反比例函数综合应用 2025-2026学年北师大版九年级数学上册第六章反比例函数

一、选择题：反比例函数综合应用 1.如图，点A，B分别在反比例函数 和 的图象上，分别过A，B 两点向x轴，y轴作垂线，形成的阴影部分的面积为7，则k的值为( ) A.6 B.7 C.5 D.8 2.如图，A，B是双曲线 上的两点，分别过A，B两点向x轴、y轴作垂线段，若S阴影=1，则S1+S2的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 3.如图， AOB是等腰三角形，AB=AO，反比例函数 的图象经过点A，且ΔAOB的面积是，则k的值是( ) A. B. C. D. 4．如图,P(x,y)(x>0)是反比例函数 (k>0)的图象上的一个动点，以点P为圆心，OP为半径的圆与x轴的正半轴交于点A.若ΔOPA的面积为S，则当x增大时，S的变化情况是( ) A.S的值增大 B.S的值减小 C.S的值先增大，后减小 D.S的值不变 2题 3题 4题 1题 5.如图，A是反比例函数 (x>0)图象上任意一点，过点A且平行于x轴的直线 交反比例函数 (x<0）的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中点 C， D在x轴上，则平行四边形ABCD的面积为( ) A.6 B.5 C.3 D.2.5 6.已知反比例函数 ，则下列结论不正确的是( ) . A．图象经过点（-1,3） B.在每一象限内，y值随x值的增大而增大 C.图象在第二、四象限内 D.若x<-1，则y>3 二、填空题 7.如图，点A在函数 (x<0)的图象上，过点A作ABLx轴于点B，作AC//x轴交函数 (x<0)的图象于点C，连接OC，则四边形ABOC的面积为 8题 7题 5题 8.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半 轴上，点A的坐标为（-4,0），点D的坐标为（-1,4），反比例函数 (x>0）的图象恰好经过点C，则k的值为 9.如图，已知点A是反比例函数 (x<0）的图象上的一个动点，连接OA，若将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OB，则点B所在反比例函数图象的函数表达式为 10.如图，已知点A，B分别在反比例函数 和 的图象上，若点A是线段OB 的中点，则k的值为 . 11.若点A(x1,-6)B(x2,-2),C(x3,2)在反比例函数 图象上，则x1,x2,x3的大小关系是( ). 12.已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,y3)在反比例函数 (k<0)的图象上， 则y1,y2,y3的大小关系是（ ） 13.矩形OBAC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数 的图象与AB边交于点D，与AC边交于点F，与OA交于点E，OE=2AE，若四边形ODAF的面积为2，则k的值是( ) ． 9题 13题 10题 三、解答题： 14.如图，已知正比例函数y=2x与反比例函数的图象交于点A(m,-2) （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量 x的取值范围； （3）若双曲线上点C(2,n)沿OA方向平移5个单位长度得到点B，判断四边形OABC 的形状，并证明你的结论. 15.如图是反比例函数 与 在第一象限内的图象，点P是 的图象上的一个动点，过点P作PA ⊥x轴于点A，交 的图象于点C；过点P作PB⊥y轴于点B，交 的图象于点D. （1）求证：点D是BP的中点． （2）求四边形ODPC的面积. 16.如图，直线AB与反比例函数 的图象交于A(-1,5),B(m,-1)两点，连接OA，OB. （1）直接写出k，m的值． （2）当x满足什么条件时，直线在反比例函数图象的上方？ （3）若点P为y轴上一点，ΔABP的面积是ΔABO面积的2倍，求点P的坐标． 17.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数 (x>0）的图象交于A(1,6),B(3，n)两点，与x轴交于点C. （1）求一次函数的表达式； （2）若点M在x轴上，且ΔAMC的面积为6，求点M的坐标； （3）结合图象，直接写出kx+b- =<0时，x的取值范围； （4）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，直接写出满足条件的点P的 18探究： （1）如图①，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D 的坐标分别为（-1,0），（2,0），(-2,2),(-2,-1），则线段AB的中点坐标为 ；线段CD的中点坐标为 . （2）如图②，线段AB的端点坐标为A(1,2),B（7,5），求AB的中点D的坐标． 归纳： （3）在平面直角坐标系中，若线段AB的端点坐标为A(a,b),B(c,d)，则AB的中点D的坐标为 . 运用： （4）如图③，一次函数y=x-2与反比例函数 的图象交于A，B两点. i）求点A，B的坐标； ii）若在平面内有一点P，使以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用（3）的结论求点P的坐标． ① ② ③ 答案： 一、选择题：1.C 2. C 3. B 4. D 5. B 6. D 二、填空题：7.5 8.16 9. 10.-8 11. X2<X1<X3 12. Y3<Y1<Y2 13. 三、解答题： 14.．解：（1）设反比例函数的表达式为 (k>0). ∵点A(m,-2)在直线y＝2x上， ∴ -2=2m，解得m=-1, ∴A(-1,-2). 又∵点A在双曲线 上 ∴k=2反比例函数的表达式为 . (2) -1<x<0或x>1. (3) 四边形OABC是菱形，证明如下： ∵A(-1,-2),:.OA= .由题意，知CB//OA，且CB= , ∴CB=OA ∴四边形OABC是平行四边形.点C(2,n)在双曲线 ∴n=1 ∵C(2,1),OC= ∴ OC=OA,四边形OABC是菱形. 15.（1）证明：设点P的坐标为( ,m). ∵PBy轴， ∴点D的纵坐标为m. ∵点D在反比例函数 上，即 ∴ ∴点D的坐标为( ,m) ∴BD= ,DP= ∴BD=DP ∴点D是BP的中点. （2）解：由图可知S四边形PBOA=6,SΔOBD=SΔOAC= ∴S四边形ODPC＝S四边形PBOA-SΔOBD-SΔOAC=6- - =3 16.（1）K=-5， m=5. （2）当x<-1或0<x<5时，直线在反比例函数图象的上方. （3）如图，设直线AB与y轴交于点Q． 设直线AB的函数表达式为y=ax+b. 将A(-1,5),B（5，-1）代入，得 解得 ∴直线AB的函数表达式为y=-x+4. 令x=0，则y=4.∴Q(0,4).∴0Q=4. 设P(0,x),:.PQ=|x-4|. ∴SΔABP=2SΔABO ∴ 即 解得x=12或-4． ∴点P的坐标为（0,12）或（0，-4）． 17.解：（1）将A（1,6）代入 ，得m=6. 反比例函数的表达式为 将B（3，n）代入 ，得n=2. 点B的坐标为（3,2）． 将A（1,6），B（3,2）代入y=ax+b，得 解得 一次函数的表达式为y=-2x+8. （2）在y=-2x+8中，令y=0即-2x+8=0解得x=4. 点C的坐标为（4,0）． 由SΔAMC= ×6CM=6，得CM=2. ∴点M的坐标为（6,0）或（2,0）． (3)0<x<1或x＞3． (4)(0,5). 18.(1)( ,m) ( -2 , ) (2)如图，过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，交于点E，过点D作DF⊥AE于点F,则∠AFD=90° ∵A(1,2),B(7,5),∴AE=6,BE=3. ∵点D是AB的中点，∴ = ; 易得∠AEB=90° ∴∠AFD=∠AEB. ∵∠A=∠A,∴ΔADF∽ΔABE. ∴ ∴点D的坐标为(4. ) (3)( , ) (4)点P的坐标为（-4，-4）或（4,4）或（2，-2）． 学科网（北京）股份有限公司 $