5.2 运动的合成与分解 讲义 -2025-2026学年高一物理同步重难点突破分层练（人教版必修第二册）

本讲义聚焦“运动的合成与分解”核心知识点，从蜡块运动实例切入，系统梳理合运动与分运动的独立性、等时性等关系及矢量合成法则，通过合运动性质判断、小船过河、关联速度等专题构建从概念到应用的学习支架，衔接直线运动与曲线运动知识脉络。 该资料以实验观察为基础，通过题型专练（含例题与变式）培养科学思维（如小船过河模型建构、关联速度分解推理），结合无人机飞行、龙舟比赛等实例渗透科学态度与责任。课中助力教师分层教学，课后分层训练帮助学生查漏补缺，强化运动观念的理解与应用。

鼎力物理 https://shop.xkw.com/650102 必修第二册人教版(2019) 第2节 运动的合成与分解 目录 【知识要点】 1 一、一个平面运动的实例 1 二、运动的合成与分解 2 【题型专练】 2 一、运动的合成与分解 2 二、合运动性质的判断 3 三、小船过河问题 4 四、关联速度问题 7 【分层训练】 9 一、一个平面运动的实例 1．实验观察蜡块的运动 蜡块在竖直玻璃管内向上匀速运动的同时，将玻璃管沿水平方向向右做匀速运动，观察到蜡块向右上方运动。 2．蜡块的位置：蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为vy，玻璃管向右匀速移动的速度设为vx。从蜡块开始运动的时刻计时，于是，在时刻t，蜡块的位置P可以用它的x、y两个坐标表示x＝vxt，y＝vyt。 3．蜡块运动的轨迹 由以上两式消去t，得y＝x，由于vx和vy均是常量，所以蜡块运动的轨迹是一条过原点的直线。y＝x为轨迹方程。 4．蜡块的速度 由勾股定理可得：v＝，v与x轴正方向间夹角的正切为tanθ＝。 二、运动的合成与分解 1．合运动与分运动：一个物体同时参与几个运动，那么物体实际发生的运动叫做合运动，参与的那几个运动叫做分运动。 2．运动的合成与分解 (1)运动的合成：由已知的分运动求合运动的过程。 (2)运动的分解：由已知的合运动求分运动的过程。 (3)运算法则：运动的合成与分解遵从矢量运算法则。 一、运动的合成与分解 1．合运动与分运动的关系 独立性 一个物体同时参与两个运动，其中的任一个分运动并不会因为有另外的分运动的存在而有所改变。即各分运动是互相独立的、互不影响的 等时性 各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历的时间相等。不是同时发生的运动不能进行运动的合成 等效性 各分运动合成起来和合运动效果相同，即分运动与合运动可以“等效替代” 同体性 合运动和它的分运动必须对应同一个物体的运动，一个物体的合运动不能分解为另一个物体的分运动 2．运动的合成与分解法则 运动的合成与分解是指描述物体运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解．由于它们都是矢量，所以它们都遵循矢量的合成与分解法则． ①两分运动在同一直线上时，同向相加，反向相减． ②不在同一直线上，按照平行四边形定则进行合成或分解． 【例题1】两端封闭的玻璃管中注满清水，将管转至图示竖直位置，质量为0.2kg的物体在x方向的速度—时间图像和y方向的位移—时间图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A．t=0时，物体的初速度大小为0.1m/s B．物体在y方向上做匀减速运动 C．2s末物体速度大小为 D．0-2s内物体的位移大小为 【变式1】2025年春季，邛海湿地公园的郁金香花竞相绽放，彩色的郁金香花海吸引无数游人纷至沓来，成为春日西昌最红打卡地。电视台摄制组为了拍到更广、更美的景色，采用了无人机拍摄的方法。现通过传感器将某台无人机拍摄的飞行过程转化为水平方向速度vx及竖直方向的速度vy与飞行时间t的关系图像，如图甲、乙所示，取竖直向上和水平向前为正方向。图甲中2s~5s段图像平行于t轴，则下列说法正确的是（　　） A．0~2s内，无人机做匀加速曲线运动 B．t=2s时，无人机速度为4m/s C．t=2s时，无人机运动到最高点 D．0~5s内，无人机的位移大小为 二、合运动性质的判断 1.合运动性质的判断 2.两个互成角度的直线运动的合运动性质的判断 根据合加速度方向和合初速度方向的关系，判定合运动是直线运动还是曲线运动，具体分为以下几种情况： (1)两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动。 (2)两个初速度均为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动。 (3)一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动是匀变速运动，当二者速度方向共线时为匀变速直线运动，不共线时为匀变速曲线运动。 (4)两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速运动。若两运动的合初速度方向与合加速度方向在同一条直线上，则合运动是匀变速直线运动，如图甲所示；若合初速度方向与合加速度方向不在一条直线上，则合运动是匀变速曲线运动，如图乙所示。 【例题2】关于运动的合成与分解，下列说法不正确的是（　　） A．两个直线运动的合运动不一定是直线运动 B．两个互成角度的匀速直线运动的合运动一定是直线运动 C．两个匀加速直线运动的合运动可能是曲线运动 D．两个初速度为零的匀加速直线运动互成角度，合运动一定不是匀加速直线运动 【变式2】某质点在平面上运动，时，质点位于x轴上。同一时间内，它在x方向运动的位移-时间图像如图甲所示，在y方向的速度-时间图像如图乙所示。则其在平面上的运动轨迹可能正确的是（　　） A． B． C． D． 三、小船过河问题 小船过河问题可以基于以下几点进行理解和分析： (1)将船实际的运动看做船随水流的运动和船在静水中的运动的合运动． (2)如图所示，v水为水流速度，v静水表示船在静水中的速度，将船的速度v静水沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，则v水－v静水cosθ为船实际上沿水流方向的运动速度，v⊥＝v静水sinθ为船垂直于河岸方向的运动速度．两个方向的运动情况相互独立、互不影响． 1．过河的最短时间 过河时间仅由v静水垂直于河岸的分量v⊥决定，即t＝，与v水无关．要使过河时间最短，应使垂直河岸方向的速度最大，如图所示，当sinθ＝1，即v静水垂直于河岸时，过河所用时间最短，最短时间为t＝，与v水无关． 2．过河的最小位移 过河位移由实际运动轨迹的方向决定，要使过河位移最小，应使合位移(或合速度)与河岸方向的夹角最大． (1)当v水<v静水时，过河的最小位移即河的宽度．如图所示，为了使过河位移等于河宽d，这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，使船的合速度v的方向与河岸垂直．此时，v水－v静水cosθ＝0，过河时间t＝＝ . (2)当v水>v静水时，不论船的航向如何，总是被水冲向下游．此时合速度v与河岸方向的夹角α越大，船过河的位移越小．那么，在什么条件下α角最大呢？如图所示，以v水的矢尖为圆心，以v静水的大小为半径画圆，当合速度与圆相切时，α角最大．由三角形的相似性，最小位移为s＝d，过河时间t＝＝ . 【例题3-1】小船在静水中的航速为5m/s，水流速度为3m/s，河宽为60m。当小船船头垂直河岸渡河时，下列说法正确的是（　　） A．小船渡河的最短时间为12s B．小船渡河的位移大小为60m C．小船会到达正对岸 D．小船在河水中的合速度大小为8m/s 【变式3-1】如图所示，一游泳爱好者在河边做好准备活动后，发现河对岸附近水中漂浮着一篮球顺水而下，失球者请求他帮忙捞取。当篮球与他的连线刚好与河岸垂直时，他跃入水中。如果河水流速处处相同，游泳爱好者的游泳速度大小保持静水中的游泳速度大小不变，要想尽快捡到篮球，他应该（　　） A．始终保持身体垂直河岸游 B．始终保持身体斜向河上游偏转某一角度 C．始终保持身体斜向河下游偏转某一角度 D．先斜向河上游再斜向河下游，不断改变角度 【例题3-2】1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强渡。若河面宽200m，水流速度3m/s，木船相对静水速度4m/s，则（   ） A．渡河的最短时间为40s B．渡河的最短时间为50s C．船头方向指向对岸时航程最短 D．渡河的最短航程为250m 【变式3-2】在静水中速度为v1的小船，为垂直渡过宽度为d的河流，船头与河岸成θ角斜向上游，如图甲所示。航行中发现河水流速vs与河岸间距离x的关系如图乙所示，为使小船仍能到达正对岸的B点，下列措施中可行的是（　　） A．保持船头方向不变，v1的大小不变 B．保持船头方向不变，v1先变小后增大 C．保持船速v1大小不变，θ先增大后减小 D．保持船速v1大小不变，θ先减小后增大 【例题3-3】端午赛龙舟是中华民族的传统比赛，某龙舟在比赛前划向比赛起点的途中要渡过80m宽两岸平直的河，龙舟在静水中划行的速率为8m/s，河水的流速为10m/s，下列说法正确的是（　　） A．该龙舟以最短位移渡河通过的位移为80m B．该龙舟渡河时船头垂直河岸，若水速突然变大，则渡河时间会变长 C．该龙舟渡河所用时间最少为10s D．该龙舟可能沿垂直河岸的航线抵达对岸 【变式3-3】如图，某河流中水流速度大小恒为v1，A处的下游C处有个漩涡，漩涡与河岸相切于B点，漩涡的半径为r，AB=。为使小船从A点出发以恒定的速度安全到达对岸，小船航行时在静水中速度的最小值为（　　） A． B． C．v1 D． 四、关联速度问题 绳、杆关联问题是指物拉绳(杆)或绳(杆)拉物问题．高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题的原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如图所示． 【例题4-1】如图，跨过光滑定滑轮的轻绳一端系着铁球（大小不可忽略，系绳延长线过球心）、一端连在水平台上的玩具小车上，车牵引着绳使球沿光滑竖直墙面从较低处竖直上升。则在球匀速竖直上升且未离开墙面的过程中（　　） A．玩具小车做匀速运动 B．玩具小车做加速运动 C．绳对球的拉力大小变小 D．绳对球的拉力大小变大 【变式4-1】如下图所示，轻质不可伸长的细绳绕过光滑轻质定滑轮C与物体A、B相连，质量为的物体A置于倾角为的光滑固定斜面上，质量为的物体B可沿光滑固定杆无阻力滑动。初始时刻绳恰沿水平方向，绳与斜面平行，从当前位置开始将A、B由静止释放，在此后的极短时间内，下列说法正确的是（重力加速度为（    ） A．物体A一定沿斜面向上加速 B．若，则A不能沿斜面向上加速 C．绳子拉力可能小于 D．绳子拉力可能等于 【例题4-2】在光滑水平面内，建立如图所示直角坐标系xOy，长为L的光滑细杆AB的两端点分别约束在x轴和y轴上运动，现让A端沿x轴正向以速度v0匀速运动。B端的速度大小为（　　） A．vB＝v0sin θ B．vB＝v0cos θ C．vB＝v0tanθ D．vB＝ 【变式4-2】如图所示，一轻杆两端分别固定着质量为mA和mB的两个小球A和B（可视为质点）．将其放在一个直角形光滑槽中，已知当轻杆与槽左壁成θ角时，A球沿槽下滑的速度为vA，则此时B球的速度大小为（　　） A．vAtanθ B． C．vAcosθ D．vAsinθ 1．关于运动的独立性原理，下列生活实例中未能直接明显体现的是（　　） A．在匀速水平飞行的飞机上，乘客松开手让钥匙自由落体，钥匙始终在乘客的正下方 B．狂风暴雨中，雨滴斜向下落向地面 C．小明在匀速上升的电梯里，垂直向上跳起后仍落回原地 D．蜡块在装满水的竖直玻璃管中匀速上浮，当玻璃管在水平方向做匀加速运动时，蜡块相对于地面的运动轨迹是曲线 2．如图所示，教室内安装有可以沿水平方向滑动的黑板，黑板不动时，A同学从上向下画竖线，粉笔由上端从静止开始画到下端时停止，当B同学以某一速度向左匀速拉动黑板的同时，A同学用粉笔在黑板上重复前面的画线动作，则粉笔在黑板上画出的轨迹可能为乙图中的（　　） A． B． C． D． 3．质量为的物体在水平面内做曲线运动，已知该物体在两个相互垂直方向上分运动的图像分别如图甲、乙。下列说法正确的是（　　） A．末物体的速度大小为 B．物体的初速度大小为 C．物体所受的合外力大小为 D．前内物体的位移大小为 4．无人机在某次航拍过程中从地面上开始起飞，水平方向和竖直方向的速度随时间变化的规律分别如图甲、乙所示。下列说法正确的是（　　） A．0∼2s内无人机做变加速直线运动 B．2s末无人机的速度大小为14m/s C．2s∼4s内无人机做匀变速曲线运动 D．0∼4s内无人机的位移大小为44m 5．A、B、C三只小船先后从同一地点M点渡河，河中水流速度各处相同，小船A、B、C在静水中的速度分别为v1、v2、v3，方向如图所示，三次渡河过程中船头均指向上游，运动轨迹均垂直于河岸而到达正对岸N点，下列说法正确的是（　　） A．三只小船在静水中的速度大小可能满足v1<v2<v3 B．三只小船渡河时的合速度相同 C．小船A渡河所用的时间最短 D．若水流速度大小等于小船B在静水中的速度大小v₂，小船C渡河所用的时间不变，且仍能到达正对岸N点 6．如图所示，河的宽度为，河水流速为，甲、乙两船均以在静水中的速度同时渡河，出发时两船相距，甲、乙两船头均与岸边成60°角，且乙船恰好能直达正对岸的点，则下列判断正确的是（　　） A．甲船在点右侧靠岸 B．甲船也能在点靠岸 C．甲、乙两船可能在未到达对岸前相遇 D．甲、乙两船到达对岸的时间相等 7．如图所示，某人欲乘坐快艇横跨一条河流，已知河水流速为v=2m/s，河中央有一圆形流涡，出发点与流涡的两条切线与河岸的夹角分别为53°、37°，sin37°=0.6，cos37°=0.8。若船头指向始终垂直河岸，则以下列船速v0行驶会掉入流涡的是（　　） A．1m/s B．2m/s C．3m/s D．4m/s 8．小船从出发横渡一条河，船头始终垂直于河岸方向，船相对于静水速度大小不变。已知水流速度平行河岸，越靠近河中央水流速度越大，示意如图，则小船运动轨迹可能是 A． B． C． D． 9．生活中人们常用定滑轮来升降物体。如图所示，一根不可伸长的轻绳绕过光滑的定滑轮，轻绳一端系着质量为m的重物，某人抓着轻绳另一端以速度v向右匀速移动，经过某一位置时，轻绳与水平方向的夹角为。下列说法正确的是（　　） A．重物上升的速度为 B．重物向上做加速运动 C．地面给人的摩擦力方向水平向左 D．轻绳对重物的拉力与重物的重力大小相等 10．如图所示，倾角的斜劈的劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上，现将一球放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦．若球落地前瞬间，斜劈的速度大小为v，则此时球的速度大小为（　　） A． B． C． D． 11．（多选）工业机器人的普及使工厂的生产效率大大提高，某生产线上机器人的部分构造如图所示，高为的支架竖直放置在长为的水平轨道上，支架顶端的电动机可以拉动工件以的速度匀速上升，同时水平轨道右端的电动机可以拉动支架以的速度匀速向右运动。在正常工作过程中下列说法正确的是（　　） A．工件运动的速度 B．若工件运动的速度与水平方向夹角为，则 C．2s内工件的位移大小为 D．若工件上升高度为4m，则工件同时向右移动6m 12．（多选）我国少数民族运动会上，设有跑马射箭项目（如图甲所示）运动员需骑马在直线跑道上奔驰，在指定位置弯弓放箭，射击侧方的固定靶标．如图乙所示，假设无风的天气运动员骑马沿直线跑道奔驰的速度大小与静止时射出弓箭的速度大小相等，弓箭放出时指向固定标靶的速度已知为v，且与直线跑道的夹角为，直线跑道到固定靶标的最短距离为d，下列说法正确的是（    ） A．运动员射出的弓箭速度的方向与直线跑道的夹角为 B．运动员骑马沿直线跑道奔驰的速度大小与静止时射出弓箭的速度大小均为 C．射出的弓箭发生的位移为 D．射出的弓箭的运动时间为 13．（多选）潜艇从海水的高密度区驶入低密度区过程称为“掉深”。图a，某潜艇在高密度区水平向右匀速航行；t=0时，该潜艇开始“掉深”。 图b为其竖直方向的图像，水平速度保持不变。潜艇可视为质点，则 “掉深”后的0~30s内，潜艇（    ） A．做匀变速直线运动 B．0~10s内的速度变化量为0 C．5s末的速度大小为 D．0~30s内的位移大小为 14．（多选）质量为的物体在水平面上运动，其两个正交分速度随时间的变化图像如图所示，则（    ） A．0~6s内物体始终做曲线运动 B．0~4s内物体的位移大小为 C．0~4s内物体做曲线运动，4s末物体的速度与加速度方向相反 D．0~4s内物体做直线运动，4~6s内物体做曲线运动 15．（多选）如图所示，质量为的物体P置于倾角为的固定光滑斜面上，轻质细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率水平向右做匀速直线运动，重力加速度大小为，当小车与滑轮间的细绳和水平方向的夹角为时。则下列说法中正确的是（　　） A．P的速率为 B．P的速率为 C．绳的拉力大于 D．绳的拉力小于 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $鼎力物理 https://shop.xkw.com/650102 必修第二册人教版(2019) 第2节 运动的合成与分解 目录 【知识要点】 1 一、一个平面运动的实例 1 二、运动的合成与分解 2 【题型专练】 2 一、运动的合成与分解 2 二、合运动性质的判断 4 三、小船过河问题 6 四、关联速度问题 10 【分层训练】 13 一、一个平面运动的实例 1．实验观察蜡块的运动 蜡块在竖直玻璃管内向上匀速运动的同时，将玻璃管沿水平方向向右做匀速运动，观察到蜡块向右上方运动。 2．蜡块的位置：蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为vy，玻璃管向右匀速移动的速度设为vx。从蜡块开始运动的时刻计时，于是，在时刻t，蜡块的位置P可以用它的x、y两个坐标表示x＝vxt，y＝vyt。 3．蜡块运动的轨迹 由以上两式消去t，得y＝x，由于vx和vy均是常量，所以蜡块运动的轨迹是一条过原点的直线。y＝x为轨迹方程。 4．蜡块的速度 由勾股定理可得：v＝，v与x轴正方向间夹角的正切为tanθ＝。 二、运动的合成与分解 1．合运动与分运动：一个物体同时参与几个运动，那么物体实际发生的运动叫做合运动，参与的那几个运动叫做分运动。 2．运动的合成与分解 (1)运动的合成：由已知的分运动求合运动的过程。 (2)运动的分解：由已知的合运动求分运动的过程。 (3)运算法则：运动的合成与分解遵从矢量运算法则。 一、运动的合成与分解 1．合运动与分运动的关系 独立性 一个物体同时参与两个运动，其中的任一个分运动并不会因为有另外的分运动的存在而有所改变。即各分运动是互相独立的、互不影响的 等时性 各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历的时间相等。不是同时发生的运动不能进行运动的合成 等效性 各分运动合成起来和合运动效果相同，即分运动与合运动可以“等效替代” 同体性 合运动和它的分运动必须对应同一个物体的运动，一个物体的合运动不能分解为另一个物体的分运动 2．运动的合成与分解法则 运动的合成与分解是指描述物体运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解．由于它们都是矢量，所以它们都遵循矢量的合成与分解法则． ①两分运动在同一直线上时，同向相加，反向相减． ②不在同一直线上，按照平行四边形定则进行合成或分解． 【例题1】两端封闭的玻璃管中注满清水，将管转至图示竖直位置，质量为0.2kg的物体在x方向的速度—时间图像和y方向的位移—时间图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A．t=0时，物体的初速度大小为0.1m/s B．物体在y方向上做匀减速运动 C．2s末物体速度大小为 D．0-2s内物体的位移大小为 【答案】C 【详解】A．t=0时，物体在x方向做匀加速运动，根据图示可知 y方向做匀速直线运动速度为 则初速度大小为，故A错误； BC．由图可知x方向做匀加速运动，y方向做匀速运动，故物体做匀变速曲线运动，x方向的加速度 2s末速度大小为，故C正确，B错误； D．在0~2s内，根据图像可知，y=0.2m 故位移大小为，故D错误。 故选C。 【变式1】2025年春季，邛海湿地公园的郁金香花竞相绽放，彩色的郁金香花海吸引无数游人纷至沓来，成为春日西昌最红打卡地。电视台摄制组为了拍到更广、更美的景色，采用了无人机拍摄的方法。现通过传感器将某台无人机拍摄的飞行过程转化为水平方向速度vx及竖直方向的速度vy与飞行时间t的关系图像，如图甲、乙所示，取竖直向上和水平向前为正方向。图甲中2s~5s段图像平行于t轴，则下列说法正确的是（　　） A．0~2s内，无人机做匀加速曲线运动 B．t=2s时，无人机速度为4m/s C．t=2s时，无人机运动到最高点 D．0~5s内，无人机的位移大小为 【答案】D 【详解】A．0~2s内，x方向做初速度为vx0=1m/s，加速度为 的匀加速运动；y方向做初速度为vy0=1m/s，加速度为 的匀加速运动，因合初速度和合加速度共线，则合运动为匀加速直线运动，即无人机做匀加速直线运动，选项A错误； B．t=2s时，无人机的水平速度和竖直速度均为2m/s，可知速度为 选项B错误； C．0~4s内无人机的竖直速度一直为正值，可知t=2s时，无人机还没有运动到最高点，选项C错误； D．0~5s内，无人机的位移水平位移 竖直位移 则合位移大小为 选项D正确。 故选D。 二、合运动性质的判断 1.合运动性质的判断 2.两个互成角度的直线运动的合运动性质的判断 根据合加速度方向和合初速度方向的关系，判定合运动是直线运动还是曲线运动，具体分为以下几种情况： (1)两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动。 (2)两个初速度均为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动。 (3)一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动是匀变速运动，当二者速度方向共线时为匀变速直线运动，不共线时为匀变速曲线运动。 (4)两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速运动。若两运动的合初速度方向与合加速度方向在同一条直线上，则合运动是匀变速直线运动，如图甲所示；若合初速度方向与合加速度方向不在一条直线上，则合运动是匀变速曲线运动，如图乙所示。 【例题2】关于运动的合成与分解，下列说法不正确的是（　　） A．两个直线运动的合运动不一定是直线运动 B．两个互成角度的匀速直线运动的合运动一定是直线运动 C．两个匀加速直线运动的合运动可能是曲线运动 D．两个初速度为零的匀加速直线运动互成角度，合运动一定不是匀加速直线运动 【答案】D 【详解】A．两个直线运动的合运动不一定是直线运动。如平抛运动，故A正确，不满足题意要求； B．匀速直线运动的速度不变，两个互成角度的匀速直线运动的合运动，速度一定不变，一定是匀速直线运动，故B正确，不满足题意要求； C．两个匀加速直线运动的合运动，若合速度的方向与合加速度的方向不在同一条直线上，则合运动为曲线运动，故C正确，不满足题意要求； D．两个初速为零的匀加速直线运动互成角度，由于合初速度为0，所以合运动一定是匀加速直线运动，故D错误，满足题意要求。故选D。 【变式2】某质点在平面上运动，时，质点位于x轴上。同一时间内，它在x方向运动的位移-时间图像如图甲所示，在y方向的速度-时间图像如图乙所示。则其在平面上的运动轨迹可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图甲和乙可知，质点沿y轴方向做初速度不为零的匀加速直线运动，质点沿x轴方向做匀速直线运动，所以物体的实际加速度沿y轴正方向，根据运动合成可知，物体做曲线运动，且轨迹弯向加速度方向，即合外力方向，所以物体运动图像可能是选项C对应的图。故选C。 三、小船过河问题 小船过河问题可以基于以下几点进行理解和分析： (1)将船实际的运动看做船随水流的运动和船在静水中的运动的合运动． (2)如图所示，v水为水流速度，v静水表示船在静水中的速度，将船的速度v静水沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，则v水－v静水cosθ为船实际上沿水流方向的运动速度，v⊥＝v静水sinθ为船垂直于河岸方向的运动速度．两个方向的运动情况相互独立、互不影响． 1．过河的最短时间 过河时间仅由v静水垂直于河岸的分量v⊥决定，即t＝，与v水无关．要使过河时间最短，应使垂直河岸方向的速度最大，如图所示，当sinθ＝1，即v静水垂直于河岸时，过河所用时间最短，最短时间为t＝，与v水无关． 2．过河的最小位移 过河位移由实际运动轨迹的方向决定，要使过河位移最小，应使合位移(或合速度)与河岸方向的夹角最大． (1)当v水<v静水时，过河的最小位移即河的宽度．如图所示，为了使过河位移等于河宽d，这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，使船的合速度v的方向与河岸垂直．此时，v水－v静水cosθ＝0，过河时间t＝＝ . (2)当v水>v静水时，不论船的航向如何，总是被水冲向下游．此时合速度v与河岸方向的夹角α越大，船过河的位移越小．那么，在什么条件下α角最大呢？如图所示，以v水的矢尖为圆心，以v静水的大小为半径画圆，当合速度与圆相切时，α角最大．由三角形的相似性，最小位移为s＝d，过河时间t＝＝ . 【例题3-1】小船在静水中的航速为5m/s，水流速度为3m/s，河宽为60m。当小船船头垂直河岸渡河时，下列说法正确的是（　　） A．小船渡河的最短时间为12s B．小船渡河的位移大小为60m C．小船会到达正对岸 D．小船在河水中的合速度大小为8m/s 【答案】A 【详解】A．小船渡河的最短时间为，故A正确； B．渡河时水流方向位移为，总位移，故B错误； C．船头垂直河岸时，水流未被抵消，小船无法到达正对岸，故C错误； D．合速度大小为，故D错误。 故选A。 【变式3-1】如图所示，一游泳爱好者在河边做好准备活动后，发现河对岸附近水中漂浮着一篮球顺水而下，失球者请求他帮忙捞取。当篮球与他的连线刚好与河岸垂直时，他跃入水中。如果河水流速处处相同，游泳爱好者的游泳速度大小保持静水中的游泳速度大小不变，要想尽快捡到篮球，他应该（　　） A．始终保持身体垂直河岸游 B．始终保持身体斜向河上游偏转某一角度 C．始终保持身体斜向河下游偏转某一角度 D．先斜向河上游再斜向河下游，不断改变角度 【答案】A 【详解】依题意，游泳爱好者与篮球沿河水方向的速度相同，要想尽快捡到篮球，他应该始终保持身体垂直河岸游。故选A。 【例题3-2】1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强渡。若河面宽200m，水流速度3m/s，木船相对静水速度4m/s，则（   ） A．渡河的最短时间为40s B．渡河的最短时间为50s C．船头方向指向对岸时航程最短 D．渡河的最短航程为250m 【答案】B 【详解】A B．当船头垂直河岸时突击队渡河有最短时间，则故A 错误、B正确； C D．当合速度方向与河岸垂直时，小木船能垂直于河岸到达河的正对面，设此时船头与上游的夹角为，则最短航程为200m，故CD错误。故选B。 【变式3-2】在静水中速度为v1的小船，为垂直渡过宽度为d的河流，船头与河岸成θ角斜向上游，如图甲所示。航行中发现河水流速vs与河岸间距离x的关系如图乙所示，为使小船仍能到达正对岸的B点，下列措施中可行的是（　　） A．保持船头方向不变，v1的大小不变 B．保持船头方向不变，v1先变小后增大 C．保持船速v1大小不变，θ先增大后减小 D．保持船速v1大小不变，θ先减小后增大 【答案】D 【详解】AB．航行中发现河水流速先增大后减小，为使小船仍能到达正对岸，即船在水平方向的分速度和水的速度大小相同，若保持船头方向不变，即船与河岸的夹角θ不变，根据可知先增大后变小，故AB错误； CD．为使小船仍能到达正对岸，即船在水平方向的分速度和水的速度大小相同，若保持船速v1大小不变，根据可知先增大后减小，即船与河岸的夹角θ可以先减小后增大，故C错误，D正确。 故选D。 【例题3-3】端午赛龙舟是中华民族的传统比赛，某龙舟在比赛前划向比赛起点的途中要渡过80m宽两岸平直的河，龙舟在静水中划行的速率为8m/s，河水的流速为10m/s，下列说法正确的是（　　） A．该龙舟以最短位移渡河通过的位移为80m B．该龙舟渡河时船头垂直河岸，若水速突然变大，则渡河时间会变长 C．该龙舟渡河所用时间最少为10s D．该龙舟可能沿垂直河岸的航线抵达对岸 【答案】C 【详解】A．龙舟在静水中速率为8m/s，小于河水流速10m/s，无法通过调整航向使合速度垂直河岸，因此最短位移渡河的位移大于河宽80m，故A错误； B．渡河时间仅由河宽和船速垂直河岸的分量决定，与水速无关，水速变化不影响时间，故B错误； C．最短时间渡河需船头垂直河岸，时间，故C正确； D．因船速小于水速，合速度方向无法垂直河岸，故不可能沿垂直河岸航线抵达，故D错误。故选C。 【变式3-3】如图，某河流中水流速度大小恒为v1，A处的下游C处有个漩涡，漩涡与河岸相切于B点，漩涡的半径为r，AB=。为使小船从A点出发以恒定的速度安全到达对岸，小船航行时在静水中速度的最小值为（　　） A． B． C．v1 D． 【答案】B 【详解】根据题意得解得 小船航行时在静水中速度的最小值为 解得 故选B。 四、关联速度问题 绳、杆关联问题是指物拉绳(杆)或绳(杆)拉物问题．高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题的原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如图所示． 【例题4-1】如图，跨过光滑定滑轮的轻绳一端系着铁球（大小不可忽略，系绳延长线过球心）、一端连在水平台上的玩具小车上，车牵引着绳使球沿光滑竖直墙面从较低处竖直上升。则在球匀速竖直上升且未离开墙面的过程中（　　） A．玩具小车做匀速运动 B．玩具小车做加速运动 C．绳对球的拉力大小变小 D．绳对球的拉力大小变大 【答案】D 【详解】设球的质量为m，速度为v，绳子拉力为T，拉球的绳子与竖直方向夹角为θ，由于球的半径不能忽略，易知球在上升的过程中，θ逐渐增大。 AB．将球的速度分解为沿绳子和垂直于绳子方向，车与球在沿绳子方向上速度相等，可知球上升的过程中，随着θ增大，车速逐渐减小，因此玩具小车做减速运动，故AB错误； CD．由于球匀速运动，所受合力为零，则在竖直方向上可得随着θ逐渐增大，绳子拉力逐渐增大，故C错误，D正确。故选D。 【变式4-1】如下图所示，轻质不可伸长的细绳绕过光滑轻质定滑轮C与物体A、B相连，质量为的物体A置于倾角为的光滑固定斜面上，质量为的物体B可沿光滑固定杆无阻力滑动。初始时刻绳恰沿水平方向，绳与斜面平行，从当前位置开始将A、B由静止释放，在此后的极短时间内，下列说法正确的是（重力加速度为（    ） A．物体A一定沿斜面向上加速 B．若，则A不能沿斜面向上加速 C．绳子拉力可能小于 D．绳子拉力可能等于 【答案】A 【详解】AB．由于固定杆光滑，当前位置物体B在竖直方向上只受重力作用，从当前位置开始将A、B由静止释放，物体B将向下运动，由于绳子长度不变，故在此后的极短时间内，物体A一定沿斜面向上加速，故A正确，B错误； CD．将物体B的速度沿绳方向和垂直于绳方向分解 物体A、B沿绳方向的速度相等，则物体B向下运动的极短时间内，增大，物体A的速度增大，物体A做加速运动，根据牛顿第二定律故子拉力大于，故CD错误。 故选A。 【例题4-2】在光滑水平面内，建立如图所示直角坐标系xOy，长为L的光滑细杆AB的两端点分别约束在x轴和y轴上运动，现让A端沿x轴正向以速度v0匀速运动。B端的速度大小为（　　） A．vB＝v0sin θ B．vB＝v0cos θ C．vB＝v0tanθ D．vB＝ 【答案】D 【详解】如图所示 将A、B端的瞬时速度沿杆的方向和垂直杆的方向正交分解，因杆不可伸缩，故A、B两端沿杆方向的分速度必相等，即v0cosθ＝vBsinθ可得故D正确，ABC错误。故选D。 【变式4-2】如图所示，一轻杆两端分别固定着质量为mA和mB的两个小球A和B（可视为质点）．将其放在一个直角形光滑槽中，已知当轻杆与槽左壁成θ角时，A球沿槽下滑的速度为vA，则此时B球的速度大小为（　　） A．vAtanθ B． C．vAcosθ D．vAsinθ 【答案】B 【详解】如图所示，将A、B两球的速度分别分解为沿着杆方向和垂直杆方向两个分速度， 对A球有vA2＝vAcosθ对B球有vB2＝vBsinθ由于vA2、vB2沿着同一个杆，则有vAcosθ＝vBsinθ解得vB＝所以B正确；ACD错误；故选B。 1．关于运动的独立性原理，下列生活实例中未能直接明显体现的是（　　） A．在匀速水平飞行的飞机上，乘客松开手让钥匙自由落体，钥匙始终在乘客的正下方 B．狂风暴雨中，雨滴斜向下落向地面 C．小明在匀速上升的电梯里，垂直向上跳起后仍落回原地 D．蜡块在装满水的竖直玻璃管中匀速上浮，当玻璃管在水平方向做匀加速运动时，蜡块相对于地面的运动轨迹是曲线 【答案】B 【详解】运动的独立性原理指各分运动独立进行，互不影响，总运动是分运动的矢量和。 A．钥匙在水平方向与飞机同速匀速运动，竖直方向自由下落，两方向独立叠加，钥匙始终在乘客正下方，直接体现独立性。故A不符合题意。 B．雨滴斜向下落，实际可能受空气阻力影响，导致水平与竖直方向运动相互关联，并非理想化的独立分运动叠加。此现象更直观表现为合运动，而非明显分解为独立分运动，故未直接体现独立性。故B符合题意。 C．小明在匀速上升的电梯中跳起，竖直方向运动与电梯匀速运动独立叠加，落回原地，直接体现独立性。故C不符合题意。 D．蜡块竖直匀速上浮与水平匀加速运动合成，轨迹为抛物线（曲线），需通过分运动独立分析再合成，明显体现独立性。故D不符合题意。 故选B。 2．如图所示，教室内安装有可以沿水平方向滑动的黑板，黑板不动时，A同学从上向下画竖线，粉笔由上端从静止开始画到下端时停止，当B同学以某一速度向左匀速拉动黑板的同时，A同学用粉笔在黑板上重复前面的画线动作，则粉笔在黑板上画出的轨迹可能为乙图中的（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】粉笔由上端从静止开始画到下端时停止，表明竖直方向上先向下做加速运动，后向下做减速运动，加速度方向先向下后向上，B同学以某一速度向左匀速拉动黑板的同时，则粉笔相对于黑板水平方向向右做匀速直线运动，根据运动的合成可知，粉笔相对于黑板先做加速度方向向下的匀变速曲线运动，之后做加速度方向向上的匀变速曲线运动，由于合力方向指向轨迹内侧，第四个选择项满足要求。 故选D。 3．质量为的物体在水平面内做曲线运动，已知该物体在两个相互垂直方向上分运动的图像分别如图甲、乙。下列说法正确的是（　　） A．末物体的速度大小为 B．物体的初速度大小为 C．物体所受的合外力大小为 D．前内物体的位移大小为 【答案】D 【详解】A．由图可知末物体的速度 故A错误； B．由图可知物体的初速度大小，故B错误； C．由图可知，物体方向做匀加速直线运动，方向做匀速直线运动，则其加速度为 根据牛顿第二定律可得物体所受的合外力大小 故C错误； D．前内物体方向的位移 方向的位移 前内物体的位移大小 故D正确。 故选D。 4．无人机在某次航拍过程中从地面上开始起飞，水平方向和竖直方向的速度随时间变化的规律分别如图甲、乙所示。下列说法正确的是（　　） A．0∼2s内无人机做变加速直线运动 B．2s末无人机的速度大小为14m/s C．2s∼4s内无人机做匀变速曲线运动 D．0∼4s内无人机的位移大小为44m 【答案】C 【详解】A．根据图像可知，0∼2s内水平方向的加速度为 根据图像可知，0∼2s内竖直方向的加速度为 则0∼2s内无人机的加速度为 由于无人机在时刻的速度为0，则0∼2s内无人机做匀加速直线运动，故A错误； B．2s末无人机的速度大小为 故B错误； C．2s∼4s内无人机水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，则无人机的合运动为匀变速曲线运动，故C正确； D．根据图像可知，0∼4s内无人机的水平位移大小为 无人机的竖直位移大小为 则0∼4s内无人机的位移大小为 故D错误。 故选C。 5．A、B、C三只小船先后从同一地点M点渡河，河中水流速度各处相同，小船A、B、C在静水中的速度分别为v1、v2、v3，方向如图所示，三次渡河过程中船头均指向上游，运动轨迹均垂直于河岸而到达正对岸N点，下列说法正确的是（　　） A．三只小船在静水中的速度大小可能满足v1<v2<v3 B．三只小船渡河时的合速度相同 C．小船A渡河所用的时间最短 D．若水流速度大小等于小船B在静水中的速度大小v₂，小船C渡河所用的时间不变，且仍能到达正对岸N点 【答案】C 【详解】AB．设船头方向与河岸方向间的夹角为θ，船垂直渡河，则v船cosθ=v水，v合=v水tanθ 由图示可知θ1＞θ2＞θ3，可得v1＞v2＞v3，v1合＞v2合＞v3合，故AB错误； C．渡河时间，小船在静水中的速度为v1时小船的合速度最大，渡河时间最短，故C正确； D．小船C渡河的时间，与水流速度无关，则若水流速度大小等于小船B在静水中的速度大小v2，小船C渡河所用的时间不变，但是由于水流速度大于小船C的沿河岸的分速度，可知合速度不能垂直河岸方向，即小船C不能到达正对岸N点，D错误。 故选C。 6．如图所示，河的宽度为，河水流速为，甲、乙两船均以在静水中的速度同时渡河，出发时两船相距，甲、乙两船头均与岸边成60°角，且乙船恰好能直达正对岸的点，则下列判断正确的是（　　） A．甲船在点右侧靠岸 B．甲船也能在点靠岸 C．甲、乙两船可能在未到达对岸前相遇 D．甲、乙两船到达对岸的时间相等 【答案】D 【详解】D．乙船恰好能直达正对岸的A点，根据速度合成与分解知vcos60°=u 将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，抓住分运动和合运动具有等时性，知甲、乙两船到达对岸的时间相等，渡河的时间 甲乙两船到达对岸的时间相等，故D正确； ABC．甲船沿河岸方向上的位移 可知甲船在A点左侧靠岸，甲乙两船不可能在未到达对岸前相遇，故ABC错误。 故选D。 7．如图所示，某人欲乘坐快艇横跨一条河流，已知河水流速为v=2m/s，河中央有一圆形流涡，出发点与流涡的两条切线与河岸的夹角分别为53°、37°，sin37°=0.6，cos37°=0.8。若船头指向始终垂直河岸，则以下列船速v0行驶会掉入流涡的是（　　） A．1m/s B．2m/s C．3m/s D．4m/s 【答案】B 【详解】合速度方向与河岸夹角为53°时，则有 可得 同理当合速度方向与河岸夹角为37°时，可得 故当船速在1.5m/s~2.67m/s范围内可能会掉入游涡。 故选B。 8．小船从出发横渡一条河，船头始终垂直于河岸方向，船相对于静水速度大小不变。已知水流速度平行河岸，越靠近河中央水流速度越大，示意如图，则小船运动轨迹可能是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】合速度v沿轨迹的切线方向，设合速度v与河岸的夹角为，则、、v的关系如图所示 由于不变，先增大后减小，则先减小后增大。 故选C。 9．生活中人们常用定滑轮来升降物体。如图所示，一根不可伸长的轻绳绕过光滑的定滑轮，轻绳一端系着质量为m的重物，某人抓着轻绳另一端以速度v向右匀速移动，经过某一位置时，轻绳与水平方向的夹角为。下列说法正确的是（　　） A．重物上升的速度为 B．重物向上做加速运动 C．地面给人的摩擦力方向水平向左 D．轻绳对重物的拉力与重物的重力大小相等 【答案】B 【详解】AB．将绳子被人握的一端速度分解 沿绳方向速度大小相等，重物经过图示位置的速度为 人向右以速度v匀速移动过程中，绳与水平方向的夹角逐渐减小，增大，重物加速上升，故A错误，B正确； C．人受到绳子拉力在水平方向上的分量是向左的，所以人受到地面的向右的摩擦力，故C错误； D．重物向上做加速运动，绳对重物的拉力大于它的重力，故D错误； 故选B。 10．如图所示，倾角的斜劈的劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上，现将一球放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦．若球落地前瞬间，斜劈的速度大小为v，则此时球的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意可知，球沿直线下落，斜劈水平向右运动，将二者的实际速度分别沿平行于斜面和垂直于斜面两个方向分解，如图所示，对球有，其中联立解得故选D。 11．（多选）工业机器人的普及使工厂的生产效率大大提高，某生产线上机器人的部分构造如图所示，高为的支架竖直放置在长为的水平轨道上，支架顶端的电动机可以拉动工件以的速度匀速上升，同时水平轨道右端的电动机可以拉动支架以的速度匀速向右运动。在正常工作过程中下列说法正确的是（　　） A．工件运动的速度 B．若工件运动的速度与水平方向夹角为，则 C．2s内工件的位移大小为 D．若工件上升高度为4m，则工件同时向右移动6m 【答案】AC 【详解】A．工件有两垂直的分运动合成，合速度大小为故A正确； B．若工件运动的速度与水平方向夹角为，可得故B错误； C．2s内工件的位移大小为故C正确； D．若工件上升高度为4m，则工件同时向右移动为故D错误。故选AC。 12．（多选）我国少数民族运动会上，设有跑马射箭项目（如图甲所示）运动员需骑马在直线跑道上奔驰，在指定位置弯弓放箭，射击侧方的固定靶标．如图乙所示，假设无风的天气运动员骑马沿直线跑道奔驰的速度大小与静止时射出弓箭的速度大小相等，弓箭放出时指向固定标靶的速度已知为v，且与直线跑道的夹角为，直线跑道到固定靶标的最短距离为d，下列说法正确的是（    ） A．运动员射出的弓箭速度的方向与直线跑道的夹角为 B．运动员骑马沿直线跑道奔驰的速度大小与静止时射出弓箭的速度大小均为 C．射出的弓箭发生的位移为 D．射出的弓箭的运动时间为 【答案】BD 【详解】A．运动员静止时射出的弓箭速度与骑马沿直线跑道奔驰的速度的合速度为，且两个分速度的大小相等，由速度合成的平行四边形是菱形，由几何关系可得运动员静止时射出的弓箭速度的方向与合速度的夹角为，与直线跑道的夹角为，故A错误； B．由几何关系可得可得运动员骑马沿直线跑道奔驰的速度大小与静止时射出弓箭的速度大小均为故B正确； C．射出的弓箭发生的位移为故C错误； D．射出的弓箭的运动时间为，D正确。故选BD。 13．（多选）潜艇从海水的高密度区驶入低密度区过程称为“掉深”。图a，某潜艇在高密度区水平向右匀速航行；t=0时，该潜艇开始“掉深”。 图b为其竖直方向的图像，水平速度保持不变。潜艇可视为质点，则 “掉深”后的0~30s内，潜艇（    ） A．做匀变速直线运动 B．0~10s内的速度变化量为0 C．5s末的速度大小为 D．0~30s内的位移大小为 【答案】CD 【详解】A．由于潜艇在竖直方向做变速运动，在水平方向做匀速运动，所以潜艇做曲线运动，故A错误； B．根据图像可知，0~10s内的加速度大小为则0~10s内的速度变化量为故B错误； C．根据图像可知，5s末的竖直分速度为则5s末的速度大小为故C正确； D．根据图像可知，0~30s内的竖直分位移大小为水平分位移大小为则0~30s内的位移大小为故D正确。故选CD。 14．（多选）质量为的物体在水平面上运动，其两个正交分速度随时间的变化图像如图所示，则（    ） A．0~6s内物体始终做曲线运动 B．0~4s内物体的位移大小为 C．0~4s内物体做曲线运动，4s末物体的速度与加速度方向相反 D．0~4s内物体做直线运动，4~6s内物体做曲线运动 【答案】BC 【详解】A CD．开始时物体初速度方向为x方向，加速度方向为y方向，两者不在一条直线上，所以物体做曲线运动。由图像可知，4s—6s内加速度分别为，，4s末物体的速度方向与x正方向夹角的正切值加速度方向与x负方向夹角的正切值所以速度方向与加速度方向方向相反，所以物体要做直线运动，故AD错误，C正确； B．图像与时间轴围成的面积为物体运动的位移，开始4s内物体x方向位移8m，y方向位移8m，所以开始4s内物体的位移为故B正确。故选BC。 15．（多选）如图所示，质量为的物体P置于倾角为的固定光滑斜面上，轻质细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率水平向右做匀速直线运动，重力加速度大小为，当小车与滑轮间的细绳和水平方向的夹角为时。则下列说法中正确的是（　　） A．P的速率为 B．P的速率为 C．绳的拉力大于 D．绳的拉力小于 【答案】BC 【详解】AB．将小车的速度v分解为沿细绳方向的速度和垂直细绳方向的速度，则P的速度等于沿细绳方向的速度，即的速率为，选项A错误，B正确； CD．小车以速率水平向右做匀速直线运动时，细绳和水平方向的夹角为减小，可知P的速度变大，即P沿斜面做加速运动，根据可知绳的拉力选项C正确，D错误。故选BC。 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $