21.3.3几何问题-课件-2025-2026学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程解决几何问题，通过无盖铁盒制作、甬道宽度等生活情境导入，衔接方程解法，构建“定图形忆公式、析变化设未知、找等量建方程”三步法支架，帮助学生形成从图形分析到方程建模的思路。 其亮点是用“三步法”结构化教学，结合矩形裁剪、折叠勾股等实例培养数学眼光的几何直观与抽象能力，通过师生共建总结提升数学思维的推理能力，分层作业和易错点辨析助力学生掌握，教师可高效开展教学。

2025-2026学年人教版数学九年级上册 第21章　一元二次方程 21.3.3几何问题 等腰梯形的面积为160cm2，上底比高多4cm，下底比上底多16cm，求这个梯形的高. 分析：本题可设高为 x cm，上底和下底都可以用含x的代数式表示出来，然后利用梯形的面积公式来建立方程求解. 知识点 几何图形问题 21.3.3 几何问题 教学过程 第1页：情境导入——从图形变化到方程建模 教学目标：通过生活中的几何情境，激发建模兴趣，明确本节课任务 师生活动： - 师：在生活中，我们经常会遇到与图形相关的问题，比如制作无盖铁盒、修建甬道、折叠纸片等，这些问题中隐藏着边长、面积、体积之间的数量关系，很多都可以用一元二次方程来解决。今天我们就聚焦几何问题，学习如何将图形问题转化为数学方程。 - 呈现情境1：用一张长40cm、宽30cm的长方形铁皮制作无盖铁盒，在四个角剪去相同的正方形后折起，若铁盒底面积为600cm²，剪去的正方形边长是多少？（学生观察图形，思考边长与面积的关系） - 呈现情境2：矩形草坪四周修宽度相同的甬道，草坪长80m、宽60m，修完后草坪面积3500m²，甬道宽多少？（学生困惑于“甬道宽度”与“草坪面积”的关联，明确建模必要性） - 师：解决几何问题的核心是“用数学语言描述图形关系”，我们需要借助几何公式，建立一元二次方程求解。 第2页：核心方法——几何问题建模的三步法 教学目标：掌握几何问题建模的基本思路，明确核心步骤 师生活动： - 师：几何问题类型多样，但建模思路有规律可循，我们总结为“三步法”。 - 师生共建建模三步法（板书）： 第一步：定图形，忆公式——明确题目涉及的几何图形（矩形、三角形、圆等），回忆其面积、周长、体积等核心公式（如矩形面积=长×宽，直角三角形面积=两直角边乘积/2） - 第二步：析变化，设未知——分析图形的变化方式（裁剪、折叠、拼接等），用未知数表示关键边长（通常设题目所求量为x） - 第三步：找等量，建方程——根据题目中的“面积关系”“边长关系”等关键条件，结合几何公式建立一元二次方程 - 即时小测：判断下列问题涉及的图形及核心公式①无盖铁盒制作（矩形，底面积=长×宽）②折叠长方形纸片（矩形与直角三角形，勾股定理）③直角三角形面积问题（直角三角形，面积公式） 第3页：类型探究1——裁剪与拼接问题（矩形） 教学目标：掌握矩形裁剪问题的建模方法，突破“边长变化”难点 师生活动： - 例题1：一张长方形铁皮，长40cm，宽30cm，在它的四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四边折起，做成一个无盖的长方体铁盒。若铁盒的底面积为600cm²，求剪去的正方形的边长x。 - 分步建模，教师示范： 定图形忆公式：涉及矩形（铁皮、铁盒底面），核心公式“矩形面积=长×宽” - 析变化设未知：剪去边长为x的正方形后，铁盒底面的长和宽均减少2x（左右/上下各剪去x），设剪去的正方形边长为xcm - 表示关键量：铁盒底面长=(40-2x)cm，底面宽=(30-2x)cm（强调：“2x”的由来是“四个角剪去正方形”，长和宽都减少两个边长） - 找等量建方程：根据“底面积=600cm²”，得(40-2x)(30-2x)=600 - 化简求解：展开得1200-140x+4x²=600→4x²-140x+600=0→x²-35x+150=0，因式分解得(x-5)(x-30)=0，解得x=5或x=30 - 检验作答：x=30时，30-2x=-30（边长为负，舍去）；x=5时，底面长30cm、宽20cm，面积600cm²，符合实际。答：剪去的正方形边长为5cm。 - 学生模仿练习：将长50cm、宽40cm的矩形铁皮，在四角剪去边长x的正方形，折成无盖铁盒，容积为4500cm³（铁盒高为x），求x。（提示：容积=底面积×高，方程(50-2x)(40-2x)x=4500） 第4页：类型探究2——道路与区域问题（矩形） 教学目标：掌握矩形区域中道路问题的建模技巧，避免“重复计算”错误 师生活动： - 例题2：某小区有一块长80m、宽60m的矩形草坪，计划在草坪四周修一条宽度相同的甬道，修成后草坪的面积为3500m²，求甬道的宽度。 - 小组合作探究，代表展示： 定图形忆公式：矩形（草坪、草坪+甬道），面积公式“长×宽” - 析变化设未知：甬道宽度为x，草坪位于中间，长和宽均比“草坪+甬道”小2x（四周有甬道），设甬道宽度为x m - 表示关键量：草坪长=(80-2x)m，草坪宽=(60-2x)m（对比：若甬道只在一侧，长或宽减少x，四周则减少2x） - 建方程求解：(80-2x)(60-2x)=3500→4x²-280x+1300=0→x²-70x+325=0，解得x=5或x=65（x=65舍去） - 变式训练（十字路问题）：矩形花园长20m、宽15m，中间修宽x的十字路（横竖各一条），剩余面积252m²，求x。（引导：剩余面积=大矩形面积-十字路面积，或拼补为“(20-x)(15-x)”的矩形，方程(20-x)(15-x)=252） - 易错点强调：道路问题需明确“道路位置”，四周道路则长和宽均减2x，十字路可通过“拼补法”简化建模，避免计算道路面积时重复或遗漏。 第5页：类型探究3——折叠与勾股定理问题 教学目标：掌握折叠问题中“全等”与“勾股定理”的应用，突破边长关联难点 师生活动： - 例题3：将一张长20cm、宽16cm的长方形纸片ABCD（AB=20cm，AD=16cm），沿直线AE折叠，使点D恰好落在BC边的点F处，求折痕AE的长度。 - 师生共解，突破关键： 定图形忆公式：矩形折叠，涉及全等三角形（△ADE≌△AFE）和直角三角形（Rt△ABF、Rt△EFC），核心公式“勾股定理a²+b²=c²” - 析变化找等量：折叠后AD=AF=16cm，DE=EF（全等性质），设DE=EF=x cm，则EC=(16-x)cm - 用勾股定理求关联边：在Rt△ABF中，BF=√(AF²-AB²)=√(16²-20²)？（学生发现错误，教师纠正：AB是长20cm，AD是宽16cm，AF=AD=16cm，AB=20cm，AF<AB，点F在BC上，BC=AD=16cm？重新明确：AB=16cm，AD=20cm，AF=AD=20cm，BF=√(20²-16²)=12cm，FC=20-12=8cm） - 建方程求解：在Rt△EFC中，EF²=EC²+FC²→x²=(16-x)²+8²→x²=256-32x+x²+64→32x=320→x=10 - 求折痕长度：在Rt△ADE中，AE=√(AD²+DE²)=√(20²+10²)=√500=10√5 cm - 总结折叠问题技巧：折叠前后“对应边相等、对应角相等”，优先用全等性质表示边长，再在直角三角形中用勾股定理建立方程。 第6页：类型探究4——直角三角形与其他图形 教学目标：拓展几何问题类型，掌握直角三角形、多边形等问题的建模方法 师生活动： - 例题4（直角三角形）：一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7cm²，求两条直角边的长度。 - 学生独立建模：设较短直角边为x cm，较长为(x+5)cm，方程(1/2)x(x+5)=7→x²+5x-14=0→x=2（x=-7舍去），直角边为2cm和7cm。 - 例题5（多边形）：一个多边形有35条对角线，求这个多边形的边数。（提示：n边形对角线公式为n(n-3)/2） - 师生共解：设边数为n，方程n(n-3)/2=35→n²-3n-70=0→(n-10)(n+7)=0→n=10（n=-7舍去），边数为10。 - 方法总结：非矩形问题需牢记对应图形的核心公式（如三角形面积、多边形对角线公式），明确“未知数”与“公式中量”的对应关系，再建立方程。 第7页：易错点辨析与课堂总结 教学目标：规避常见错误，梳理几何问题建模的核心思路 师生活动： - 易错点大排查（学生判断并纠错）： 错例1：矩形四周修甬道，设甬道宽x，列方程(80-x)(60-x)=3500（错误：四周甬道需减2x，应为(80-2x)(60-2x)=3500） - 错例2：折叠问题中忽略“对应边相等”，直接设折痕为x（错误：应先设小边长为x，用全等表示关联边，再求折痕） - 错例3：解方程后未检验，保留x=-5（错误：边长、宽度等为正，需舍去负根） - 课堂总结（师生共建）： 一个核心思想：转化思想——将几何图形的边长、面积关系转化为一元二次方程 - 三类常见题型：①裁剪拼接问题（抓边长变化）；②道路区域问题（抓面积关系）；③折叠勾股问题（抓全等与勾股定理） - 一套解题流程：定图形忆公式→析变化设未知→表边长找等量→建方程求解→检验作答 - 分层作业： 基础题：①长60cm、宽40cm的矩形铁皮，四角剪x的正方形，折成无盖铁盒，底面积1500cm²，求x；②直角三角形两直角边和为14cm，面积24cm²，求边长； - 提升题：将长18cm、宽12cm的矩形纸片折叠，使点B与点D重合，求折痕长度； - 拓展题：用24m长的篱笆围成矩形养鸡场，一面靠墙（墙长12m），求最大面积及对应边长。 探究新知 解：设这个梯形的高为 x cm，则上底为（x+4）cm，下底为（x+20）cm. 根据题意得 整理，得 x2+ 12x -160 = 0 解得 x1= 8 ，x2= - 20（不合题意，舍去） 答：这个梯形的高为8cm. 探究新知 如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？ 探究3 21cm 27cm 探究新知 ①根据题目的已知条件，可以推出中央的矩形的长宽之比也是27∶21 = 9∶7，那你知道上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少吗？请你推一推. 设中央的矩形的长和宽分别是 9a cm和 7a cm.由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是 21cm 27cm 探究新知 ②设上、下边衬的宽均为9xcm，而不是设为x cm，这样做有什么好处？ 列出的方程为整数式，方便计算 ③解方程时课本上先把方程整理成了一般形式，然后再用公式法求解，你有更简便解法吗？ 原方程可化为 探究新知 ④方程的哪个根符合实际意义？为什么？ 符合实际意义，因为 时， 上、下边衬的宽度之和会超过封面的长度，不符合实际情况. 探究新知 ⑤如果设中央矩形的长为9x，根据课本上的等量关系，请你列方程求解. 解：设中央矩形的长为9x cm，则宽为7x cm. 列方程得 . 即x2= ， 解得 （舍去）. ∴上下边衬的宽为 (cm)， 左右边衬的宽为 (cm). 探究新知 1.《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步.”意思是：一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，则它的宽为_______步，长为_______步. 24 36 课堂练习 2.如图，小明同学用一张长11 cm，宽7 cm的矩形纸板制作一个底面积为21 cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可(损耗不计).设剪去的正方形边长为x cm，可列方程为__________________. (11-2x) (7-2x)= 21 课堂练习 将不规则图形转化为规则图形解决几何问题 4.学校计划在一块长16m，宽10m的矩形空地上修建花坛，要求在花坛中修建两条纵向平行和一条横向弯折的小道(如图)，剩余的地方种植花草.要使种植花草的面积为126m2，则小道进出口的宽度应为多少米？ (注:所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形) 解:设小道进出口的宽度应为xm. 依题意，得(16-2x)(10-x)= 126. 整理，得x2-18x+17=0. 解得x1=1，x2= 17(不合题意，舍去). 答:小道进出口的宽度应为1m. 对于部分不规则图形,可以通过平移、旋转等变换，转化为规则图形来解决问题. 课堂练习 5.如图，某课外活动小组准备围出一个矩形场地，其中一边靠墙(墙的长度为45m)，另外三边用长为80m的篱笆围成.怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？ 围矩形问题 设未知数 列方程 解方程 取符合题意的结果 AD+AB+BC=80m S矩形ABCD=750m2 求未知数的值 限制条件：“墙的长度为45m” 分析: 解：设AD=x m，则AB=(80-2x)m. 依题意，得x(80-2x)=750. 整理，得x2-40x+375=0. 解得x1=15， x2=25. 因为80-2x≤45，所以x≥ . 所以x=25，80-2x=30. 答：围成的矩形场地的长为30m，宽为25m，才能使其面积为750m2. 课堂练习 6.如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点 P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达点 B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动.当点P停止运动时，点Q的运动也随之停止.P，Q两点出发几秒时，点 P和点Q之间的距离是10cm？ A D B C P Q 动态几何图形问题 解：设P，Q两点出发ts时，点P和点 Q之间的距离是10cm，则AP=3t cm，CQ=2t cm，DQ=(16-2t)cm.如图，过点P作PE⊥CD，垂足为E.当点P在点Q上方时，QE=DQ－AP = ( 16-5t ) cm； 当点P在点Q下方时， QE=AP－DQ=(5t-16)cm. 在Rt△PQE中，QE2+PE2=PQ2， 即(16-5t)2+62=102，解得t1= ， t2= . 答：P，Q两点出发 或 时，点P和点Q之间的距离是10cm. E 课堂练习 知识点1 面积问题 1.［教材习题变式］一个直角三角形的两条直角边长相差 ， 面积是.设这个直角三角形较长的直角边长为 ，依题意，可 列出方程为( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 14 （第2题） 2.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，绿 化后一边减少了,相邻的一边减少了 ,剩余部分 是面积为 的矩形空地，则原正方形空地的边长 为( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 15 3.如图，有一张长，宽 的矩形纸片，在它的四个角各剪去一 个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的 底面（图中阴影部分）面积是 ，则剪去的小正方形的边长为___ . 1 （第3题） 返回 考试考法 16 知识点2 边框与甬道问题 4. 指尖上的非遗——麻柳刺绣， 针线勾勒之间，绣出世间百态.在一幅长 ，宽 的刺绣风景画的四周镶一 条金色纸边（风景画四周的金色纸边宽度相 同），制成一幅矩形挂图，如图，如果要使整 个挂图的面积是 ，设金色纸边的宽 度为 ，则列出的方程为( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 17 （第5题） 5.［2025秦皇岛月考］如图，在宽，长 的 矩形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种 植花卉，且种植花卉的面积为 ，则铺设的石 子路的宽为( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 18 谢谢观看！ $