专题12 乘法公式（7个高频易错考点训练共28题）-2025-2026学年人教版八年级数学上册期末备考大讲堂

期末备考大讲堂 开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂》。本书专为人教版八年级上册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 为了帮助你稳扎稳打，本书构建了一个完整的备考体系：​​ 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​中小学数学教研 2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂 专题12 乘法公式（7个高频易错考点训练共28题） 考点一运用平方差公式进行运算 1．利用平方差公式计算的结果是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式计算，熟记平方差公式是解决问题的关键． 先将化为的形式，再利用平方差公式计算，然后去括号，再由有理数加减运算求解即可得到答案． 【解答】解： ， 故选：B． 2．为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的应用，运用整体思想，易错点是对 “相同项” 和 “相反项” 的整体把握不准确；解题思路是将式子中的看作整体，判断哪个选项能变形为平方差公式的结构即可． 【解答】解：运用平方差公式， 把看作一个整体，将式子变形为 “相同项” 与 “相反项” 的乘积形式， ，符合平方差公式结构； 故选C． 3．若，且，则的值为（    ） A． B．8 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查平方差公式的应用和代数式的求值，关键是通过条件确定的符号． 由平方差公式可得，结合和的条件，即可求出的值，再代入求解． 【解答】， ． ，即， ． ， ， ． 故选：A． 4．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如：，所以8，……都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”的为（   ） A．86 B．230 C．462 D．480 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式． 设两个连续奇数为和（为正整数），，根据题意可知，“凤凰数”是正整数，且为的倍数，对各选项进行分析判断即可． 【解答】解：设两个连续奇数为和（为正整数）， ∵， 根据题意可知，“凤凰数”是正整数，且为8的倍数， A．，不是“凤凰数”，不符合题意； B．，不是“凤凰数”，不符合题意； C．，不是“凤凰数”，不符合题意； D．，是“凤凰数”，符合题意． 故选：D． 考点二平方差公式与几何图形 5．如图，将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，数形结合是解决问题的关键． 通过题意，分别表示出图1和图2中阴影部分的面积即可得到答案． 【解答】解：图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置成为边长为的正方形， 图1中阴影部分的长方形长为、宽为，则面积为； 图2中阴影部分的是边长为的大正方形面积减掉边长为的小正方形面积，则面积为； 由于两个阴影部分面积相等，则得， 故选：C． 6．“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”是我国著名数学家华罗庚对“数形结合思想”在研究数学学科中所发挥的重要价值与意义的高度概括，如图所示，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握数形结合思想是解题关键．计算余下的部分的面积有两种方法：方法一：余下的部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即为；方法二：余下的部分的面积等于拼成的长方形的面积，即为；由此即可得． 【解答】解：由题意可知，计算余下的部分的面积有两种方法： 方法一：余下的部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即为， 方法二：余下的部分的面积等于拼成的长方形的面积，即为， 所以此过程可以验证． 故选：D． 7．图1是由两个正方形构成的回字形，阴影部分的面积记为．图2是由长方形和正方形构成的凹字形，阴影部分的面积记为．则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．以上情况均有可能 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握作差法比较大小是解题的关键．先根据长方形和正方形的面积公式分别求出和，然后利用作差法比较大小，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： ； ； ， ， 故选：A． 8．若长方形玻璃的长为，对应的宽为，则此玻璃的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的应用． 根据平方差公式计算即可． 【解答】解：若长方形玻璃的长为，对应的宽为， 则此玻璃的面积为， 故选：A． 考点三运用完全平方公式进行运算 9．若，则的值为（    ） A．4 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式应用；根据题意将展开整理后，然后利用等式的性质即可得到本题答案． 【解答】解：∵， ∴， ∴； 故选：A； 10．运用完全平方公式计算，则公式中的对应的是（   ） A． B． C．x D． 【答案】B 【分析】此题考查完全平方公式，根据完全平方公式，确定a和b的值，直接计算即可． 【解答】∵在公式中，对应，有，， ∴， 故公式中的对应的是， 故选B． 11．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查指数运算和乘法公式，涉及同底数幂的乘除法则和完全平方公式、多项式乘法等基础知识，关键是熟练应用知识点； 由同底数幂乘法、除法、多项式乘法公式即可一一判断． 【解答】逐项分析： ∵ ， ∴ A错误； ∵ ， ∴ B错误； ∵ ，符合完全平方公式， ∴ C正确； ∵ ， ∴ D错误 综上，故答案为：C． 12．计算的结果是（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减混合运算和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，根据完全平方公式将式子展开，再利用整式加减混合运算法则计算即可得到答案． 【解答】解： ， 故选：C． 考点四通过对完全平方公式变形求值 13．设实数x，y，z满足，则代数式的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查通过对完全平方公式变形求值，已知式子的值求代数式的值，根据，得出，，再分别代入，整理得，因为，故，则，即可作答． 【解答】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则 ， ∵， ∴， 则， 即代数式的最大值为3， 故选：C． 14．若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的公式变换，熟练应用是关键． 利用完全平方公式展开 ，并代入已知条件求解 ． 【解答】∵ ， 又 ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 故答案选：A． 15．已知，则的值为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】A 【分析】本题主要考查完全平方公式；根据对完全平方公式变形求值，整体计算即可求出结果． 【解答】解：∵， ∴， ， 故选：A． 16．如图，长为a，宽为b的长方形的周长为16，面积为10，则的值为（   ） A．160 B．84 C．80 D．44 【答案】D 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是解决本题的关键． 由题意知，，再把变形为，然后再整体代入求解即可． 【解答】解：由题意知，． ∴． ∴． 故选：D． 考点五完全平方公式在几何图形中的应用 17．如图，小明以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案．若四个正方形的周长之和为56，面积之和为54，则长方形的面积为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式在长方形面积计算中的应用，解题的关键是利用正方形的周长和面积关系得出长方形长与宽的和及平方和，再通过完全平方公式求解面积． 设长方形的长为，宽为，根据四个正方形的周长之和与面积之和列出关于、的方程，得出和的值，再利用完全平方公式求出（即长方形面积）． 【解答】解：设，，由四个正方形的周长之和为，面积之和为可得， ，， 即①，②， 由①得，③， ③ - ②得， 所以， 即长方形的面积为， 故选C． 18．如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为，小正方形的面积为，若分别用，表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景．根据拼图可知大正方形的边长为，小正方形的边长为，进而得出，，，即可得出答案． 【解答】解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， ， ， ， 由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案， ， 故选：C． 19．如图，两个正方形边长分别为，．已知，阴影部分的面积为14，则值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查完全平方公式与图形的问题，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；由题意易得，，然后问题可求解． 【解答】解：由图可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 故选C． 20．四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，则阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，全等三角形的性质，正确得出阴影部分的面积等于大正方形的面积个全等直角三角形的面积是解题的关键． 根据阴影部分的面积等于大正方形的面积个全等直角三角形的面积进行列式计算，即可作答． 【解答】解：观察图形，得出阴影部分的面积等于大正方形的面积个全等直角三角形的面积 即阴影部分的面积等于， 故选：C 考点六求完全平方式中的字母系数 21．下列多项式属于完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方式的判定，依据完全平方公式结构特征分析，关键是准确把握 的形式，易错点是对中间项系数和常数项的判断不准确； 解题思路是根据完全平方公式的结构，逐一分析选项是否符合 的形式即可． 【解答】解：完全平方式必须能表示为 ， 选项 A：，若 , ，则 ，不符合题意； 选项 B：，可化为 ，符合题意； 选项 C：，若 ,，则 ，不符合题意； 选项 D：，常数项为负，不符合题意； 故选 B． 22．若是一个完全平方式，则的值等于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值．     此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【解答】解：∵为完全平方式， ， ∴． 故选：C 23．有若干张面积分别为，，的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了张面积为的正方形纸片，张面积为的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为的正方形纸片（　　） A．张 B．张 C．张 D．张 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方式的应用，拼成大正方形时，总面积需为完全平方式，现有面积为，需添加张纸片，使 为完全平方式，据此求解即可． 【解答】解：∵为完全平方式，且， ∴还需要抽取面积为的正方形纸片 4 张， 故选：B． 24．若等式成立，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式：．也考查了代数式的变形能力． 根据完全平方公式把等式左边展开即可得到m的值． 【解答】解：∵，且， ∴， ∴． 故选：B． 考点七整式的混合运算 25．，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 先将原式变形为，再利用完全平方公式化简，然后进行合并即可． 【解答】解：∵， ∴ ， 故选：D． 26．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为，则另一边长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式混合运算的实际应用，用大正方形的面积减去小正方形的面积求出长方形的面积，再除以即可求解，正确列出算式是解题的关键． 【解答】解： ， ∴另一边长是， 故选：． 27．已知是完全平方式，则的值是（   ） A．45 B． C．20 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方式以及整式的混合运算，首先根据完全平方式的意义求得，再计算出，最后把代入计算即可． 【解答】解：是完全平方式， ∴； 又 ； 当时，原式； 当时，原式； 所以，的值是， 故选：B． 28．有4张完全一样的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形．若要求阴影部分的面积，只要知道下列哪条线段的长度（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了整式的混合运算的应用，准确用代数式表示阴影部分的面积是关键．设长方形纸片的长为a，宽为b，表示出阴影部分的面积为，再计算即可得到答案． 【解答】解：设长方形纸片的长为a，宽为b，由图可得，阴影部分的面积为 ∴要求阴影部分的面积，只要知道下列哪条线段的长度， 故选：D 学科网（北京）股份有限公司 $期末备考大讲堂 开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂》。本书专为人教版八年级上册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 为了帮助你稳扎稳打，本书构建了一个完整的备考体系：​​ 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​中小学数学教研 2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂 专题12 乘法公式（7个高频易错考点训练共28题） 考点一运用平方差公式进行运算 1．利用平方差公式计算的结果是（   ） A． B．1 C． D．2 2．为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若，且，则的值为（    ） A． B．8 C． D．4 4．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如：，所以8，……都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”的为（   ） A．86 B．230 C．462 D．480 考点二平方差公式与几何图形 5．如图，将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（   ） A． B． C． D． 6．“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”是我国著名数学家华罗庚对“数形结合思想”在研究数学学科中所发挥的重要价值与意义的高度概括，如图所示，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（　　） A． B． C． D． 7．图1是由两个正方形构成的回字形，阴影部分的面积记为．图2是由长方形和正方形构成的凹字形，阴影部分的面积记为．则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．以上情况均有可能 8．若长方形玻璃的长为，对应的宽为，则此玻璃的面积为（    ） A． B． C． D． 考点三运用完全平方公式进行运算 9．若，则的值为（    ） A．4 B．1 C． D． 10．运用完全平方公式计算，则公式中的对应的是（   ） A． B． C．x D． 11．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 12．计算的结果是（   ） A．4 B．8 C． D． 考点四通过对完全平方公式变形求值 13．设实数x，y，z满足，则代数式的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 15．已知，则的值为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 16．如图，长为a，宽为b的长方形的周长为16，面积为10，则的值为（   ） A．160 B．84 C．80 D．44 考点五完全平方公式在几何图形中的应用 17．如图，小明以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案．若四个正方形的周长之和为56，面积之和为54，则长方形的面积为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 18．如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为，小正方形的面积为，若分别用，表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 19．如图，两个正方形边长分别为，．已知，阴影部分的面积为14，则值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 20．四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，则阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 考点六求完全平方式中的字母系数 21．下列多项式属于完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 22．若是一个完全平方式，则的值等于（   ） A．2 B． C． D． 23．有若干张面积分别为，，的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了张面积为的正方形纸片，张面积为的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为的正方形纸片（　　） A．张 B．张 C．张 D．张 24．若等式成立，则（　　） A． B． C． D． 考点七整式的混合运算 25．，则（　　） A． B． C． D． 26．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为，则另一边长是（　　） A． B． C． D． 27．已知是完全平方式，则的值是（   ） A．45 B． C．20 D． 28．有4张完全一样的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形．若要求阴影部分的面积，只要知道下列哪条线段的长度（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $