第5章直角三角形 单元综合达标测试题 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

2025-2026学年湘教版八年级数学上册《第5章直角三角形》单元综合达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．的三边长分别为，由下列条件不能判断为直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，的平分线交于点，于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 4．如图所示，点O是内一点，平分，于点D，连接，若，，则的面积是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 5．如图，在与中，，，，若 ，则的大小是（   ）    A． B． C． D． 6．如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是的长方体的顶点爬到顶点，则它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程为（　　） A． B． C． D． 7．如图，小巷宽2米，左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在小巷中间，梯子底端恰好抵在右墙角，顶端距离地面米．为方便路人行走，现将梯子扶起靠在左墙上，使梯子顶端向上移米，则梯子的底端向左移了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．如图，在中，，，于点，于点，为的中点，为的中点，则的长为（   ）． A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．等腰直角三角形顶角平分线和底边的位置关系是 ，数量关系是 ． 10．若直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的斜边长是 ． 11．如图，在数轴上点表示的实数是 ． 12．如图，如果OC平分∠AOB，点D在OC上，于点E，于点F，那么． 上述推理的依据是： （写定理） 13．如图是一株美丽的勾股树，所有四边形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若正方形A、B、C面积为2、8、5，则正方形D的面积为 ． 14．如图，已知的面积为8，平分，且于，则的面积是 ． 15．如图，《九章算术》中有这样一道古题：今有一竖直的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有二尺（绳索比木柱长2尺），牵着绳索退行，在距木柱底部6尺（）处时绳索用尽，则木柱长为 尺． 16．如图，在中， ，，直线经过点，与相交 于点F，且于，于．给出下面四个结论：①；②与互余；③；④．其中，正确的序号为 ． 三、解答题（满分72分） 17．已知：如图，在中，于点，为上一点，且，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 18．如图，在中， ，点D是外一点，连接，且． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 19．如图，，的角平分线交于点M． (1)求证：是等腰三角形； (2)作，垂足为N，若，，求的长． 20．如图，在中，是的平分线，于点于点F，． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．已知：如图中，O是的中点，D是的角平分线上一点，且，过D作于E点，于F点． (1)连接，求证：所在直线是的垂直平分线； (2)求证：； (3)判断之间的数量关系，并说明理由． 22．已知D，E分别是等边边上的点， 且，交于点F．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点E作 于点G． ①求的度数； ②求证： 23．已知，，，垂足为点A，射线，垂足为点B． (1)如图1，若点E在线段上，点D在射线上，，请你添加一个条件：______，使得，判定全等的依据是：______； (2)在（1）的条件下，证明你的结论； (3)若点E从A点出发以的速度沿射线运动，点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒，则当以点B、D、E组成的三角形与全等时，求t的值． 参考答案 1．B 【分析】本题考查直角三角形的判定，涉及三角形内角和与勾股定理，运用分类分析思想，关键是分别从角和边的角度判断，易错点是对勾股定理的逆定理或角度和为的判定条件理解不透彻；解题思路：分别从角的关系（内角和）和边的关系（勾股定理逆定理）对每个选项逐一分析，判断是否为直角三角形． 【详解】选项A：因为三角形内角和为， ， 所以 ， 则为直角三角形，不符合题意； 选项B：设, ,， 则， 解得， 则, , ， 所以不能判断为直角三角形，符合题意； 选项C：因为 即， 即， 所以为直角三角形，不符合题意； 选项D：因为， 即， 故为直角三角形，不符合题意； 故选B． 2．B 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求解． 【详解】解： ，即，平分，， ， 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解： ，， 为两个直角三角形的斜边， 故选：B． 4．B 【分析】此题考查角平分线的性质，关键是理解角平分线的性质． 过点作于点，根据角平分线的性质得到，进而求解面积． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 平分，，， ， ． 故选：B． 5．B 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．设交于点，由，，求得，由，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图所示，设交于点，   在中，，， ， ，， ， ， ， 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可． 要求所用蚂蚁走的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：如图，， 故它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程为， 故选：C． 7．C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理解决实际问题是解题的关键． 如图：由题意可得：米，米，米，则米，，运用勾股定理可得，进而求得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：由题意可得：米，米，米，则米， 在中，， 在中，， 所以米，即梯子的底端向左移了米． 故选C． 8．B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一，连接，，根据直角三角形的性质可得，，又为的中点，则，，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，， ∵，， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∵为的中点， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 9． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质（三线合一、斜边上中线的性质），解题的关键是利用等腰三角形“三线合一”判定位置关系，结合等腰直角三角形斜边上中线的特殊性推导数量关系． 先根据等腰直角三角形的定义明确顶角与底角，利用“三线合一”得出顶角平分线与底边的位置关系；再结合等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质，确定二者的数量关系． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵是顶角平分线， ∴由等腰三角形“三线合一”得，且D为中点， ∵等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴． 故答案为：；． 10．10 【分析】本题考查了勾股定理的知识．根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：根据勾股定理得到斜边． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出圆弧半径的长是解题关键．先根据勾股定理求出圆弧半径，再根据数轴即可得到答案． 【详解】解：由勾股定理得直角三角形的斜边长为， 斜边长恰好是圆弧的半径， 则点A表示的实数为， 故答案为：． 12．角平分线上的点到角两边的距离相等 【分析】本题考查角平分线的性质定理，解题的关键是熟记角平分线的性质定理内容． 根据已知条件，结合角平分线的性质定理直接得出结论． 【详解】解： 平分，点在上，， 根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一定理， ． 故答案为：角平分线上的点到角两边的距离相等． 13．15 【分析】根据勾股定理和正方形的性质即可得到结论． 【详解】解：由勾股定理得，正方形D的面积=正方形A的面积+正方形B的面积+正方形C面积=2+8+5=15， 故答案为：15． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 14． 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形角平分线的性质、三角形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．延长交于点，可求得，则可得， 则，，可得出，从而可得答案． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分，且于， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 15．8 【分析】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．设木柱长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：设木柱长为x尺，根据题意得： ， 则， 解得：， 答：木柱长为尺． 故答案为：． 16．①②④ 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形两锐角互余，根据题意得到，然后证明出，推出，进而逐项判断即可． 【详解】①∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴，故①正确； ∴ ∵ ∴ ∴与互余，故②正确； ∵中， ∴，故③错误； ∵ ∴， ∴，故④正确． 综上所述，正确的序号为①②④． 故答案为：①②④． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质，解题的关键在于利用全等三角形的性质将相等的边进行转化． （1）由可得和都是直角三角形，已经给出一条直角边和斜边对应相等，直接用“”证明全等即可； （2）由可得对应边相等，通过勾股定理求出，进而求出的长． 【详解】（1）证明：∵于点， ∴， 在与中， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 18．(1) (2)36 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形的面积，掌握知识点是解题的关键． （1）在中，利用勾股定理可求出的值，进而可求出的长； （2）由，，的长，可得出，进而可证出是直角三角形且，利用三角形的面积公式可求出及的值，将其代入中即可求出四边形的面积． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴． ∴． （2）∵，，∴． 由（1）知， ∴． ∴是直角三角形，且． ∴． 由（1）知在中，，，， ∴． ∴． 19．(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据平行线的性质以及角平分线的定义可得，从而得到，即可求证； （2）根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵是等腰三角形，， ， ∴， 在中，∵， ∴． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据角平分线的性质定理得到，运用斜边直角边即可求证； （2）运用斜边直角边证明，得到，设，则，结合题意列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分（已知）， ∴（角平分线性质）， 在和中， （已知），（已证）， ∴； （2）解：在和中，， ∴， ∴， 设，则， 由（1）知， ∴，即， 解得， 故． 21．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的性质是解题关键， （1）根据证明，进而解答即可； （2）根据证明，进而利用全等三角形的性质与等式的性质解答即可； （3）根据证明，进而利用全等三角形的性质与线段的关系解答即可． 【详解】（1）证明：O是的中点， ， ， ， ， ， ， 所在直线是的垂直平分线； （2）证明：D是的角平分线上一点，，， ， ， ， ， ， ； （3）证明：，理由如下： ， ， ， ， ， ． 22．(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形外角的性质、含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是利用全等三角形的性质进行等量替换． （1）根据等边三角形的性质，可得，，可利用“边角边”证明； （2）①根据全等三角形的性质可得， 从而得到，即可解答；②根据全等三角形的性质可得，再由含30度角的直角三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵，即， ； ②∵， ∴，     ∵， ∵，即， ∴，    ∴． 23．(1)，． (2)见解析 (3)3或7或10． 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． （1）根据证明，即可解答； （2）先证明，推导出，，得到，根据证明，即可解答； （3）分情况，当E在线段上，或当E在线段延长线上，由即可求解． 【详解】（1）解：添加一个条件：，使得，判定全等的依据是：． 故答案为：，(答案不唯一)． （2）证明：∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）∵，， ∴， ∵， 当E在线段上时， 若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若， ∴， ∴， ∴（舍去）， 当E在线段延长线上时， 若， ∴， ∵， ∴， 若， ∴， ∵， ∴， ∴当或7或10秒时，与全等． 答：t的值为3或7或10． 学科网（北京）股份有限公司 $