枪出水口水平且距离地面高度为水桶高的3倍，调整水平距离后水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿。已知水桶高为，水桶的半径为，重力加速度为，则水离开出水口的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设出水口到水桶中心的水平距离为，水离开出水口时速度的大小为。水由管口到桶口的过程，由平抛运动规律可得， 水由管口到P点的过程，由平抛运动规律可得， 联立解得 故选A。 5．环保人员发现一根水平排污管正在向外满口排出大量污水。如图所示，环保人员利用卷尺测量管口到水面的高度y，污水落点到管口水平距离为x，管口直径d，大致估测该管道每秒排污体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】水流出看作平抛运动，， 求得 每秒排出体积为 故选A。 6．如图所示，一倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上，斜面顶端距水平地面的高度为h。在甲球从斜面顶端以某一速率开始沿斜面下滑的同时，从斜面顶端以相同的速率将乙球水平向右抛出。重力加速度大小为g，两球均视为质点，不计空气阻力。若两球同时到达地面上，则该速率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设该速率为，甲球到达地面上所用的时间为，则有 其中 而乙球到达地面上所用的时间 又 解得 故选C。 7．飞机以150m/s的水平速度匀速飞行，某时刻让A球落下，相隔1s又让B球落下，不计空气阻力，在以后的运动过程中，关于A、B两球相对位置的关系，下列说法正确的是（　　） A．A球在B球的前下方 B．A球在B球的后下方 C．A球在B球的正下方5m处 D．A球在B球的正下方且间距越来越大 【答案】D 【详解】A、B两球均从匀速飞行的飞机上自由下落，均做平抛运动，水平方向做速度等于飞机速度的匀速直线运动，相同时间内水平位移相同，所以两球在落地前总飞机的正下方，则A球在B球的正下方，因A先下落，同一时刻A的速度大于B的速度，且在B的正下方，则两者距离随时间的增加而增加。 故选D。 8．如图所示，点为固定斜面的中点。在点和点分别以初速度和水平抛出一个小球，结果两球均落在斜面的底端。空气阻力不计。设两球在空中运动的时间分别为和，落到点前瞬间的速度大小分别为和，落到点前瞬间的速度方向与水平方向的夹角分别为和，则下列关系式正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A．两球都做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，由得两球下落的高度之比可得故A错误； B．小球水平方向做匀速直线运动，则两球水平位移之比 结合得故B正确； CD．设斜面的倾角为α，小球落到C点前瞬间的速度方向与水平方向的夹角为θ．则，是定值，所以即落到C点前瞬间的速度大小分别为，可得故C错误，D错误。故选B。 9．如图所示，从倾角为的斜面顶端分别以和的速度水平抛出a、b两个小球，若两个小球都落在斜面上且不发生反弹，不计空气阻力，则a、b两球（    ）    A．水平位移之比为1∶2 B．下落的高度之比为1∶2 C．在空中飞行的时间之比为1∶2 D．落到斜面时速度方向与斜面夹角之比为1∶2 【答案】C 【详解】C．因为两个小球均落到斜面上，所以二者的位移偏转角相同，又由于初速度之比为1∶2，所以根据位移偏转角的正切值 所以运动时间之比为1∶2，选项C正确； A．再结合 可得水平位移之比为1∶4，选项A错误； B．再根据 下落的高度之比为1∶4，选项B错误； D．再根据速度偏转角的正切值是位移偏转角正切值的两倍可知，速度偏转角相同，速度方向与斜面夹角之比为1∶1，选项D错误。 故选C。 10．消防员在一次用高压水枪灭火的过程中，消防员同时启动了多个喷水口进行灭火。有甲、乙靠在一起的高压水枪，它们喷出的水在空中运动的轨迹曲线如图所示，已知两曲线在同一竖直面内，忽略空气阻力，则（　　） A．甲、乙水枪喷出的水初速度相等 B．乙水枪喷出的水初速度较大 C．乙水枪喷出的水在空中运动的时间较长 D．甲水枪喷出的水在最高点的速度较大 【答案】B 【详解】AB．令喷出水的初速度与水平方向夹角为，到达最高点过程，斜抛运动竖直方向做竖直上抛运动，利用逆向思维有 解得 根据图示可知，竖直方向高度相等，甲喷出的初速度与水平方向夹角大一些，则乙水枪喷出的水初速度较大，故A错误，B正确； C．斜抛运动竖直方向做竖直上抛运动，根据图示可知，高度相等，利用逆向思维有 根据对称性可知，上升与下降时间相等，水枪喷出的水在空中运动的时间 解得 即甲、乙水枪喷出的水在空中运动的时间相等，故C错误； D．斜抛运动水平方向做匀速直线运动，则水在最高点的速度 结合上述可知，甲喷水速度小于乙喷水速度，甲喷出的初速度与水平方向夹角大一些，则甲水枪喷出的水在最高点的速度较小，故D错误。 故选B。 11．（多选）如图所示，一小球以的速度水平抛出，在落地之前经过空中、两点。在点小球速度方向与水平方向的夹角为，在点小球速度方向与水平方向的夹角为（空气阻力忽略不计，取），以下说法中正确的是（　　） A．小球经过、两点间的时间 B．小球经过、两点间的时间 C．、两点间的高度差 D．、两点间的高度差 【答案】AC 【详解】AB．根据平行四边形定则知， 则小球由到的时间间隔 故A正确，B错误。 CD．、的高度差 故C正确，D错误。 故选AC。 12．（多选）打水漂是我国南方多水域地区较为流行的游戏之一，将石片抛向水面后，石片在水面上连续跳跃，飞向远方。若将石片水平抛出，石片抛出时距离水面的高度为h，抛出时的速度大小为，重力加速度大小为g，将石片视为质点，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．石片抛出时与第一次落到水面时的水平距离为 B．石片抛出时与第一次落到水面时的水平距离为 C．石片第一次落到水面前瞬间的速度大小为 D．石片第一次落到水面前瞬间的速度大小为 【答案】BD 【详解】AB．根据平抛运动规律有 联立解得石片抛出时与第一次落到水面时的水平距离 故A错误，B正确； CD．落到水面时，竖直方向得速度 石片第一次落到水面前瞬间的速度大小 联立可得石片第一次落到水面前瞬间的速度大小 故C错误，D正确。 故选BD。 13．（多选）在乌克兰战争中，一架俄罗斯战斗机水平匀速飞行，战斗机搭载着多枚航空炸弹，飞机每隔一秒有一枚炸弹落下，当第5枚炸弹刚离开飞机时，战斗机和炸弹的在空中的位置情况下列说法正确的是（空气阻力可忽略）（　　） A．从战斗机上看炸弹做匀速直线运动 B．从地面上看炸弹的运动轨迹是一条抛物线 C．相邻炸弹之间的竖直位移之比为1：3：5：7：9 D．炸弹在相等时间内的速度变化量不相等 【答案】BC 【详解】A．炸弹与飞机水平方向的速度相同，则从战斗机上看炸弹水平方向相对静止，竖直方向做自由落体运动，即做匀变速直线运动，选项A错误； B．从地面上看炸弹做平抛运动，则运动轨迹是一条抛物线，选项B正确； C．因竖直方向炸弹做自由落体运动，初速度为零，根据连续相等时间的位移之比，可知相邻炸弹之间的竖直位移之比为1：3：5：7：9，选项C正确； D．根据可知，炸弹在相等时间内的速度变化量相等，选项D错误。 故选BC。 14．（多选）如图所示，某同学从点以水平方向成角沿斜向上的方向投出一篮球，篮球正好垂直击中篮板上的点，反弹后下落经过与等高的点，已知点为篮板底下与等高的点，且，篮球质量为，被抛出时的速度大小为，不计碰撞时间和空气阻力，重力加速度，则下列说法正确的是（　　） A．篮球在上升中做变加速曲线运动 B．篮球击中B点前的瞬时速度大小为 C．篮球击中B点后反弹的瞬时速度大小为0.25v D．从A到C的过程篮球在空中的运动时间为 【答案】BC 【详解】A．篮球上升过程中，只受重力作用，加速度为重力加速度g，加 速度大小和方向都不变，所以篮球做匀变速曲线运动，而不是变加速曲线运动，故A错误； B．篮球垂直击中篮板，说明击中B点时竖直方向速度为0，篮球只有水平方向速度，即篮球击中B点前的瞬时速度大小为 故B正确； C．篮球从A到B看成逆向的平抛运动，篮球从A到B过程、A到C过程，由于高度相同，则小球空中运动时间相同，因为小球从A到B的水平位移是A到C水平位移的2倍，可知A到B的平抛初速度（）也是A到C平抛初速度的2倍，可知篮球击中B点后反弹的瞬时速度大小为，故C正确； D．从A到C的过程篮球在空中的运动时间等于篮球从A到B时间的2倍，即 故D错误。 故选BC。 15．（多选）如图所示，在一次乒乓球对决赛中，我国选手以一记漂亮的扣杀，使乒乓球擦网而过，拿下关键的一分．假设该次扣杀中，乒乓球做平抛运动，且扣杀位置距台面的高度与球网高度的比值为4:3，则从扣杀到乒乓球落至球台的过程中，下列说法正确的是（　　） A．乒乓球的加速度逐渐增大 B．擦网前乒乓球的速度变化量等于擦网至落在球台过程中乒乓球的速度变化量 C．扣杀位置到球网的水平距离与乒乓球落点到球网的水平距离之比为1:1 D．擦网时乒乓球的速度大小与落到球台时乒乓球的速度大小之比为1:2 【答案】BC 【详解】A．乒乓球做平抛运动，加速度等于重力加速度，保持不变，故A错误； B．设乒乓球扣杀位置到球网上端的高度为h1，球网的高度为h2，由题意可知 故由竖直方向上知，乒乓球由扣杀位置运动到球网上端所用时间等于其由球网上端运动到球台所用的时间，则由知，擦网前乒乓球的速度变化量等于擦网至落在球台过程中乒乓球的速度变化量，故B正确； C．由水平位移知，扣杀位置到球网的水平距离等于乒乓球落点到球网的水平距离，故C正确； D．由可知，擦网时乒乓球在竖直方向的速度与落到球台时在竖直方向的速度大小之比为1:2，则由可知，擦网时乒乓球的速度大小与落到球台时乒乓球的速度大小之比不为1:2，故D错误。 故选BC。 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $鼎力物理 https://shop.xkw.com/650102 必修第二册人教版(2019) 第4节 抛体运动的规律 目录 【知识要点】 1 一、平抛运动的速度 1 二、平抛运动的位移与轨迹 1 三、一般的抛体运动 2 【题型专练】 2 一、平抛运动的速度、位移和轨迹 2 二、平抛运动的两个推论 4 三、斜抛运动 6 【分层训练】 6 一、平抛运动的速度 以速度v0沿水平方向抛出一物体，以抛出点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系。 1.水平方向：不受力，加速度是0，水平方向为匀速直线运动，vx＝v0。 2.竖直方向：只受重力，由牛顿第二定律得到mg＝ma。所以a＝g，又初速度为0，所以竖直方向为自由落体运动，vy＝gt。 3.平抛运动的速度 (1)大小：v＝＝ (2)方向：与水平方向夹角满足tan θ＝＝ 二、平抛运动的位移与轨迹 1.平抛运动的位移 (1)水平方向：x＝v0t (2)竖直方向：y＝gt2 (3)合位移：①大小l＝ ②方向与水平方向夹角满足：tan α＝＝ 2.平抛运动的轨迹 (1)根据x＝v0t求得，t＝，代入y＝gt2得y＝x2。 (2)这个量与x、y无关，满足数学中y＝ax2的函数形式，所以平抛运动的轨迹是一条抛物线。 三、一般的抛体运动 1.定义：初速度沿斜向上或斜向下方向的抛体运动。 2.初速度：vx＝v0cosθ，vy＝v0sinθ。 3.性质：斜抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛或竖直下抛运动的合运动。 一、平抛运动的速度、位移和轨迹 1．平抛运动的研究方法 (1)由于平抛运动是匀变速曲线运动，速度、位移的方向时刻发生变化，无法直接应用运动学公式，因此研究平抛运动问题时采用运动分解的方法，“化曲为直”法是我们解决所有曲线运动问题的一个重要方法。 (2)将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。这是我们解决平抛运动问题的基本方法。 2．平抛运动的规律 （1）分解速度：设平抛运动的初速度为v0，在空中运动的时间为t，则平抛运动在水平方向的速度为：vx＝v0，在竖直方向的速度为：vy＝gt，合速度为：v＝，合速度与水平方向的夹角为：θ＝arctan. （2）分解位移：平抛运动在水平方向的位移为：x＝v0t，在竖直方向的位移为：y＝gt2，对抛出点的位移(合位移)为：s＝. (3)平抛运动的几个有用的结论： ①运动时间t＝，即平抛物体在空中的飞行时间仅取决于下落的高度，与初速度v0无关． ②落地的水平距离x＝v0，即水平距离与初速度v0和下落的高度h有关，与其他因素无关． ③速度变化量：平抛运动中，任意两个时刻的速度变化量Δv＝gΔt，方向竖直向下．另外v0、Δv、vt三个速度矢量构成的三角形一定是直角三角形．如图所示． 【例题1】如图所示，有三片荷叶伸出水面，一只青蛙要从荷叶c跳到低处荷叶上。若青蛙离开荷叶c时的速度为v1，则经过时间t1，青蛙恰好落到荷叶a的中心，且末速度方向与水平方向的夹角为θ1；若青蛙离开荷叶c时的速度为v2，则经过时间t2，青蛙恰好落到荷叶b的中心，且末速度方向与水平方向的夹角为θ2。将青蛙的跳跃均视为平抛运动，已知荷叶a中心与荷叶b中心的高度相同，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】垒球比赛中，若不计空气阻力，垒球以的初速度做平抛运动，从击出开始计时，经过时间后，垒球位移大小为，位移方向与水平面夹角为，速度方向与水平面夹角的正切值，重力加速度取，则速度大小和时间分别为（　　） A．   B．   C．   D．   二、平抛运动的两个推论 1.速度的反向延长线过水平位移的中点 （1）从速度的分解来看，速度偏向角的正切值：tanθ＝＝。① （2）将代表速度矢量v的箭头反向延长，速度偏向角的正切值还可以用长度之比来表示，即 tanθ＝＝，② 联合①②解得＝v0t＝xA， 2.tanθ＝2tanα （1）速度偏向角的正切值：tanθ＝，① （2）由图知位移偏向角的正切值：tanα＝＝＝。② 比较①②可得tanθ＝2tanα。 【例题2-1】如图，某人从点对准正前方竖直靶上的点，分别将两支飞镖水平掷出，飞镖打在靶上、两点，且与竖直方向的夹角分别为与，忽略空气阻力，则（　　） A．两飞镖击中靶的速度大小相同 B．ab间距为ac间距的一半 C．两飞镖在空中运动时间相同 D．两飞镖离开手时速度大小相同 【变式2-1】如图所示，xOy是平面直角坐标系，Ox水平、Oy竖直，一质点从O点开始做平抛运动，P点是轨迹上的一点。质点在P点的速度大小为v，方向沿该点所在轨迹的切线方向。M点为P点在Ox轴上的投影，P点速度方向的反向延长线与Ox轴相交于Q点。已知，，重力加速度g取，则下列说法正确的是（　　） A．平抛的初速度为 B．质点在P点的速度大小为 C．OP连线与水平方向的夹角为30° D．若平抛初速度加倍，则质点下落到与P点同一高度所用时间将减半 【例题2-2】地球和月球上有两个足够长、倾角为的山坡，若分别从两个山坡上以相同初速度各水平抛出一个小球，小球落到山坡上时，速度方向与斜面的夹角分别记为、。地球表面重力加速度大小是月球表面的6倍，不计阻力，下列选项正确的是（　　） A． B． C． D．与无确定关系 【变式2-2】如图所示，从倾角为θ的固定斜面上的某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，不计空气阻力，则（　　） A．当v1>v2时，α1>α2 B．当v1>v2时，α1<α2 C．无论v1、v2关系如何，均有α1=α2 D．α1、α2的关系与斜面倾角θ有关 3、 斜抛运动 1.受力特点：斜抛运动是忽略了空气阻力的理想化运动，因此物体仅受重力，其加速度为重力加速度g。 2.运动特点：物体具有与水平方向存在夹角的初速度，仅受重力，因此斜抛运动是匀变速曲线运动，其轨迹为抛物线。 3.速度变化特点 (1)水平方向：速度不变。 (2)竖直方向：加速度为g，速度均匀变化，故相等的时间内速度的变化相同，即Δv＝gΔt，方向均竖直向下。 (3)最高点的速度：不为零且等于水平方向的分速度。 4.分析技巧 (1)斜上(下)抛运动问题可用运动的合成与分解进行分析，即分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上(下)抛运动。 (2)对斜上抛运动 ①运动时间及射高由竖直分速度决定，射程由水平分速度和抛射角决定。 ②由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析。 【例题3】不计空气阻力，物体以初速度v0斜向上抛出，某时刻速度方向与水平方向夹角为30°，水平分速度为，竖直分速度方向向上（）。则该物体的理论最大射程为（　　） A．15m B．20m C．25m D．30m 【变式3】某选手在跳台项目中，起跳速度大小，不计空气阻力（），起跳点与落点在同一水平面，下列说法错误的是（　　） A．理论最大射程为6.4m（抛射角45°时） B．若抛射角，总运动时间为0.8s C．若考虑空气阻力，实际射程会小于理论值 D．抛射角时的射高与时的射高相等 1．投掷飞镖是一种常见的娱乐活动。如图所示，圆形靶盘竖直放置，其中心为O点。在P点正对靶盘将飞镖以一定速度水平投出，经0.3s击中O点正下方的A点。已知P、O两点等高且相距3m，g取。则（　　） A．飞镖水平投出的速度为 B．O点和A点间距为0.45m C．投出速度足够大就可击中O点 D．投出速度越大则飞行时间越长 2．某实验小组为了研究平抛运动，从空中同一点沿水平方向同时抛出可视为质点的甲、乙两个小球，小球运动轨迹如图所示，不计一切阻力。下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两球同时落地 B．甲球比乙球先落地 C．甲球速度的变化量小于乙球速度的变化量 D．甲球的落地速度大于乙球的落地速度 3．农民用手抛撒谷粒进行水稻播种，一颗谷粒被水平抛出后运动的轨迹如图所示，O为抛出点，A、B为轨迹上的两点，且谷粒在OA间与AB间运动的时间相等。忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．谷粒在OA间水平方向的位移大小小于AB间水平方向的位移大小 B．谷粒在B点的速度大小是在A点时的2倍 C．谷粒在OA间速度变化量等于AB间速度变化量 D．谷粒在OA间与AB间竖直方向的位移大小之比为1∶4 4．小强用水枪给放在地面上的水桶灌水，已知水枪出水口水平且距离地面高度为水桶高的3倍，调整水平距离后水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿。已知水桶高为，水桶的半径为，重力加速度为，则水离开出水口的速度大小为（　　） A． B． C． D． 5．环保人员发现一根水平排污管正在向外满口排出大量污水。如图所示，环保人员利用卷尺测量管口到水面的高度y，污水落点到管口水平距离为x，管口直径d，大致估测该管道每秒排污体积为（　　） A． B． C． D． 6．如图所示，一倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上，斜面顶端距水平地面的高度为h。在甲球从斜面顶端以某一速率开始沿斜面下滑的同时，从斜面顶端以相同的速率将乙球水平向右抛出。重力加速度大小为g，两球均视为质点，不计空气阻力。若两球同时到达地面上，则该速率为（　　） A． B． C． D． 7．飞机以150m/s的水平速度匀速飞行，某时刻让A球落下，相隔1s又让B球落下，不计空气阻力，在以后的运动过程中，关于A、B两球相对位置的关系，下列说法正确的是（　　） A．A球在B球的前下方 B．A球在B球的后下方 C．A球在B球的正下方5m处 D．A球在B球的正下方且间距越来越大 8．如图所示，点为固定斜面的中点。在点和点分别以初速度和水平抛出一个小球，结果两球均落在斜面的底端。空气阻力不计。设两球在空中运动的时间分别为和，落到点前瞬间的速度大小分别为和，落到点前瞬间的速度方向与水平方向的夹角分别为和，则下列关系式正确的是（　　）    A． B． C． D． 9．如图所示，从倾角为的斜面顶端分别以和的速度水平抛出a、b两个小球，若两个小球都落在斜面上且不发生反弹，不计空气阻力，则a、b两球（    ）    A．水平位移之比为1∶2 B．下落的高度之比为1∶2 C．在空中飞行的时间之比为1∶2 D．落到斜面时速度方向与斜面夹角之比为1∶2 10．消防员在一次用高压水枪灭火的过程中，消防员同时启动了多个喷水口进行灭火。有甲、乙靠在一起的高压水枪，它们喷出的水在空中运动的轨迹曲线如图所示，已知两曲线在同一竖直面内，忽略空气阻力，则（　　） A．甲、乙水枪喷出的水初速度相等 B．乙水枪喷出的水初速度较大 C．乙水枪喷出的水在空中运动的时间较长 D．甲水枪喷出的水在最高点的速度较大 11．（多选）如图所示，一小球以的速度水平抛出，在落地之前经过空中、两点。在点小球速度方向与水平方向的夹角为，在点小球速度方向与水平方向的夹角为（空气阻力忽略不计，取），以下说法中正确的是（　　） A．小球经过、两点间的时间 B．小球经过、两点间的时间 C．、两点间的高度差 D．、两点间的高度差 12．（多选）打水漂是我国南方多水域地区较为流行的游戏之一，将石片抛向水面后，石片在水面上连续跳跃，飞向远方。若将石片水平抛出，石片抛出时距离水面的高度为h，抛出时的速度大小为，重力加速度大小为g，将石片视为质点，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．石片抛出时与第一次落到水面时的水平距离为 B．石片抛出时与第一次落到水面时的水平距离为 C．石片第一次落到水面前瞬间的速度大小为 D．石片第一次落到水面前瞬间的速度大小为 13．（多选）在乌克兰战争中，一架俄罗斯战斗机水平匀速飞行，战斗机搭载着多枚航空炸弹，飞机每隔一秒有一枚炸弹落下，当第5枚炸弹刚离开飞机时，战斗机和炸弹的在空中的位置情况下列说法正确的是（空气阻力可忽略）（　　） A．从战斗机上看炸弹做匀速直线运动 B．从地面上看炸弹的运动轨迹是一条抛物线 C．相邻炸弹之间的竖直位移之比为1：3：5：7：9 D．炸弹在相等时间内的速度变化量不相等 14．（多选）如图所示，某同学从点以水平方向成角沿斜向上的方向投出一篮球，篮球正好垂直击中篮板上的点，反弹后下落经过与等高的点，已知点为篮板底下与等高的点，且，篮球质量为，被抛出时的速度大小为，不计碰撞时间和空气阻力，重力加速度，则下列说法正确的是（　　） A．篮球在上升中做变加速曲线运动 B．篮球击中B点前的瞬时速度大小为 C．篮球击中B点后反弹的瞬时速度大小为0.25v D．从A到C的过程篮球在空中的运动时间为 15．（多选）如图所示，在一次乒乓球对决赛中，我国选手以一记漂亮的扣杀，使乒乓球擦网而过，拿下关键的一分．假设该次扣杀中，乒乓球做平抛运动，且扣杀位置距台面的高度与球网高度的比值为4:3，则从扣杀到乒乓球落至球台的过程中，下列说法正确的是（　　） A．乒乓球的加速度逐渐增大 B．擦网前乒乓球的速度变化量等于擦网至落在球台过程中乒乓球的速度变化量 C．扣杀位置到球网的水平距离与乒乓球落点到球网的水平距离之比为1:1 D．擦网时乒乓球的速度大小与落到球台时乒乓球的速度大小之比为1:2 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $