第三章 圆分层作业2025-2026 学年北师大版数学 九年级 下册

九年级下册第三章圆分层作业 基础层（必做题) 知识点：圆的基本性质、圆周角定理、圆内接四边形 适合学生：刚学完圆的基本概念，需要巩固基础知识的学生 1.如图，AB为oO的直径，点C在OO上，点D为AC的中点，连接AC,BD 若∠ABD=20°，则∠BAC= 0 D 2.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，连接AC,AD.若∠BAC=40°，则 ∠D=i 3.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD=元 D 4.直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示.若管内有积水（阴影部分），水面宽 AB为8分米，则积水的最大深度CD为 分米. D 5.古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字 塔的高度.如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO 是 米. 提高层（选做题） 知识点：切线性质、垂径定理、圆与直线的位置关系 第1页 适合学生：基础知识掌握较好，需要提升解题能力的学生 6.如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D,AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线 于点E.若∠AOC=45°，BC=2,则线段AE的长为 7.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O,交AC于点D,过点 O作OEI‖lAC,交BC于点E,连接DE. (I)求证：DE是⊙O的切线； (2)已知0E=13 ,CD=9,求0O的半径 8.如图，AB,AC为⊙O的切线，B,C为切点，BC与AO交于点P,CD‖AO交 ⊙O于点D. (I)求证：∠BCD=90°； (②连接AD咬BC于点E.若an∠0AB=O0的半径为5，求DE的长」 9.如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，OD⊥BC, B 垂足为D,过点A作⊙O的切线，与DO的延长线交于点 E. (I)求证：∠B=∠E; (2)若⊙O的半径为2，OE=6,求BC的长」 10.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点E,F为AE的 中点，连结BF并延长交⊙O于点D,连结CD (1)求证：∠D=∠EBC; ②若an∠D=克 BC=2,求BF的长， 11.如图，P为⊙O外一点，PA,PB是⊙O的切线，A,B为切点，点C在⊙O上，连接OA,OC,AC 第2页 (1)求证：∠AOC=2∠PAC; (2)连接OB,若AC‖OB,⊙O的半径为5，AC=6,求AP的长， 拓展层（挑战题） 知识点：圆的综合应用、与其他几何图形的综合 适合学生：基础扎实，希望挑战高难度题目的学生 12.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADB. D (I)求证DB平分∠ADC,并求∠BAD的大小； (2)过点C作CF‖AD交AB的延长线于点F.若AC=AD,BF=2,求此圆半径的长 I3.如图，AB,CD是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接DE交AB于点F,连接 AE交CD于点G,AG=(. (1)求证：∠AOC=2∠CDE; (2过点D作o0的切线交AB的延长线于点H.若OA- FB 2 ,AE=22,求DH 的长， 14.如图，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A,B,连接OA,OB,OP,取 B OP的中点C,连接AC并延长，交⊙O于点D,连接BD, 】 (I)求证：∠ADB=∠AOP: (Q)延长OP交DB的延长线于点E.若AP=10,an∠AOP=,求DE的长. 15.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给 出如下定义： 若直线CA,CB中一条经过点O,另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的"关联点”· 第3页 C 0如题点A-1oB-要男.a要-要 ①在点C(-1,1),C2(-2,0),C3(0,V2)中，弦AB的"关联点”是 ②若点C是弦AB的"关联点”，直接写出OC的长， E知点M03MN5D.对于线段MN上一点S,存在OO的弦PQ,使得点S是弦PQ的 联点”，记PQ的长为t,当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围. 16.在平面直角坐标系xOy中，对于点A和⊙C给出如下定义：若⊙C上存在两个不同的点M,N,对于 ⊙C上任意满足AP=AQ的两个不同的点P,Q,都有∠PAQ≤∠MAN,则称点A是⊙C的关联点，称 ∠MAN的大小为点A与⊙C的关联角度.（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） (1)如图，⊙O的半径为1 ①在点A20,A,含0，A2,0j中，点 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度 小于90°，该点与⊙O的关联角度为 ②点B(1,m)在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD,BD上所有的点都是⊙O的关联点，则m的 最小值为 (2)已知点E(1,3),F(4,3),T(t,0),⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点 与⊙T的关联角度的最大值为a.若90°≤a≤180°，直接写出t的取值范围， 17.在平面直角坐标系xOy中，对于⊙P的弦AB(非直径)和圆外一点Q,给出如下定义：若弦AB所对 的劣弧上存在两点M,N(可与A,B重合)，使直线QM,QN与⊙P相切，则称点Q是⊙P关于AB的 ”切弧点” 第4页 (1)如图，⊙O的半径为1，点A(1,0),B(0,1). 0在点P,0号.P1.n要，中，o0于A的点是 ②直线经过点(0,2)，且与y轴垂直，点C在⊙O上.若直线上存在⊙O关于AC的"切弧点”，记点C 的横坐标为m,直接写出m的取值范围； (2)已知点D(-1,0),E(0,3).若存在半径为3的⊙T,使得对于△ODE上任意一点S,都存在⊙T 的长为t的弦FG,满足点S是oT关于FG的"切弧点”，直接写出t的取值范围， 学习建议 基础层学习要点： 1.熟练掌握圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角 2.理解圆内接四边形的性质：对角互补 3.掌握垂径定理的应用 提高层学习要点： 1,.熟练掌握切线的性质和判定 2.能够运用圆的性质解决实际问题 3.掌握圆与三角形、四边形的综合应用 拓展层学习要点： 1.能够处理复杂的圆的综合题 2.掌握圆与坐标系的结合 3.理解圆的新定义问题和探究性问题 解题策略： 第5页 1.画图分析：遇到圆的题目，首先要画出准确的图形 2.找关键角：重点关注圆周角、圆心角、切线角等关键角度 3.运用性质：灵活运用圆的各种性质和定理 4.辅助线技巧：适当添加辅助线，如连接圆心与弦的端点、作垂线等 注：本作业题目均来源于2023-2025年北凉中考真题和模拟题，具有很强的针对性和实用性。建议学生按 层次逐步完成，循序渐进地提高解题能力。 第6页 参考答案与解析 1.50 2.50 因为AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可知∠ACB=90°（在圆中，直径所对的圆周角 为直角)。在△ABC中，已知∠BAC=40°，三角形内角和为180°，所以∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB= 180°-40°-90°=50°。又因为∠D和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，所以 ∠D=∠ABC=50°。 3.130 4.2 由题意可知，圆柱形排水管的直径为10分米，则半径OA=OD=5分米。因为OD垂直于水面AB,根据 垂径定理，OC垂直平分AB,所以AC=AB=8 22 4分米。在Rt△OAC中，由勾股定理可得： 0A2=AC2+0C2,即52=42+0C2,解得OC=3分米。积水的最大深度CD=OD-OC=5-3=2 分米。 5.134 在同一时刻，太阳光为平行光线，木杆与金字塔分别和各自的影子构成相似的直角三角形。因为△EFD 与△BOA相似（同一时刻物高与影长的比相等，对应角相等的两个直角三角形相似），根据相似三角形 对应边成比例可得： EF BO FD OA 已知木杆高度EF=2米，影长FD=4米，金字塔影长OA=268米，代 入比例式： 4268 化简得： B0=2×268=134(米) 所以金字塔的高度BO是134米。 4 6.2 【分析】根据OA⊥BC,得出∠ODC=90,DC=号BC=1,根据等腰直角三角形的性质得出 OC=√2DC=V2,即OA=OC=V2,根据∠OAE=90°，∠AOC=45°，得出△AOE为等腰直角三 角形，即可得出AE=OA=V2. 【详解】OA⊥BC, ∠0DC=90,DG=2BC=1, .∠A0C=45, ∴.△ODC为等腰直角三角形， ∴.OC=2DC=2, ∴.OA=0C=V2: ,AE是⊙O的切线 .∠OAE=90°， 第7页 .∠A0C=45°， ·∴.△AOE为等腰直角三角形， ∴.AE=OA=V2 故答案为：V2 【点睛】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质，解题的关键是熟练掌 握垂径定理，得出DC=BC=1 7. (I)连接BD、OD,则OD=OB=OA, ,AB是⊙O的直径 0 .∠BDC=∠ADB=90 .OE‖AC,交BC于点E .BE=OB=1 ·CE-OA ∴.BE=CE :DE=BE=1BC ∴.∠EDB=∠EBD ,:∠ODB=∠OBD且∠ABC=90 ∴.∠ODE=∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD=∠ABC=90° .'OD是⊙O的半径，且DE⊥OE ∴.DE是⊙O的切线 (2)设BD交OE于点L OE AC,BE=CE,OE=CD=9 .BL-BE=1 DL CE ∴.BL=DL u=c0-号 0L=0E-EL=13-9=2 22 .·∠OLB=∠ADB=90°，∠ABC=90° 第8页 ·Cos BOE=OB=OL OE OB ∴.OB=OL·OE=R2 13-13 ∴.⊙0的半径长为13 8. (I),AB,AC为⊙O的切线，B,C为切点 ∴.AC=AB 连接OC,OB,则OC=OB, '.AO是线段BC的垂直平分线 .∴.∠APC=90o 又.CD‖AO ∴.∠BCD=∠APC=90° (2)连接OD, .∠BCD=90° .BD是直径 :an∠0AB=7,⊙0的半径为5 .AB=20B=25=BD ∴.AD=V2AB=2V10 :an∠0AB=号 ∴.设BP=X,则AP=2X .AB=V5x=25 ∴.X=2 即BP=2,AP=4=BC .CD=BD2-BC2=只0U ,CD‖AP :CD=DE=2=1 AP AE 4 2 ·DE=号AD=210 3 3 9. 第9页 (I).OD⊥BC,垂足为D ∴.∠ODB=90° ,AE与⊙O相切于点A ∴.AE⊥OA .∠OAE=90° ∴.∠B+∠DOB=90°，∠E+∠AOE=90°，且∠DOB=∠AOE ∴.∠B=∠E (2).'⊙0的半径为2，OE=6 ∴.OA=OB=2 :∠ODB=∠OAE=90°，∠B=∠E BD=cOs B=COS E=AE OB E .'AE=VOE2-OA2=62-2=4V2 ∴CD=BD=OB·AE=2×42_42 OE 6 3 .BC=2CD= 8V2 3 ·BC的长是82 10. (1),BE为⊙O的切线 ∴.∠ABE=90° ∴.∠ABC+∠EBC=90 .AB是直径 ∴.∠ACB=90° ∴.∠A+∠ABC=90° .∴.∠A=∠EBC .CB=CB ∴.∠D=∠A .∴.∠D=∠EBC a:am2D=月 第10页