综合模拟卷（3） 四川省对口招生考试《数学考纲百套卷》第93卷

编写说明：四川省对口招生考试《数学考纲百套卷》，依据中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本套试卷共100份：第一部分是按照考试大纲编写的58份知识点训练卷。第二部分是集合与不等式、函数、三角函数等12个模块的32份专题训练卷。第三部分是参考近年考试真题编写的10份综合模拟卷。 本试卷是四川省对口招生考试《数学考纲百套卷》的第93卷，是综合模拟卷，试卷内容覆盖四川省历年对口招生考试的必考考点与高频考点。 四川省对口招生考试《数学考纲百套卷》 第93卷 综合模拟卷（3） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分。在每小题列出的四个备选项中，只有一个是最符合题目要求的。） 1.集合，，则      A. B. C. D. 2．函数的最小正周期为　　 A． B． C． D． 3．工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格．工人师傅运用的数学原理是　　 A．两条相交直线确定一个平面 B．两条平行直线确定一个平面 C．四点确定一个平面 D．直线及直线外一点确定一个平面 4.分别统计了甲、乙两位同学周的各周课外体育运动时长单位：，得如下茎叶图： 则下列结论中错误的是   A. 甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为 B. 乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于 C. 甲同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值大于 D. 乙同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值大于 5.在中，点在边上，记，，则  A. B. C. D. 6. 已知双曲线，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7．的二项展开式中的系数为（  ） A．15 B．6 C． D． 8．在等差数列中，若，，则公差（ ） A．1 B．2 C． D． 9．若有一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2 000 斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆的周长约为(　　) A．1丈3尺 B．5丈4尺 C．9丈2尺 D．48尺 10．设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　) A．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β C．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β 11.甲乙丙丁戊名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 12.某工厂生产A、B、C三种产品的数量刚好构成一个公比为q(q≠1)的等比数列，现从全体产品中按分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为260的样本进行调查，其中C产品的数量为20，则抽取的A产品的数量为(　　) A.100 B.140 C.180 D.120 13.在二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，，，则这个二面角的大小为（ ） A． B． C． D． 14.椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称．若直线的斜率之积为，则的离心率为        A. B. C. D. 15.若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　) A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1] C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3] 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。） 16.已知向量，满足，，，则     ． 17．抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是______． 18．函数在上的最大值是     ． 19．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为      ． 20.设为抛物线的焦点，点在上，点，若，则 三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。） 21．已知函数． （1）若为偶函数，求实数的值； （2）若函数在区间，上是单调函数，求实数的取值范围； （3）若对一切实数都成立，求实数的取值范围． 22．在中，已知，． （1）若，求． （2）若，求． 23．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点． (1)求k的取值范围； (2)·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|. 24.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得分，负方得分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为，，，各项目的比赛结果相互独立． 求甲学校获得冠军的概率； 用表示乙学校的总得分，求的分布列与期望． 25．山西面食历史悠久，源远流长，称为“世界面食之根”．临汾牛肉丸子面、饸饹面是我们临汾人喜爱吃的面食．调查资料表明，某学校在每周一有1000名学生选择面食，餐厅的面食窗口在每周一提供牛肉丸了面和饸饹两种面食．凡是在本周一选择牛肉丸子面的学生，下周一会有改选饸饹面；而选择饸饹面的学生，下周一会有改选牛肉丸子面．用，分别表示在第个周一选择牛肉丸子面和饸饹面的人数，且． （1）证明：数列是常数列； （2）若，求数列的前项和． 26.如图，在正三棱柱中，，截面侧面. (1)求证：； (2)若，求平面与平面所成二面角（锐角）的度数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：四川省对口招生考试《数学考纲百套卷》，依据中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本套试卷共100份：第一部分是按照考试大纲编写的58份知识点训练卷。第二部分是集合与不等式、函数、三角函数等12个模块的32份专题训练卷。第三部分是参考近年考试真题编写的10份综合模拟卷。 本试卷是四川省对口招生考试《数学考纲百套卷》的第93卷，是综合模拟卷，试卷内容覆盖四川省历年对口招生考试的必考考点与高频考点。 四川省对口招生考试《数学考纲百套卷》 第93卷 综合模拟卷（3） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分。在每小题列出的四个备选项中，只有一个是最符合题目要求的。） 1.集合，，则      A. B. C. D. 【答案】 【分析】 本题考查了集合的交集运算． 【解析】 ， ， ． 2．函数的最小正周期为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正弦型函数的周期性； 【解析】函数的最小正周期为． 3．工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格．工人师傅运用的数学原理是　　 A．两条相交直线确定一个平面 B．两条平行直线确定一个平面 C．四点确定一个平面 D．直线及直线外一点确定一个平面 【答案】 【分析】 本题主要考查几点共面问题； 【解析】由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格， 所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”． 4.分别统计了甲、乙两位同学周的各周课外体育运动时长单位：，得如下茎叶图： 则下列结论中错误的是   A. 甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为 B. 乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于 C. 甲同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值大于 D. 乙同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值大于 【答案】 【分析】本题考查了茎叶图，平均数，中位数，用频率估计概率，属于基础题． 【解析】首先将茎叶图的数据还原： 甲同学 周各周课外体育运动时长： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 乙同学 周各周课外体育运动时长： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为： ， 乙同学周课外体育运动时长的样本平均数为： ， 甲同学周课外体育运动时长大于 的有 周，故甲同学周课外体育运动时长大于 的概率的估计值为 ， 乙同学周课外体育运动时长大于 的有 周，故乙同学周课外体育运动时长大于 的概率的估计值为 ． 5.在中，点在边上，记，，则  A. B. C. D. 【答案】 【分析】 本题主要考查向量的加减及数乘运算，属于基础题． 【解析】 ， ． 6. 已知双曲线，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用双曲线方程，求解渐近线方程即可． 【解析】由于双曲线为，所以其渐近线方程为. 7．的二项展开式中的系数为（  ） A．15 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二项式定理。 【解析】的通项公式为：，，可得， 二项展开式中的系数：． 8．在等差数列中，若，，则公差（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是等差数列通项公式； 【解析】数列为等差数列又∵ ，根据等差数列性质得到 ，，又， ，. 9．若有一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2 000 斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆的周长约为(　　) A．1丈3尺 B．5丈4尺 C．9丈2尺 D．48尺 【答案】B 【分析】本题主要考查的是圆柱的实际应用； 【解析】由题设可得，圆柱的体积V≈2 000×1.62＝3 240(立方尺)，又圆柱的高h＝10＋3＋＝(尺)，设圆柱底面圆的半径为r尺，则有3×r2＝3 240，解得r＝9，故圆柱的底面圆的周长l≈2×3×9＝54(尺)，即5丈4尺. 10．设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　) A．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β C．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β 【答案】D 【分析】本题主要考查的是线线、线面关系； 【解析】对于A，m∥α，n∥β，m⊥n，则α与β可能平行，也可能相交，所以A不正确；对于B ，n⊥β，m∥n，则m⊥β，又m∥α，则α⊥β，所以B不正确；对于C，m⊥α，n∥β，m⊥n，则α与β可能平行也可能相交，所以C不正确；对于D，m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊥β，所以α∥β，所以D正确． 11.甲乙丙丁戊名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】 【分析】本题考查排列、组合的运用，属于基础题． 【解析】先利用捆绑法排乙丙丁成四人，再用插空法选甲的位置，则有 种． 12.某工厂生产A、B、C三种产品的数量刚好构成一个公比为q(q≠1)的等比数列，现从全体产品中按分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为260的样本进行调查，其中C产品的数量为20，则抽取的A产品的数量为(　　) A.100 B.140 C.180 D.120 【答案】C 【分析】本题考查排列、组合的运用，属于基础题． 【解析】∵A、B、C三种产品的数量刚好构成一个公比为q的等比数列，C产品的数量为20， ∴A产品的数量为，B产品的数量为， ∵样本容量为260，∴＋＋20＝260，解得q＝或－(舍去)，q＝， 则A产品的数量为＝＝180. 13.在二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，，，则这个二面角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二面角． 【解析】设这个二面角的度数为，由题意得，，，解得，∴， ∴这个二面角的度数为. 14.椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称．若直线的斜率之积为，则的离心率为        A. B. C. D. 【答案】 【分析】本题考查椭圆的离心率，属于中档题． 【解答】 ，设 ，则 ， 则，故， 又，则，所以，即， 所以椭圆的离心率． 15.若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　) A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1] C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3] 【答案】D 【分析】本题主要考查的是函数奇偶性综合应用． 【解析】因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0. 又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0， 画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示， 则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示． 当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0. 当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3. 故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。） 16.已知向量，满足，，，则     ． 【答案】 【分析】 本题考查向量数量积运算． 【解析】 由题设， ，得 ，代入 ， ， 有 ，故 。 17．抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是______． 【答案】8 【分析】本题考查的是抛物线性质。 【解析】由条件可知，，所以，解得：，所以焦点到准线的距离为. 18．函数在上的最大值是     ． 【答案】2. 【分析】本题考查的是三角函数的最值。 【解析】， ，，，，所以当，时，取得最大值， ． 19．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为      ． 【答案】 【分析】本题考查的是球与圆柱的应用。 【解析】球心到圆柱的底面的距离为圆柱高的，球的半径为1，则圆柱底面圆的半径r＝＝，故该圆柱的体积为V＝π×2×1＝. 20.设为抛物线的焦点，点在上，点，若，则 【答案】 【分析】 本题考查抛物线的定义、方程和性质，属基础题． 【解析】易知抛物线 的焦点为 ，于是有 ，故 ，注意到抛物线通径 ， 通径为抛物线最短的焦点弦，分析知 必为半焦点弦，于是有 轴， 于是有 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。） 21．已知函数． （1）若为偶函数，求实数的值； （2）若函数在区间，上是单调函数，求实数的取值范围； （3）若对一切实数都成立，求实数的取值范围． 【答案】见解析． 【分析】本题考查二次函数． 【解析】（1）由函数为偶函数，则， 可得，解得； （2） 由二次函数，则其图象开口向上， 且对称轴为直线，由函数在，上单调，解得或， 故； （3）由题意可得△，解得，故． 22．在中，已知，． （1）若，求． （2）若，求． 【答案】见解析。 【分析】本题考查的是正余弦定理。 【解答】（1）由余弦定理得，解得， ； （2），由正弦定理得，又， ，，，，为锐角，． 由余弦定理得：，又，， ，得：，解得：． 当时，，； 当时，，． 23．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点． (1)求k的取值范围； (2)·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|. 【答案】见解析。 【分析】本题考查的是直线与圆的应用。 【解答】(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1. 因为l与C交于两点，所以<1，解得<k<， 所以k的取值范围为. （2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝， ·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8. 由题设可得＋8＝12，解得k＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1. 故圆心C在直线l上，所以|MN|＝2. 24.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得分，负方得分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为，，，各项目的比赛结果相互独立． 求甲学校获得冠军的概率； 用表示乙学校的总得分，求的分布列与期望． 【答案】见解析； 【分析】本题考查相互独立事件的概率、离散型随机事件的分布列与均值． 【解析】 设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为 ． 依题可知，的可能取值为，所以， ， ， ， ． 即的分布列为 期望． 25．山西面食历史悠久，源远流长，称为“世界面食之根”．临汾牛肉丸子面、饸饹面是我们临汾人喜爱吃的面食．调查资料表明，某学校在每周一有1000名学生选择面食，餐厅的面食窗口在每周一提供牛肉丸了面和饸饹两种面食．凡是在本周一选择牛肉丸子面的学生，下周一会有改选饸饹面；而选择饸饹面的学生，下周一会有改选牛肉丸子面．用，分别表示在第个周一选择牛肉丸子面和饸饹面的人数，且． （1）证明：数列是常数列； （2）若，求数列的前项和． 【答案】见解析。 【分析】本题考查的是数列的应用。 【解答】（1）证明：，，， 根据题意，可得，解之可得，， ，，即得数列是常数列； （2） 由（1）可得，， ， ． 26.如图，在正三棱柱中，，截面侧面. (1)求证：； (2)若，求平面与平面所成二面角（锐角）的度数. 【答案】(1)证明过程见解析； (2). 【分析】（1）根据三角形中位线定理、线面平行的性质定理，结合面面垂直的性质、平行四边形的判定定理和性质进行证明即可； （2）根据二面角的定义，结合勾股定理的逆定理、定理进行求解即可. 【解析】（1）设的中点为，过作，垂足为，连接， 因为是等边三角形，所以， 因为是正三棱柱，所以面侧面，而面侧面，所以侧面， 因为截面侧面，截面侧面，所以侧面，因此， 因为是正三棱柱，所以侧面，而平面侧面，所以， 因此是平行四边形，所以， 因为，所以，因为的中点为，所以是的中点， 于是有，而且，所以是中点，即； （2）延长交于点，设，由（1）可知：是的中点， 因此，因为，所以， ，，因为，所以， 于是是平面与平面所成二面角的平面角， 因为，所以矩形是正方形，因此. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $