平面向量及复数-专题训练卷 2026年四川省对口招生考试《数学考纲百套卷》第79卷

编写说明：四川省对口招生考试《数学考纲百套卷》，依据中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本套试卷共100份：第一部分是按照考试大纲编写的58份知识点训练卷。第二部分是集合与不等式、函数、三角函数等12个模块的32份专题训练卷。第三部分是参考近年考试真题编写的10份综合模拟卷。第二部分是几个模块的专项训练卷 本试卷是四川省对口招生考试《数学考纲百套卷》的第79卷，是专题训练卷，试卷内容覆盖四川省历年对口招生考试的必考考点与高频考点。 四川省对口招生考试《数学考纲百套卷》 第79卷 平面向量及复数 专题训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题列出的四个备选项中，只有一个是最符合题目要求的。） 1．已知在平面内点O固定，且||＝2，则A点构成的图形是(　　) A．一个点 B．一条直线 C．一个圆 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查的是平面向量的几何意义； 【解析】由于||＝2，所以A点构成一个以O为圆心，半径为2的圆． 2．设复数在复平面内对应的点为，则( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是复数的运算； 【解析】由题意可得， 所以。 3．下列命题正确的个数是 ①； ②；③； ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查的是平面向量的运算； 【解析】由两相反向量的和为零向量知①正确； 由于两向量的数量积结果为一实数知②错误，正确结果应为0； 由向量的减法运算法则，③错； 由向量数乘的意义知，④错. 4．设、是平面直角坐标系内分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量，为坐标原点，若，，则的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是平面向量的坐标运算； 【解析】由已知条件可得，，因此，. 5.如图为正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的概念及加法的运算法则，准确运算，即可求解. 【解析】由平面向量的运算法则，可得. 6．已知平行四边形，点，分别是4．给出下列命题：①若|a|＝0，则 a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若a∥b，则|a|＝|b|.其中，正确的命题有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题主要考查的是平面向量的基本概念； 【解析】①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等和与两个向量相等的概念，|a|＝|b|只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等． 7．设是单位向量，，，，则四边形是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【解析】因为，，所以，即，，所以四边形是平行四边形，因为，即，所以四边形是菱形. 8.在复平面内，复数对应的点在第四象限，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题主要考查的是复数的几何意义； 【解析】先把所给复数化为代数形式，， 所以复数在复平面内对应的点是，由题意，该点在第四象限， 故，解得：. 9．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为400 N，则该学生的体重(单位：kg)约为(参考数据：取重力加速度大小为g＝10 m/s2，≈1.732)(　　) A．63 B．69 C．75 D．81 【答案】B 【分析】本题主要考查的是向量实际应用； 【解析】设该学生的体重为m，重力为G，两臂的合力为F′，则|G|＝|F′|，由余弦定理得|F′|2＝4002＋4002－2×400×400×cos ＝3×4002，∴|F′|＝400，∴|G|＝mg＝400，m＝40≈69 kg. 10．五角星是指有五只尖角、并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华人民共和国国旗．如图，在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法正确的是(　　) A.＋＝0 B.∥ C.＋＝2 D.＝＋ 【答案】D 【分析】本题主要考查的是平面向量的综合应用； 【解析】A项，由图可知CH与ID相交，所以与不是相反向量，故A错误； B项，与共线，与不共线，所以与不共线，故B错误； C项，＋＝≠2，故C错误； D项，连接BF，JF，由五角星的性质可得四边形ABFJ为平行四边形， 根据平行四边形法则可得＝＋，故D正确． 11.已知非零向量，则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】本题主要考查的是平面向量的综合应用； 【解析】先看充分性，可将两个数量积用定义表示出来再分析， 设与的夹角分别为，则即为，所以， 不能得出，故充分性不成立；而当时，满足，所以必要性成立. 12．已知四边形是边长为2的正方形，为平面内一点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是平面向量的综合应用； 【解析】建立如图所示的直角坐标系， 则，，.设， 则，，，， 所以 . 所以当，时，取得最小值. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。） 13．若a为任一非零向量，b为单位向量，下列各式： (1)|a|＞|b|； (2)a∥b； (3)|a|＞0； (4)|b|＝±1； (5)若a0是与a同向的单位向量，则a0＝b. 其中正确的是________．(填序号) 【答案】(3) 【分析】本题主要考查的是向量的综合应用； 【解析】解析：对(1)，不一定有|a|＞|b|；对(2)，a与b方向不一定相同或相反；对(3)，非零向量的模必大于0，即|a|＞0；对(4)，向量的模非负；对(5)，a0与b方向不一定相同．综上可知(3)正确． 14．已知为单位向量，，则___________ 【答案】 【分析】本题主要考查的是向量模的运算； 【解析】看到模，先试试平方，由题意，， 所以，从而， 故，所以. 15．在四边形ABCD中，，若，则四边形ABCD是________． 【答案】矩形 【分析】由，可得四边形ABCD为平行四边形，又，从而即可求解. 【解析】在四边形ABCD中， 因为，所以四边形ABCD为平行四边形， 又，即，所以平行四边形ABCD为矩形； 16．设，向量，，，且，，则_____________. 【答案】0 【分析】本题考查的向量坐标运算； 【解析】因为向量，，，且，，所以，得， ，解得，所以. 17.如图，在中，是中点，是上两个三等分点，，则的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查的向量综合运算； 【解析】条件与结论的数量积共用底边，相当于底边固定，考虑用极化恒等式来算它们， 设， 由极化恒等式，， 所以. 三、解答题（本大题共5小题，18、19、20、21小题各10分，22小题12分，共52分。） 18．（1）已知平面向量与的夹角为，且为单位向量，求 ； （2）已知非零向量，若，求与的夹角； 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查的是向量的坐标运算； 【解析】（1）由已知可得，，则， 所以，则. （2）∵，∴t=4，∴，又， ∴. 设与的夹角为θ，则， 因为，所以. 19．已知点，，，求以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的一个坐标； 【答案】见解析； 【分析】分三种情况①；②；③，利用平行四边形一组对边平行且相等借助向量相等即可求解. 【解析】设点，以为顶点的平行四边形可以有三种情况： ①若四边形为时， 因为，可得， 由，可得，解得，即； ②若四边为， 因为，可得， 由，可得，解得，即； ③若四边形为时， 因为，可得， 由，可得，解得，即. 综上可得，点的坐标为或或. 20.已知中，内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若，，在上，且，求的长. 【答案】见解析； 【分析】（1）根据二倍角公式和同角三角函数关系化简已知条件即可求解； （2）根据同角三角函数关系得，由向量加法运算得， 平方化简即可求解. 【解析】（1）因为，所以， 所以，由得， 即，平方化简得，所以. （2）由题意，所以，即, 又由（1）知，， 又因为，所以， 所以， 所以. 21．在中，动点自点出发沿运动，到达点时停止，动点自点出发沿运动，到达点时停止，且动点的速度是动点的倍．若二者同时出发，且当其中一个点停止运动时．另一个点也停止运动，求该过程中的最大值． 【答案】72 【分析】本题主要考查的是向量的实际应用； 【解析】因为， 所以且 建立平面直角坐标系，如图所示． 设点，则， 从而可得， 所以． 因为在上单调递增， 所以当时，取得最大值，且最大值为． 22.已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，． (1)求和的值； (2)若，，，求与所成角的余弦值． 【答案】见解析； 【分析】（1）由向量的运算得出，进而得出和的值； （2）由向量的运算得出，，进而得出，，，再由数量积公式求解即可. 【解析】（1）根据题意，梯形中，，，E为的中点 则 又由可得， （2）是与所成的角，设向量与所成的角为 ，则 ，则 则， 因为 所以 所以与所成角的余弦值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：四川省对口招生考试《数学考纲百套卷》，依据中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本套试卷共100份：第一部分是按照考试大纲编写的58份知识点训练卷。第二部分是集合与不等式、函数、三角函数等12个模块的32份专题训练卷。第三部分是参考近年考试真题编写的10份综合模拟卷。第二部分是几个模块的专项训练卷 本试卷是四川省对口招生考试《数学考纲百套卷》的第79卷，是专题训练卷，试卷内容覆盖四川省历年对口招生考试的必考考点与高频考点。 四川省对口招生考试《数学考纲百套卷》 第79卷 平面向量及复数 专题训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题列出的四个备选项中，只有一个是最符合题目要求的。） 1．已知在平面内点O固定，且||＝2，则A点构成的图形是(　　) A．一个点 B．一条直线 C．一个圆 D．不能确定 2．设复数在复平面内对应的点为，则( ) A． B． C． D． 3．下列命题正确的个数是 ①； ②；③； ④ A．1 B．2 C．3 D．4 4．设、是平面直角坐标系内分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量，为坐标原点，若，，则的坐标是（ ） A． B． C． D． 5.如图为正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则（    ） A． B． C． D． 6．已知平行四边形，点，分别是4．给出下列命题：①若|a|＝0，则 a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若a∥b，则|a|＝|b|.其中，正确的命题有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．设是单位向量，，，，则四边形是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【解析】因为，，所以，即，，所以四边形是平行四边形，因为，即，所以四边形是菱形. 8.在复平面内，复数对应的点在第四象限，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题主要考查的是复数的几何意义； 【解析】先把所给复数化为代数形式，， 所以复数在复平面内对应的点是，由题意，该点在第四象限， 故，解得：. 9．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为400 N，则该学生的体重(单位：kg)约为(参考数据：取重力加速度大小为g＝10 m/s2，≈1.732)(　　) A．63 B．69 C．75 D．81 【答案】B 【分析】本题主要考查的是向量实际应用； 【解析】设该学生的体重为m，重力为G，两臂的合力为F′，则|G|＝|F′|，由余弦定理得|F′|2＝4002＋4002－2×400×400×cos ＝3×4002，∴|F′|＝400，∴|G|＝mg＝400，m＝40≈69 kg. 10．五角星是指有五只尖角、并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华人民共和国国旗．如图，在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法正确的是(　　) A.＋＝0 B.∥ C.＋＝2 D.＝＋ 【答案】D 【分析】本题主要考查的是平面向量的综合应用； 【解析】A项，由图可知CH与ID相交，所以与不是相反向量，故A错误； B项，与共线，与不共线，所以与不共线，故B错误； C项，＋＝≠2，故C错误； D项，连接BF，JF，由五角星的性质可得四边形ABFJ为平行四边形， 根据平行四边形法则可得＝＋，故D正确． 11.已知非零向量，则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】本题主要考查的是平面向量的综合应用； 【解析】先看充分性，可将两个数量积用定义表示出来再分析， 设与的夹角分别为，则即为，所以， 不能得出，故充分性不成立；而当时，满足，所以必要性成立. 12．已知四边形是边长为2的正方形，为平面内一点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是平面向量的综合应用； 【解析】建立如图所示的直角坐标系， 则，，.设， 则，，，， 所以 . 所以当，时，取得最小值. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。） 13．若a为任一非零向量，b为单位向量，下列各式： (1)|a|＞|b|； (2)a∥b； (3)|a|＞0； (4)|b|＝±1； (5)若a0是与a同向的单位向量，则a0＝b. 其中正确的是________．(填序号) 【答案】(3) 【分析】本题主要考查的是向量的综合应用； 【解析】解析：对(1)，不一定有|a|＞|b|；对(2)，a与b方向不一定相同或相反；对(3)，非零向量的模必大于0，即|a|＞0；对(4)，向量的模非负；对(5)，a0与b方向不一定相同．综上可知(3)正确． 14．已知为单位向量，，则___________ 【答案】 【分析】本题主要考查的是向量模的运算； 【解析】看到模，先试试平方，由题意，， 所以，从而， 故，所以. 15．在四边形ABCD中，，若，则四边形ABCD是________． 【答案】矩形 【分析】由，可得四边形ABCD为平行四边形，又，从而即可求解. 【解析】在四边形ABCD中， 因为，所以四边形ABCD为平行四边形， 又，即，所以平行四边形ABCD为矩形； 16．设，向量，，，且，，则_____________. 【答案】0 【分析】本题考查的向量坐标运算； 【解析】因为向量，，，且，，所以，得， ，解得，所以. 17.如图，在中，是中点，是上两个三等分点，，则的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查的向量综合运算； 【解析】条件与结论的数量积共用底边，相当于底边固定，考虑用极化恒等式来算它们， 设， 由极化恒等式，， 所以. 三、解答题（本大题共5小题，18、19、20、21小题各10分，22小题12分，共52分。） 18．（1）已知平面向量与的夹角为，且为单位向量，求 ； （2）已知非零向量，若，求与的夹角； 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查的是向量的坐标运算； 【解析】（1）由已知可得，，则， 所以，则. （2）∵，∴t=4，∴，又， ∴. 设与的夹角为θ，则， 因为，所以. 19．已知点，，，求以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的一个坐标； 【答案】见解析； 【分析】分三种情况①；②；③，利用平行四边形一组对边平行且相等借助向量相等即可求解. 【解析】设点，以为顶点的平行四边形可以有三种情况： ①若四边形为时， 因为，可得， 由，可得，解得，即； ②若四边为， 因为，可得， 由，可得，解得，即； ③若四边形为时， 因为，可得， 由，可得，解得，即. 综上可得，点的坐标为或或. 20.已知中，内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若，，在上，且，求的长. 【答案】见解析； 【分析】（1）根据二倍角公式和同角三角函数关系化简已知条件即可求解； （2）根据同角三角函数关系得，由向量加法运算得， 平方化简即可求解. 【解析】（1）因为，所以， 所以，由得， 即，平方化简得，所以. （2）由题意，所以，即, 又由（1）知，， 又因为，所以， 所以， 所以. 21．在中，动点自点出发沿运动，到达点时停止，动点自点出发沿运动，到达点时停止，且动点的速度是动点的倍．若二者同时出发，且当其中一个点停止运动时．另一个点也停止运动，求该过程中的最大值． 【答案】72 【分析】本题主要考查的是向量的实际应用； 【解析】因为， 所以且 建立平面直角坐标系，如图所示． 设点，则， 从而可得， 所以． 因为在上单调递增， 所以当时，取得最大值，且最大值为． 22.已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，． (1)求和的值； (2)若，，，求与所成角的余弦值． 【答案】见解析； 【分析】（1）由向量的运算得出，进而得出和的值； （2）由向量的运算得出，，进而得出，，，再由数量积公式求解即可. 【解析】（1）根据题意，梯形中，，，E为的中点 则 又由可得， （2）是与所成的角，设向量与所成的角为 ，则 ，则 则， 因为 所以 所以与所成角的余弦值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $