第八单元数学广角——数与形【从新情境到新素养】-2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列（原卷版+解析版）人教版

学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 昨夜西风调碧树，独上高楼，望尽天涯路。 —宋·晏殊《蝶恋花槛菊愁烟兰泣露》 第1页共6页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋 第八单元数学广角一数与形【从新情境到新素养】 新 情境主题 吕【典型例题】 【新情境数学文化】费马是法国著名的数学家，他曾经提出一个猜想：如果用一个奇质数（既 是奇数又是质数)除以4，余数为1，那么这个奇质数就可以写成“a2+b2的形式。例如，13 是一个奇质数，13÷4=3...1，那么13可以写成32+22的形式。这个猜想后来被证实，称为 费马平方和定理。 根据上面的说法，请完成下面的题目。 (1)31是一个奇质数，它( )费马平方和定理的要求（填“符合”或者不符合）。 (2)写出一个大于60、小于70的奇质数，这个数符合费马平方和定理的要求，它是( ), 它可以写成( )2+( )2的形式。 肥【对应练习】 1.【新情境。数学文化】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一组 数： 1,1,2,3,5,8,13,21,. 计算：1+1+22+32+52+82+132这样的算式时有简便方法吗？ 小桂遇到这个问题时，想到用数形结合”的方法来探索，他以这组数中的各个数作为正方形的 边长构造成正方形，再拼成下图中的长方形。 图形 23 算式 12+12 12+12+22 12+1+22+32 12+12+22+32+52 序号 ① ② ③ ④ (1)观察上面的图形和算式，把下面的算式补充完整 12+12=1×2 12+12+22=2×3 1+12+22+32=3×5 第2页共6页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 12+12+22+32+52=( )x( ) 12+12+22+32+52+82=( )x( ) (2)按此规律继续拼长方形，序号( )对应的长方形的面积数是1870。 2.【新情境⑧数学文化】杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数内在的 一些性质直观地从图形中体现出来，是一种数与形的结合，如图，第4行第2个数是3，第7 行第4个数是( ) 6 3.【新情境。数学文化】古希腊毕达哥拉斯学派把1、3、6、10.…这样的数称为三角形数， 把1、4、9、16.这样的数称为正方形数”。从图中可以发现，任何一个大于1的正方形数” 可以看作两个相邻三角形数之和，比如4=1十3,9=3十6.…那么49=( )+( ) ●●●● ●● ●● 新 素养培优 吕【典型例题】 【新素养。几何直观能力】下面图形都是由面积为1的正方形组成的，观察图形的变化规律， 第⑧个图形中正方形的数量是( )个 肥【对应练习】 1.【新素养。几何直观能力】观察图的规律，第6个图中有( )个点，第n个图中有 )个点。 第3页共6页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ☆ 第1个图 第2个图 第3个图 第4个图 2.【新素养。几何直观能力】下面图形中，第1个图案是由4个基本图形组成，第2个图案 是由7个基本图形组成， , 第5个图案是由( )个基本图形组成，第10个图案是 由( )个基本图形组成。 格 第1个 第2个 第3个 3.【新素养。几何直观能力】如下图，用棱长1cm的正方体排成一排排并成长方体。像这样， 用n个正方体拼成的一个长方体的表面积，比原来n个正方体表面积之和减少了( )cn2。 新的 趋势命题 吕【典型例题】 【新趋势·数形结合】仔细观察表3，完成下列问题。 (1)小爱同学设计了一个由方格组成的圈数工具（如图1所示），在数表里圈了两组数（数 表中的阴影部分)。请你从中任选一组求这6个数的和。列式并写出计算过程。 (2)如果小爱用这个圈数工具在数表中任意地圈数，请用含有字母a与b的等式表示这两个数 之间的关系(a与b的位置如图2) 0123456789 1011 1819 22 27 33 36 4445 5455 63 66 图1 72 77 8081 8889 90 99 b 图2 第4页共6页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (3)请你设计一个新的圈数工具在上面数表中圈数（圈数工具的方格与方格之间必须有连接 的点或边)，使它圈出的5个数之和是其中一个数()的5倍。在下面的方格图里画图表示， 每个工具都要在相应的方格里写上。至少设计出6种圈数工具。（与图例重复不得分。） 图例 a 肥【对应练习】 1.【新趋势·数形结合】在数学学习中，我们常常用数形结合的方法将复杂的问题简单化， 抽象问题具体化。 (1)我们在探究分数乘法的算理和算法时就运用了这一思想方法，请画图解释×子的算理。 24 (2)玲玲在解决12+12+22+32+52+82+132+212+342+..这个问题时，想到了用数形结 合的办法来探索，于是她以这组数中各个数作为正方形的边长构造正方形，再拼成如下面所示 的长方形来研究。 序号 1 2 3 图形 出 算式 12+12 12+12+22 12+12+22+32 ①你根据前面的规律，把序号4的图形与算式补充完整。 ②观察上面的图形和算式，你能把下面的算式补充完整吗？ 12+12=1×2 12+12+22=2×3 12+12+22+32=3×5 第5页共6页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 12+12+22+32+52=( )x( ) 12+12+22+32+52+82+132=( )×( ) ③若按此规律继续拼长方形，有一个长方形的面积是1870，它表示的算式是 ( ) 2.【新趋势。数形结合】两个非0数a、b,小明为了验证(a+b)是不是等于a2+b2,想出了 两种办法验证： (1)例举具体数据进行验证： (2)用数形结合方法验证： 画一个大正方形，边长是a十b的和，如图，那么大正方形面积边长×边长可以表示为(a+b) ×(a十b),也就是(a+b)。也可以用①②③④四块面积相加求和，看结果是不是等于a?+b2。 请你分别用上面(1)(2)两种方法来验证：(a+b)是不是等于a2+b2。 a b a ② 第6页共6页学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 昨夜西风调碧树，独上高楼，望尽天涯路。 —宋·晏殊《蝶恋花槛菊愁烟兰泣露》 第1页共13页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋 第八单元数学广角—数与形【从新情境到新素养】 新 情境主题 吕【典型例题】 【新情境数学文化】费马是法国著名的数学家，他曾经提出一个猜想：如果用一个奇质数（既 是奇数又是质数)除以4，余数为1，那么这个奇质数就可以写成“a2+b2的形式。例如，13 是一个奇质数，13÷4=3...1，那么13可以写成“32+22的形式。这个猜想后来被证实，称为 费马平方和定理。 根据上面的说法，请完成下面的题目。 (1)31是一个奇质数，它( )费马平方和定理的要求（填“符合”或者不符合）。 (2)写出一个大于60、小于70的奇质数，这个数符合费马平方和定理的要求，它是( 它可以写成( )2+( )2的形式。 【答案】(1)不符合 (2) 61 6 5 【分析】(1)要判断31是否符合费马平方和定理的要求，需要先计算31÷4的结果。31÷4 7……3,余数是3而不是1。根据费马平方和定理，如果一个奇质数÷4余数为1，才能写成a +b2的形式。所以31不符合费马平方和定理中除以4余数为1的这个条件。 (2)大于60、小于70的奇数有61、63、65、67、69。其中质数有61、67。即是奇数又是质 数的是：61、67，分别计算它们÷4的余数：61÷4=15……1，符合要求，可以写成a2+b2的 形式。67÷4=16…3，余数为3,61可以写成62+52的形式。 【详解】(1)31÷4=7……3，余数是3而不是1。 31是一个奇质数，它不符合费马平方和定理的要求。 (2)大于60、小于70的即是奇数又是质数的是：61、67。 61÷4=15……1,符合要求，可以写成a2+b2的形式。 67÷4=16……3,余数为3，不符合。 61可以写成62+52的形式。 第2页共13页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 大于60、小于70的奇质数，这个数符合费马平方和定理的要求，它是61，它可以写成62+52 的形式。 肥【对应练习】 1.【新情境。数学文化】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一组 数： 1,1,2,3,5,8,13,21, 计算：1+1+22+32+52+82+132这样的算式时有简便方法吗？ 小桂遇到这个问题时，想到用数形结合”的方法来探索，他以这组数中的各个数作为正方形的 边长构造成正方形，再拼成下图中的长方形。 2 图形 5 算式 12+12 12+12+22 12+1+22+32 12+12+22+32+52 序号 ① ② ③ ④ (I)观察上面的图形和算式，把下面的算式补充完整。 12+12=1×2 12+12+22=2×3 12+12+22+32=3×5 12+12+22+32+52=( )x( )。 12+12+22+32+52+82=( )x( ) (②)按此规律继续拼长方形，序号( )对应的长方形的面积数是1870。 【答案】() 8 8 13 (2)⑧ 【分析】(1)观察图形和算式可知，每个算式的和等于其所对应的长方形的面积，把算式的 每个加数去掉平方后排成一组数，它所对应的长方形的宽等于这组数的末项，长方形的长等于 这组数末项和前一项的和，所以长方形面积=末项数×（末项数十前一项数），据此解答。 (2)根据观察可以发现，①号长方形的面积数是题干中那组数的前2项的数的平方的和，且 等于1×2；②号长方形的面积数是题干中那组数的前3项的数的平方的和，且等于2×3。 因为1870=34×55=34×(34+21)，34是数列1,1,2,3,5,8,13,21,34..的第9项， 所以序号⑧对应的长方形的面积数是1870。 【详解】(1)观察图形和算式可知，每个算式的和等于其所对应的长方形的面积，把算式的 第3页共13页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 每个加数去掉平方后排成一组数，它所对应的长方形的宽等于这组数的末项，长方形的长等于 这组数末项和前一项的和，所以长方形面积=末项数×（末项数+前一项数）。 因此：12+12+22+32+52=5×8；12+12+22+32+52+82=8×13。 观察上面的图形和算式，把下面的算式补充完整。 12+12=1×2 12+12+22=2×3 12+12+22+32=3×5 12+12+22+32+52=5×8。 1+12+22+32+52+82=8×13。 (2)规律：①号长方形的面积数是题干中那组数的前2项的数的平方的和，且等于1×2：② 号长方形的面积数是题干中那组数的前3项的数的平方的和，且等于2×3。 观察数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55.，尝试计算发现： 34×55=34×(34+21)=34×55=1870 34是数列1,1,2,3,5,8,13,21,34..的第9项，所以序号⑧对应的长方形的面积数是 1870。 按此规律继续拼长方形，序号⑧对应的长方形的面积数是1870。 【点睛】解题关键是发现斐波那契数列与图形面积的规律，并利用这一规律推导和计算。 2.【新情境。数学文化】杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数内在的 一些性质直观地从图形中体现出来，是一种数与形的结合，如图，第4行第2个数是3，第7 行第4个数是( 【答案】20 【分析】通过观察杨辉三角图可知：从第一行开始，每一行的两端都是1，其余的数是上一行 相邻两个数的和，据此补全杨辉三角第7行的数字，再找到第7行第4个数。据此解答即可。 【详解】 第4页共13页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 10 10 6 15 20 15 6 如图所示，第7行第4个数是20。 3.【新情境。数学文化】古希腊毕达哥拉斯学派把1、3、6、10.…这样的数称为三角形数， 把1、4、9、16.这样的数称为正方形数”。从图中可以发现，任何一个大于1的正方形数， 可以看作两个相邻三角形数”之和，比如4=1+3,9=3+6..那么49=( )+( ) ●●● 【答案】 21 28 【分析】1、3、6、10.这样的数称为三角形数”，3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4. 第n个三角形数是1+2十3+十n=0D:正方形数是1=1,4=2,9=3…第n个正方 2 形数是2：任何一个大于1的正方形数可以看作两个相邻三角形数之和，正方形数49=7， 所以正方形数是第7个，根据第n个三角形数是心0出计算即可解答。 2 【详解】由分析可知：第n个三角形数是”D 2 49=72 所以正方形数是第7个，则两个三角形数分别是第7个和第6个，把7和6分别代入+D 2 得 7×(7+1) 2 =7x8=7×4=28 2 6x(6+12=6x7 =3×7=21 2 所以49=21+28 新 素养培优 吕【典型例题】 第5页共13页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 【新素养。几何直观能力】下面图形都是由面积为1的正方形组成的，观察图形的变化规律， 第⑧个图形中正方形的数量是( )个。 ① (② ③ 4 【答案】44 【分析】由图可知，第①个图形有2个正方形，第②个图形有(2+3)个正方形，第③个图形 有(2+3+4)个正方形，第④个图形有(2+3+4+5)个正方形..以此类推，正方形的个 数为从2开始连续自然数的和，是第几个图形算式中就有几个加数，据此解答。 【详解】2+3+4+5+6+7+8+9 = (2+3+4+5)+(6+7+8+9) =14+30 =44(个) 所以，第⑧个图形中正方形的数量是44个。 即【对应练习】 1. 【新素养·几何直观能力】观察图的规律，第6个图中有( )个点，第n个图中有 )个点。 第1个图 第2个图 第3个图 第4个图 【答案】 21 4n-3 【分析】观察图形可以发现：第一个图形有1个点；第二个图形有(1+4×1)个点：第三个图 形有(1+4×2)个点：第四个图有(1+4×3)个点，.第n个图形有[1十4(n一1)]个点。 【详解】由分析可知：第n个图形点的个数为： 1+4(n-1) =1+4n-4 =(4n-3)(个) 把n=6代入4n-3得： 4×6-3 第6页共13页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 =24-3 =21(个) 所以第6个图中有21个点，第n个图中有(4n一3)个点。 2. 【新素养。几何直观能力】下面图形中，第1个图案是由4个基本图形组成，第2个图案 是由7个基本图形组成， .,第5个图案是由( )个基本图形组成，第10个图案是 由( )个基本图形组成 ... 第1个 第2个 第3个 【答案】 16 31 【分析】根据题意可知，第1个图案是由4个基本图形组成，第2个图案是由7个基本图形组 成，第3个图案是由10个基本图形组成，由此可知，后一个图案比前一个图案多3个基本图 形： 第1个图案是由4个基本图形组成，可以写成：3×1十1： 第2个图案是由7个基本图形组成，可以写成：3×2+1： 第3个图案是由10个基本图形组成，可以写成：3×3+1： 由此可知，第n个图案由(3n十1)个基本图形组成，当n=5时，n=10时，求出有多少个基 本图案组成，据此解答。 【详解】根据分析可知，第n个图案由(3n十1)个基本图形组成。 n=5时： 3×5+1 =15+1 =16(个) n=10时： 3×10+1 =30+1 =31(个) 第1个图案是由4个基本图形组成，第2个图案是由7个基本图形组成，..，第5个图案是 由16个基本图形组成，第10个图案是由31个基本图形组成。 第7页共13页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 3.【新素养。几何直观能力】如下图，用棱长1c的正方体排成一排排并成长方体。像这样， 用n个正方体拼成的一个长方体的表面积，比原来个正方体表面积之和减少了( )cm2. 【答案】2n-2 【分析】用2个正方体拼成一个长方体，减少了2个面：用3个正方体拼成一个长方体，减少 了4个面；用4个正方体拼成一个长方体，减少了6个面..以此类推，用个正方体拼成一 个长方体，减少了(2n一2)个面；正方体的棱长为1cm,则正方体每个面的面积为1cm2,因 此拼成的一个长方体比原来个正方体表面积之和减少了的表面积=减少的面×每个面的面积， 据此解答。 【详解】用2个正方体拼成一个长方体，减少了2个面： 用3个正方体拼成一个长方体，减少了4个面： 用4个正方体拼成一个长方体，减少了6个面. 用n个正方体拼成一个长方体，减少了2×(n一1)=(2m一2)个面。 每个面的面积：1×1=1(cm2) (2n-2)×1=（2n-2)cm2 因此用n个正方体拼成的一个长方体的表面积，比原来n个正方体表面积之和减少了(2一2) cn2。 新 趋势命题 号【典型例题】 【新趋势数形结合】仔细观察表3，完成下列问题。 (1)小爱同学设计了一个由方格组成的圈数工具（如图1所示），在数表里圈了两组数（数 表中的阴影部分)。请你从中任选一组求这6个数的和。列式并写出计算过程。 (2)如果小爱用这个圈数工具在数表中任意地圈数，请用含有字母a与b的等式表示这两个数 之间的关系（a与b的位置如图2)。 第8页共13页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 0 1234 5 6 7 6 1011 18 19 22 27 33 36 4445 5455 63 66 图1 72 77 8081 8889 90 99 b 图2 (3)请你设计一个新的圈数工具在上面数表中圈数（圈数工具的方格与方格之间必须有连接 的点或边)，使它圈出的5个数之和是其中一个数()的5倍。在下面的方格图里画图表示， 每个工具都要在相应的方格里写上。至少设计出6种圈数工具。（与图例重复不得分。) 图例 a 【答案】(1)3+12+13+21+22+23 =28+21+22+23 =49+22+23 =71+23 =94 (2)b=a+11 (3)见详解 【分析】(1)根据数表中数的排列规律以及图1中所圈数的关系，如果最上层的这个数为3， 第9页共13页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 则第二层的数分别为：12、13，第三层的数为：21、22、23。求这5个数的和即可。 (2)根据数表中数的排列规律及a、b的位置关系可知：b=a十11。 (3)根据题意找到符合题意的圈数工具，完成作图即可。 【详解】(1)如果最上层的这个数为3，则第二层的数分别为：12、13，第三层的数为：21、 22、23,这6个数的和为： 3+12+13+21+22+23 =28+21十22+23 =49+22+23 =71+23 =94 答：这六个数的和为94。（答案不唯一) (2)图2中b=a+11 (3)如图所示： 图例 a a a a a (答案不唯一，合理即可。) 【点睛】本题注意考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做 题。 肥【对应练习】 1.【新趋势数形结合】在数学学习中，我们常常用数形结合的方法将复杂的问题简单化， 抽象问题具体化。 (1)我们在探究分数乘法的算理和算法时就运用了这一思想方法，请画图解释，×的算理。 24 (2)玲玲在解决12+12+22+32+52+82+132+212+342+..这个问题时，想到了用数形结 第10页共13页 昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。 ——宋·晏殊《蝶恋花·槛菊愁烟兰泣露》 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋」 第八单元数学广角——数与形【从新情境到新素养】 【典型例题】 【新情境·数学文化】费马是法国著名的数学家，他曾经提出一个猜想：如果用一个奇质数（既是奇数又是质数）除以4，余数为1，那么这个奇质数就可以写成“”的形式。例如，13是一个奇质数，13÷4＝3……1，那么13可以写成“”的形式。这个猜想后来被证实，称为费马平方和定理。 根据上面的说法，请完成下面的题目。 (1)31是一个奇质数，它( )费马平方和定理的要求（填“符合”或者“不符合”）。 (2)写出一个大于60、小于70的奇质数，这个数符合费马平方和定理的要求，它是( )，它可以写成( )2( )2的形式。 【对应练习】 1．【新情境·数学文化】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一组数： 1，1，2，3，5，8，13，21，… 计算：这样的算式时有简便方法吗？ 小桂遇到这个问题时，想到用“数形结合”的方法来探索，他以这组数中的各个数作为正方形的边长构造成正方形，再拼成下图中的长方形。 图形 … 算式 … 序号 ① ② ③ ④ … (1)观察上面的图形和算式，把下面的算式补充完整。                           ( )×( )。 ( )×( )。 (2)按此规律继续拼长方形，序号( )对应的长方形的面积数是1870。 2．【新情境·数学文化】杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数内在的一些性质直观地从图形中体现出来，是一种数与形的结合，如图，第4行第2个数是3，第7行第4个数是( )。 3．【新情境·数学文化】古希腊毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”可以看作两个相邻“三角形数”之和，比如4＝1＋3，9＝3＋6…那么49＝( )＋( )。 【典型例题】 【新素养·几何直观能力】下面图形都是由面积为1的正方形组成的，观察图形的变化规律，第⑧个图形中正方形的数量是( )个。 【对应练习】 1．【新素养·几何直观能力】观察图的规律，第6个图中有( )个点，第n个图中有( )个点。 2．【新素养·几何直观能力】下面图形中，第1个图案是由4个基本图形组成，第2个图案是由7个基本图形组成，……，第5个图案是由( )个基本图形组成，第10个图案是由( )个基本图形组成。 3．【新素养·几何直观能力】如下图，用棱长1cm的正方体排成一排排并成长方体。像这样，用n个正方体拼成的一个长方体的表面积，比原来n个正方体表面积之和减少了( )cm2。 【典型例题】 【新趋势·数形结合】仔细观察表3，完成下列问题。 （1）小爱同学设计了一个由方格组成的圈数工具（如图1所示），在数表里圈了两组数（数表中的阴影部分）。请你从中任选一组求这6个数的和。列式并写出计算过程。 （2）如果小爱用这个圈数工具在数表中任意地圈数，请用含有字母与的等式表示这两个数之间的关系（与的位置如图2）。 （3）请你设计一个新的圈数工具在上面数表中圈数（圈数工具的方格与方格之间必须有连接的点或边），使它圈出的5个数之和是其中一个数（a）的5倍。在下面的方格图里画图表示，每个工具都要在相应的方格里写上。至少设计出6种圈数工具。（与图例重复不得分。） 【对应练习】 1．【新趋势·数形结合】在数学学习中，我们常常用“数形结合”的方法将复杂的问题简单化，抽象问题具体化。 （1）我们在探究分数乘法的算理和算法时就运用了这一思想方法，请画图解释的算理。 （2）玲玲在解决“12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＋212＋342＋…”这个问题时，想到了用数形结合的办法来探索，于是她以这组数中各个数作为正方形的边长构造正方形，再拼成如下面所示的长方形来研究。 序号 1 2 3 4 …… 图形 …… 算式 12＋12 12＋12＋22 12＋12＋22＋32 …… ①你根据前面的规律，把序号4的图形与算式补充完整。 ②观察上面的图形和算式，你能把下面的算式补充完整吗？ 12＋12＝1×2 12＋12＋22＝2×3 12＋12＋22＋32＝3×5 12＋12＋22＋32＋52＝( )×( ) 12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＝( )×( ) ③若按此规律继续拼长方形，有一个长方形的面积是1870，它表示的算式是( )。 2．【新趋势·数形结合】两个非0数a、b，小明为了验证是不是等于，想出了两种办法验证： （1）例举具体数据进行验证； （2）用数形结合方法验证： 画一个大正方形，边长是a＋b的和，如图，那么大正方形面积边长×边长可以表示为（a＋b）×（a＋b），也就是。也可以用①②③④四块面积相加求和，看结果是不是等于。 请你分别用上面（1）（2）两种方法来验证：是不是等于。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。 ——宋·晏殊《蝶恋花·槛菊愁烟兰泣露》 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋」 第八单元数学广角——数与形【从新情境到新素养】 【典型例题】 【新情境·数学文化】费马是法国著名的数学家，他曾经提出一个猜想：如果用一个奇质数（既是奇数又是质数）除以4，余数为1，那么这个奇质数就可以写成“”的形式。例如，13是一个奇质数，13÷4＝3……1，那么13可以写成“”的形式。这个猜想后来被证实，称为费马平方和定理。 根据上面的说法，请完成下面的题目。 (1)31是一个奇质数，它( )费马平方和定理的要求（填“符合”或者“不符合”）。 (2)写出一个大于60、小于70的奇质数，这个数符合费马平方和定理的要求，它是( )，它可以写成( )2( )2的形式。 【答案】(1)不符合 (2) 61 6 5 【分析】（1）要判断31是否符合费马平方和定理的要求，需要先计算31÷4的结果。31÷4＝7⋯⋯3，余数是3而不是1。根据费马平方和定理，如果一个奇质数÷4余数为1，才能写成“a2＋b2”的形式。所以31不符合费马平方和定理中“除以4余数为1”的这个条件。 （2）大于60、小于70的奇数有61、63、65、67、69。其中质数有61、67。即是奇数又是质数的是：61、67，分别计算它们÷4的余数：61÷4＝15⋯⋯1，符合要求，可以写成“a2＋b2”的形式。67÷4＝16⋯⋯3，余数为3，61可以写成62＋52的形式。 【详解】（1）31÷4＝7⋯⋯3，余数是3而不是1。 31是一个奇质数，它不符合费马平方和定理的要求。 （2）大于60、小于70的即是奇数又是质数的是：61、67。 61÷4＝15⋯⋯1，符合要求，可以写成“a2＋b2”的形式。 67÷4＝16⋯⋯3，余数为3，不符合。 61可以写成62＋52的形式。 大于60、小于70的奇质数，这个数符合费马平方和定理的要求，它是61，它可以写成62＋52的形式。 【对应练习】 1．【新情境·数学文化】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一组数： 1，1，2，3，5，8，13，21，… 计算：这样的算式时有简便方法吗？ 小桂遇到这个问题时，想到用“数形结合”的方法来探索，他以这组数中的各个数作为正方形的边长构造成正方形，再拼成下图中的长方形。 图形 … 算式 … 序号 ① ② ③ ④ … (1)观察上面的图形和算式，把下面的算式补充完整。                           ( )×( )。 ( )×( )。 (2)按此规律继续拼长方形，序号( )对应的长方形的面积数是1870。 【答案】(1) 5 8 8 13 (2)⑧ 【分析】（1）观察图形和算式可知，每个算式的和等于其所对应的长方形的面积，把算式的每个加数去掉平方后排成一组数，它所对应的长方形的宽等于这组数的末项，长方形的长等于这组数末项和前一项的和，所以长方形面积＝末项数×（末项数＋前一项数），据此解答。 （2）根据观察可以发现，①号长方形的面积数是题干中那组数的前2项的数的平方的和，且等于1×2；②号长方形的面积数是题干中那组数的前3项的数的平方的和，且等于2×3。 因为1870＝34×55＝34×（34＋21），34是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34…的第9项，所以序号⑧对应的长方形的面积数是1870。 【详解】（1）观察图形和算式可知，每个算式的和等于其所对应的长方形的面积，把算式的每个加数去掉平方后排成一组数，它所对应的长方形的宽等于这组数的末项，长方形的长等于这组数末项和前一项的和，所以长方形面积＝末项数×（末项数＋前一项数）。 因此：5×8；8×13。 观察上面的图形和算式，把下面的算式补充完整。                           5×8。 8×13。 （2）规律：①号长方形的面积数是题干中那组数的前2项的数的平方的和，且等于1×2；②号长方形的面积数是题干中那组数的前3项的数的平方的和，且等于2×3。 观察数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…，尝试计算发现： 34×55＝34×（34＋21）＝34×55＝1870 34是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34…的第9项，所以序号⑧对应的长方形的面积数是1870。 按此规律继续拼长方形，序号⑧对应的长方形的面积数是1870。 【点睛】解题关键是发现斐波那契数列与图形面积的规律，并利用这一规律推导和计算。 2．【新情境·数学文化】杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数内在的一些性质直观地从图形中体现出来，是一种数与形的结合，如图，第4行第2个数是3，第7行第4个数是( )。 【答案】20 【分析】通过观察杨辉三角图可知：从第一行开始，每一行的两端都是1，其余的数是上一行相邻两个数的和，据此补全杨辉三角第7行的数字，再找到第7行第4个数。据此解答即可。 【详解】 如图所示，第7行第4个数是20。 3．【新情境·数学文化】古希腊毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”可以看作两个相邻“三角形数”之和，比如4＝1＋3，9＝3＋6…那么49＝( )＋( )。 【答案】 21 28 【分析】1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4…第n个三角形数是1＋2＋3＋…＋n＝；正方形数是1＝，4＝，9＝…第n个正方形数是；任何一个大于1的“正方形数”可以看作两个相邻“三角形数”之和，正方形数49＝，所以正方形数是第7个，根据第n个三角形数是计算即可解答。 【详解】由分析可知：第n个三角形数是 49＝ 所以正方形数是第7个，则两个三角形数分别是第7个和第6个，把7和6分别代入，得： ＝＝7×4＝28 ＝＝3×7＝21 所以49＝21＋28 【典型例题】 【新素养·几何直观能力】下面图形都是由面积为1的正方形组成的，观察图形的变化规律，第⑧个图形中正方形的数量是( )个。 【答案】44 【分析】由图可知，第①个图形有2个正方形，第②个图形有（2＋3）个正方形，第③个图形有（2＋3＋4）个正方形，第④个图形有（2＋3＋4＋5）个正方形……以此类推，正方形的个数为从2开始连续自然数的和，是第几个图形算式中就有几个加数，据此解答。 【详解】2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9 ＝（2＋3＋4＋5）＋（6＋7＋8＋9） ＝14＋30 ＝44（个） 所以，第⑧个图形中正方形的数量是44个。 【对应练习】 1．【新素养·几何直观能力】观察图的规律，第6个图中有( )个点，第n个图中有( )个点。 【答案】 21 4n－3 【分析】观察图形可以发现：第一个图形有1个点；第二个图形有（1＋4×1）个点；第三个图形有（1＋4×2）个点；第四个图有（1＋4×3）个点，……第n个图形有[1＋4（n－1）]个点。 【详解】由分析可知：第n个图形点的个数为： 1＋4（n－1） ＝1＋4n－4 ＝（4n－3）（个） 把n＝6代入4n－3得： 4×6－3 ＝24－3 ＝21（个） 所以第6个图中有21个点，第n个图中有（4n－3）个点。 2．【新素养·几何直观能力】下面图形中，第1个图案是由4个基本图形组成，第2个图案是由7个基本图形组成，……，第5个图案是由( )个基本图形组成，第10个图案是由( )个基本图形组成。 【答案】 16 31 【分析】根据题意可知，第1个图案是由4个基本图形组成，第2个图案是由7个基本图形组成，第3个图案是由10个基本图形组成，由此可知，后一个图案比前一个图案多3个基本图形； 第1个图案是由4个基本图形组成，可以写成：3×1＋1； 第2个图案是由7个基本图形组成，可以写成：3×2＋1； 第3个图案是由10个基本图形组成，可以写成：3×3＋1； …… 由此可知，第n个图案由（3n＋1）个基本图形组成，当n＝5时，n＝10时，求出有多少个基本图案组成，据此解答。 【详解】根据分析可知，第n个图案由（3n＋1）个基本图形组成。 n＝5时： 3×5＋1 ＝15＋1 ＝16（个） n＝10时： 3×10＋1 ＝30＋1 ＝31（个） 第1个图案是由4个基本图形组成，第2个图案是由7个基本图形组成，……，第5个图案是由16个基本图形组成，第10个图案是由31个基本图形组成。 3．【新素养·几何直观能力】如下图，用棱长1cm的正方体排成一排排并成长方体。像这样，用n个正方体拼成的一个长方体的表面积，比原来n个正方体表面积之和减少了( )cm2。 【答案】2n－2 【分析】用2个正方体拼成一个长方体，减少了2个面；用3个正方体拼成一个长方体，减少了4个面；用4个正方体拼成一个长方体，减少了6个面……以此类推，用n个正方体拼成一个长方体，减少了（2n－2）个面；正方体的棱长为1cm，则正方体每个面的面积为1cm2，因此拼成的一个长方体比原来n个正方体表面积之和减少了的表面积＝减少的面×每个面的面积，据此解答。 【详解】用2个正方体拼成一个长方体，减少了2个面； 用3个正方体拼成一个长方体，减少了4个面； 用4个正方体拼成一个长方体，减少了6个面…… 用n个正方体拼成一个长方体，减少了2×（n－1）＝（2n－2）个面。 每个面的面积：1×1＝1（cm2） （2n－2）×1＝（2n－2）cm2 因此用n个正方体拼成的一个长方体的表面积，比原来n个正方体表面积之和减少了（2n－2）cm2。 【典型例题】 【新趋势·数形结合】仔细观察表3，完成下列问题。 （1）小爱同学设计了一个由方格组成的圈数工具（如图1所示），在数表里圈了两组数（数表中的阴影部分）。请你从中任选一组求这6个数的和。列式并写出计算过程。 （2）如果小爱用这个圈数工具在数表中任意地圈数，请用含有字母与的等式表示这两个数之间的关系（与的位置如图2）。 （3）请你设计一个新的圈数工具在上面数表中圈数（圈数工具的方格与方格之间必须有连接的点或边），使它圈出的5个数之和是其中一个数（a）的5倍。在下面的方格图里画图表示，每个工具都要在相应的方格里写上。至少设计出6种圈数工具。（与图例重复不得分。） 【答案】（1）3＋12＋13＋21＋22＋23 ＝28＋21＋22＋23 ＝49＋22＋23 ＝71＋23 ＝94 （2）b＝a＋11 （3）见详解 【分析】（1）根据数表中数的排列规律以及图1中所圈数的关系，如果最上层的这个数为3，则第二层的数分别为：12、13，第三层的数为：21、22、23。求这5个数的和即可。 （2）根据数表中数的排列规律及、的位置关系可知：。 （3）根据题意找到符合题意的圈数工具，完成作图即可。 【详解】（1）如果最上层的这个数为3，则第二层的数分别为：12、13，第三层的数为：21、22、23，这6个数的和为： 3＋12＋13＋21＋22＋23 ＝28＋21＋22＋23 ＝49＋22＋23 ＝71＋23 ＝94 答：这六个数的和为94。（答案不唯一） （2）图2中b＝a＋11 （3）如图所示： （答案不唯一，合理即可。） 【点睛】本题注意考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。 【对应练习】 1．【新趋势·数形结合】在数学学习中，我们常常用“数形结合”的方法将复杂的问题简单化，抽象问题具体化。 （1）我们在探究分数乘法的算理和算法时就运用了这一思想方法，请画图解释的算理。 （2）玲玲在解决“12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＋212＋342＋…”这个问题时，想到了用数形结合的办法来探索，于是她以这组数中各个数作为正方形的边长构造正方形，再拼成如下面所示的长方形来研究。 序号 1 2 3 4 …… 图形 …… 算式 12＋12 12＋12＋22 12＋12＋22＋32 …… ①你根据前面的规律，把序号4的图形与算式补充完整。 ②观察上面的图形和算式，你能把下面的算式补充完整吗？ 12＋12＝1×2 12＋12＋22＝2×3 12＋12＋22＋32＝3×5 12＋12＋22＋32＋52＝( )×( ) 12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＝( )×( ) ③若按此规律继续拼长方形，有一个长方形的面积是1870，它表示的算式是( )。 【答案】见详解 【分析】（1）先将长方形一分为二，取其中的一份，再将其一分为四，取其中的3份，据此表示的积； （2）①看图，每次多加的正方形的边长是上两个多加正方形的边长的和，2＋3＝5，所以应多加一个边长为5的正方形，算式上多加一个52； ②每个算式等于这个图形的最大边长乘下个图形的最大边长，据此填空； ③根据①和②的规律，下个算式为：21×34，再下个算式是34×55，检验发现，34×55＝1870，据此填空。 【详解】（1）可表示为： ； （2）① 序号 1 2 3 4 …… 图形 …… 算式 12＋12 12＋12＋22 12＋12＋22＋32 12＋12＋22＋32＋52 …… ②将算式补充完整： 12＋12＝1×2 12＋12＋22＝2×3 12＋12＋22＋32＝3×5 12＋12＋22＋32＋52＝5×8 12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＝13×21 ③有一个长方形的面积是1870，它表示的算式是34×55。 【点睛】本题考查了数与形，有一定观察和归纳总结能力是解题的关键。 2．【新趋势·数形结合】两个非0数a、b，小明为了验证是不是等于，想出了两种办法验证： （1）例举具体数据进行验证； （2）用数形结合方法验证： 画一个大正方形，边长是a＋b的和，如图，那么大正方形面积边长×边长可以表示为（a＋b）×（a＋b），也就是。也可以用①②③④四块面积相加求和，看结果是不是等于。 请你分别用上面（1）（2）两种方法来验证：是不是等于。 【答案】不相等；过程见详解 【分析】（1）假设a是1，b是4，求值时，要先先字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 （2）根据正方形面积＝边长×边长，长方形面积＝长×宽，表示出大正方形面积，以及2个小正方形面积＋2个长方形的面积和，比较即可。 【详解】（1）假设a是1，b是4 （1＋4）² ＝5² ＝25 1²＋4² ＝1＋16 ＝17 25≠17，所以与不相等。 （2）（a＋b）×（a＋b）＝ a²＋b²＋a×b×2＝ a²＋b²＋2ab 所以与不相等。 【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $